專題31 特殊平行四邊形【考點(diǎn)精講】-【中考高分導(dǎo)航】備戰(zhàn)【2022年】中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總復(fù)習(xí)（全國通用）【有答案】

專題31特殊平行四邊形專題31特殊平行四邊形知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識精講知識精講考點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)與判定1．定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì):菱形的四條邊相等,兩條對角線互垂直平分,且每一條對角線平分一組對角.

3．判定方法:①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;

③四條邊都相等的四邊形是菱形.

4．設(shè)菱形對角線長分別為l1,l2,則S菱形=l1l2.【例1】（2021·廣東）下列命題中，為真命題的是（）（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】B【分析】正確的命題叫真命題，根據(jù)定義解答．【詳解】解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故（1）是真命題；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故（2）不是真命題；對角線相等的平行四邊形是矩形，故（3）不是真命題；有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故（4）是真命題；故選：B．【例2】（2021·遼寧）如圖，在中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)E，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明見詳解；（2）四邊形ACDE是菱形，理由見詳解．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可判定，即可得到，再根據(jù)CD∥AE，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形；（2）利用（1）的結(jié)論和平行四邊形的性質(zhì)可得AC=CD，由此即可判定是菱形．【詳解】（1）證明：在ABCD中，AB∥CD，∴，∵點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，∴，在與中，∵，，，∴，∴，又∵BE∥CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：由（1）知四邊形ACDE是平行四邊形，，∵，∴，∴四邊形ACDE是菱形．

方法技巧方法技巧菱形的證明方法（三種）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的任一組鄰邊相等.②先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對角線互相垂直.③證明四邊形ABCD的四條邊相等.針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·四川成都市·中考真題）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，添加以下條件不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【詳解】解:∵四邊形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故選項(xiàng)A可以；B.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(AAS)；故選項(xiàng)B可以；C.添加不可以，條件是邊邊角故不能判定；故選項(xiàng)C不可以；D.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故選項(xiàng)D可以；故選擇C．2．（2021·遼寧鞍山）如圖，在中，G為BC邊上一點(diǎn)，，延長DG交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作交CD的延長線于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】見解析【分析】先證四邊形AEDF是平行四邊形，再證，則，即可得出結(jié)論．【解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，四邊形AEDF是平行四邊形，，，，，，，平行四邊形AEDF是菱形．3．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若，，求菱形AOBE的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）【分析】（1）根據(jù)BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到OA=OB，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底×高，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解析】解：（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OB，∴四邊形AOBE是菱形；（2）解：作BF⊥OA于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，AC=4，∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OB=2，∵∠AOB=60°，∴BF=OB?sin∠AOB=，∴菱形AOBE的面積是：OA?BF==．考點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)與判定1．定義:有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì):矩形的對角線互相平分且相等,四個角都是直角.

3．判定方法:①有三個角是直角的四邊形是矩形;

②對角線相等的平行四邊形是矩形;

③有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

4．設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,則S矩形=ab.【例3】（2021·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，設(shè)，則在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故選D.【例4】（2021·青海西寧·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)O，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求矩形的周長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用全等三角形性質(zhì)和菱形對角線互相垂直平分，證四邊形是矩形；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得出，，由含30度直角三角形的性質(zhì)求出OB，即可求解．【解析】（1）證明：∵△BOC?△CEB．∴，（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∵四邊形是菱形，∴（菱形的兩條對角線互相垂直）∴∴四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）∵四邊形是菱形，，，∴（菱形的四條邊相等），∵∴在中，（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半），∴矩形的周長．方法技巧方法技巧矩形的證明方法（三種）①先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的任意一個角為直角.②先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對角線相等.③證明四邊形ABCD的三個角是直角.針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)CE=x，則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【詳解】解：設(shè)CE=x，則BE=3-x，由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，2．（2021·貴州畢節(jié)）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，M是BC上的點(diǎn)，且．將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為MN，則線段PA的長是（）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】連接PM，證明即可得到，PA=5．【解析】連接PM∵矩形紙片ABCD中，，，∴∵∴∵折疊∴,∴∵PM=PM∴∴∴故選B．3．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：DE=BF．【答案】證明見試題解析．【分析】由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF．考點(diǎn)3：正方形的性質(zhì)與判定1．正方形的定義：有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形.2．正方形的性質(zhì)（1）正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).（2）正方形的四個角都是直角，四條邊相等.

（3）正方形的對角線相等且互相垂直平分.

3．正方形的判定方法（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

（2）對角線互相垂直的矩形是正方形.

（3）有一個角是直角的菱形是正方形.

（4）對角線相等的菱形是正方形.

4．平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的聯(lián)系【例5】（2021·四川瀘州市）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則AGF的面積是________．【答案】．【分析】延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，先證明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再證△ABG∽△MFG，則利用相似比可計算出GN，再利用兩三角形面積差計算S△DEG即可．【詳解】解：延長AG交DC延長線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，如圖，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（ASA），∴AB=MC=4，∵CF=3DF，CF+DF=4，∴DF=1，CF=3，F(xiàn)M=FC+CM=3+4=7，∵AB∥MF，∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，∴△ABG∽△MFG，∴，∵，∴，S△AFG=S△AFB-S△AGB=，故答案為．【例6】（2021·甘肅蘭州）已知正方形，，為平面內(nèi)兩點(diǎn)．（探究建模）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時，，且，，三點(diǎn)共線．求證：；（類比應(yīng)用）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時，，，且，，三點(diǎn)共線．猜想并證明線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（拓展遷移）（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時，，，，且，，三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；理由見解析（3）【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)以及題意證明即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件證明，然后證明為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；（3）先證明，得出為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長度，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∵四邊形是正方形，，，三點(diǎn)共線，∴,∵，∴，∴,在和中，,∴,∴;（2）∵，四邊形是正方形，∴,,∴,∵，，∴,∴,在和中，,∴,∴,∴為等腰直角三角形，∴,即；（3）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接BD，∵，∵，∴，∵,∴，在和中，,∴,∴，，∵且,∴為等腰直角三角形，∴，在中，,∴,∵是正方對角線，∴,∵∴,∴為等腰直角三角形，∴,∴在中，,∴．方法技巧方法技巧正方形的證明方法（四種）（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的一個角為直角且有一組鄰邊相等.（2）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明平行四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等.（3）先證明四邊形ABCD為矩形，再證明矩形ABCD的一組鄰邊相等（或?qū)蔷€互相垂直）.（4）先證明四邊形ABCD為菱形，再證明菱形ABCD的一個角為直角（或?qū)蔷€相等）.正方形的性質(zhì)（四種）（1）正方形的四條邊相等，對角線相等且互相平分；（2）正方形的面積等于對角線乘積的一半；（3）正方形既具有矩形的全部性質(zhì)，又具有菱形的全部性質(zhì)．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，，，則的長是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)得出，，由證得，即可得出答案．【解析】解：四邊形是正方形，，，∵在中，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：（負(fù)值舍去），，，，，，，，，．故選：．2．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，，，則AF的長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作的垂線分別交于,由，證明，設(shè)，根據(jù)，求得，在中，利用勾股定理即可求得．【解析】如圖，過作的垂線分別交于，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是正方形，，，，在和中，（AAS），，設(shè)，則，，即，解得，，四邊形是正方形，，，，．故選B3．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則，你認(rèn)為其中正確是_____（填寫序號）【答案】①②③④【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據(jù)等式的基本性質(zhì)確定出；②