第5部分立體幾何專題十一

A．8B．123333

【答案】 由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐組成的，其體積為

3 ＝3(cm 8866

7575【答案】 體積為6，所以三棱錐與剩余部分的體積比為53．(2015·，7，中)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為 22

3【答案】C 由三視圖可知，四棱錐P-ABCD底面是邊長為1的正方形，棱PA⊥平面ABCD，且3∴PC∴PC＝AC2＋PA2＝2＋1＝4．(2015·，9，中)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是 22A．1＋3C．2＋322【答案】 根據(jù)三視圖可以得到如圖所示幾何體ABDBCDAB＝AD＝BC＝CD＝ 5．(2015·課標(biāo)Ⅰ，11，中)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝( 【答案】

由題意可知，該幾何體為2個(gè)圓柱與半球拼接而成的組合體，應(yīng)有 1．(2012·)()A．球B．三棱錐C．正方體DDA，C.而三條側(cè)棱兩兩垂D.則這個(gè)幾何體是 A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D【答案】 由圖可知該幾何體為平放的直三棱柱，且上、下兩底面為等腰直角三角形，如圖視圖如圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是() 【答案】 如圖①②③的正(主)視圖和俯視圖都與題干中的相同，故3個(gè)命題都是真命題4．(2014·，8，中)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為 33

6【答案】 由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體切去兩個(gè)三棱錐，如圖所示6

＝3

－3＝3 A．4 5C．4( 5

【答案】 的高為5.所以該四棱錐的側(cè)面積為

2×

55

，體積為 ＝3，故答案3cm6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為() 99

33【答案】 由三視圖可知，該零件為兩個(gè)圓柱的組合體，如圖所示V1＝π×4×4＋π×9×2＝34π， 所以V 7．(2013·陜西，12，中)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積 【解析】r＝1所以

【答案】 【解析】 22＋22＝22，AB＝BC＝ PC＝2

2)＝2【答案】29．(2014·陜西，19，12分，中)ABCDAD，BC的平面分別AB，BD，DC，CAE，F(xiàn)，G，H.(1)ABCD(2)EFGH∴ADABCD (2)證明：∵BC∥EFGHEFGH∩BDC＝FG，又平面EFGH∩平面ABC＝EH，EFGH∵ADEFGH形，EF⊥FG，即可證明四邊形EFGH是矩形．考向 三視圖與直觀圖的辨②畫則：正(主)側(cè)(左)一樣高，正(主)俯一樣長，側(cè)(左)俯一樣寬；看不到的線畫虛線用斜二測(cè)畫法畫幾何體直觀圖的系：S′＝24 A．棱柱B．棱臺(tái)C．圓柱D() 【解析 (1)(排除法)由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體不可能是圓柱，排除選項(xiàng)C；又由俯視A，B(2)22)ABCD即為滿足條件的四面體，得出正視圖和俯視圖分別為④和②【答案 【點(diǎn)撥】在解答第(2)C，在三視圖中，看不見的棱應(yīng)該用由三視圖還原直觀圖的方法(2012·湖南，4) 【答案】CA中圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B中圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；D中圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，C.考向 三視圖與直觀圖的應(yīng)(1)(2012·，7)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是 5555

55 55 則 則【解析 DDM⊥AC 在△CMBDM⊥ 42＋52＝∴△BCD 在△ABD中，如圖 25×6＝6∴S表＝10＋10＋10＋65＝30＋65.由三視圖可知該幾何體是由如圖所示的直三棱柱ABC－A1B1C1截掉一個(gè)三棱錐D－A1B1C1其中AC＝4，BC＝3，AA1＝5，AD＝2，BC⊥AC，∴該幾何體的體積V＝1·AC·BC·AA1－1×

2AAE⊥BC2Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝AECD2∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝2＋12

2 2＝2×1＋1＋2×2＝2＋2 ＋【答案 ＋求與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積或體積的(3)利用相應(yīng)的幾何體表面積或體積進(jìn)行計(jì)算 1【答案】 1S四邊形ABBA1S四邊形DCCD1S

111111S四邊形AADD＝S四邊形BBCC1 1∴表面積1．(2015·南陽聯(lián)考，5)已知一個(gè)三棱錐的俯視圖與側(cè)(左)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正(主)視圖可能為( 【答案】C 形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C. 3 33 3【答案】 (左)23，側(cè)(左)3，故其側(cè)(左)S＝23×3＝63 A.3＋ B.3＋

3333＋ 【答案】 3 2C. 2【答案】 ＋1×1＋3×1)＝14 【答案】D 利用長方體模型可知，此三棱錐的四個(gè)面全部是直角三角形．故選D.6．(2015·廣元二模，5)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是 22 22【答案】C3，4，其面積為6483，4262，一個(gè)5，410C.是()5757

62【答案】C62AC＝2，PA＝2，PC＝22，△ABCAC23BC＝42＋（23）2＝27，AB＝22＋（23）2＝4PB＝PA2＋AB2＝22＋42＝25，因此在四面體的六條棱中，長度最長的BC27C. 【解析】由三視圖可知，該三棱錐的體積 5×6h＝20，解得【答案】

9．(2014·豫東、豫北十校聯(lián)考，14)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積 【解析】由三視圖可知該幾何體是由圓柱的一半和球的四分之一組成的，所以該幾何體的體積

1

2V柱＋4V球＝2Sh＋4·3πr＝2π×2＋4×3π×1π【答案】π3 【解析】R.依題意得，該三棱錐的形狀如圖所AB⊥BCD，AB＝2，CD＝22，BC＝BD＝2，BC⊥BD，因此可將其22R＝23，R＝3積為3×(3)3＝4【答案】41．(2015·山東，9，中)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋 33

B.4

C．2 D．43【答案】 依題意，曲面所圍成的幾何體為兩圓錐的組合體，所求體積 3(2)2×

4

＝ 三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( 【答案】 設(shè)球O的半徑為R，由題知當(dāng)OC⊥平面OAB時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大＝1

6R＝36R＝6S球＝4πR圓錐的四分之一)85尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( B．22C．36 D．66【答案】

9

9÷1.62≈22(斛)的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為材料利用率＝新工件的體積

原工件的體積 24（24（

8（π＝3【答案】 由三視圖可知，工件為圓錐，底面半徑r＝1，h＝2 2＝3設(shè)正方體邊長為 2a

22＝32

2＝216

＝27所以利用率為16 2 827

3 【解析】r1π×52×4＋π×22×8＝1πr2×4＋8πr228r2＝196，∴r＝ 【答案 (2)α解：(1)(2)EM⊥ABMEHGF為正方形，于是MH＝ α10的直棱柱，所以其體積的比值為97也正確1．(2014·，4，易)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 (錐體體

S為底面面積，h為高3 3【答案】 由俯視圖可知，三棱錐底面是邊長為2的等邊三角形．由側(cè)視圖可知，三棱錐的為3.故該三棱錐的體積 2×3×2．(2012·課標(biāo)，8，中)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為2， A. B．4 C．4 D．6【答案】 如圖，設(shè)平面α截球O所得圓的圓心為O1，則|OO1|＝2，|O1A|＝1，∴球的半徑＝|OA|＝2＋1＝∴球的體積

R3＝43π.LhV的近似V1L2h.圓錐體 中的圓周率π近似取為3.那么，近 2L2h相當(dāng)于將圓錐體積 中的π近似為 77

L

8πL8

【答案】

.圓錐的體積V＝3πrh＝32π

π≈2，∴π≈24＝84．(2014·大綱，10，中)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為則該球的表面積為

A. D.【答案】 由題意易知，球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為R，則(4－R)2＋(2)2＝R2， 2 ，10，中)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為2

棱長 【解析】設(shè)正方體的棱長為 方體的外接球半徑R＝

9πR＝3＝

a＝

2 2【答案 【解析】

r2

1＝，所以

11＝， 1

πr2h＝r2·h2【答案】2

2 2錐A-DED1的體積為 【解析】B1C∴EADD1A1d

【答案】6

28．(2013·課標(biāo)Ⅱ，15，難)已知正四棱錐O-ABCD的體積為3 3，則以O(shè)為球心2OA為半徑的球的表面積 【解析】設(shè)底面中心為E，則|AE|＝1·|AC|＝6，∵體積 2·|OE|＝|OE|＝3 ＋|OE|2＝6.O為球心，OA【答案】9．(2014·福建，19，12分，中)A-BCD中，ABBCD，CD⊥BD.(1)求證：CDABD；(2)AB＝BD＝CD＝1，MADA-MBC解：(1)證明：∵AB⊥BCD，CD?又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?ABD，BD?ABD，∴CD(2)AB⊥BCD∵M(jìn)AD∴S△ABM＝1 由(1)知，CDC-ABMh＝CD＝1，因此三棱錐A-MBC的體積VAMBC＝VCABM＝1△ABM·h＝1 AB⊥BCDABD⊥BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，MMN⊥BDBD則MN⊥平面BCD，且 A-MBCVAMBC＝VABCD－VM

·S△BCD＝1

思路點(diǎn)撥：本題(2)中三棱錐體積 ，但要注意轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，對(duì)于本題，可將S△ABM求出高即為CD＝h，代入可求得，也可借助圖中關(guān)系，利用VA-MBC＝VA-BCD－VM-BCD求得考向 空間幾何體的表面S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．S側(cè)＝πrl，S表＝πr(r＋l)．S側(cè)＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(1)(2014·陜西，5)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何 (2)(2013·課標(biāo)Ⅰ，15)HOAB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，ABα，Hα截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積 【思路導(dǎo)引】(1)所得幾何體為圓柱，求出底面半徑和母線后即可求側(cè)面積；(2)根據(jù)球心距、截面【解析】(1)r＝1l＝1S側(cè)2π.3(2)αOHORAH∶HB＝1∶23H的面積為πH9 9所以3＋1＝RR＝8OS＝4πR＝4π·8＝2【答案 (2)1.幾何體表面積的求法規(guī)則幾何體：若所給的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用進(jìn)行求解2．(2014·山東，13)232等，則該六棱錐的側(cè)面積 3【解析】由題意底面正六邊形面積S＝63.設(shè)六棱錐高為h，則體積 所以2 3 h，即h＝1，側(cè)面的斜高 12＋（3）2＝2，側(cè)面積S側(cè) 【答案】空間幾何體的體積

考向 空間幾何體的體 棱(圓)V＝Sh(S為底面面積，h為高棱(圓) (S為底面面積，h為高棱(圓) ＝3(S′＋(S′，S為上、下底面面積，h為高球 R3(R為球半徑則三棱錐A-B1DC1的體積為( 22 D.22(2)(2013·課標(biāo)Ⅰ，6)8

1

2 【解析 (1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中∴AD

3×2×2×3×3＝1(2)設(shè)球的半徑為R，則球的截面圓的半徑是4，且球心到該截面的距離是R－(8－6)＝R－2，故

33【答案

(cm【點(diǎn)撥】解題(1)的關(guān)鍵是正確畫出圖形，熟記棱錐的體積；解題(2)關(guān)鍵是由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R的方程，求出R.求幾何體體積的類型及思路若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用進(jìn)行求解若所給定的幾何體的體積不能直接利用得出，則常用等積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法進(jìn)行求解．其中， A．108 B．100C．92 D．84【答案】 積為 1．(2015·洛陽統(tǒng)一考試，8)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積為 55

23【答案】 23(主)視圖梯形的腰長，即為5，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（2＋4）×

4＝125 2．(2014·中山模擬，4)某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角60°的扇形，則該幾何體的體積為 πA.

【答案】 由三視圖可知，該幾何體為柱體，底面是半徑為2，中心角為60°的扇形，所以幾何體的體積 2×3＝2π，故選＝2××33．(2014·山東威海二模，7)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 【答案】 由三視圖可知，該幾何體是在一個(gè)棱長為6的正方體的上方放置一個(gè)正四棱錐所成的組合體，因此其表面積為 6×5＝240.故選4．(2015·綿陽一模，7)如圖所示，用一邊長為2的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為4π的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心(心)與蛋巢底面的距離為 6A. 62

D. 2【答案】 蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為

3而截面到底面的距 3

－4＝2離即為三角形的高22△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為 333A.2333

B.32【答案】 方法一：如圖，分別過A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，2 3原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，錐高2，柱高 1＝2

＝2AD 2 2△AGD＝2×1×2＝4∴V＝

2 24 ×3×4×2＝3P-BCF1P-ABCD1 2 3 6 2＝3×1×2＋2×3×4×3＝36．(2015·遼寧沈陽一模，6)已知四面體P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，則球O的表面積為( 【答案】 可知長方體的外接球與四面體的外接球相同，長方體的對(duì)角線就是外接球的直徑，即＝3，∴R＝2OS＝4πR

＝9π.7．(2015·山東青島一模，13)如圖所示是一個(gè)四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積 【解析】觀察三視圖可知，該四棱錐底面為直角梯形，有一側(cè)面垂直于底面，幾何體高為2何體體積為 【答案】×8．(2014·江蘇一模，8)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E為AB的中點(diǎn)，則四面體P-BCE的體積為 ×【解析】由于四邊形ABCD是菱形所以以EB為底邊的△CBE的高h(yuǎn)＝AD·sin 3＝3，從而四面體P-BCE的體積VPBCE＝VC 1×2×3＝【答案】3

3

π∠BAC＝2，且此三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積 【解析】依題意可知，球心到平面ABC的距離為 ′＝1，平面ABC所在圓的半徑為 ＝ 則球的半徑 12＋（3）2＝2，則球的體積為

＝3把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等 【解析】a，bab＝82a＋2b≥4ab＝82a＝b＝22ABCD2，無論怎樣折疊，其四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球面上，這個(gè)球的表面積是4π×22＝16π.【答案】11．(2015·河北邢臺(tái)調(diào)研，19，12分)ABC-A1B1C1(2)若E是線段AB1上的一點(diǎn)，且滿足VE- -A1B1C1，求AE的長且AA1＝AC＝4，BC＝2.∴B1C1又∵B1C1?AB1C1(2)EEF∥B1C1AC1由(1)知，EFAA1C1CEFE-AA1C1 -

在Rt△ABC中 42＋22＝21在Rt△ABB1中 （21由AE＝EF

1．(2015·浙江，4，易)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.( A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m 【答案】 A選項(xiàng)正確B選項(xiàng)中，lmC選項(xiàng)中，αβD選項(xiàng)中，lm2．(2015·，6，中)若直線l1與l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( A．ll1，l2B．ll1，l2C．ll1，l2D．ll1，l2【答案】D 選項(xiàng)A中，直線l1，l在同一平面內(nèi)，l1與l不相交則一定平行，即l1∥l；同理，由l2與l不相交得l2∥l.故l1∥l2，這與已知l1，l2是異面直線相，排除A.B中，ll1，l2Cl1，l2 C．l1l4D．l1l4【答案】 不妨令l1，l2，l3分別為如圖所示正方體的棱所在的直線l4B1C1l1∥l4l4BB1l1⊥l4l4B1Cl1l4l42．(2013·浙江，4，易)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面( A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β 【答案】C 選項(xiàng)D中的m與β的位置關(guān)系可以是平行、相交、m在β內(nèi)，故選C.3．(2012·重慶，9，中)1，1，1，12aa的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是 A．(0， B．(0， C．(1， D．(1，【答案 構(gòu)造四面體ABCD，如圖，使AB＝a，CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CDEAE＝BE＝

2

，0<a<22，∴2＋24．(2013·，8，中)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂 A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B 是EF的三等分點(diǎn)，

23，PB＝

；PB1＝

6

＝a.4＝

＝3 3 3 35．(2012·大綱，16，中)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為 【解析】A1E∴∠AEA1AED1F2A1E＝AE＝∴cos AED1F所成角的余弦值為【答案】5線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為 【解析】CDGEFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從EFEFEF下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.【答案】上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是

S2②當(dāng)

S＝2③當(dāng) S與C1D1的交點(diǎn)R滿足 ＝4時(shí) 3④當(dāng)4<CQ<1時(shí)，S⑤當(dāng)CQ＝1時(shí) 62【解析】如圖(1)CQ＝1APQADD1A1AD1PQ22＝5，∴S220<CQ<1時(shí)，S241.5的長方體ABCD-A2B2C2D2.QCC2AD2A1D1于點(diǎn)E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，連接RQ4APQRES.RQDCFAP

圖FPBC的中點(diǎn)，PC∥AD

＝1，由題意知△RC1Q

時(shí)，S2CQ＝1QC1S為邊長為5AQ＝3，另一條對(duì)角線為22∴S＝62圖【答案】8．(2014·，19，13分，中)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均GEFH.(1)(2)EB＝2GEFHEF∥BC，因此GH∥EF.(2)AC，BDO，BDEFKPA＝PC，OACPO⊥ACBD∩AC＝OAC，BDPO⊥ABCD.GEFH⊥ABCD，且PO?平面GEFH，PO∥PBD∩PO∥GKGK⊥ABCD，從而GK⊥EF.GKGEFHAB＝8，EB＝2

＝＝

KOB再由PO∥GK得 ，即G是PB的中點(diǎn)，所以

由已知可得OB＝42，PO＝ 所以GK＝3.

故四邊形GEFH的面積 ·GK＝2考向 空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判2公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線． 【解析 (1)對(duì)于選項(xiàng)A，m與n還可以相交或異面CDn∥αn?αnα(2)A∴AB，這兩個(gè)平面可以相交，∴BD，這兩個(gè)平面還可能相交，∴D錯(cuò)誤；而由線面平行的性質(zhì)定理可證C正確．故選C.【答案 【點(diǎn)撥】解題(1)解決空間位置關(guān)系問題的方法 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面【答案】B C選項(xiàng)，l1∥l2∥l3，則l1，l2，l3既可能共面，也可能異面；D選項(xiàng)，如長方體共頂點(diǎn)的三條棱為l1，l2，考向 異面直線所成的 θθ∈02 ABB(1)(2014·大綱，4)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD6所成角的余弦值為 66633

3D.3(2)(2014·湖南，18，12分)α-MN-β60ABCDβ3MN上，∠BAD＝60°，EAB的中點(diǎn)，DOαBCOD【解析 (1)如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接CF，EF，則∴∠CEFCEBD設(shè)正四面體的棱長為2，則CE＝CF＝ 3636

6∴CEBD所成角的余弦值為36BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形．又E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB.DO∩DE＝DAB⊥②因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是異面直線BCODAB＝2AD＝2.DE＝Rt△DOE中，DO＝DE·sin3＝連接AO，在Rt△AOD中 2 ＝ BCOD所成角的余弦值為【點(diǎn)撥】解題(1)的關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)作出異面直線的平行線．解題(2)時(shí)應(yīng)注意異面直線所成的求異面直線所成角的方法(2011·大綱，15)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線與BC所成角的余弦值 【解析】A1B1FEF，AFEF∥BC，則∠AEF為異面AEBC2Rt△AFE中，EF＝2，AF＝＝3 【答案】3線BD的充要條件是( C．ABCDD．A，B，C，D【答案】D B，C，D四點(diǎn)必須共面．2．(2014·山西太原調(diào)研，3)a，bα，βα∩β＝cc a，ba，ba，ba，b【答案】C 若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面矛盾．故直線c至少與a，b中的一條相交．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 【答案】B對(duì)①，兩條平行線中有一條與一平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直，故①正確；B.bcbc的位置關(guān)系是()A．相交或平行B．相交或異面平行或異面D【答案】 依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，故選 m∥α，n⊥αDAm，nABmn可能平行，D正確．1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值 【解析】AC∥A1C1，所以∠BA1C1(或其補(bǔ)角)△BA1C16666＝6，AC＝1，BC＝5，cos∠BAC1

1 26×1 【答案】6①GHEF②BDMN③GHMN60④DEMN以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào) 【解析】GHEF為異面直線，BDMNGHMN60°角，DEMN垂直．故②③④【答案】SB＝29，則SC與AB所成角的余弦值 【解析】BCEABCDE∥ABSBCEF∥SC，則異面直線SC與AB所成的角為∠FED，過F作FG⊥AB，連接DG，則△DFG為直角三角形．AC＝2，BC＝13，SB＝29DE＝17，EF＝2，DF＝5在△DEF

【答案】AB＝AC＝2，AA1＝22，E，F(xiàn)BC，AA1(1)EFA1B(2)A-EFC解：(1)ABDDE，DF由題意知，DF＝3，DE＝1，AE＝DE⊥AB，DE⊥AA1DE⊥∴DE⊥DF，即△EDF∴tan∠DFE＝DE＝1＝ EFA1B(2)VAEFC＝VF 23×2×2×2×2＝3思路點(diǎn)撥：解決此類問題的基本思路為：一找、二證、三求．解題(2)證明：(1)由題意知，EB1CDAB1(2)ABC-A1B1C1CC1因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1.AC⊥BC，CC1?BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，AC⊥BC1?BCC1B1，所以BC1⊥AC.BC＝CC1BCC1B1AC，B1C?B1AC，AC∩B1C＝CBC1AB1?B1AC，所以BC1⊥AB1.2．(2015·，18，14分，中)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BCAC＝BC＝2，O，MAB，VA的中點(diǎn)．V-ABC解：(1)O，MAB，VA所以VB∥平面MOC.AC＝BC，OAB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.VAB⊥ABCOC?ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.MOC⊥ACBAC＝BC＝VABS△VAB＝OC⊥C-VAB的體積等于

·S△VAB＝33V-ABCC-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為33 【答案】BABCD-A1B1C1D1.A，C1D1ABB1A1，C1D1∥平面的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等 【解析】∵ACEFABCDAB1C的交線，EF∵EAD的中點(diǎn)，∴FCD 12＋12＝【答案 AAF⊥SBFE，GSA，SC的中點(diǎn)．求證：(1)EFGABC；證明：(1)AS＝AB，AF⊥SBFFSB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB.所以EF∥平面ABC.EG∥ABC.EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)SAB⊥SBCSBAF?SAB，AF⊥SBAF⊥BC?SBCAB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?SAB，所以BC⊥平面SAB.SA?SAB24．(2014·山東，18，12分，中)P-ABCD中，AP2AD，E，F(xiàn)AD，PC證明：(1)AC∩BE＝OOF，EC，由于E為AD的中點(diǎn)， AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四邊形ABCE為菱形，OAC的中點(diǎn)．又F為PC的中點(diǎn)，因此在△PAC中，可得AP∥OF，所以AP∥平面BEF.(2)由題意知ED∥BC，ED＝BC，BCDE為平行四邊形，因此BE∥CD.AP⊥AP⊥CDAP⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BE⊥AC.所以BE⊥平面PAC.EPD的中點(diǎn)．4(2)AP＝1，AD＝3P-ABDV＝4

APBC解：(1)BDACOABCDOBDEPD所以PB∥平面AEC.6 ·AB·AD6V＝3 AH⊥PBPBAH＝PA·AB＝3 1313APBC的距離為3136．(2014·，18，12分，中)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形解：(1)ABB1A1ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.AB，ACABCAA1BC?ABCAC⊥BC，AA1，ACACC1A1內(nèi)兩條相交直線，所以直線BC⊥平面ACC1A1.(2)ABMA1M，MC，A1C，AC1OA1C，AC1的交點(diǎn)．由已知可知O為AC1的中點(diǎn)．MD，OEMD，OE分別為△ABC，△ACC1所以MD綊 ，OE綊 ，因此MD綊 OMMDEO所以直線DE∥平面A1MC，ABM(AB的中點(diǎn))DE∥7．(2013·遼寧，18，12分，中)如圖，ABO的直徑，PAO所在的平面，CO上的(2)QPA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG證明：(1)ABO所以BC⊥平面PAC.QPAOABQM∩MO＝M，QM?QMO，MO?平面QMO，平面PC?QMO∥QG?QMO，所以QG∥平面PBC.當(dāng)正視方向與向量DP-ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算D-PBC解：(1)ABCDCCE⊥AB由已知得，四邊形ADCE為矩形，AE＝CD＝3，CE＝AD＝4，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，從而AB＝6.PD⊥ABCDRt△PDAAD＝4，∠PAD＝60PD＝4PBN MNCD∴DMABEABCD中，BE∥CDBCDE∴DE∴MEPBCDME∥DM?DME，∴DMVDPBC＝VP

S△DBC＝6，PD＝43VD-PBC＝8考向1 l?αl∥a 直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理中的三個(gè)條件；線面平行的性質(zhì)定理可以作為線線＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)A1C1，BCE-ABC【思路導(dǎo)引 (1)利用已知條件轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中點(diǎn)G，構(gòu)造四邊【解析 (1)證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面AB⊥ABE⊥(2)ABGG，F(xiàn)AB，BC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FGAC∥A1C1AC＝A1C1，EA1C1的中點(diǎn)，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.FGEC1為平行四邊形．所以C1F∥EG.所以C1F∥平面ABE.(3)因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝ AC2－BC2＝3.E-ABC 3×1×2＝ 31.證明線面平行問題的思路(一)2．證明線面平行問題的思路(二2A-BCFBC＝2當(dāng)

F-DEG＝3解：(1)ABC∴AD＝AEA-BCF ∴DE(2)證明：由圖①ABC中，F(xiàn)BC∴AF⊥BCAF⊥CF，2A-BCF中，BC＝2⊥平面(3)由(1)GE∥CF，結(jié)合(2)GE⊥ 3 ＝3×2×3×3×2 3 考向 面面平行的判定與性 平面與平面平行的性質(zhì)定理實(shí)際上給出了判定兩條直線平行的法，注意一定是第三個(gè)平面與(2013·陜西，18，12分)ABCD-A1B1C1D1ABCD是正方形，O是底面中心，A1OABCD，AB＝AA1＝2.【解析 (1)證明：由題設(shè)知，BB1綊BB1D1D∴BD∵A1D1B1C1A1BCD1∴A1B又A1BD(2)∵A1O∴A1OABD-A1B1D1又 ＝1，AA1＝1 1又

2×【點(diǎn)撥】解題(1)需將面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行，通過取特殊四邊形來完1.判定面面平行的四個(gè)方法AC1D，D1B1C1A1BD1證明：A1CAC1EA1ACC1∴EA1C∵A1BAC1DA1BC∵EA1C的中點(diǎn)，∴DBC的中點(diǎn)．又D1是B1C1的中點(diǎn)，∴D1C1綊BD，BDC1D1A1BD11．(2015·河北保定一模，4)lαaα④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． 【答案】A 命題①l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確．l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個(gè)充分條件是( A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2【答案】D 平行”可得，由選項(xiàng)D可推知α∥β.故選D.αβ其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A．3 B．2 C．1 D．0【答案】 ①若n⊥α，n⊥β，則n為平面α與β的公垂線，則α∥β，故①正確αββαβ相交，B.4．(2015·周口一模，14)已知平面α∥平面β，P是α，β外一點(diǎn)，過P點(diǎn)的兩條直線分別交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長 【解析】若P在α，β的同側(cè)，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，則PA ＝AB，可求CD＝20；若P在α，β之間，則AB＝PA 可求得

【答案】20

＝3

B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則 【解析】∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴PQ＝PD＝2，即 又知 BD＝3∴PQ＝23a【答案】2a3【解析】PDF在△PCD中，EF綊又∵AB∥CD∴EFABABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?PAD，AF?PAD，∴BE【答案】7．(2015·山東濰坊質(zhì)檢，18，12分)P-ABCDa底面ABCD，側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于點(diǎn)E，且 6

ABFEF＝3＝解：PCDEG⊥PDG又CD⊥AD，BC⊥AB，又AB∥CD，∴EG∥AB.AFEG 6 3 a－3a＝3a，且△PBC ∴BC2＝CE·CP，∴CP＝3a－a又

FAF∶FB＝2∶1時(shí)，EF∠BAD＝90°，BC＝2AD，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別段

解：(1)ABCD 又∴ON ∴OM∵OM?OMN，ON?OMN∴MNO∥∴OM

＝2 ABCD∴AB＝∴△ABC的面積 ·BC＝M-ABC D(1)當(dāng)A1D1等于何值時(shí)，BC1D1(2)BC1DAB1D1，求AD解：(1)D1A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)D1DA1BAB1OA1ABB1OA1B在△A1BC1O，D1A1B，A1C1又∵OD1?AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1D∴當(dāng)A1D1＝1時(shí)，BC1D1(2)BC1DAB1D1A1BC1∩BC1D＝BC1A1BC1AB1D1＝D1O 又由題可知 ∴DC＝1，即 1．(2015·山東，18，12分，中)DEF-ABC中，AB＝2DE，G，HAC，BC的中證明：(1)DG，CDCD∩GF＝M在三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB＝2DE，GAC的中點(diǎn)，可得DF∥GC，DF＝GC，DFCG為平行四邊形．則M為CD的中點(diǎn)．HBC的中點(diǎn)，所以HM∥BD.BD∥DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點(diǎn)，HBEF為平行四邊形，可得BE∥HF.在△ABC中，GAC的中點(diǎn)，HBCFGH∥BD?ABED，所以BD∥平面FGH.(2)G，HAC，BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB.AB⊥BCHBCEFCHCF⊥BCHE，GH?EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.BC?BCD⊥2．(2015·課標(biāo)Ⅰ，18，12分，中)ABCD為菱形，GACBD的交點(diǎn)，BE3(2)若∠ABC＝120°，AE⊥ECE-ACD的體積為3解：(1)ABCD為菱形，所以AC⊥BD.BE⊥ABCDAC⊥BE.AC⊥AC?AECAEC⊥2(2)AB＝xABCD中，由∠ABC＝120AG＝GC＝2

222AE⊥ECRt△AECEG＝22BE⊥ABCD，知△EBGBE＝2由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE ·GD·BE＝

3＝

24 3AE＝EC＝ED＝所以△EAC3，△EAD的面積與△ECD的面積均為E-ACD3＋24，A1ABCBC的中點(diǎn)，DB1C1(2)A1BBB1C1C解：(1)EBCAE，A1E，DEA1EABCAB＝ACAE⊥D，EB1C1，BCDE∥B1BDE∥A1AAA1DE為平行四邊形．于是A1D∥AE.AE⊥A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)A1F⊥DEFBF，因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.BC⊥AEBC⊥BC⊥A1FA1F所以∠A1BFA1BBB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，EA＝EB＝A1EABC在Rt△A1EB中 A1B2－EB2＝DE＝BB1＝4，A1D＝AE＝2，∠DA1E＝90°，由1

·A1D＝1

·DEA1F＝8sin∠A1BF＝8

2A

2A 2(2)P-ABCDV1EBCD

解：(1)PD⊥ABCD，所以PD⊥BC.ABCDBC⊥CDPD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.DE?PCDPD＝CDEPCPC∩BC＝CDE⊥由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，EBCD是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.(2)由已知，PDP-ABCD

由(1)知，DE是鱉D-BCE

所以V2＝1 在Rt△PDC中，因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE＝CE＝ 1 1

2于是

【答案】 A選項(xiàng)中還可能m∥α或m與α相交或m?α；B選項(xiàng)中還可能m?α或m∥α或α相交；Dm∥αm?αmα2．(2011·大綱，8，易)已知直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)2 23 3

【答案】C 由題意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝2，故選C. (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)ABCDABCDABCD90ABCDABCD【解析】ABCD放置在如圖所示的長方體中，顯然命題①錯(cuò)誤；因?yàn)樗膫€(gè)面對(duì)應(yīng)的三角形的三邊分別對(duì)應(yīng)相等，即它們?yōu)槿鹊娜切危寓谡_；當(dāng)四面體ABCD為正四面體時(shí)，夾角之和等于180°，所以③錯(cuò)誤；因?yàn)槊拷M對(duì)棱中點(diǎn)的連線分別與長方體的棱平行，且都經(jīng)過長方體的中心，【答案】MMF⊥CF.(2)M-CDE解：(1)證明：∵PD⊥ABCD，PD?PCDPCD⊥PCD∩ABCD＝CD，MD?ABCD，MD⊥CD，∴MD∵CF?又∵CF⊥MF，MD，MF?MDF，MD∩MF＝M，∴CF(2)∵CF⊥又易知∴∠CDF＝30°，從而 1 3 3∴DE＝3，∴PE＝3 ·DE＝ 8 33 4－4 ＝

＝2∴VMCDE＝1 3 6 23×8×2＝165．(2014·課標(biāo)Ⅰ，19，12分，中)ABC-A1B1C1BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)OAOBB1C1C.(1)解：(1)BC1OB1CBC1BB1C1CAO⊥BB1C1CB1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.AB?ABO(2)OD⊥BCDADOH⊥ADBC⊥AODOH⊥BC.OH⊥ADOH⊥ABC.4所以△CBB1為等邊三角形．又BC＝1，可得OD＝4AC⊥AB1OA＝112B 由OH·AD＝OD·OA，且 OD2＋OA2＝7，得OH＝4OB1C7B1ABC的距離為7

147ABC-A1B1C1的高為7F，G，M，NPB，AB，BC，PD，PCEPB又 DCEH因此，CE∥平面PAD.FAB又 ，所以AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，E，F(xiàn)PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，CF∩EF＝FCEF∥又CE?平面CEF，(2)E，F(xiàn)PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.EF∩FG＝F，EF?EFG，F(xiàn)G?EFG，因此AB⊥平面EFG.M，NPD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.MN⊥MN?EFG⊥7．(2011·重慶，20，12分，中)ABCDACDABC，AB⊥BC，AC＝(1)ABCD(2)C-AB-D解：(1)DDE⊥ACACD⊥ABCACD∩∴DE∴DED-ABCCD 4－1＝ 2 1×15＝2DE，∴DE＝ 4Rt△ABC 4－1＝

3×1＝2ABCD2

15＝53×2× 8(2)EEF⊥ABF，由(1)DE⊥EF∩DE＝E，∴ABDEF，又DF?平面DEF，得DF⊥AB，4∴∠EFDC-AB-D的平面角．在Rt△ADE中，DE＝15，AD＝2，4 7

∴BC＝AC

AC

2 ＝在Rt△DEF中 4＝15＝

8＝2 8

4 1，DAA1(2)BDC1解：(1)BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝CBC⊥DC1?ACC1A1所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.DC∩BC＝CDC1DC1?BDC1BDC1(2)B-DACC1V

ABC-A1B1C1V＝1，BDC1CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，GPCGPCDGAPCGPCBGD，求PG解：(1)OAC，BDAB＝BC，AD＝CDBDAC∴OAC∴BDOG.由(1)OD⊥APCDGAPCOG，∴∠OGDDGAPC所成的角．在△ABC中， ＝＝2

＝在Rt△OCD中 ∵G，OPC，AC

＝2Rt△OGD中，tan∠OGD＝OD＝42 33∴DGAPC所成角的正切值為43∵PCBGD，OG?Rt△PACPC＝∴GC＝AC·OC＝2 5PG＝35 考向1 理(2014·重慶，20，12分)P-ABCDO為中心的菱形，PO 面 M為BC上一點(diǎn)，且3 MP⊥APP-ABMO【思路導(dǎo)引 (1)由余弦定理、勾股定理等知識(shí)先證OM⊥BM，再由線面垂直的判定定理證明PO，代入棱錐的體積求解【解析 (1)證明：如圖，連接ABCD為菱形，OπOB＝AB·sin∠OAB＝2sin62BM＝1，且2

＝3在△OBM

OB2＝OM2＋BM2PO⊥ABCDOM?POM，PO?POM，OM∩PO＝O，所以BC⊥平面POM.π(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2·cos6＝PO＝aPO⊥ABCD知，△POA為直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋3

AM.在△ABM中，AM＝AB＋BM－2AB·BM·cos∠ABM＝24MP⊥AP，故△APM

－2×2×2×cos3 a＝3，a＝－3舍去)PO＝ 2 2S 3 52×3×1＋2×2×2＝8P-ABMOVPABMO＝1·S四邊形 5

3＝5 3×8× 1.證明直線與平面垂直的一般步驟AD＝2，AA1＝3，ECD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BEBB1C1C；(2)B1EA1C1解：(1)BBF⊥CDFBF＝AD＝Rt△BFE中，BE＝Rt△CFB中，BC＝在△BECBE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.BB1ABCDBC∩BB1＝B，BC?BB1?BE⊥(2)E-A1B1C1

1·S△A1B1C1＝1111在Rt△A1D1C1中 AD2＋DC2＝311111同理 EC2＋CC2＝31 A1A2＋AD2＋DE2＝2S△A1C1E＝33B1EA1C1d，則三棱錐B1-A1C1E的體積V＝1·d·S△A1C1E＝5d，35從而5d＝2，d＝55B1EA1C1的距離為5考向2 理性 質(zhì)定理面求證：(1)PADEF；【思路導(dǎo)引】(1)利用三角形中位線的性質(zhì)找到線線平行，再運(yùn)用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行 (1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA.所以直線PA∥平面DEF.

DF＝5DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.AC∩EF＝E，AC?ABC，EF?ABC，所以DE⊥平面ABC.DE?BDE⊥1.面面垂直證明的兩種思路2．(2013·，17，14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中⊥AD，CD＝2ABPADABCD，PA⊥AD.EFCDPC的AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，AB∥DEABED為平行四邊形．所以BE∥AD.所以BE∥平面PAD.AB⊥ADABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.CD⊥EFCDPC的中點(diǎn)，所以PD∥EF.CD⊥BEF⊥考向 線面角、二面角的求1l⊥αl∥αl?αθ的范圍：0°≤θ≤90°.α-l-βθP-AD-BEFPBC【思路導(dǎo)引】(1)E，F(xiàn)PBMAMFE是平行【解析】(1)PBM因?yàn)镕為PC中點(diǎn)．MF∥BC又由于E為AD的中點(diǎn)，MF∥AEMF＝AE，AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM.所以EF∥平面PAB.(2)①PA＝PD，BA＝BDEAD的中點(diǎn)，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEBP-AD-B在△PADPA＝PD＝5，AD＝2在△ABDBA＝BD＝2，AD＝2在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，從而∠PBE＝90BE⊥BCBE⊥BE?ABCDPBC⊥②如圖，連接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFBEFPBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP為直角．而 ＝3，可得AM＝11，故EF＝ BE＝1Rt△EBF中，sin∠EFB＝BE＝2 EFPBC所成角的正弦值為21.求空間角的三個(gè)步驟(1)(2)成角的正弦值等于 3333C.23333

B.3【答案】 C1O∴∠CDO1Rt△COC1中，OC＝2，CC1＝4，OC1＝3

4 1．(2014·河北一模，4)設(shè)α，β分別為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成 A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D【答案】A “l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，選A. 【答案】BAAB，∵m⊥D，mnD錯(cuò)誤．3．(2015·河北衡水模擬，15)如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是 【解析】可采用兩個(gè)位置法，即F移到C點(diǎn)，t＝1，對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)∵CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，又CD＝2，BC＝1，∴BD＝3，又1，AB＝2，∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BDt＝1t的取值范圍是

4．(2015·山東青島一模，18，12分)ABCD＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，GFC的中點(diǎn)，MCDCM＝2.(1)證明：AFBDG；F-BMC解：(1)ACBDOOACOGGCF∴OG為△AFC∴AF∵BF＝CF＝BC＝2，GCF∵EF∥ABABCD∴EF∥DM.EFMD∴FM＝DE＝2，∴△FCM∵M(jìn)G∩BG＝G，∴CF∵CF?BGM⊥VFBMC＝VFBMG＋VCBMG＝1

由(2)GM＝BG＝3，BM＝2

22×1＝∴VFBMC＝2△BMG＝2 3MDABCD，PMN(2)N-AC-B解：(1)BDACOABCD，BDMN∴OBDPMN∴PNPNOD∴DP(2)BHACH∵M(jìn)D∴NB∴NB⊥AC，又HB⊥AC，HB∩NB＝B，∴ACHBN，∴∠NHBN-AC-B的平面角，在Rt△NBH中，NB＝1，

AC＝55 5 N-AC-B的余弦值為6．(2015·江門一模，18，13分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底(2)EPB上一點(diǎn)，記＝λBλPCADEλ的值；若解：(1)則 ＝＝2 PA2＋AC2＝又PA⊥底面ABCD，∴AD∵PC?(2)CCF⊥ABFPFCF⊥PC⊥ADECF⊥AE，∴AE依題意 在△PAE和△ABE中， PE＝3λ的值為 CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，EPC的中點(diǎn)．A-PD-C解：(1)P-ABCD∴CDAE?∵EPC由(1)知，AE⊥CD∴AEPCDPD?∵PAABCD，PDABCDAD，又PD⊥面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD.因此∠AMEA-PD-C的平面角．由已知，得∠CAD＝30°.設(shè)AC＝a，可得PA＝a，AD＝ ＝2

PA2＋AD2＝21，AE＝cos 3

3 2Rt△ADP

2 3 2 213

7Rt△AEM中，sin∠AME＝AE＝∴tan∠AME＝

故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角，由已知，可得∠CAD＝30PA＝a，AD＝23，PD＝21

，F(xiàn)D＝3 3

6

6 在

PD＝3

＝141 Rt△CFM中

＝144的等腰直角三角形，正(主)視圖為直角梯形．DEABDEQAQ⊥BQ解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于點(diǎn)F，連接AF，則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DEAB在△BAF中，∵AB＝4 2525

5DEAB所成角的余弦值為25(2)DEQAQ⊥BQ.BCOOOQ⊥DEQOD，OE，BQQ CE2＋CO2＝2 OB2＋BD2＝

25× OBCDE∵ACBCED，BQ?∴BQ⊥AC，∴BQ⊥∵AQ?(時(shí)間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分一、選擇題(12560分為：①長方形；②直角三角形；③圓；④橢圓．其中正確的是()A．①B．②C．③【答案】C(主)視圖與側(cè)(左)視圖應(yīng)該是全等的矩形，則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為 Bm⊥β，α⊥βm?αm∥α.?n?α，n⊥βn，βn∥β，①不圖(如圖所示)的面積為8，則側(cè)(左)視圖的面積為( 33 33【答案】C 以其側(cè)(左)視圖的面積為43.故選C. 【答案】 能與β相交，也可能在βCD，mnD錯(cuò)誤．5．(2015·河北衡水中學(xué)一模，8)已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為 【答案】 畫出該幾何體的直觀圖如圖所示OABOP，OC，OP＝1，△ABC且∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，AB＝AC2＋BC2＝2，OAB的中點(diǎn)，所以 OA＝OB＝OC＝OP＝1OP-ABC的外接球的球心，P-ABC1， A．l?α，m?βl⊥mC．m?α，n?β，m∥nl⊥m【答案】D 對(duì)于B，l?α，m?β，n?β，且l⊥m，l⊥n，如圖②，α，β不垂直；D，l?α，l∥mm⊥βl⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理知，α⊥β. 32 32【答案】 設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為r，由正四面體的體積相等可得 3 ×3×r×4 3

3 ＝3×4×6 6－3×2×6 ＝2所以 ＝2∴3a2＝(6)2，∴a＝

9長為3的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為 A. B. C. D.【答案】 如圖所示∵S△A1B1C1＝ ( 34 ＝4∴V＝3 4AA1＝PA1B1C1 31＝3A1D＝3×2×

＝PA1＝9．(2015·荊州一模，8)如果正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面積為42，則它的側(cè)面與底面所成 【答案】B 如圖，O為底面正方形的中心，據(jù)題意易得，該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面三角形PBC的高PE的長為2，因此正四棱錐的高PO＝PE2－OE2＝1.∵∠PEO的大小為側(cè)面與底面所成的(銳)∴側(cè)面與底面所成的(銳)和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：②△BACD-ABC