函數綜合應用

第十九講函數綜合應用名師伴學課前熱身1．已知關于的函數圖象如圖所示，則當時，自變量的取值范圍是（）OOyx2A． B．或C． D．或2．在平面直角坐標系中，函數的圖象經過（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限3.點在反比例函數（）的圖象上，則k的值是（）．A．B．C．D．4、如圖為二次函數的圖象，給出下列說法：①；②方程的根為；③；④當時，y隨x值的增大而增大；⑤當時，．其中，正確的說法有．（請寫出所有正確說法的序號）【參考答案】1.B2.D3.B4.①②④◆考點聚焦大綱要求靈活運用函數解決實際問題考查重點及?？碱}型利用函數解決實際問題，常出現在解答題中◆備考兵法1.四種常見函數的圖象和性質總結

圖象特殊點性質一次函數與x軸交點與y軸交點（0，b）(1)當k>0時，y隨x的增大而增大；(2)當k<0時，y隨x的增大而減小.正比例函數與x、y軸交點是原點(0,0)。(1)當k>0時，y隨x的增大而增大，且直線經過第一、三象限；(2)當k<0時，y隨x的增大而減小，且直線經過第二、四象限反比例函數與坐標軸沒有交點，但與坐標軸無限靠近。(1)當k>0時，雙曲線經過第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減??；(2)當k<0時，雙曲線經過第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大。二次函數與x軸交點或，其中是方程的解，與y軸交點，頂點坐標是(-,)。(1)當a>0時，拋物線開口向上，并向上無限延伸；對稱軸是直線x=-,y最小值=。(2)當a<0時，拋物線開口向下，并向下無限延伸；對稱軸是直線x=-,y最大值=注意事項總結：(1)關于點的坐標的求法：方法有兩種，一種是直接利用定義，結合幾何直觀圖形，先求出有關垂線段的長，再根據該點的位置，明確其縱、橫坐標的符號，并注意線段與坐標的轉化，線段轉換為坐標看象限加符號，坐標轉換為線段加絕對值；另一種是根據該點縱、橫坐標滿足的條件確定，例如直線y=2x和y=-x-3的交點坐標，只需解方程組就可以了。(2)對解析式中常數的認識：一次函數y=kx+b(k≠0)、二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函數y=(k≠0),不同常數對圖像位置的影響各不相同，它們所起的作用，一般是按其正、零、負三種情況來考慮的，一定要建立起圖像位置和常數的對應關系。(3)對于二次函數解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，還應掌握“頂點式”y=a(x-h)2+k及“兩根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即為圖象與x軸兩個交點的橫坐標）。當已知圖象過任意三點時，可設“一般式”求解；當已知頂點坐標，又過另一點，可設“頂點式”求解；已知拋物線與x軸交點坐標時，可設“兩根式”求解?？傊?，在確定二次函數解析式時，要認真審題，分析條件，恰當選擇方法，以便運算簡便。(4)二次函數y=ax2與y=a(x-h)2+k的關系：圖象開口方向相同，大小、形狀相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k圖象可通過y=ax2平行移動得到。當h>0時，向右平行移動|h|個單位；h<0向左平行移動|h|個單位；k>0向上移動|k|個單位；k<0向下移動|k|個單位；也可以看頂點的坐標的移動,頂點從（0，0）移到（h,k)，由此容易確定平移的方向和單位。中考中的函數綜合題，除了靈活考查相關的基礎知識外，還特別注重考查分析轉化能力、數形結合思想的運用能力以及探究能力．此類綜合題，不僅綜合了《函數及其圖象》一章的基本知識，還涉及方程（組）、不等式（組）及幾何的許多知識點，是中考命題的熱點．善于根據數形結合的特點，將函數問題、幾何問題轉化為方程（或不等式）問題，往往是解題的關鍵．◆典例精析例1：如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點A(ｍ，2)，點B(－2,n)，一次函數圖像與y軸的交點為C。（1）求一次函數解析式；（2）求C點的坐標；（3）求△AOC的面積。解析：（1）確定一次函數的的關系式的關鍵是求出點A、點B的坐標，分別把A（m，2），B（-2，n）代入反比例函數的關系式易求出m=1、n=-1，由待定系數法確定出一次函數關系式為的值；（2）令關系式中的x為0求出y=1，所以C（0，1）；（3）△AOC的面積等于×OC×1=.答案：由題意：把A（m，2），B（-2，n）代入中得∴A（1，2）B（-2，-1）將代入中得 ∴一次函數解析式為：（2）C（0，1）（3）例2：某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發(fā)現，銷售量（件）與銷售單價（元）符合一次函數，且時，；時，．（1）求一次函數的表達式；（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價的范圍．解析：（1）利用待定系數法確定出一次函數的表達式；（2）利潤=每件的利潤×銷售件數，得W，根據二次函數的最值問題確定單價為90元，最大利潤為900元；（3）令W=500，即，解得，因為，故單價定為70元.答案：（1）根據題意得解得．所求一次函數的表達式為．（2），拋物線的開口向下，當時，隨的增大而增大，而，當時，．當銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由圖象可知，要使該商場獲得利潤不低于500元，銷售單價應在70元到110元之間，而，所以，銷售單價的范圍是．例3：某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？（3）每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？【解析】（1）利潤=單價×銷售件數，單價為（2400-2000-x），銷售件數為；（2）令y=4800，即，解方程得，老百姓要想得到實惠，所以?。唬?）利用二次函數的最值解決.答案：（1）根據題意，得， 即．（2）由題意，得．整理，得．解這個方程，得．要使百姓得到實惠，?。?，每臺冰箱應降價200元．（3）對于，當時，．所以，每臺冰箱的售價降價150元時，商場的利潤最大，最大利潤是5000元． 迎考精煉yxOC．yxOA．yxOC．yxOA．yxOD．yxOB．2．如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象在第一象限相交于點，與軸相交于點軸于點，的面積為1，則的長為（保留根號）yOyOxACB3.已知一次函數和反比例函數的圖象交于點A(1，1)求兩個函數的解析式；若點B是軸上一點，且△AOB是直角三角形，求B點的坐標。4.已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數關系如圖（1）所示．OO60204批發(fā)單價（元）5批發(fā)量（kg）①②（1）（1）請說明圖中①、②兩段函數圖象的實際意義．（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數關系式；在下圖的坐標系中畫出該函數圖象；指出金額在什么范圍內，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數量的該種水果．金額金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060（3）經調查，某經銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數關系如圖（2）所示，該經銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當日零售價不變，請你幫助該經銷商設計進貨和銷售的方案，使得當日獲得的利潤最大．OO6240日最高銷量（kg）80零售價（元）（2）48（6，80）（7，40）5.為了擴大內需，讓惠于農民，豐富農民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農戶實行政府補貼．規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若干元，經調查某商場銷售彩電臺數（臺）與補貼款額（元）之間大致滿足如圖①所示的一次函數關系．隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益（元）會相應降低且與之間也大致滿足如圖②所示的一次函數關系．120012008000400y(臺)x(元)z(元)x(元)2001602000圖①圖②（1）在政府未出臺補貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？（2）在政府補貼政策實施后，分別求出該商場銷售彩電臺數和每臺家電的收益與政府補貼款額之間的函數關系式；（3）要使該商場銷售彩電的總收益（元）最大，政府應將每臺補貼款額定為多少？并求出總收益的最大值．【參考答案】2.3.（1）∵點A（1，1）在反比例函數的圖象上,∴k=2．∴反比例函數的解析式為：．一次函數的解析式為：．∵點A（1，1）在一次函數的圖象上∴．∴一次函數的解析式為（2）∵點A（1，1）∴∠AOB=45o．∵△AOB是直角三角形∴點B只能在x軸正半軸上．①當∠OB1A=90o時，即B1A⊥OB∵∠AOB1=45o∴B1A=OB1．∴B1②當∠OAB2=90o時，∠AOB2=∠AB2O=45o,∴B1是OB2中點,∴B2（2，0）．綜上可知，B點坐標為（1，0）或（2，0）．4.（1）解：圖①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；……3分圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)（2）解：由題意得：，函數圖象如圖所示．由圖可知資金金額滿足240＜w≤300時，以同樣的資金可批發(fā)到較多數量的該種水果．（3）解法一：設當日零售價為x元，由圖可得日最高銷量當m＞60時，x＜由題意，銷售利潤為當x＝