不等式知識點匯總

不等式知識點匯總1、不等式的基本性質(zhì)②（傳達(dá)性）^>^>c=>a>c①（對稱性）a>bOb>a④（可積性）>byc>Qac>bea>b,c<Q=>ac<be⑦（開方法例）“>b>0=>7>茨亦（”wM且”>］）③（可加性）a>boa+c>b+c（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+d（異向可減性）3>b、c<dna-c>b-d⑤（同向正數(shù)可乘性）ci>b>^Od>Q=>ac>bd（異向正數(shù)可除性）⑥（平方法例）>b“gN,且辦>1）.n11.n11—>-⑧a>b>0=>—<-;a<b<0=>（倒數(shù)法例）abab2、幾個重要不等式②（基本不等式）畔n皿（“，bwR）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取到等號）.變形公式：“+方2屁》肋寸用基本不等式求最值時（積左和最小，和立積最大）,要注意知足三個條件“一正、二定、三相等”.⑤a3+b3+c3>3abc（a>O,b>Ox>0）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取到等號）.?a2+b2>2ab（a,bwR）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取”=”號）.變形公式：④a2+b2+c2>ab+bc+ca（a,beR）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取到等號）.③（三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）斗土亦《、b、ceR+）（十且僅十a(chǎn)=b=c時取2到等號）.⑥若ab>0,則￡+#22（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）若0,貝0-+-<-2（當(dāng)僅當(dāng)ababa=b時取等號）⑧妝〉0H寸,卜］>“Oy>“2Ox<—“或*>“；\x\<aox2<a2<=>-a<x<a?⑦!1<+m<1<a+n<11其中（a>b>0,m>0,八>0）規(guī)律：小干1同加則變大.aa+mh+nb大于1同加則變小.⑨絕對值三角不等式a±b\<\a\+\b\.3、幾個著名不等式①平均不等式：一占.「<、何<￥<'十；盧3bwRj,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取”="號）.（即調(diào)和平均生幾何平均生算術(shù)平均生平方平均）.★計八.（ci+b\a"+?>{ci+by變形公式：------I<----------;曠+Zrn----------.I2丿22②幕平均不等式：打+...+<>丄（5+0++a）?n③二維形式的三角不等式：后+昇+如+nJu—花）2+（）「）』（xpypx2.y2wR）?④二維形式的柯西不等式（/+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2ab,c,deR）.當(dāng)且僅當(dāng)dd=/?c時，等號建立.⑤三維形式的柯西不等式：（打+心2+打）（，+人2+*2）>（a}b{+a2b2+。冉）2?⑥一般形式的柯西不等式：（和+亦++弘乍宙+仇2++仇2）>a?+a2b2+...+anbn)1.)>牛如?則稱血）為凸⑦向屋形式的柯西不等式:設(shè)Np是兩個向量，則0?/問同，當(dāng)且僅當(dāng)p是零向崑或存在實數(shù)八使二審時，等號建立.⑧排序不等式（排序原理）：設(shè)q<a2<...<an}<b2<...<bn為兩組實數(shù).2n是久$,???&的任一排列，則,bc^c.....caf)n+a2b^}++訥<a}c{+a2c2^...+ancn<a}b}+a2b2+...+anbn.(反序和W亂序和伙eN\k>\)等.1Q1①舍去或加上-些項,如叫）2+嚴(yán)+聲5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式

ax2

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0（或

v0）（“

H0,

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0）解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù)?二判：判斷對應(yīng)方程的根?三求：求對應(yīng):畫方出程對的根應(yīng)函數(shù)的圖象?五解集：根據(jù)圖象寫岀不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.

?四畫6、高次不等式的解法：穿根法?分解因式,把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切兒聯(lián)合原式不等號寫出不等式的解集.

的方向，7.分式不等式的解法：s次序和)當(dāng)且僅當(dāng)a}=a2==①或也=b2==bn時,反序和等于次序和.⑨琴生不等式:（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）若左義在某區(qū)間上的函數(shù)隨意兩點不￡（加工衛(wèi)）,有廣（山+?丫2）5./（“）+?/（￡）或

/（x）,關(guān)于泄義域中22（或凹）函數(shù).不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、剖析法：英它方法有：換元法、反證法、縮法、結(jié)構(gòu)法，函數(shù)單一性法，數(shù)學(xué)概括法等.常有不等式的放縮方法：②將分子或分母放大（縮小），如

放>oOf（x）-g（x）>0先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化,則小Q（“<或5"時同理）/（X）Jm）?g）no----->0<=><gCv）U（A）*O規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁角蠼?無理不等式的解法：轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣聿坏仁角蠼猗萍有?gt;0）。了3“l(fā)/w<^f/(x)>0j7Qy<g(x)0]g(x)>oJM<[g(x)]2⑴的>c“>0)o["g°,[fMxr|7(x)>0⑶J/(X)>g(x)o<<g(x)>0[/(x)>UCv)]2[7(力no(；))y/f(X)>Qg(X)O?g(X)?0規(guī)把律無：理不等式等價轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣聿坏仁?，竅門在于從“小”的一邊剖析求解.久指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)a>1時，aM>aglx)of(x)>g(x)(2)當(dāng)0VdV1時，af{x}>a^(x)of(x)<g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變.對數(shù)不等式的解法+m)>o(1)當(dāng)a>1時，log“/(x)>log“g(x)O<g(x)>o

/U)>5(A)p[/U)>0⑵-10VdV1時，]og“y(v)>Iogdg(x)o<g(x)>0規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變.1K含絕對值不等式的解法：⑶同解變形法，其同解立理有\(zhòng)x\<aO:-①a<x<a(a>0);?\x\>a<^>x>°或￥<-a(a>0);③|/(x)|<g(x)O-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)>0)?|/(x)|>g(K)ofix)>g(?Y)或f(x)<-g(x)(g(x)>0)規(guī)律：重點是去掉絕對值的符號.⑵平方法：\fM\<|g(x)|of\x)<g2(x).⑴従義a(a>法：同0)-a(a12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段議論去絕對值、毎段屮取交集，最后取各段的并集.13.含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2+bx+c>0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類議論，分類議論的標(biāo)準(zhǔn)有:⑴議論"與0的大??；⑵議論△與0的大??；⑶議論兩根的大小.恒建立問題⑵不等式Cix2+bx+c<0的解集是全體實數(shù)（或恒建立）的條件是:①當(dāng)d=0時=>b=O,CVO；②當(dāng)dHO時nV"|