時(shí)變電磁場(chǎng)課件

第四章時(shí)變電磁場(chǎng)本章內(nèi)容4.1麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè)4.2麥克斯韋方程組與波動(dòng)方程4.3時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件4.4時(shí)間簡(jiǎn)諧場(chǎng)4.5時(shí)變電磁場(chǎng)的能量和能流4.6動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位4.1麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè)感應(yīng)電場(chǎng)假設(shè)

感應(yīng)電場(chǎng)的概念經(jīng)典電磁場(chǎng)感應(yīng)電場(chǎng)的產(chǎn)生原因有兩種:（1）恒定磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)回路在恒定磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)體回路的某一部分以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)為回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為這種感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由于導(dǎo)體回路的某一部分運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，所以也稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。（2）時(shí)變場(chǎng)的靜止回路一般情況下，討論靜止的媒質(zhì)，即v=0，得寫成微分形式例4.1.1如圖4.1.2所示，無限長直導(dǎo)線通以電流i(t)=Imsinωt，導(dǎo)電線框以v速度向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)線框運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，求此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：在通電直導(dǎo)線的右側(cè)空間一點(diǎn)P；到通電直導(dǎo)線的距離為r，則該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為方向?yàn)檠鼐€框所在平面向里。例4.1.2如圖4.1.3所示，在一個(gè)圓形區(qū)域上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相同，方向沿紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的變化率為常數(shù)且大于0，求空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)。解:由對(duì)稱性可知，在距離圓心為r的圓周上任意一點(diǎn)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)都是相同的，則根據(jù)圖4.1.例4.1.2用圖有（1）當(dāng)r＜R時(shí)所以（2）當(dāng)r＞R時(shí)所以由于為正值，所以Ei的方向與磁力線的右手螺旋方向相反。2.位移電流假設(shè)

位移電流假設(shè)認(rèn)為：雖然在極板之間不存在傳導(dǎo)電流，但是由于極板間存在著變化的電場(chǎng)，這種變化的電場(chǎng)即認(rèn)為是傳導(dǎo)電流ID，其量值與傳導(dǎo)電流相等。位移電流密度JD，實(shí)際上就是電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率在一個(gè)空間，如果同時(shí)存在傳導(dǎo)電流和位移電流，則安培環(huán)路定理可推廣為上式就是適合于時(shí)變場(chǎng)情況的全電流形式，也稱為全電流定律的積分形式。所謂全電流指的是傳導(dǎo)電流加上位移電流。全電流定律還存在微分形式，對(duì)上式應(yīng)用斯托克斯定理，則得

全電流定律指出，不僅傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場(chǎng)，位移電流即變化的電場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生磁效應(yīng)，換句話說，不僅傳導(dǎo)電流是磁場(chǎng)的源，位移電流也是磁場(chǎng)的源，這是一個(gè)全新的概念，是麥克斯韋對(duì)電磁學(xué)的巨大貢獻(xiàn)。例4.1.4圓形電容器構(gòu)成的平行板電容器如圖4.1.5所示，其間充滿介質(zhì)，其電導(dǎo)率為σ，介電常數(shù)為ε，磁導(dǎo)率為μ。假定邊緣效應(yīng)可以忽略，平行板間的電場(chǎng)是均勻的，且所加的電壓為u=Umsinωt。試求電容器中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解:忽略邊緣效應(yīng)，兩極板間可以看做均勻電場(chǎng)E=u/d,所以有圖4.1.5由對(duì)稱性可知，距離圓形電容器中軸線為r的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小處處相等，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向?yàn)閳A周切線方向且與位移電流構(gòu)成右手關(guān)系，如圖4.1.5所示。應(yīng)用全電流定律公式中l(wèi)選取以r為半徑的周周，S是l為邊界構(gòu)成的平面，則有所以得4.2麥克斯韋方程組與波動(dòng)方程

1.麥克斯韋方程組的積分形式：麥克斯韋方程組相應(yīng)的微分形式為例4.2.1在直角坐標(biāo)系中，已知磁場(chǎng)Hx=0，，式中k′、k為常數(shù)，求磁場(chǎng)的Hz分量。解:本題求解方法很多，其中一種方法是可以直接由麥克斯韋第四方程式求解。因?yàn)樗芯康氖墙蛔冸姶艌?chǎng)，所以可取積分常數(shù)C為零，于是得例4.2.2將麥克斯韋方程的微分形式分別在直角坐標(biāo)系中和在圓柱坐標(biāo)系中寫成八個(gè)標(biāo)量方程。解:在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中得解:波動(dòng)方程式（1）可以表示為Ex、Ey和Ez三個(gè)標(biāo)量方程的形式，E只有Ey分量，只需將Ey代入Ey的波動(dòng)方程中4.3時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件

（1）H的邊界條件如圖4.3.1所示，設(shè)介質(zhì)1和介質(zhì)2中界面附近的磁場(chǎng)強(qiáng)度在紙面所在的平面上，H1和H2與法向en的夾角分別為θ1和θ2，在分界面上均勻流過面電流，面電流密度Js，其大小為Js，方向垂直于紙面向里。圖4.3.1求H的邊界條件H的邊界條件為H1t-H2t=Js矢量形式en×（H1-H2）=Js（2）E的邊界條件E的邊界條件E1t-E2t=0矢量形式en×（E1-E2）=0（3）D的邊界條件D的邊界條件D1n-D2n=ρs矢量形式en·（D1-D2）=ρs（4）B的邊界條件B的邊界條件B1n-B2n=0矢量形式en·（B1-B2）=0例4.3.1如圖4.3.3所示，在理想導(dǎo)電壁x=0和x=a限定的區(qū)域（0≤x≤a）中存在如下電磁場(chǎng)（1）判斷該電磁場(chǎng)是否滿足邊界條件；（2）導(dǎo)電壁上的面電流密度是多少？圖4.3.3例4.3.1用圖解（1）如果題中給出的電磁場(chǎng)在邊界上滿足式（4.1.3）則滿足邊界條件，對(duì)于x=0的表面，切向場(chǎng)有法向場(chǎng)有所以可見，x=0的表面滿足理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的邊界條件對(duì)于x=a的表面：切向場(chǎng)有法向場(chǎng)有所以x=a的表面也滿足理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的邊界條件。（2）由式（4.3.13），H的邊界條件的矢量形式為在x=0表面，法線方向en=ex在x=a表面，法線方向en=-ex，所以式中按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則式中同理，可以得Ey和Ez的復(fù)數(shù)形式電場(chǎng)強(qiáng)度E的復(fù)數(shù)形式為由式（4.62）可知E·和E·是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，但是引入復(fù)數(shù)表示法卻使運(yùn)算大大簡(jiǎn)化。因?yàn)镋（x,y,z,t）是空間坐標(biāo)（x,y,z）和時(shí)間坐標(biāo)t四維矢量函數(shù)，而E（x,y,t）只是空間坐標(biāo)（x,y,z）的三維矢量函數(shù)。式（4.1.15）和式（4.1.16）的復(fù)數(shù)場(chǎng)量的上邊仍然用打點(diǎn)標(biāo)記，實(shí)際上瞬時(shí)值形式與復(fù)數(shù)形式有明顯的區(qū)別，今后只要是能區(qū)分出復(fù)數(shù)形式，就不再使用打點(diǎn)標(biāo)記了。例4.4.1把下面的場(chǎng)量的瞬時(shí)值轉(zhuǎn)變成復(fù)數(shù)形式或復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)變成瞬時(shí)值。例4.4.2已知在空氣中求H·并寫出其瞬時(shí)值。解:E寫成復(fù)數(shù)形式為由式（4.4.12）可得4.5時(shí)變電磁場(chǎng)的能量和能量流

電磁場(chǎng)是一種物質(zhì)并具有能量，這種能量稱為電磁能量。電磁能量按照一定的分布形式儲(chǔ)存于空間，并隨著時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)變化在空間傳輸，形成電磁波。電磁波的傳播即空間各點(diǎn)電磁能量密度的改變形成電磁能流?？梢耘e出許許多多的例子能夠說明這一點(diǎn)，如人們?nèi)粘Ｉ钪惺褂梦⒉t正是利用微波攜帶的能量給食品加熱的；人們使用的手機(jī)也是利用電磁波來發(fā)送和接收信息的。1.坡印廷定理時(shí)變電磁場(chǎng)能量守恒與轉(zhuǎn)換的關(guān)系是英國物理學(xué)家坡印廷最早提出的，被稱為坡印廷定理，它可以由麥克斯韋方程直接導(dǎo)出。利用麥克斯韋第一、第二方程式，現(xiàn)重寫如下進(jìn)行推導(dǎo)得上式整理并利用散度定理得式（4.5.2）就是適合一般介質(zhì)的坡印廷定理。下面來看坡印廷定理的物理意義：式（4.5.2）的右邊第一項(xiàng)是體積V內(nèi)電磁能量隨時(shí)間的增加率，第二項(xiàng)是體積V內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁岬墓β省Ｄ敲大w積V內(nèi)這個(gè)電磁能量每秒的增加量和轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁岬墓β适菑哪睦飦淼哪?？根?jù)能量守恒原理，它是從包圍體積V的閉合曲面S外流入的。所以-∮S（E×H）·dS是通過閉合曲面S流入體積V的功率。2.坡印廷矢量

定義S=E×H為坡印廷矢量，它是代表電磁能流密度矢量，代表在閉合曲面上任意一點(diǎn)單位面積通過的功率，也稱為時(shí)變電磁場(chǎng)的功率流密度。S的單位是W/m2（瓦/米2）。E和H都是瞬時(shí)值，因此坡印廷矢量也為瞬時(shí)值S（t）。坡印廷矢量是時(shí)變電磁場(chǎng)中一個(gè)重要的物理量。只要知道空間任一點(diǎn)的E和H，就可以知道該點(diǎn)的電磁能量流的大小和方向。例4.5.1一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，流過的直流電流為I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和坡印廷矢量。解：根據(jù)高斯定理，以r為半徑、長度為L做一個(gè)閉合圓柱面S，S包圍的電荷為q，解:根據(jù)高斯定理，以r為半徑、長度為L做一個(gè)閉合圓柱面S，S包圍的電荷為q，則E=q/2πrL通過內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為3.時(shí)諧場(chǎng)的復(fù)坡印廷矢量坡印廷失量表示的是瞬時(shí)電磁功率流密度。在時(shí)諧場(chǎng)中，計(jì)算瞬時(shí)電磁功率流密度更有實(shí)際意義。下面是對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)通過玻印廷矢量的瞬時(shí)值計(jì)算其時(shí)間平均值。坡印廷矢量的瞬時(shí)值為S（t）=E（t）×H（t），對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，場(chǎng)矢量可以用實(shí)數(shù)表示，按照式（4.4.10）的定義方程從而可得坡印廷矢量的瞬時(shí)值為對(duì)S（t）在一個(gè)周期T=2π/ω求平均值定義S·為復(fù)坡印廷矢量式（4.5.5）中Sav稱為平均坡印廷矢量為了書寫簡(jiǎn)便，今后的應(yīng)用都去掉“·”，即注意式（4.5.8）和式（4.5.9）是按照復(fù)數(shù)的有效值方法定義出來的，如果按照最大值的定義方法，應(yīng)該再乘以1/2.例4.12已知在無源自由空間中，時(shí)諧電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為求:（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量；（2）復(fù)坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；（3）坡印廷矢量的瞬時(shí)值。解（1）無源空間J=0，ρ=0由麥克斯韋第二方程的復(fù)數(shù)形式得4.6動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位在分析靜態(tài)場(chǎng)時(shí)，引入電位φ和矢量磁位A，并給出電場(chǎng)強(qiáng)度E和φ的關(guān)系以及磁感應(yīng)強(qiáng)度B和A之間的關(guān)系這使得在分析靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)時(shí)，問題在很大程度上得到簡(jiǎn)化，那么分析時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，也可以引入一些輔助的位函數(shù)使分析簡(jiǎn)化，這些輔助的位函數(shù)就是以下引入的動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位。1.動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位在時(shí)變電磁場(chǎng)情況下，仍然有因此可以引入動(dòng)態(tài)矢量位A，有動(dòng)態(tài)矢量位A有時(shí)也簡(jiǎn)稱為矢量位，單位是Wb/m（韋伯/米）。把式（4.78）代入麥克斯韋第二方程中，得大家知道，一個(gè)無旋的矢量可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，因此可以引入動(dòng)態(tài)標(biāo)量位φ，有即動(dòng)態(tài)標(biāo)量位φ有時(shí)也簡(jiǎn)稱為標(biāo)量位，單位是V（伏）。那么如果建立關(guān)于動(dòng)態(tài)矢量位A和動(dòng)態(tài)標(biāo)量位φ的方程求出A和φ，根據(jù)時(shí)變場(chǎng)的位與場(chǎng)的關(guān)系式（4.6.1）和式（4.6.2），就可以求出B和E。2.位函數(shù)的微分方程把式（4.6.1）和式（4.6.2）代入到麥克斯韋第一方程式，得然后再把恒等式代入上式，得要建立關(guān)于A的微分方程，但是式（4.6.3）中不僅包含A，還包含動(dòng)態(tài)標(biāo)量位φ。由式（4.6.1）和式（4.6.2）可知，滿足這兩個(gè)關(guān)系式的A和φ并不是唯一的，那么就可以找到既可以滿足式（4.6.1）和式（4.6.2），也可以使式（4.6.3）簡(jiǎn)化的一個(gè)特殊關(guān)系式，即這樣式（4.80）簡(jiǎn)化