解三角形題中的邊及的轉(zhuǎn)化策略

舒云水感謝閱讀感謝閱讀感謝閱讀角形題中的邊與角轉(zhuǎn)化的常見(jiàn)策略﹒一、將角的正（余）弦關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式例1在⊿ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知感謝閱讀sinAsinB，a,c的值﹒5b1，ac1﹒求44分析：運(yùn)用正弦定理將三個(gè)角的正弦關(guān)系“sinAsinC5sinB”4謝謝閱讀c5bac5與ac1轉(zhuǎn)化為三條邊的關(guān)系“a444方程組即可求出a、c﹒解：由題設(shè)并利用正弦定理，得5aca1

14，解得a，或4﹒c114c14點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將角關(guān)系“系ac5b是解本題的關(guān)鍵﹒4sinAsinB轉(zhuǎn)化為邊關(guān)精品文檔放心下載54例2在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且謝謝閱讀A(2bc)sinB(2cb)sinC﹒A的大小﹒求分析：本題已知條件“A(2bc)sinB(2cb)sinC”是一個(gè)邊感謝閱讀角混合等式，對(duì)于這種等式，一般有兩種轉(zhuǎn)化思路可考慮：一是將邊謝謝閱讀精品文檔放心下載轉(zhuǎn)化為2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinCA比較困難﹒而將角化成邊“2a2(2bc)b(2cb)c，化簡(jiǎn)得：a2b2c2bc，再利用余弦定理很容易求出﹒精品文檔放心下載解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc．由余弦定理得：a2b2c2A﹒故cosAA120﹒12謝謝閱讀關(guān)系式是解決本題的切入點(diǎn)、突破口﹒二、將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式解答有關(guān)解三角形的問(wèn)題，有時(shí)需要運(yùn)用正（余）弦定理，將已謝謝閱讀知條件中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式例3設(shè)△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且感謝閱讀3tanA的值﹒acosBbcosAc．求感謝閱讀5tanB分析：根據(jù)本題要求的結(jié)論，本題應(yīng)將已知條件的邊角混感謝閱讀tanAtanB合關(guān)系式“aBbAc”中的

a、b、c轉(zhuǎn)化為sinA、sin邊B、35tanA﹒sinC，再根據(jù)sinCB)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可求tanB出解：根據(jù)aBbAc以及正弦定理，可得35sinAcosBsinBA3sinc3sin(AB)，感謝閱讀55sinAcosBsinBA3sinc3sinAcosB3cosAsinB﹒精品文檔放心下載555因此，有2sinAcosB8cosAsinB，55tan

4﹒

AtanB謝謝閱讀系式是解決本題的關(guān)鍵﹒例4設(shè)△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB3，bsinA4．求邊長(zhǎng)a﹒分析：本題是一道求邊長(zhǎng)的題目，先將兩個(gè)已知等式“bsinA4”謝謝閱讀和acosB3”整合，即將兩個(gè)等式左、右兩邊分別相除，再用正弦感謝閱讀定理將b轉(zhuǎn)化為sinB，化簡(jiǎn)求出tanB，再進(jìn)一步求出cosB、a﹒感謝閱讀asinA解：將acosB3、bsinA4兩式相除，有4bsinAsinBsinA3acosBAcosB謝謝閱讀tanB，又通過(guò)acosB3知：cosB則cosB3，5a5．0，謝謝閱讀2.運(yùn)用正弦定理將b轉(zhuǎn)化sinB．a(chǎn)sinA前面分別談了將角轉(zhuǎn)化為邊與將邊轉(zhuǎn)化為角兩種思路．事實(shí)上，謝謝閱讀謝謝閱讀化方法，下面舉一例說(shuō)明．例5在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知感謝閱讀AC2ca，求sinC的值．感謝閱讀BbsinA思路1：將邊轉(zhuǎn)化為角．運(yùn)用正弦定理將2ca轉(zhuǎn)化為謝謝閱讀b2sinCsinA．sinB解法：在△ABC，由AC2ca及正弦定理可得BbAC2sinCsinA，BsinB精品文檔放心下載AsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcos即cosB，AsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsin則cosB，sin(AB)2sin(CABCB)，而，C2sinA，即sin則2．CsinsinA思路：將角轉(zhuǎn)化為邊．直接運(yùn)用余弦定理將cosA、cosB、cosC轉(zhuǎn)化為邊，得到邊的關(guān)系式c2

a，再運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即可求出sinC的值．sinA解法：在△ABC，由可得ACaBb謝謝閱讀bcosAcosC2ccosBacosB．感謝閱讀由余弦定理可得b2c2a2a2b2c2a2c2b2a2c2b2．a(chǎn)a精品文檔放心下載整理可得c，由正弦定理可得三、三角形三個(gè)角之間的轉(zhuǎn)化2．csinAa感謝閱讀解三角形問(wèn)題中常用的轉(zhuǎn)化策略．例6在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知感謝閱讀cosAccosBbcosC.謝謝閱讀（1）求A的cos值；若BcosC23，求sin3C的值．感謝閱讀弦定理化角為邊，求解較難．適宜運(yùn)用正弦定理化邊為角，得到關(guān)系謝謝閱讀式：3AcosAsinCcosBsinBcosCsin(BC)，再根據(jù)三角形角和sin定AcosAcos

理sin(BC)將轉(zhuǎn)化為A，sinA為已知角，C為待求角，關(guān)鍵是要運(yùn)用三角形角和定理將B轉(zhuǎn)化為感謝閱讀(AC)，化簡(jiǎn)cos(23得AC)cosCcos3據(jù)平方關(guān)系2Ccos2C1，便可求出sinC．sinC2sinC=3，再根cosAccosBbcosC及正弦定理得感謝閱讀3sinAcosAcosBBcosCC)精品文檔放心下載3sinAcosAsinA，所以cosA13．（2）sinA12A223．由BcosC233得AC)cosC233，展開(kāi)易得cosC2sinC=3．又2Ccos2Csin1，所以(32sinC)2sin2C1．

化簡(jiǎn)整理得(3sinC2)2

0，3sinC20，63．點(diǎn)撥：注意角之間的轉(zhuǎn)化，將sin(BC)轉(zhuǎn)化為sinA，cosB轉(zhuǎn)化為AC)是成功解答本題的關(guān)鍵．謝謝閱讀練習(xí)：1.△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．若謝謝閱讀(c