概率論課件大數(shù)定理與中心極限定理

概率論課件大數(shù)定理與中心極限定理第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五大數(shù)定律在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性.

大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性.

概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱(chēng)為大數(shù)定律（lawoflargenumber)第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.6.1切比雪夫（Chebyshev)不等式切比雪夫不等式

證明設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為則或定理4.3設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2,則對(duì)任意正數(shù)ε，有第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五證畢第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則則第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五而所以練一練設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率解

第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.6.2大數(shù)定律定義4.8

若存在常數(shù),對(duì)任意正數(shù)有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列依概率收斂于記為性質(zhì)設(shè)若在點(diǎn)連續(xù)，則第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理4.4（切比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均則對(duì)任意正數(shù)有即序列依概率收斂于第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）

定理4.5

設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)恒有

定理的應(yīng)用：可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理

定理4.6

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望及方差，則對(duì)于任意正數(shù)，恒有觀(guān)測(cè)量X在相同的條件下重復(fù)觀(guān)測(cè)n次，當(dāng)n充分大時(shí)，“觀(guān)測(cè)值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收斂于即n充分大時(shí)，——辛欽大數(shù)定理第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.6.3中心極限定理（Centrallimittheoem)客觀(guān)背景：客觀(guān)實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來(lái)，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。

概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱(chēng)為中心極限定理。第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五設(shè)相互獨(dú)立，且則當(dāng)定理4.7（李雅普諾夫定理）時(shí)，隨機(jī)變量的分布函數(shù)為第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理4.8獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿(mǎn)足如下極限式第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，不管服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例1

一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為20±0.1mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解設(shè)部件的總長(zhǎng)度為X，每部分的長(zhǎng)度為Xi（i=1,2,…,10)，則由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布即第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五續(xù)解則產(chǎn)品合格的概率為第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理4.9棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-Laplace)

定理設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意區(qū)間，恒有二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布即如果，則第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一般地，如果，則第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2

現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問(wèn)在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？解設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則所求概率為第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五續(xù)例種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時(shí)相應(yīng)的良種數(shù)落在哪個(gè)范圍？解設(shè)良種數(shù)為X，則設(shè)良種所占比例與1/6的差值為，則依題意有第21頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期五查表得此時(shí)有即第22頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期