數(shù)值分析數(shù)值積分

數(shù)值分析數(shù)值積分第1頁/共69頁對f()采用不同的近似計算方法，從而得到各種不同的求積公式。第2頁/共69頁第3頁/共69頁以上三種方法都是用被積函數(shù)值的線性組合來表示積分值。推廣，一般地有求積節(jié)點求積系數(shù)，與被積函數(shù)無關(guān)像這樣，將積分用若干節(jié)點上被積函數(shù)值的線性組合來表示的數(shù)值積分公式稱為機械求積公式。求積誤差機械型求積公式的構(gòu)造歸結(jié)為，確定求積節(jié)點xk和求積系數(shù)Ak，使在某種意義下精確度較高。總之，要解決三個問題：精確度的度量標(biāo)準(zhǔn)；如何構(gòu)造具體的求積公式；具體求積公式構(gòu)造出來后，誤差如何估計？第4頁/共69頁定義：代數(shù)精度若某個求積公式對次數(shù)m階的多項式準(zhǔn)確成立，而對m+1

階的多項式不一定準(zhǔn)確成立。即對應(yīng)的誤差滿足：R[Pk

]=0對任意

k

m階的多項式成立，且R[Pm+1

]0對某個

m+1階多項式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為

m

。代數(shù)精度與誤差的關(guān)系：代數(shù)精度越高，求積誤差越小。結(jié)論：問題1第5頁/共69頁第6頁/共69頁由上面代數(shù)精度條件確定求積公式可分兩種情形：若事先給定求積節(jié)點xk(k=0,…,n),例如被積函數(shù)以表的形式給出時xk確定，可令m=n,由上式確定n+1個系數(shù)Ak即可----待定系數(shù)法和插值法。若xk和Ak都可選擇，令m=2n+1，確定xk和法Ak---Gauss法要使求積公式具有m階代數(shù)精度，則它對1,x,…,xm均準(zhǔn)確成立，即m+1個方程，2n+2個未知數(shù)問題2第7頁/共69頁Case1---方法1第8頁/共69頁第9頁/共69頁§1插值型求積

公式思路利用插值多項式

則積分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點

f(x)插值型積分公式/*interpolatoryquadrature*/誤差Case1---方法2第10頁/共69頁§1Newton-CotesFormulae例：對于[a,b]上1次插值，有考察其代數(shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=1第11頁/共69頁§1Newton-CotesFormulaeTh1.形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）第12頁/共69頁第13頁/共69頁當(dāng)節(jié)點等距分布時：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和i，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)?！?Newton--Cotes

公式Newton—Cotesformula第14頁/共69頁§1Newton-CotesFormulaen=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代數(shù)精度=1n=2:Simpson’sRule代數(shù)精度=3第15頁/共69頁n=4:CotesRule,代數(shù)精度=5,偶數(shù)階N-C公式具有n+1階代數(shù)精度n=3:Simpson’s3/8-Rule,代數(shù)精度=3,第16頁/共69頁對稱節(jié)點的系數(shù)相同Cotes公式是用不同節(jié)點的函數(shù)值（高度）的加權(quán)平均來近似區(qū)間的平均高度注：當(dāng)n8時，Cotes系數(shù)有負(fù)，造成公式不穩(wěn)定，因此常用低階Cotes公式。第17頁/共69頁證明：只需證明n為偶數(shù)時，N-C公式對f(x)=xn+1的余項R(f)=0即可。因f(n+1)(x)=(n+1)!,由余項公式得Th2.n為偶數(shù)時，

N-C公式至少具有n+1階代數(shù)精度。第18頁/共69頁注：當(dāng)n

為偶數(shù)時，Cotes公式具有n+1階精度，與n+1階Cotes公式精度相同，但少計算一個節(jié)點上的函數(shù)值，因此一般常用偶數(shù)階Cotes公式。第19頁/共69頁偶數(shù)階N-C公式具有n+1階代數(shù)精度N-C公式具有n階代數(shù)精度余項R=o(h

n+2)第20頁/共69頁第21頁/共69頁第22頁/共69頁第23頁/共69頁Hint：constructainterpolationpolynomialoforder5,H(x),satisfying

H(a)=f(a),H(b)=f(b),

H(k)((a+b)/2)=f(k)((a+b)/2).第24頁/共69頁HW:p.151-152#1-6第25頁/共69頁數(shù)值穩(wěn)定性的一般概念第26頁/共69頁N-C的穩(wěn)定性第27頁/共69頁第28頁/共69頁§3復(fù)合求積

/*CompositeQuadrature*/Haven’twehadenoughformulae?What’supnow?Ohcomeon,youdon’tseriouslyconsiderh=(ba)/2acceptable,doyou?Whycan’tyousimplyrefinethepartitionifyouhavetobesopicky?Don’tyouforgettheoscillatorynatureofhigh-degreepolynomials!Uh-oh高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。復(fù)合梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/第29頁/共69頁第30頁/共69頁§2CompositeQuadrature復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時，有第31頁/共69頁第32頁/共69頁§2CompositeQuadrature收斂速度與誤差估計：定義若一個復(fù)化積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。/*中值定理*/類似的，可得2階收斂4階收斂6階收斂第33頁/共69頁例1：計算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運算量基本相同第34頁/共69頁Q:給定精度，如何取n?例如：要求，如何判斷n=？上例中若要求，則即：取n=409第35頁/共69頁第36頁/共69頁第37頁/共69頁第38頁/共69頁第39頁/共69頁第40頁/共69頁§2CompositeQuadrature第41頁/共69頁事后誤差估計式，可用來判斷迭代是否停止。始步長h第42頁/共69頁第43頁/共69頁第44頁/共69頁0.510-2第45頁/共69頁§4龍貝格積分

/*RombergIntegration*/復(fù)化梯形公式算法簡單，但精度較差，收斂速度（2階收斂）較慢，如何提高收斂速度？第46頁/共69頁第47頁/共69頁注：按上面規(guī)律，可以構(gòu)造線性組合系數(shù)為的新的積分公式，但當(dāng)m4時，前一個系數(shù)接近于1，后一個系數(shù)接近于0，這樣構(gòu)造出的新公式與前一個公式結(jié)果差別不大，反而增加計算量，因此實際上常做到Romberg公式為止。第48頁/共69頁第49頁/共69頁第50頁/共69頁第51頁/共69頁第52頁/共69頁例：計算已知對于=106

須將區(qū)間對分9次，得到T512=3.14159202由來計算I

效果是否好些？考察=3.141592502=S4一般有：Romberg序列

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T第53頁/共69頁§3RombergIntegration

理查德森外推法/*Richardson’sextrapolation*/利用低階公式產(chǎn)生高精度的結(jié)果。設(shè)對于某一h

0，有公式T0(h)

近似計算某一未知值I。由Taylor展開得到：T0(h)I=1h+2h2+3h3+…i與h

無關(guān)現(xiàn)將

h對分，得：()()()...)(3232222120+++=-hhhhITaaaQ：如何將公式精度由O(h)提高到O(h2)？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：第54頁/共69頁§5高斯型積分

/*GaussianQuadrature*/構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的插值型求積公式令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1次代數(shù)精度。例：求的2點Gauss公式。解：設(shè)，應(yīng)有3

次代數(shù)精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。怎么辦？先求出Gauss點，則問題轉(zhuǎn)化為前面的問題，或者將方程組變?yōu)殛P(guān)于求積系數(shù)的線性方程組將節(jié)點x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。這樣的節(jié)點稱為Gauss點，公式稱為Gauss型求積公式。第55頁/共69頁§4GaussianQuadrature證明：“”x0…xn

為Gauss點,則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。對任意次數(shù)不大于n

的多項式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：0=0“”

要證明x0…xn為Gauss點，即要證公式對任意次數(shù)不大于2n+1

的多項式Pm(x)精確成立，即證明：設(shè)0

x0…xn

為Gauss點

與任意次數(shù)不大于n

的多項式P(x)（帶權(quán)）正交。定理求Gauss點

求w(x)第56頁/共69頁§4GaussianQuadrature正交多項式族{0,1,…,n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n

的多項式P(x)必與n+1

正交。若取w(x)為其中的n+1，則n+1的根就是Gauss點。再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：構(gòu)造正交多項式2設(shè)cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102200))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：第57頁/共69頁§4GaussianQuadratureStep2：求2=0

的2個根，即為Gauss點x0，x1Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解線性方程組，簡單。結(jié)果與前一方法相同：

利用此公式計算的值注：構(gòu)造正交多項式也可以利用L-S

擬合中介紹過的遞推式進行（P.102）。第58頁/共69頁§4GaussianQuadrature特殊正交多項式族：①

Legendre多項式族：1)(xr定義在[1,1]上，滿足：由有遞推以Pn+1的根為節(jié)點的求積公式稱為Gauss-Legendre

公式。②

Chebyshev多項式族：211)(xx-=r定義在[1,1