2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題培優(yōu)學(xué)案專題4一線三等角模型（教師版）

專題4一線三等角模型解題策略解題策略在直線AB上有一點P，以A，B，P為頂點的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一條邊在直線AB上，另一條邊在AB同側(cè)，∠3兩邊所在的直線分別交∠1，∠2非公共邊所在的直線于點C，D．1．當(dāng)點P在線段AB上，且∠3兩邊在AB同側(cè)時．（1）如圖，若∠1為直角，則有△ACP∽△BPD．（2）如圖，若∠1為銳角，則有△ACP∽△BPD．2．當(dāng)點P在AB或BA的延長線上，且∠3兩邊在AB同側(cè)時．如圖，則有△ACP∽△BPD．3．當(dāng)點P在AB或BA的延長線上，且∠3兩邊在AB異側(cè)時．如圖，則有△ACP∽△BPD．經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D，E．求證：DE=BD+CE．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若S△AEG=7，則【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAE∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，∠GIN=∠EIMEM=GN∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點．∴S△AEI=12S△AEG故答案為：3.5．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如圖1，當(dāng)α=90°時，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)0<α<180°時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，∠BAC是鈍角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直線m與CB的延長線交于點F，若BC=3FB，△ABC的面積是12，求△FBD與△ACE的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝12BC?h＝12，S△ABF＝12BF?∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【例3】．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中∠B=∠C=30°，∠DEF=30°，且點E為邊BC的中點．將∠DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，連結(jié)PQ．(1)如圖1，當(dāng)點Q在線段CA上時，①求證：△BPE∽△CEQ；②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)當(dāng)△APQ為等腰三角形時，求CQBP【答案】(1)①見解析，②BE2=BP·CQ(2)1或3【分析】（1）①推導(dǎo)角度關(guān)系可得∠CEQ=∠BPE，結(jié)合∠B=∠C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得BECQ=BPCE，結(jié)合（2）Q點可能在線段CA上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結(jié)合（1）中的相似三角形即可得出結(jié)果．(1)解：①∵∠DEF=30°，∠B=30°，∴∠BED+∠CEQ=150°，∠BED+∠BPE=150°∴∠CEQ=∠BPE，∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CEQ；②BE2=BP·CQ，理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴BECQ∴BE·CE=BP·CQ∵點E為邊BC的中點，∴BE=CE，∴BE2=BP·CQ；(2)解：①當(dāng)點Q在線段AC上時，∵∠A=180°-∠B-∠C=120°，為鈍角，∴△APQ為等腰三角形時有AP=AQ，∵∠B=∠C，∴AB=AC，∴BP=CQ，∴CQBP②當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，如圖：連接PQ∵∠BAC=120°，∴∠BAQ=60°，當(dāng)△APQ為等腰三角形時，有△APQ為等邊三角形設(shè)AB=AC=2a，則BC=23aBE=CE=3a，設(shè)AQ=AP=x，則CQ=2a+x，BP=2a-x，由（1）得∶BE2=BP·CQ∴(3a)2=(2a+x)(2a-x)，解得∶x=a，∴BP=a，CQ=3a，∴CQ綜上CQBP【點睛】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時．①請說明△ADC≌△CEB的理由；②請說明DE=AD+BE的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證明．(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等量關(guān)系：________．【答案】(1)①理由見解析；②理由見解析(2)DE=AD?BE，證明見解析(3)DE=BE?AD【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個圖形中證明AD、EB、DE之間的關(guān)系．(1)解：①∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠BEC∠DAC=∠BCE∴△ADC≌△CEB，②∵△ADC≌△CEB，∴AD=EC，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+EB=DE，(2)結(jié)論：DE=AD?BE，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=EC，CD=BE，∴DE=EC?CD=AD?EB，(3)結(jié)論：DE=BE?AD，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC=∠DEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠BEC∴△ADC≌△CEB，∴AD=EC，CD=BE，∴DE=CD?EC=EB?AD．【點睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運用“一線三垂直”模型是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ΔADB≌（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，得出∠CAE=∠ABD，然后問題可求證；（3）由題意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，由（1）（2）易證ΔADB≌ΔCEA，則有AE=BD，然后可得∠FBD=∠FAE【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在ΔADB和Δ∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴Δ解：（2）成立，理由如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，∴∠CAE=∠ABD，∵在ΔADB和Δ∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴Δ（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?120°，∴∠CAE=∠ABD，∴ΔADB≌∴AE=BD，∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE，∴∠FBD=∠FAE，∴ΔDBF≌∴FD=FE,∠BFD=∠AFE，∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°，∴△DFE是等邊三角形．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因為ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當(dāng)點P為BC中點時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．【答案】感知：（1）AEDE；應(yīng)用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAP=∠CPD，即可求證；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BCAE∴BCAC故答案為：AEDE應(yīng)用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，點P為BC中點，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴ABPC=BP解得：CD=3.6；拓展：（3）當(dāng)PA=PD時，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；當(dāng)AP=AD時，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合題意，∴AP≠AD；當(dāng)DA=DP時，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴BCAC=AC解得：CP=25∴BP=BC?CP=12?25綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時，BP的長為2或113【點睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺·七年級期末）問題背景：（1）如圖①，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D，E，易證：DE=______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實際應(yīng)用：如圖③，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標(biāo)為?2,0，點A的坐標(biāo)為?6,3，請直接寫出B點的坐標(biāo)．【答案】（1）BD；CE；證明見詳解；（2）DE=BD+CE；證明見詳解；（3）點B的坐標(biāo)為B(1,4【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（3）根據(jù)△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE?OC=4，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE，即：DE=BD+CE，故答案為：BD；CE；（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE，證明：在△ABD中，∠ABD=180°?∠ADB?∠BAD，∵∠CAE=180°?∠BAC?∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∴△ABD≌△CAE，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如圖，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，由（1）可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE?OC=4，∴OF=CF?OC=1，∴點B的坐標(biāo)為B(1,4【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江·義烏市繡湖中學(xué)教育集團八年級階段練習(xí)）（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線y＝34x+3與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣5上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）y=?17x+3；（3）(3,1)或【分析】（1）由條件可求得∠EBC=∠ACD，利用AAS可證明△BEC≌△CDA；（2）由直線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，利用模型結(jié)論可得CE=BO，BE=AO，從而可求得C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；（3）分兩種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD，設(shè)D點坐標(biāo)為(x,2x?5)，利用三角形全等得到11?2x+x=8，易得D點坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時，AP=PD，設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,m)，表示出D點坐標(biāo)為(14?m,m+8)，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD時，同理求出D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題意可得，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠ACD，在△BEC和△CDA中∠EBC=∠ACD∠E=∠D∴△BEC≌△CDAAAS（2）過點C作CD⊥x軸于點D，如圖2，在y=34x+3中，令y=0可求得x=?4，令x=0∴OA=3，OB=4同（1）可證得△CDB≌△BOA，∴CD=BO=4，BD=AO=3，∴OD=4+3=7，∴C?7,4且A設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，把C點坐標(biāo)代入可得?7k+3=4，解得k=?1∴直線AC解析式為y=?1（3）如圖2，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD，過點D作DE⊥OA于E，過點D作DF⊥BC于F，同理可得：△AED≌△DFP設(shè)D點坐標(biāo)為(x,2x?5)，則AE=DF=6?(2x?5)=11?2x，∵DE+DF=EF=BC，即11?2x+x=8，解得x=3，可得D點坐標(biāo)(3,1)；如圖3，當(dāng)∠APD=90°時，AP=PD，過點P作PE⊥OA于E，過點D作DF⊥PE于F，設(shè)點P的坐標(biāo)為8,m，同理可得：△APE≌△PDF，∴PF=AE=6?m，DF=PE=8，∴D點坐標(biāo)為14?m,m+8，∴m+8=214?m?5，得∴D點坐標(biāo)(9，如圖4，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD時，同理可得△ADE≌△DPF，設(shè)D(n,2n?5)，則DE=PF=n，OE=2n?5，AE=DF則DF=AE=2n?5?6=2n?11，∵DE+DF=EF=OC=8∴n+2n?11=8，解得n=193∴D點坐標(biāo)(19綜上可知滿足條件的點D的坐標(biāo)分別為(3,1)或(9，13)或【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．6．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長”，請直接寫出此題答案：（2）探索證明：如圖②，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到ΔACF與ΔBDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，{∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB=AC∴△ABE≌△CAF，∴S∴ΔACF與ΔBDE的面積之和等于ΔABE與Δ∵CD=2BD，△ABD與△ACD的高相同則S△ABD故ΔACF與Δ故答案為：5．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：∴∠DAH+∠ADH=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAH=90°，∴∠BAF=∠ADH，∵BC⊥AF，∴∠BFA=∠AHD=90°，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴∠DHG=∠EQG=90°，∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點G是DE的中點；（3）S1=S2，理由如下：如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴S△AOD=S△DMC，同理可以證明△FOD≌△DNE，∴S△FOD=S△DNE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴S△ENP∵S△ADF∴S△DCE∴S△DCE=S【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．8．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）【答案】（1）①證明見解析，②EF＝AE+BF；證明見解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【分析】（1）①根據(jù)∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等證明∠EAC＝∠FCB即可；②根據(jù)AAS證△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）類比（1）證得對應(yīng)的兩個三角形全等，求出線段之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；證明：在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①當(dāng)AD＞BD時，如圖①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直線，同理可證∠BCF＝∠CAE（同為∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直線即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②當(dāng)AD＜BD時，如圖②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直線，同理可證∠CBF＝∠ACE（同為∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直線，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【點睛】本題考查了三角形綜合題，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系．9．（2021·四川達(dá)州·九年級期中）模型探究：（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：BE=CD；模型應(yīng)用：（2）已知直線l1:y=2x+4與坐標(biāo)軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至直線l（3）如圖3，已知點A、B在直線y=12x+4上，且AB=42．若直線與y軸的交點為M，M為AB中點．試判斷在x軸上是否存在一點C，使得【答案】（1）見解析；（2）y=?12【分析】（1）證明△ACD≌（2）設(shè)點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點C，過點C作CD⊥x軸于點D，根據(jù)（1）求出C的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入解析式即可求出答案；（3）先求出點M0,4，得到OM=4，假設(shè)存在這樣的點C，利用反證法根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到MC=【詳解】（1）證明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=180°?90°=90°，又∵∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD與△CBE中，∠D=∠E∠ACD=∠EBC∴△ACD≌∴CD=BE；（2）設(shè)點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點C，過點C作CD⊥x軸于點D，由（1）可知：△ACD≌∴CD=AO，AD=OB，∵l1當(dāng)x=0時，y=4，∴點B0,4當(dāng)y=0時，2x+4=0，x=?2，∴點A?2,0∴CD=AO=2，AD=OB=4，∴OD=OA+AD=6，∴C?6,2設(shè)l2的解析式為y=kx+b，把A、C?2k+b=0?6k+b=2，解得k=?∴l(xiāng)2的解析式：y=?（3）不存在．理由：當(dāng)x=0時，y=4，∴點M0,4∴OM=4，假設(shè)存在這樣的點C，∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴點C在AB的垂直平分線與x軸的交點處，∠ACB=90°又∵M(jìn)A=MB，∴MC=1∴假設(shè)不成立，即不存在這樣的點C．【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反證法，熟記全等三角形的判定定理及反證法的論證方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，線段AB=6，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊做正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E，使得∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合），（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）△AEF的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）CF⊥AB，理由見解析；（3）是，為16．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DP平分∠APC，PC=PA，求得∠APD=∠CPD=45°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△AEP≌△CEP（SAS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAP=∠ECP，求得∠BAP=∠FCP，根據(jù)垂直的定義得到CF⊥AB；（3）過點C作CN⊥PB．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CN=PB=BF，PN=AB，推出AE=CE，于是得到△AEF的周長．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC=PA，∠APC=90°，∴∠APE=∠CPE=45°，在△AEP與△CEP中，AP=CP∠APE=∠CPE∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP，∵∠EAP=∠BAP，∴∠BAP=∠FCP，∵∠APC=90°，∴∠FCP+∠CMP=90°，∵∠AMF=∠CMP，∴∠AMF+∠PAB=90°，∴∠AFM=90°，∴CF⊥AB；（3）過點C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴∠PNC=∠B=90°，F(xiàn)C∥BN，∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，又AP=CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN=PB=BF，PN=AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE=CE，∴△AEF的周長=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16．故△AEF的周長是否為定值，為16．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，其中（3）中證明△PCN≌△APB（AAS）是本題的關(guān)鍵．11．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDE＝115°時，∠BAD＝°，點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于多少時，△ADE是等腰三角形．【答案】（1）65°，大；（2）DC=2；（3）30°或60°．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和計算即可求出∠BAD，由點的運動方式即可得出∠BAD逐漸變大；（2）先求出∠ADB=∠DEC，再由∠B=∠C，AB=DC=2，即可得出△ABD?△DCEASA（3）分兩種情況AD=DE或AE=DE討論即可．【詳解】解：（1）∵∠BDE=115°，∠ADE＝40°,∴∠BDA=∠BDE?∠ADE=115°?40°=75°，∴∠BAD=180°?∠B?∠BDA=180°?75°?40°=65°，當(dāng)點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變大．故答案為：65°，大；（2）當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB＝AC＝2，∠B＝40°∴∠C=∠B=40°，∵∠ADE=40°，又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠EDCAB=DC∴△ABD?△DCEASA（3）當(dāng)∠BAD得度數(shù)為30°或60°時，△ADE是等腰三角形．理由如下：∵∠C=∠B=40°，∴∠BAC=180°?∠C+∠B∵∠ADE=∠C=40°，∠AED>∠C，∴△ADE為等腰三角形時，只能是AD=DE或AE=DE，當(dāng)AD=DE時，∠DAE=∠DEA=1∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=100°?70°=30°，當(dāng)EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠AED=180°?40°?40°=100°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=100°?40°=60°，綜上所述，當(dāng)∠BAD得度數(shù)為30°或60°時，△ADE是等腰三角形．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強．12．（2022·重慶江北·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(a,0)、B(0,b)分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．（1）如圖1，若a、b滿足(a?4)2+b?3=0，以B為直角頂點，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角（2）如圖2，若a=b，點D是OA的延長線上一點，以D為直角頂點，BD為直角邊在第一象限作等腰直角△BDE，連接AE，求證：∠ABD=∠AED；（3）如圖3，設(shè)AB=c，∠ABO的平分線過點D2,?2，直接寫出a?b+c【答案】（1）點C的坐標(biāo)是3,7；（2）見解析；（3）a?b+c=4【分析】（1）根據(jù)偶次冪的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性得出a,b的值，過點C作CD⊥y軸于點D，然后證明△OAB≌△DBC，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）過點E作EM⊥x軸于點M，根據(jù)題意證明△OBD≌△MDE(AAS)，在△ABN和△DNE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，先證明△FBD≌△KBD(AAS)可得BK＝BF＝b＋2，然后證明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a?2，進(jìn)一步可得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵(a?4)2∴a=4,b=3，∴OA=4,OB=3，過點C作CD⊥y軸于點D，∵△ABC為等腰直角三角形，∴BA=BC,∠ABC=90°，∴∠CBD+∠ABO=90°,∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，在△BAO和△CBD中，∠CBD=∠BAO∠CDB=∠BOA∴△BAO≌△CBD(AAS),∴OA=DB=4,CD=BO=3,∴OD=OB+BD=3+4=7，∴點C的坐標(biāo)是3,7；（2）證明：過點E作EM⊥x軸于點M，依題意有，∵△BDE為等腰直角三角形，∴BD=DE，∠BDE=90°，∴∠BDO+∠EDM=90°，∵∠EDM+∠MED=90°，∴∠ODB=∠MED，在Rt△OBD和Rt△MDE中，BD=DE∠ODB=∠MED∴△OBD≌△MDE(AAS)，∴OB=DM，OD=ME，又a=b，即OA=OB，∴AM=AD+DM=AD+OB=AD+OA=OD=ME，∴∠EAM=45°，即BA⊥AE，又BD⊥DE，設(shè)BD與AE相交于點N，∴在△ABN和△DNE中，∠BAN=∠EDN=90°，∠ANB=∠DNE，∴∠ABD=∠AED；（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，則DF＝DH＝2，∵BD平分∠ABO，DF⊥y軸，DK⊥BA，∴DF＝DK＝2，∵∠BFD=∠BKD=90°，∠FBD=∠KBD,BD=BD，∴△FBD≌△KBD(AAS),∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，在Rt△DAH和Rt△DAK中，DH=DKDA=DA∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）∴AK＝AH＝a?2，∴BK＝c＋a?2，∴c＋a?2＝b＋2，∴a?b＋c＝4．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，偶次方與算數(shù)平方根的非負(fù)性的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．13．（2021·湖北·咸寧市第三初級中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，點A、B分別在x軸、y軸上．（1）如圖①，若點C的橫坐標(biāo)為5，求點B的坐標(biāo)；（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點M，過點C作CD⊥x軸于點D，求CDAM（3）如圖③，若點A的坐標(biāo)為?4,0，點B在y軸的正半軸上運動時，分別以O(shè)B、AB為邊在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于點P，當(dāng)點B在y軸上移動時，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變求PB的值；若變化，求PB的取值范圍．【答案】（1）（0，5）（2）12【分析】（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；（2）設(shè)AB＝BC＝a，根據(jù)勾股定理求出AC＝2a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到BMMC=ABAC=22，求得BM＝（2?1）a，MC＝（2?2）a，AM＝4?22a，再證明Rt△ABM∽Rt△（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝12AO【詳解】解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∠BOA=∠BDC=90°∠CBD=∠BAO∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝BO＝5，∴B點坐標(biāo)（0，5）；（2）設(shè)AB＝BC＝a，則AC＝2a，∵M(jìn)A（即x軸）平分∠BAC，∴BMMC即MC＝2BM，∵BC＝BM＋MC＝a，∴BM＋2BM＝a，解得BM＝（2?1）a，MC＝（2?2）a則AM＝AB2+BM∵∠ABM＝∠CDM＝90°且∠AMB＝∠CMD∴Rt△ABM∽Rt△CDM，∴ABCD=AMCM，即∴CDAM（3）PB的長度不變，理由如下：如圖3，作EG⊥y軸于G，∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，∴∠BAO＝∠EBG，在△BAO和△EBG中，∠AOB=∠BGE=90°∠BAO=∠EBG∴△BAO≌△EBG（AAS），∴BG＝AO，EG＝OB，∵OB＝BF，∴BF＝EG，在△EGP和△FBP中，∠EPG=∠FPB∠EGP=∠FBP=90°∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB＝PG，∴PB＝12BG＝12【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關(guān)鍵．14．（2022·江西·豐城九中七年級期末）綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B兩點的坐標(biāo)（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點的坐標(biāo)（3）已知AB＝10，試探究在x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，P1(1?10,0)【分析】（1）由平方數(shù)和絕對值的非負(fù)性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，從而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B兩點的坐標(biāo)．（2）過點Ｃ向x軸作垂線，垂足為D，結(jié)合已知條件可構(gòu)造一線三等角模型，即可證明ΔAOB?ΔBDC，則CD=OB=1，BD=OA=3，易得點C的坐標(biāo)．（3）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，則需分兩種情況討論：①BP=BA＝10，則P在B的左側(cè)，P1?10,0；P在B右側(cè)，P1+10【詳解】解：（1）∵a、b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，∴A（0，3）、B（1，0）；（2）如圖，過點C向x軸作垂線，垂足為D，則∠AOB=∠ABC=∠BDC＝90°，∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2在ΔAOB和ΔBDC中，∵∠AOB=∠BDC∴ΔAOB?ΔBDC∴CD=0B=1，BD=OA=3，∴C（4，1）．（3）若AB為腰，則分兩種情況討論：①當(dāng)BP=BA＝10若P在B的左側(cè)，則OP=BP?OB=10?1，∴若P在B的右側(cè)，則OP=OB+BP=1+10，∴P②當(dāng)AP=AB=10∵AO⊥BP，∴由等腰三角形三線合一可知OP=OB=1，∴P?1,0綜上所述，存在P1(1?10,0)，【點睛】本題考查點的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握一線三等角證全等及等腰三角形的存在性的方法為解題關(guān)鍵．15．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．（1）當(dāng)∠BDA＝105°時，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點D從點B向點C運動時，∠BDA逐漸變．（填“大”或“小”）（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE？請說明理由．（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）35°，105°，小；（2）2，理由見解析；（3）110°或80°【分析】（1）根據(jù)已知條件，三角形內(nèi)角和定理和平角的定義，可得∠BAD=∠EDC，∠ADB=∠DEC，進(jìn)而可得∠EDC，∠DEC，根據(jù)題意，可得當(dāng)點D從點B向點C運動時，∠BAD逐漸變大，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得∠BDA逐漸變小；（2）由（1）可得∠BAD=∠EDC，∠ADB=∠DEC，只要DC=AB,即可證明△ABD≌△DCE，進(jìn)而可得DC；（3）根據(jù)題意，分∠ADE為頂角和底角兩種情況討論，進(jìn)而計算∠BDA的度數(shù)．【詳解】（1）∵∠B=∠C=40°，∠ADE=40°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?40°?40°=100°，∵∠ADB+∠EDC=180°?∠ADE=140°，∠ADB+∠BAD=180°?∠B=140°，∠DEC+∠EDC=180°?∠C=140°，∴∠BAD=∠EDC，∠ADB=∠DEC，∴當(dāng)∠BDA＝105°時，∴∠EDC＝∠BAD=180°?∠ADB?∠B=180°?105°?40°=35°，∠DEC＝∠ADB=105°；當(dāng)點D從點B向點C運動時，∠BAD逐漸變大，∵∠BDA=180°?∠B?∠BAD=140°?∠BAD,則∠BDA逐漸變小，故答案為：35°，105°，?。唬?）∵∠BAD=∠EDC，∠ADB=∠DEC，當(dāng)DC=AB=2時，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴DC=2，（3）△ADE的形狀可以是等腰三角形，∠BDA=110°或80°，∵∠B=∠C=40°，∴∠BAC=180°?40°?40°=100°，①當(dāng)DA=DE時，∠DAE=∠DEA=1∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=100°?70°=30°，∴∠BDA=180°?∠B?∠BAD=180°?40°?30°=110°；②當(dāng)EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°,∠DEA=180°?40°?40°=100°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAE=100°?40°=60°，∴∠BDA=180°?∠B?∠BAD=180°?40°?60°=80°，③當(dāng)AE=AD時，∠ADE=∠DEA=40°,∠DAE=180°?40°?40°=100°，∵∠BAC=100°，∴此時D點與B點重合，由題意可知點D不與點B、C重合，∴此種情況不存在，綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA=110°或80°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，分了他了是解題的關(guān)鍵．16．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)九年級開學(xué)考試）在正方形ABCD中，點E在射線CB上（不與點B，C重合），連接DB，DE，過點E作EF⊥DE，并截取EF=DE（點D，F(xiàn)在BC同側(cè)），連接BF．（1）如圖1，點E在BC邊上．①依題意補全圖1；②用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點E在CB邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②BD=2BE+BF，見解析；（2）【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②過點F作FH⊥CB，交CB的延長線于H．證明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解決問題即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解（1）①圖形如圖所示．②結(jié)論：BD=2理由：過點F作FH⊥CB，交CB的延長線于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB=6，∠C=90°，∵∠DEF=∠C=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEH=∠EDC，在ΔDEC和ΔEFH中，∠H=∠C=90°∠FEH=∠EDC∴ΔDEC?ΔEFH(AAS)，∴EC=FH，CD=BC=EH，∴BH=EC=FH，∵BD=2（2）結(jié)論：2BE=BF?BD理由：過點F作FH⊥CB，交CB于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB，∠ACB=90°，∵∠DEF=∠ACB=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEH=∠EDC，在ΔDEC和ΔEFH中，∠FHE=∠DCE=90°∠FEH=∠EDC∴ΔDEC?ΔEFH(AAS)，∴EC=FH，CD=BC=EH，∴HB=EC=HF，∴ΔDCB和ΔBHF都是等腰直角三角形，∴BD=2BC=2∵BE=EC?BC，∴2BE=∴2BE=∴2BE=BF?BD【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在綜合實踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開展數(shù)學(xué)活動．已知，在等腰△ABC紙片中，CA=CB=5，∠ACB=120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點P在線段BA上滑動（點P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C，并與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點D．（1）當(dāng)∠BPC=100°時，α=______°；（2）當(dāng)AP等于何值時，△APD≌△BCP？請說明理由；（3）在點P的滑動過程中，存在△PCD是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角α的大小；若不存在，請說明理由．【答案】（1）50；（2）AP=5時，△APD≌△BCP，理由見詳解；（3）當(dāng)α＝45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形【分析】（1）先求出∠B=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)CA＝CB，且∠ACB度數(shù)，求出∠A與∠B度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到α＝∠APD，根據(jù)AP＝BC，利用ASA即可得證；（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng)PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分別求出夾角α的大小即可．【詳解】解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，∵∠BPC=100°，∴α=180°-100°-30°=50°，故答案是：50；（2）當(dāng)AP＝5時，△APD≌△BCP，理由為：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一個外角，∴∠APC＝∠B＋α＝30°＋α，∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD，∴α＝∠APD，又∵AP＝BC＝5，∴△APD≌△BCP；（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形，則∠PCD＝120°?α，∠CPD＝30°，PC＝PD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝（180°?30°）÷2＝75°，即120°?α＝75°，∴α＝45°；②當(dāng)PD＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°?α＝30°，∴α＝90°；③當(dāng)PC＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°?2×30°＝120°，即120°?α＝120°，∴α＝0°，此時點P與點B重合，點D和A重合，綜合所述：當(dāng)α＝45°或90°或0°時，△PCD是等腰三角形．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18．（2021·河南·舞陽縣教研室八年級期中）如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點B坐標(biāo)為（0，2），點C坐標(biāo)為（6，0）．（1）過點A作AD⊥x軸，求OD的長及點A的坐標(biāo)；（2）連接OA，若Р為坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點A的點，且以O(shè)、P、C為頂點的三角形與△OAC全等，請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo)；（3）已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點Q，使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）OD＝8，點A的坐標(biāo)（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）【分析】（1）通過證明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的長，進(jìn)而即可得到A的坐標(biāo)；（2）分三種情況：①作△OAC關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP1C；作△OAC關(guān)于直線x=3的對稱圖形得到△OP2C；③作△OP2C關(guān)于x軸的對稱圖形得到△OP3C，分別求解，即可；（3）分三種情況