概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法的產(chǎn)生與發(fā)展

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法的產(chǎn)生與發(fā)展第1頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五概率的古典定義概率的極限理論

概率論的公理化

公理化后概率論的發(fā)展

數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法

第2頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

早在16世紀(jì)中，賭博中的偶然現(xiàn)象引起人們的注意,意大利數(shù)學(xué)家卡丹（G.Cardano,1501～1576）撰寫了《論賭博》一書，書中計(jì)算了擲兩顆或三顆骰子時(shí)，在一切可能方法中有多少方法得到某總點(diǎn)數(shù)。到16世紀(jì)末,隨著航海事業(yè)的發(fā)展，意大利開始出現(xiàn)海上保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，并逐漸把業(yè)務(wù)擴(kuò)大到工商業(yè).于是，研究必然性或偶然性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具開始萌芽.

十七世紀(jì)，正當(dāng)研究現(xiàn)實(shí)世界中的必然現(xiàn)象及其規(guī)律的必然數(shù)學(xué)（如算術(shù)，三角、幾何、代數(shù)、微積分，微分方程、積分方程和函數(shù)論等）獲得巨大發(fā)展的時(shí)候，一個(gè)研究偶然事件的數(shù)學(xué)分支也開始出現(xiàn)了，這就是所謂或然數(shù)學(xué)。令人費(fèi)解的是，這樣一門重要的數(shù)學(xué)分支竟然起源于對賭博問題的研究。第3頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五Ka‘erdanuo

卡爾達(dá)諾，（又譯卡丹、卡當(dāng)）

GirolamoCardano(1501～1576)

意大利醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、占星術(shù)家。1526年，在帕多瓦大學(xué)以優(yōu)異成績?nèi)〉冕t(yī)學(xué)學(xué)位。以后在米蘭、博洛尼亞等地行醫(yī)，不久便聞名全歐洲?？ǖず苄艍簦惶煲估?，他夢見了一個(gè)身穿白衣的漂亮女人。后來，他果然遇到了一個(gè)與他夢中所見完全一樣的女人，不免受到極大震動。起初，貧困的卡丹因?yàn)椴桓蚁蛩髳鄱罡薪^望：第4頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

“如果我，一個(gè)窮人，娶一個(gè)女人，沒有嫁妝，只有一大群弟妹需要供養(yǎng)，那我就完蛋了！我甚至連自己也養(yǎng)活不起！如果我試圖誘拐她，或勾引她，周圍又會有多少雙眼睛在監(jiān)視我！”但終于，他的愛贏得了婚姻。1531年，他娶了夢中的女人盧西亞·班達(dá)里妮為妻。這段小插曲表明了夢、先兆在卡丹的一生中所起的突出作用，這使他成為一位熱心的占星術(shù)士。

他在數(shù)學(xué)方面也有很高的造詣，1539年出版兩本算術(shù)書，這是他歷年的教學(xué)總結(jié)。這一年，他向N.塔爾塔利亞求教三次方程的解法，并立下誓言，永不泄密?？墒撬麤]有遵守諾言，1545年出版《大術(shù)》(ArsMagna)一書，將三次方程解法公諸社會。這激怒了塔爾塔利亞，導(dǎo)致一場爭吵，結(jié)果不歡而散。第5頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五后來三次方程求根公式叫做卡丹公式，而塔爾塔利亞之名反而湮沒無聞。不過《大術(shù)》并非完全抄襲之作，其中包含許多卡丹的創(chuàng)造。例如，他最早認(rèn)真地討論虛數(shù)，給出表示虛數(shù)的符號和運(yùn)算法則，雖然他自己也懷疑這種運(yùn)算的合法性。他對代數(shù)方程論（包括三次方程）的研究也有重要的推進(jìn)?？ǖさ牧硪粋€(gè)終生愛好是賭博。他經(jīng)常沉湎于賭博，他常常能贏許多錢，貼補(bǔ)收入。他將這一惡習(xí)提到科學(xué)研究的高度。他為此撰寫《論賭博》，提出系統(tǒng)的概率計(jì)算，早于帕斯卡和費(fèi)馬一個(gè)世紀(jì)，這是第一部論及數(shù)學(xué)概率的重要論文，可惜發(fā)表很晚，他死后于1663年出版。第6頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)概率的古典定義

一、帕斯卡和費(fèi)馬的“點(diǎn)問題”

1653年夏天，法國著名數(shù)學(xué)、物理學(xué)家帕斯卡(1623－1662）前往埔埃托鎮(zhèn)度假。旅途中，他遇到了騎士梅勒（M?re,1610～1685）。梅勒是經(jīng)常出沒于賭場的“賭壇老手”。為了消除旅途的寂寞，梅勒吹噓起“賭博經(jīng)”，并向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”的問題。

問題是這樣的：一次，梅勒與其賭友擲骰子．每人押了32個(gè)金幣的賭注，并約定，如果梅勒先擲出三個(gè)6點(diǎn)，或其賭友先擲出三個(gè)4點(diǎn)，便算贏家。第7頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五遺憾的是這場賭注不算小的賭博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅勒已擲出兩次6點(diǎn)，其賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅勒接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓。君命難違，但就此收回各自的賭注，又不甘心。他們只好按照已有的成績分取這64個(gè)金幣。這下可把他們難住了。賭友說，他要再碰上兩次4點(diǎn)，或梅勒要再碰上一次6點(diǎn)就算贏了，所以他有權(quán)分得梅勒的一半，即64個(gè)金幣的1/3。梅勒不同意這樣分，他說，即使下次賭友擲出一個(gè)4點(diǎn)，他還可得賭金的1/2，即32個(gè)金幣，再加上下次他還有一半希望得6點(diǎn)，這樣又可分得16個(gè)金幣，故他至少應(yīng)得64個(gè)金幣的3/4。誰是誰非，爭論不休，其結(jié)局也就不得而知了。不過梅勒對于此事卻一直耿耿于懷，所以當(dāng)他一碰到帕斯卡就立即求教。第8頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五帕斯卡是一位著名的天才數(shù)學(xué)家。據(jù)說，他在孩提時(shí)代就獨(dú)立證明了“三角形內(nèi)角和等于180”；16歲時(shí)發(fā)現(xiàn)“帕斯卡六邊形定理”，他以此寫成的論文竟使笛卡兒懷疑是其父親的作品。時(shí)值盛年，成果顯赫。然而，梅勒的貌似簡單的問題，卻將他真正難住了。

經(jīng)過長時(shí)間的探索，還是不得要領(lǐng)。于是，在1654年，他不得不寫信與他的好友費(fèi)馬討論。向他提出一個(gè)賭博中的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算勝了，現(xiàn)在有甲贏a(a<s)局，乙贏b（b<s）局，賭博中止。問賭本應(yīng)怎樣分法才合理？”兩人通信商討了這個(gè)問題，并用各自不同的方法解決了這個(gè)問題。這被看作是數(shù)學(xué)史上最早的概率論文獻(xiàn),這個(gè)問題后來也就成為著名的“點(diǎn)問題”。圓內(nèi)接六邊形的三雙對邊(所在直線)的交點(diǎn)共線

第9頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

不失一般性，僅以s=3,a＝2，b=1為例，說明他們的思想方法。帕斯卡認(rèn)為，按條件甲已贏兩局，得2點(diǎn)；乙只贏—局，得1點(diǎn)。若再擲一次，則甲或者獲全勝(應(yīng)得賭金1=100%)；或與乙點(diǎn)數(shù)相等(應(yīng)得賭金1/2)。把這兩種情況平均一下，甲應(yīng)得賭金的乙應(yīng)得賭金的第10頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

費(fèi)馬則認(rèn)為，由于甲已得2點(diǎn)，乙已得1點(diǎn)，離賭博結(jié)束最多還要擲(s－a)+(s－b)－1=2次，因此結(jié)果有四種可能情況：

(甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）在前三種情況下都是甲贏，只有最后一種情況乙獲勝。因此，甲有權(quán)分得賭金3/4，而乙只能分得賭金1/4。后來，帕斯卡在所著《論算術(shù)三角形》中給出了這一問題的通解：令m=s－a,n=s－b，則甲、乙兩人應(yīng)得賭金之比為：第11頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

二、惠更斯的“數(shù)學(xué)期望”帕斯卡和費(fèi)馬的通信引起了荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯的興趣，他第一個(gè)提出了“數(shù)學(xué)期望”概念。盡管他的定義仍采取賭博的術(shù)語，但具有一般性。他在1657年發(fā)表的《論賭博中的推理》一文中提出：在開局之前，對每一個(gè)賭徒來說就都已有了關(guān)于結(jié)局的一種“期望”。如果共有N種等可能結(jié)果，其中n種結(jié)果使他獲賭金為a，其余結(jié)果使他獲賭金為b，則他的期望值為第12頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五在現(xiàn)代的概率論中，是先定義“概率”概念，然后定義“數(shù)學(xué)期望”概念。但在歷史上則相反，先有“期望”概念。古典概型的概率定義，完全可以從期望概念中導(dǎo)出來。

惠更斯除了以“期望”為基礎(chǔ)重新解決以前提出過的許多賭博問題以外，還提出并解決了一些新問題。他已預(yù)見到這一新的推理和計(jì)算方法，具有強(qiáng)大的生命力。第13頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五惠更斯（Huygens,1629～1695）荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、他是介于伽利略與牛頓之間一位重要的物理學(xué)先驅(qū)?；莞?629年4月14日出生于海牙，父親是大臣、外交官和詩人，常與科學(xué)家往來?；莞棺杂茁斆骱脤W(xué)，思想敏捷，多才多藝，13歲時(shí)就自制一架車床，并受到當(dāng)時(shí)名人笛卡兒的直接指導(dǎo)，父親曾親熱地叫他為“我的阿基米德”。

16歲時(shí)進(jìn)萊頓大學(xué)攻讀法律和數(shù)學(xué)，兩年后轉(zhuǎn)入布雷達(dá)大學(xué)，1655年獲法學(xué)博士學(xué)位，隨即訪問巴黎，在那里開始了他重要的科學(xué)生涯。1663年訪問英國，并成為剛建不久的皇家學(xué)會會員。1666年，應(yīng)路易十四邀請任剛建立的法國科學(xué)院院士?；莞贵w弱多病，全身心獻(xiàn)給科學(xué)事業(yè)，終生未婚，1695年7月8日逝于海牙。第14頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五三、伯努利的“大數(shù)定理”

一般認(rèn)為，概率論作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，其真正的奠基人應(yīng)該是雅各布·伯努利，他建立了最簡單的概率模型──伯努利概型。即如果某事件A出現(xiàn)的概率為p，不出現(xiàn)的概率為q=1－p，則在n次試驗(yàn)中，A出現(xiàn)m次的概率為他的主要著作《猜度術(shù)》可以稱為概率論第一本專著，這本書中他利用無窮級數(shù)解決某些賭博中的概率問題；他發(fā)現(xiàn)擲n個(gè)骰子使點(diǎn)數(shù)之和為m的所有可能情況的總數(shù)為

展開式中的系數(shù)。第15頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

他首創(chuàng)差分方程法，徹底解決了所謂“破產(chǎn)問題”──現(xiàn)在通稱為“直線上的隨機(jī)游動問題”。雅各布·伯努利還預(yù)見到概率的某些社會應(yīng)用，但雅各布·伯努利對概率論的主要貢獻(xiàn)還在于對“大數(shù)定律”的表述和證明。在伯努利以前，人們對概率概念多半從主觀方面來解釋，即解釋成一種“期望”。由于當(dāng)時(shí)所研究的問題限于古典概型，概率值的確定是依據(jù)計(jì)算各種等可能性的數(shù)目。伯努利指出，這種方法有很大的局限性，也許只有賭博中可用，在更多的場合，由于根本無法數(shù)清所有的可能情況，也無法確定不同情況的可能性彼此間的大小，因此這種方法就不可行。要處理屬于更大范圍的問題，必須選擇另一條道路，那就是“后驗(yàn)地去探知我們所無法先驗(yàn)地確定的東西，也就是從大量相類事例的觀察結(jié)果中去探知它”，這就使概率從主觀的“期望”解釋轉(zhuǎn)到了客觀的“頻率”解釋。第16頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五伯努利陳述的“大數(shù)定律”是：

隨著觀測數(shù)目的不斷增加，以致這個(gè)概率將最終超過所要求的任意的確定度。

用現(xiàn)代概率論語言來陳述，即以“伯努利定理”著稱的極限定理：

若在一系列獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為常數(shù)且等于p,那么對,以及充分大的試驗(yàn)次數(shù)n，有其中m為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，為任意小的正數(shù)。第17頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

大數(shù)定律是對大量經(jīng)驗(yàn)觀測中所呈現(xiàn)的穩(wěn)定性刻劃，盡管這一特征在很早已經(jīng)被人注意到了。正如伯努利自己所說，用頻率確定概念的經(jīng)驗(yàn)方法并不新奇，但這決不意味伯努利的工作是平凡的。人們固然憑經(jīng)驗(yàn)容易猜測到事物的本性，然而要把人們對大數(shù)定理實(shí)質(zhì)的模糊感知提升到明確陳述的科學(xué)定律卻并不容易。為了紀(jì)念他的功績，后人遵照法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisson,1781～1840)的建議，把大數(shù)定律稱為“伯努利定理”?？梢院敛豢鋸埖卣f，正是這一定理，才使得以往陷于零碎瑣屑的概率計(jì)算，開始具有了一門統(tǒng)一的數(shù)學(xué)理論的資格。這一定理第一次試圖在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。第18頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五科學(xué)世家伯努利家族在科學(xué)史上，父子科學(xué)家、兄弟科學(xué)家并不鮮見，然而，在一個(gè)家族跨世紀(jì)的幾代人中，眾多父子兄弟都是科學(xué)家的較為罕見，其中，瑞士的伯努利家族最為突出。

17～18世紀(jì)瑞士伯努利家族，3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過，他們在數(shù)學(xué)、科學(xué)技術(shù)、工程乃至法律、管理、文學(xué)、藝術(shù)等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個(gè)家族中有兩代人，他們中的大多數(shù)數(shù)學(xué)家，并非有意選擇數(shù)學(xué)為職業(yè)，然而卻忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中，有人調(diào)侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。第19頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當(dāng)?shù)卣退痉ú块T任高級職務(wù)。

他有3個(gè)有成就的兒子。其中長子雅各布（Jacob，公元1654～1705年）和第三個(gè)兒子約翰（Johann，公元1667～1748年）成為著名的數(shù)學(xué)家，第二個(gè)兒子小尼古拉（Nicolaus，公元1662～1716年）在成為彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)界的一員之前，是伯爾尼的第一個(gè)法律學(xué)教授。第20頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五雅各布·伯努利（JacobBernoulli，1654~1705）

1671年17歲時(shí)獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)指“自由藝術(shù)”，包括算術(shù)、幾何學(xué)、天文學(xué)、數(shù)理音樂和文法、修辭、雄辯術(shù)共7大門類。遵照父親的愿望，他于1676年22歲時(shí)又取得了神學(xué)碩士學(xué)位。然而，他也違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在那里寫內(nèi)容豐富的《沉思錄》。第21頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

1678年和1681年，雅各布·伯努利兩次外出旅行學(xué)習(xí)，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學(xué)家，寫有關(guān)于彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表數(shù)學(xué)論文《用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法》，同年成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，直至1705年8月16日逝世。

1699年，雅各布當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士；1701年被柏林科學(xué)協(xié)會（后為柏林科學(xué)院）接納為會員。許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相聯(lián)系。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。

雅各布對數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是在概率論研究方面。他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著《猜度術(shù)》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。第22頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五約翰·伯努利(JohannBernoulli，1667～1748年)約翰于1685年18歲時(shí)獲巴塞爾大學(xué)藝術(shù)碩士學(xué)位，這點(diǎn)同他的哥哥雅各布一樣。他們的父親老尼古拉要大兒子雅各布學(xué)法律，要小兒子約翰從事家庭管理事務(wù)。但約翰在雅各布的帶領(lǐng)下進(jìn)行反抗，去學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)和古典文學(xué)。約翰于1690年獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，1694年又獲得博士學(xué)位。但他發(fā)現(xiàn)他骨子里的興趣是數(shù)學(xué)。他一直向雅各布學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并頗有造詣。1695年，28歲的約翰取得了他的第一個(gè)學(xué)術(shù)職位——荷蘭格羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)教授。10年后的1705年，約翰接替去世的雅各布任巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。同他的哥哥一樣，他也當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士和柏林科學(xué)協(xié)會會員。1712、1724和1725年，他還分別當(dāng)選為英國皇家學(xué)會、意大利波倫亞科學(xué)院和彼得堡科學(xué)院的外籍院士。第23頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五約翰的數(shù)學(xué)成果比雅各布還要多。例如解決懸鏈線問題（1691年），提出洛必達(dá)法則（1694年）、最速降線（1696年）和測地線問題（1697年），給出求積分的變量替換法（1699年），研究弦振動問題（1727年），出版《積分學(xué)教程》（1742年）等。

約翰與他同時(shí)代的110位學(xué)者有通信聯(lián)系，進(jìn)行學(xué)術(shù)討論的信件約有2500封，其中許多已成為珍貴的科學(xué)史文獻(xiàn)，例如同他的哥哥雅各布以及萊布尼茨、惠更斯等人關(guān)于懸鏈線、最速降線（即旋輪線）和等周問題的通信討論，雖然相互爭論不斷，特別是約翰和雅各布互相指責(zé)過于尖刻，使兄弟之間時(shí)常造成不快，但爭論無疑會促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展，最速降線問題就導(dǎo)致了變分法的誕生。

約翰的另一大功績是培養(yǎng)了一大批出色的數(shù)學(xué)家，其中包括18世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家歐拉、瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆、法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)，以及他自己的兒子丹尼爾和侄子尼古拉二世等。第24頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五丹尼爾(Daniel，公元1700～1782年)出生于荷蘭的格羅寧根，1716年16歲時(shí)獲藝術(shù)碩士學(xué)位；1721年又獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。他曾申請解剖學(xué)和植物學(xué)教授職位，但未成功。

丹尼爾受父兄影響，一直很喜歡數(shù)學(xué)。1724年，他在威尼斯旅途中發(fā)表《數(shù)學(xué)練習(xí)》，引起學(xué)術(shù)界關(guān)注，并被邀請到圣彼得堡科學(xué)院工作。同年，他還用變量分離法解決了微分方程中的里卡提方程。1725年，25歲的丹尼爾受聘為圣彼得堡的數(shù)學(xué)教授。1727年，20歲的歐拉(后來人們將他同阿基米德、牛頓、高斯并列為數(shù)學(xué)史上的“四杰”)，到圣彼得堡成為丹尼爾的助手。丹尼爾·伯努利(DanielBernoulli，1700～1782年)第25頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五然而，丹尼爾認(rèn)為圣彼得堡那地方的生活比較粗俗，8年后的1733年，他返回巴塞爾，終于在那兒成為解剖學(xué)和植物學(xué)教授，最后又成為物理學(xué)教授。

1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學(xué)院獎金，以后又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的只有大數(shù)學(xué)家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學(xué)術(shù)通信，在科學(xué)史上留下一段佳話。

在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學(xué)領(lǐng)域較多的人。他出版了經(jīng)典著作《流體動力學(xué)》(1738年)；研究彈性弦的橫向振動問題(1741～1743年)，提出聲音在空氣中的傳播規(guī)律(1762年)。他的論著還涉及天文學(xué)(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁學(xué)(1743、1746年)，振動理論(1747年)、船體航行的穩(wěn)定(1753、1757年)和生理學(xué)(1721、1728年)等。凡尼爾的博學(xué)成為伯努利家族的代表。

丹尼爾于1747年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士，1748年當(dāng)選巴黎科學(xué)院院士，1750年當(dāng)選英國皇家學(xué)會會員。他一生獲得過多項(xiàng)榮譽(yù)稱號。第26頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

四、蒲豐的“投針問題”蒲豐(Buffon,1707～1788)法國數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家。1707年9月7日生于蒙巴爾，1788年4月16日卒于巴黎。蒲豐10歲時(shí)在第戎耶穌會學(xué)院讀書，16歲主修法學(xué)，21歲到昂熱轉(zhuǎn)修數(shù)學(xué)，并開始研究自然科學(xué)，特別是植物學(xué)。1733年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，1739年任巴黎皇家植物園園長，1753年進(jìn)入法蘭西學(xué)院1771年接受法王路易十四的爵封。第27頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五蒲豐是幾何概率的開創(chuàng)者，他于1777年完成的著作《偶然性的算術(shù)試驗(yàn)》，把概率和幾何結(jié)合起來，開創(chuàng)了幾何概率的研究.

其中最著名的問題是“投針問題”：有一天，蒲豐突發(fā)奇想，請?jiān)S多賓朋來到家里，做了一個(gè)奇特的試驗(yàn)。他把事先畫好了一條條有等矩離平行線的白紙鋪在桌面上，然后拿出一包質(zhì)量均勻而長度為平行線間矩離一半的小針，請客人把針一根根隨意扔到紙上，蒲豐則在一旁記數(shù).結(jié)果共投2212次，其中與任一平行線相交的有704次。蒲豐又做了個(gè)簡單除法2212/704=3.142，他向大家宣布：這就是圓周率π的近似值。他還說，投的次數(shù)越多，就越精確。這就是最早的幾何概率問題。這個(gè)試驗(yàn)使眾人震驚，π竟然和一個(gè)表面上看來風(fēng)馬牛不相及的隨意投針連在一起。然而這確有理論根據(jù)，后來人們很快知道，從蒲豐給出的幾何概率很容易得出(其中n為投擲數(shù)，v為相交數(shù))。第28頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

1850年，瑞士數(shù)學(xué)家沃爾夫在蘇黎士，用一根長36mm的針，平行線間距為45mm，投擲5000次，得π≈3.1596；

1864年，英國人?？送稊S了1100次，求得π≈3.1419；

1901年，意大利人拉澤里尼投擲了3408次，得到了準(zhǔn)確到6位小數(shù)的π值。蒲豐于1740年翻譯了牛頓的《流數(shù)法》，并探討了牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分的歷史。蒲豐還以研究自然博物史著稱，他集多年研究成果編成巨著《自然史》（44卷，蒲豐生前出版了36卷，后8卷由他的學(xué)生完成）他是第一個(gè)對地質(zhì)史劃分時(shí)期的科學(xué)家，他還首次提出太陽與慧星碰撞產(chǎn)生行星的理論。第29頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五五、貝葉斯公式

英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（Bayes，1702～1761）提出過一系列針對特殊性質(zhì)的逆概率問題的公式，其中一個(gè)最著名的就是現(xiàn)在以他的名字命名的公式“貝葉斯公式”：貝葉斯把稱為“先驗(yàn)概率”，它往往是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)確定的一種“主觀概率”；把稱為“后驗(yàn)概率”，即在某一事件B發(fā)生之后再來判斷事件Ai發(fā)生的概率。第30頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五因此，這一公式主要應(yīng)用于由“結(jié)果B”的發(fā)生來探求導(dǎo)致這一結(jié)果的諸“原因Ai”發(fā)生的可能性大小?？上淖C明建立在一個(gè)不恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)上。第31頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五貝葉斯（Bayes1702-1761）英國數(shù)學(xué)家。1702年出生于倫敦，1761年4月7日逝世。1742年成為英國皇家學(xué)會會員。后來成為了一名長老會牧師。和他的同事們不同，他認(rèn)為：上帝的存在可以通過方程式證明。

貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn)。他對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的主要貢獻(xiàn)是使用了“逆概率”這個(gè)概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來。第32頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

1763年發(fā)表在倫敦皇家學(xué)會哲學(xué)學(xué)報(bào)上的那一篇提出著名的貝葉斯公式的論文《論有關(guān)機(jī)遇問題的求解》卻是在他死后的第三年才被發(fā)表。

200多年后，經(jīng)過多年的發(fā)展與完善，貝葉斯公式以及由此發(fā)展起來的一整套理論與方法，已經(jīng)成為概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)冠以“貝葉斯”名字的學(xué)派，他的這一理論照亮了今天的計(jì)算領(lǐng)域，成了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)軟件的理論基礎(chǔ)，尤其是在數(shù)據(jù)管理軟件領(lǐng)域。

例如，微軟公司的WindowsXP操作系統(tǒng)，其智能糾錯(cuò)系統(tǒng)就是建立在貝葉斯定理的基礎(chǔ)上的；搜索巨人Google使用貝葉斯定理為數(shù)據(jù)搜索提供近似的結(jié)果；迄今為止應(yīng)用貝葉斯定理最成功的公司則當(dāng)屬位于劍橋的英國自動（Autonomy）軟件公司，應(yīng)用貝葉斯定理開發(fā)出一種大規(guī)?！盁o序型數(shù)據(jù)”檢索、歸類、整理系統(tǒng)軟件。第33頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

所謂“無序型”數(shù)據(jù)，是指那些不適合進(jìn)入井然有序的數(shù)據(jù)庫的具有無數(shù)萬億字節(jié)的報(bào)告、電子郵件、發(fā)言、新聞稿、網(wǎng)頁等等。

貝葉斯理論已經(jīng)成為垃圾郵件過濾系統(tǒng)的基礎(chǔ)，自動軟件公司的軟件能夠幫助人類對這些紛繁錯(cuò)雜、浩如煙海的無序型信息進(jìn)行準(zhǔn)確的檢索、歸類、儲存以及分析等工作，并為有特殊需要的用戶提供相關(guān)參考資料。僅僅在四年的時(shí)間內(nèi)，自動軟件公司就獲得了巨大的成功，其客戶名單包括英國廣播公司、通用汽車公司，以及美國國防部等，目前該公司市值高達(dá)50億美元。研究人員還使用貝葉斯模型來判斷癥狀和疾病之間的相互關(guān)系，創(chuàng)建個(gè)人機(jī)器人，開發(fā)能夠根據(jù)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)來決定行動的人工智能設(shè)備。第34頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五六、拉普拉斯的“古典定義”

1812年，拉普拉普發(fā)表第一部近代古典概率論專著《概率的分析理論》，該書雖出版在19世紀(jì)初，但所總結(jié)的成果完全是屬于18世紀(jì)的。這部先驅(qū)性巨著總結(jié)了他和他的前輩40年的研究成果，他在該書中明確表述了概率論的基本概念，如“事件”、“概率”、“隨機(jī)變量”、“數(shù)學(xué)期望”等。他給出的概率古典定義是：

事件A的概率p等于一次試驗(yàn)中有利于事件A的可能的結(jié)果數(shù)與該試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果數(shù)之比。即其中m為事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，n為樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)。第35頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯在該書中還導(dǎo)入了拉普拉斯變換，給出了棣莫弗─拉普拉斯定理，建立了觀測誤差理論和最小二乘法，研究了廣泛的統(tǒng)計(jì)問題等等。

總之，這部著作最重要的特色，表現(xiàn)在它建立在對于數(shù)學(xué)分析方法的應(yīng)用上。此前，概率論基本上被當(dāng)作“組合”數(shù)學(xué)的一部分，拉普拉斯實(shí)行了方法論上的革命，使之變成分析數(shù)學(xué)的一部分。無窮小分析方法運(yùn)用于幾何，運(yùn)用于數(shù)論，都曾經(jīng)帶來了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。

拉普拉斯又把它系統(tǒng)而協(xié)調(diào)地運(yùn)用于概率論，這就開啟了現(xiàn)代概率論的先河。第36頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯（Laplace,1749—1827）法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家。1749年3月23日生于博蒙昂諾日；1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯家境貧寒，靠鄰居的周濟(jì)才得到讀書的機(jī)會。16歲時(shí)進(jìn)入開恩大學(xué)，并在學(xué)習(xí)期間寫了一篇關(guān)于有限差分的論文。在完成學(xué)業(yè)之后，他帶著介紹信從鄉(xiāng)下到巴黎去求見大名鼎鼎的達(dá)朗貝爾，薦書投去，杳無音訊，因?yàn)檫_(dá)朗貝爾對于只帶著大人物的推薦信的年輕人不感興趣。拉普拉斯并不氣餒，隨即寫了一篇闡述力學(xué)一般原理的論文，求教于達(dá)朗貝爾。第37頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五由于這篇論文異常出色，達(dá)朗貝爾為其才華所感，欣然回了一封熱情洋溢的信。信中寫道“拉普拉斯先生，你看，我?guī)缀鯖]有注意你那些推薦信，你不需要什么推薦，你已經(jīng)更好地介紹了自己。對我來說這就夠了，你應(yīng)該得到支持?！边_(dá)朗貝爾還很高興的當(dāng)了他的教父，并介紹他去巴黎陸軍學(xué)校任教授。拉普拉斯事業(yè)上輝煌時(shí)期便從此開始。

1773年被選為法國科學(xué)院副院士；1783年任軍事考試委員，并于1785年主持對一個(gè)16歲的惟一考生進(jìn)行考試，這個(gè)考生就是后來成為皇帝的拿破侖（Nopoleon）；1785年當(dāng)選為法國科學(xué)院正式院士；自1795年以后，他先后任巴黎綜合工科學(xué)校和高等師范學(xué)校教授；1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，一年后任該院主席。他還被拿破侖任命為內(nèi)政部長，元老議員并加封伯爵.拿破侖下臺后，路易十八（LouisⅩⅧ）重登王位,拉普拉斯又被晉升為侯爵。第38頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯才華橫溢,著作如林,在青年時(shí)代就發(fā)表了一系列的論著。24歲當(dāng)選為法國科學(xué)院副院士，科學(xué)院在一份報(bào)告中曾這樣評價(jià)他：還沒有任何一位像拉普拉斯這樣年輕的科學(xué)家能在如此眾多如此困難的課題上，寫出如此大量的論文。拉普拉斯的研究領(lǐng)域是多方面的，有天體力學(xué)、概率論、微分方程、復(fù)變函數(shù)、勢函數(shù)理論、代數(shù)、測地學(xué)、毛細(xì)現(xiàn)象理論等，并有卓越的創(chuàng)見。他是一位分析學(xué)的大師，把分析學(xué)應(yīng)用到力學(xué)，特別是天體力學(xué)，獲得了劃時(shí)代的結(jié)果。他的代表作有:《宇宙體系論》、《分析概率論》、《天體力學(xué)》。

《分析概率論》（1812年）匯集了40年以來概率論方面的進(jìn)展以及拉普拉斯自己在這方面的發(fā)現(xiàn)，對概率論的基本理論作了系統(tǒng)的整理。他在該書的引言中寫道：“歸根到底，概率論只不過是把常識化成計(jì)算而已。”第39頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五這本書包含了幾何概率、伯努利定理和最小二乘法原理等。著名的拉普拉斯變換就是在此書中述及的。1814年他還出版了《概率的哲學(xué)探討》。他被公認(rèn)為是概率論的奠基人之一。拉普拉斯在政治上是一個(gè)機(jī)會主義者。在法國大革命時(shí)期，他隨波逐流，反復(fù)不斷地扮演了共和派與?；逝傻碾p重角色，他機(jī)靈到能夠使敵對的雙方在不論哪一方上臺掌權(quán)時(shí)，都相信他是自己的一個(gè)忠誠的支持者。因此每次改宗后他都能獲得更好的差使和更大的頭銜。為此有人把他比做英國文學(xué)作品中的假圣人布雷牧師。拉普拉斯的另一個(gè)缺點(diǎn)是在他的著作中，他常常完全不提前人和同時(shí)代人的論述與功績，給人的印象是其著作中的思想似乎完全出自于他本人。他的這些品格遭到了后人的非議。第40頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)概率的極限理論

19世紀(jì)概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛地應(yīng)用方向發(fā)展。從1812年拉普拉斯的《概率的分析理論》開始，由對古典概率論研究轉(zhuǎn)向近代概率論。這一時(shí)期，法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisson,1781～1840）推廣了大數(shù)定律，引入著名的“泊松分布”及“泊松逼近定理”。俄國的切比雪夫(Чебышев,1821～1894)系統(tǒng)總結(jié)出計(jì)算“數(shù)學(xué)期望”和“離差”(即方差)的方法，并證明了“概率論中心極限定理”。第41頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五一、泊松及泊松分布泊松是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、法國科學(xué)院院士。泊松年輕時(shí)曾遵從父親的意愿學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)，但他對醫(yī)學(xué)毫無興趣。他曾用刺血針撥離白菜的經(jīng)絡(luò),熟練后，第一次治療皰疹，幾個(gè)小時(shí)后，病人便去世了。此后，泊松放棄醫(yī)學(xué)，轉(zhuǎn)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并因成績優(yōu)異，成了拉格朗日和拉普拉斯的高才生,25歲便被聘為教授。

1912年，31歲的泊松當(dāng)選為法國科學(xué)院院士，他一生成果累累，寫出以應(yīng)用數(shù)學(xué)為主的論文約400篇。特別是在概率論研究方面做出了卓越貢獻(xiàn)，被認(rèn)為是近代概率論的奠基人之一。泊松有句名言：生命之所以美好，僅由于兩件事：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和講授數(shù)學(xué)。第42頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五泊松分布就是他建立的用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種重要概率分布，它可以描述社會中、試驗(yàn)中常常發(fā)生的稀有現(xiàn)象。例如，電話總機(jī)在某一段時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，一年內(nèi)發(fā)生五級以上地震的次數(shù)，某商場某種貴重品的銷售量等。甚至有人把泊松分布比喻為構(gòu)造隨機(jī)現(xiàn)象的“基本粒子”。它具體描述為隨機(jī)變量ξ的概率分布：第43頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五泊松分布是泊松于1837年給出的，它本身是一種非常重要的分布。但有趣的是，在歷史上它卻是作為二項(xiàng)分布的近似來引用的。為了進(jìn)一步描述與二項(xiàng)分布的逼近程度，泊松給出了著名的“泊松逼近定理”：設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，它與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)。若，則當(dāng)時(shí)第44頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五二、棣莫弗─拉普拉斯定理

棣莫弗（DeMoivre,Abraham，1667—1754）棣莫弗出生于法國的一個(gè)鄉(xiāng)村醫(yī)生之家，最先在當(dāng)?shù)匾凰熘鹘烫脤W(xué)校念書，隨后他離開農(nóng)村到色拉的一所清教徒學(xué)校求學(xué)，這所學(xué)校戒律森嚴(yán)，要求學(xué)生宣誓效忠教會，棣莫弗拒絕服從，于是受到嚴(yán)厲制裁，被罰背誦各種教義，但棣莫弗卻偷偷地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他最感興趣的是惠更斯的《論賭博中的機(jī)會》一書，啟發(fā)了他的數(shù)學(xué)靈感，后來他又研讀了歐幾里得的《幾何原本》。棣莫弗是法國加爾文派教徒，在新舊教派斗爭中被監(jiān)禁。第45頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

1685年移居英國，曾任家庭教師和保險(xiǎn)事業(yè)顧問等職，并潛心科學(xué)研究，當(dāng)他讀了牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》深深地被這部著作吸引了，1695年寫出頗有見地的有關(guān)流數(shù)術(shù)學(xué)的論文，并成為牛頓的好友。兩年后當(dāng)選為皇家學(xué)會會員，1735年、1754年又分別被接納為柏林科學(xué)院和巴黎科學(xué)院院士。由于棣莫弗是從歐洲大陸到英國的僑民，而且又懂微積分，所以曾被派參加專門調(diào)解牛頓與萊布尼茨之間關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭的委員會。棣莫弗是與伯努利幾乎同時(shí)對概率論作出重要貢獻(xiàn)的另一位數(shù)學(xué)家，他在概率論方面的主要著作是《隨機(jī)理論》。這本書包含對大量游戲問題的系統(tǒng)研究。棣莫弗設(shè)計(jì)出各種新的方法解各種類型的點(diǎn)問題、骰子問題、換球問題。他采取與通常相反的程序，從概率原理去推出排列組合中的許多公式。他明確提出了統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和條件概率的概念，他還特別為概率論發(fā)明了一套普遍的記號系統(tǒng)。第46頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五棣莫弗在概率論方面的成就，受到了他同時(shí)代的科學(xué)家的關(guān)注和贊譽(yù)。

例如哈雷將棣莫弗的《隨機(jī)理論》呈送牛頓，牛頓閱讀后倍加贊賞。據(jù)說，后來遇到學(xué)生向牛頓請教概率方面的問題時(shí)，牛頓就說：“這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對這些問題的研究比我深得多?！?/p>

棣莫弗一生貧寒，終身未婚，終年８７歲。

關(guān)于他的死有一個(gè)頗具數(shù)學(xué)色彩的神奇?zhèn)髡f：在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他每天需要比前一天多睡1/4小時(shí)，那么各天睡眠時(shí)間將構(gòu)成一個(gè)等差級數(shù)，當(dāng)此等差級數(shù)達(dá)到24小時(shí)時(shí)，棣莫弗就長眠不醒了。第47頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五但是，對很大的n和指定的，要問這一事件發(fā)生的概率是多大?伯努利大數(shù)定律是無能為力的，而棣莫弗則給出了的漸近分布的更精確表達(dá)式,并就概率的特例，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)極限分布即正態(tài)分布。棣莫弗在伯努利大數(shù)定律所開創(chuàng)的方向上邁進(jìn)了一大步，伯努利研究了隨機(jī)變量頻率與概率p的偏差的概率的極限,建立了，對第48頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五后來拉普拉斯將此結(jié)果推廣到一般情況，人們稱此結(jié)果為“棣莫弗一拉普拉斯定理”。即

在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，而事件A總共出現(xiàn)的次數(shù)為，則對任意有限區(qū)間[a，b]，滿足（１）當(dāng)及時(shí)，一致地有第49頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（２）當(dāng)時(shí)，一致地有Ｐ其中定理中的第(１)個(gè)結(jié)論稱為局部極限定理，它給出了P(μn=k)當(dāng)n→∞時(shí)的漸近表達(dá)式；

第(２)個(gè)結(jié)論稱為積分極限定理，它給出了的漸近分布。第50頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五積分極限定理告訴人們一個(gè)重要事實(shí)：

標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)。這個(gè)定理在以后的兩個(gè)世紀(jì)中占據(jù)著概率論研究的中心地位，所以人們又稱之為“中心極限定理”?！爸行臉O限定理”這個(gè)術(shù)語是匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞(Polya)在1920的論文中首次引入的。第51頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五三、林德貝格─勒維“中心極限定理”

棣莫弗一拉普拉斯“中心極限定理”僅限于伯努利試驗(yàn)的情況，加之棣莫弗在1733對此定理只給出一個(gè)很特殊情況下的證明，而拉普拉斯雖然給出了一般性證明，但他的證明是不完善的。于是，許多數(shù)學(xué)家試圖做兩個(gè)方面的工作：一方面給拉普拉斯陳述的一般性定理找到正確的證明，另一方面想削弱定理的條件，使能在更廣的范圍內(nèi)運(yùn)用。對于前者，第一個(gè)給出完善證明的是俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫(Liapounoff,1857～1918)在1901年給出的，他使用了今天稱作特征函數(shù)的解析工具。

1919年，法國數(shù)學(xué)家勒維(Levi,1874～1928)應(yīng)邀在法國高等工藝學(xué)校講授高斯正態(tài)分布律及誤差理論，他發(fā)現(xiàn)包括棣莫弗一拉普拉斯定理在內(nèi)的概率論缺乏理論基礎(chǔ)，便致力于這方面的研究。第52頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五勒維于1925年發(fā)表了概率論發(fā)展中的重要著作《概率計(jì)算》，盡管在基礎(chǔ)方面還不盡如人意，但他是用數(shù)學(xué)的嚴(yán)密方法將概率理論作為一個(gè)整體描述進(jìn)行的首次嘗試，其間包括了隨機(jī)變量及其概率分布和特征函數(shù)理論的系統(tǒng)論述，也討論了中心極限定理的證明和穩(wěn)定的概率分布。對于后者，林德貝格(Lindeberg)于1922年采用著名的“林德貝格條件”，在比李雅普諾夫更一般的條件下給出了中心極限定理的完善證明。

所謂“林德貝格條件”是指獨(dú)立隨機(jī)變量序列服從中心極限定理即獨(dú)立隨機(jī)變量的和收斂于正態(tài)分布的充分條件。

這樣，被林德貝格和勒維完善并推廣的棣莫弗一拉普拉斯定理，人們稱為“林德貝格─勒維定理”。第53頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五林德貝格─勒維定理：若是相互獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量，(

1，2，，n)，則標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)，對任意ｘ滿足第54頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

由于棣莫弗─拉普拉斯積分極限定理只是林德貝格─勒維定理的特例，因而一般把后者直接稱為“中心極限定理”。

◆中心極限定理的第二個(gè)功績，是揭示了正態(tài)分布的形成機(jī)制。

如果某一個(gè)量的變化受到許多種隨機(jī)因素的影響，這種影響的總后果是各個(gè)因素的迭加，而且這些因素中沒有任何一個(gè)是起主導(dǎo)作用的，那么，這個(gè)量就是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，至少它近似地服從正態(tài)分布。

◆中心極限定理的第一個(gè)主要功績，是確立了正態(tài)分布在各種分布中的首要地位。

定理的條件只要求是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，因而無論服從什么樣的分布，都以正態(tài)分布為極限。第55頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五◆中心極限定理的第三個(gè)功績，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本處理方法必不可少的理論基礎(chǔ)。

一個(gè)簡單隨機(jī)抽樣所得樣本就是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。因此，在實(shí)際問題中，如果能夠獲得容量較大的樣本，即如果n足夠大，就可以把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量來處理。這種做法的根據(jù)也是中心極限定理。這種機(jī)制在經(jīng)濟(jì)問題中是常見的。在我們對經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定量分析時(shí)，往往假定在主要因素的影響之外，其它各種因素的影響可以用一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量來表示，其根據(jù)即在于此。第56頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)概率論的公理化一、概率悖論

◆彼得堡悖論該悖論是丹尼爾·伯努利的表兄尼古拉·伯努利于1713年提出來的。1713年9月9日，尼古拉·伯努利在寫給法國數(shù)學(xué)家蒙特姆（M.deMontmort）的信中提出了5個(gè)問題，其中第5個(gè)問題是這樣的：彼得先付給保爾一筆賭注，然后彼得擲一枚硬幣，如果第一次擲硬幣頭面朝上，保爾答應(yīng)給彼得一盾（荷蘭盾）；如果第一次擲的結(jié)果是背面朝上，則擲第二次；如果第二次擲硬幣頭面朝上，保爾付彼得2個(gè)盾；如果第二次擲的結(jié)果是背面朝上，則擲第三次…，到第n次，如結(jié)果是頭面朝上，保爾付彼得個(gè)盾。這個(gè)博局可以無限期地玩下去。第57頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)在要問：彼得先付給保爾的賭注應(yīng)為多少才算公正呢？尼古拉·伯努利之所以提出這個(gè)問題，是由于他發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)界對這個(gè)賭局的期望收益的計(jì)算與實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)的該博局的門票價(jià)之間存在著悖論。他發(fā)現(xiàn)，如果計(jì)算彼得的期望收入，則第58頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五這顯然是不可能的。這說明什么呢？說明每局開始無論彼得先付給保爾多少錢，對彼得來說這賭局都合算！按這個(gè)估算，彼得應(yīng)該付無窮大來買這個(gè)機(jī)會。但是，在實(shí)際生活中，任何一個(gè)理智正常的人若出賣這個(gè)機(jī)會，其賣價(jià)不會超過20盾，因?yàn)楫?dāng)時(shí)瑞士類似的賭局的門票不超過20盾。如何解釋這個(gè)悖論？數(shù)學(xué)家蒙特姆對此并沒有回答，但將尼古拉·伯努利的信連同上述問題公開出版了。從而引起了數(shù)學(xué)界后來者的興趣。這個(gè)悖論吸引了許多與尼古拉同時(shí)代人，如丹尼爾、蒲豐、克萊姆（Cramer）等人都研究過它，但都未能得到滿意的解法。比較令人滿意的解決方案是泊松給出的，那已是19世紀(jì)的事了。第59頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五◆貝特朗悖論最著名的悖論是1899年由法國的貝特朗(Bertrand)提出的所謂“貝特朗悖論”：在半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)選擇弦，計(jì)算弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。

根據(jù)“隨機(jī)選擇”的不同意義，可以得到不同的答案：第60頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（1）如圖Ⅰ，考慮與某確定方向平行的弦，則弦心距小于r/2的弦長大于圓內(nèi)接正三角形邊長，大于圓內(nèi)接正三角形邊長的弦的中點(diǎn)的軌跡的長度為r，是直徑的一半，所求概率為1/2；

（2）如圖Ⅱ，考慮從圓上某固定點(diǎn)P引出的弦，則所求概率為1/3；

第61頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（3）如圖Ⅲ，隨機(jī)的意義理解為：弦的中點(diǎn)落在圓的某個(gè)部分的概率與該部分的面積成正比，因?yàn)殚L度大于圓內(nèi)接正三角形邊長的弦的中點(diǎn)落在半徑為r/2的同心圓內(nèi)，因此所求概率為第62頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五貝特朗悖論說明概率的概念是以某種確定的實(shí)驗(yàn)為前提的，這種實(shí)驗(yàn)有時(shí)由問題本身所明確規(guī)定，有時(shí)則不然。因此，悖論把矛頭直指概率概念本身，特別是對拉普拉斯古典概率定義進(jìn)行猛烈批評。甚至連龐加萊(Poincaré)和波萊爾(Borel,1871～1956)這樣的大數(shù)學(xué)家對概率論的理論基礎(chǔ)也多有不滿。奧地利數(shù)學(xué)家米塞斯(Misses,1883～1953)1919年撰文說：“今天，概率論還不是一門真正的數(shù)學(xué)學(xué)科?！庇?jīng)濟(jì)學(xué)家凱雷斯(Keynes)1921在評論古典概率時(shí)說：“對科學(xué)家來說，它有一點(diǎn)占星術(shù)和煉金術(shù)的味道?！?/p>

這樣，到20世紀(jì)初，無論是概率論的實(shí)際應(yīng)用還是其自身發(fā)展，都強(qiáng)烈地要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)作出更加嚴(yán)格的考察。第63頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五二、概率論的公理化

自然科學(xué)的發(fā)展，要求不能再不加鑒別地應(yīng)用古典概率定義，不能總是假定出現(xiàn)的事件是有限的與等可能的。

1905年，測度論的奠基人法國數(shù)學(xué)家波萊爾就指出，概率論理論如果采用測度論術(shù)語來表述將會方便許多，并首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究。特別是1909年他提出強(qiáng)大數(shù)定律的條件問題。波萊爾的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列探索。

1926年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Koлмоrоров，1903～1987）推導(dǎo)了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件，后又對波萊爾提出的強(qiáng)大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果。大數(shù)定律是概率論的中心課題之一，它的解決標(biāo)志著測度論與可測函數(shù)論在概率論研究中的有力滲透。這些可視為關(guān)于概率理論公理化研究的先驅(qū)性工作。第64頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五概率理論新紀(jì)元的開始，以1933年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫的劃時(shí)代著作《概率論的基本概念》出版為標(biāo)志。在《概率論的基本概念》這本書中，柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，明確了概率的定義和概率論的基本概念。他把這些概念與現(xiàn)代集合論、測度論和泛函分析聯(lián)系起來，開創(chuàng)了測度論的概率論。

柯爾莫哥洛夫提出了6條公理，整個(gè)概率論大廈可以從這6條公理出發(fā)建筑起來?？聽柲缏宸虻墓眢w系逐漸獲得了數(shù)學(xué)家們的普遍承認(rèn)。由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，取得了與其他數(shù)學(xué)分支同等的地位，并通過集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著。第65頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五自1933年之后，概率論成為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，它的思想滲入各個(gè)學(xué)科，成了近代科學(xué)發(fā)展的明顯特征之一。

20世紀(jì)30年代被稱作“概率論的英雄時(shí)代”，以柯爾莫哥洛夫、辛欽(Я.Хинчин,1894～1959)、勒維、杜布(L.Doob)、費(fèi)勒（Feller）等現(xiàn)代概率論奠基者為核心的蘇聯(lián)學(xué)派、法國學(xué)派和美國學(xué)派從此成為世界概率論的研究中心。第66頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五安德雷·柯爾莫哥洛夫（Андре?йНикола?евичКолмого?ров?，1903－1987）柯爾莫哥洛夫，1903年4月25日生于俄國坦波夫；1987年10月20日卒于蘇聯(lián)莫斯科．

柯爾莫哥洛夫生后十天母親就去世，他由姨媽薇拉(Вира)與娜捷日達(dá)(Надежда)撫育，兩個(gè)姨媽努力引導(dǎo)他對書本和自然的興趣，開拓他的好奇心，帶他去田野、森林，給他講花草樹木的知識、星星與宇宙演化的故事、安徒生的童話……．第67頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五在五六歲時(shí)就領(lǐng)受到數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，觀察到柯爾莫哥洛夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，是俄國十月革命以后成長起來的數(shù)學(xué)家中的卓越代表。在魯金之后，柯爾莫哥洛夫成為莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派中占突出地位的領(lǐng)頭人物。概率論無疑是他科學(xué)生涯中最重要的成就。

第68頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五柯爾莫哥洛夫的貢獻(xiàn)卻遠(yuǎn)不止于此，他還涉及函數(shù)論與調(diào)和分析、拓?fù)鋵W(xué)、動力系統(tǒng)、微分方程、泛函分析、射影幾何、流體力學(xué)、自動控制、信息論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及數(shù)理邏輯等。他關(guān)于這些領(lǐng)域的論文大都短小精悍，帶有開創(chuàng)或奠基性質(zhì)?？聽柲缏宸?qū)?shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)也表現(xiàn)出濃厚的興趣并發(fā)表過許多膾炙人口的論述。作為出色的教育家，他培養(yǎng)的青年數(shù)學(xué)家僅成為原蘇聯(lián)科學(xué)院院土或通信院土的就有6位?？聽柲缏宸蜻€親自給中學(xué)生講課，并領(lǐng)導(dǎo)組織了全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克競賽?？聽柲缏宸蚴怯?、美、法等12個(gè)國家科學(xué)院的名譽(yù)院土，并多次獲得國際大獎。但他本人很少關(guān)心名譽(yù)、頭銜和金錢，1965年，他把得到的國際巴桑獎金全數(shù)捐贈給學(xué)校圖書館；1980年他榮獲沃爾夫獎，卻沒有前去領(lǐng)取獎金。第69頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)公理化后概率論的發(fā)展

一、中心極限定理的推廣

20世紀(jì)30年代的學(xué)者，都力圖為“中心極限定理”找到充分必要條件。

1935年，美國數(shù)學(xué)家費(fèi)勒證明了林德貝格條件對于任何給定的是收斂于正態(tài)分布的充分必要條件其中為有限標(biāo)準(zhǔn)差。第70頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五除了正態(tài)分布律以外，還有些什么分布律可以作為獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限律呢？

1937年，辛欽的結(jié)果表明，極限律遠(yuǎn)不限于正態(tài)律，但極限律的共同性質(zhì)是無窮可分的，也就是對于任何自然數(shù)n，依分布的隨機(jī)變量總是n個(gè)具有同一分布律的獨(dú)立隨機(jī)變量之和。至此，概率論中的古典極限定理問題獲得了令人滿意的解決。

20世紀(jì)40年代以來，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限定理為主導(dǎo)的極限理論成為現(xiàn)代概率論的重要研究方向之一。原蘇聯(lián)在此領(lǐng)域中居于領(lǐng)先地位。第71頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五二、隨機(jī)過程研究

隨機(jī)過程是現(xiàn)代概率論最重要的分支，它產(chǎn)生于隨時(shí)間變化的偶然性的數(shù)學(xué)模型。例如，某地第n年的降水量Xn由于受許多隨機(jī)因素的影響，它本身具有隨機(jī)性，因此Xn，n＝1，2，…，便是一個(gè)隨機(jī)過程。類似地，森林中動物的頭數(shù)，百貨公司每天的顧客人數(shù)，液體中受分子碰撞而作布朗運(yùn)動的粒子的位置等等，都隨時(shí)間而變化形成隨機(jī)過程。嚴(yán)格地說，現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)過程都具有程度不同的隨機(jī)性。數(shù)學(xué)定義如下：

設(shè)（Ω,F,P）為概率空間，T為指標(biāo)t的集合（通常視t為時(shí)間），如果對于每個(gè)，有定義在Ω上的隨機(jī)變量X（t）與之對應(yīng)，就稱隨機(jī)變量族X＝X（t），為一隨機(jī)過程（簡稱為過程）。第72頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

20世紀(jì)初，一些特殊的隨機(jī)過程早已引起人們注意。例如，1907年，馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈；1923年維納給出了布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)定義，這種過程至今仍是重要的研究對象。

人們在實(shí)際中常遇到具有下述特性的隨機(jī)過程：在已知它目前的狀態(tài)(現(xiàn)在)的條件下，它未來的演變（將來）不依賴于它以往的演變（過去）。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨(dú)立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程叫做馬爾可夫過程。

荷花池中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過程的一個(gè)形象化的例子。青蛙依照它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因?yàn)榍嗤苁菦]有記憶的,當(dāng)現(xiàn)在所處的位置已知時(shí),它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關(guān)。如果將荷葉編號并用分別表示青蛙最初處的荷葉號碼及第一次、第二次、……跳躍后所處的荷葉號碼，那么就是馬爾可夫過程。第73頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)過程的一般理論的研究通常認(rèn)為始于20世紀(jì)30年代。30年代初，柯爾莫哥洛夫發(fā)表的《概率論的解析方法》和辛欽發(fā)表的《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》為馬爾可夫過程和平穩(wěn)過程奠定了理論基礎(chǔ)。1951年伊藤清（KiyosiIto,1915～）建立了關(guān)于布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程的理論，為馬爾可夫過程的研究開辟了新的道路。1953年J．L．杜布的名著《隨機(jī)過程論》問世，系統(tǒng)而又全面地?cái)⑹隽穗S機(jī)過程的基本理論。60年代，法國學(xué)派基于馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結(jié)果，在相當(dāng)大的程度上發(fā)展了隨機(jī)過程的一般理論。

液體中微粒所作的布朗運(yùn)動，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在電子層中的跳躍，人口增長過程等等都可視為馬爾可夫過程。還有些過程（例如某些遺傳過程）在一定條件下可以用馬爾可夫過程來近似。第74頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)過程的研究方法是多樣的，主要可分為兩大類：

◆概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)、隨機(jī)微分方程等。◆分析方法，工具是測度論、微分方程、半群理論、函數(shù)論、希爾伯特空間等。但許多重要結(jié)果往往是兩種方法并用的。研究主要課題有：多指標(biāo)過程、流形上的隨機(jī)過程與隨機(jī)微分方程、無窮質(zhì)點(diǎn)馬爾可夫過程、概率與位勢、各種特殊過程的專題討論等等。第75頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五三、鞅論

從20世紀(jì)50年代開始，隨機(jī)過程理論進(jìn)一步抽象化，杜布創(chuàng)立了鞅論。

設(shè)y，x1，x2，…是隨機(jī)變量，又設(shè)yn是已知x1，…，xn時(shí)y的期望值，則yn是隨機(jī)變量，并為x1，…，xn的函數(shù)，且序列y1，y2，…是鞅。這就是說，如果人們知道得越來越多，那么一個(gè)隨機(jī)變量的期望值定義一隨機(jī)變量序列，這序列就是鞅。第76頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

鞅是具有如下性質(zhì)的隨機(jī)過程：若t1<…tn是參數(shù)值，則當(dāng)給定x(t1)，…，x(tn-1)時(shí)，x(tn)的期望值等于x(tn-1)。這也就是說，當(dāng)給定了現(xiàn)在和過去的值時(shí)，將來的期望值等于現(xiàn)在的值。在賭博中，鞅可以解釋為一個(gè)賭徒在參加一列公平的賭博之后的財(cái)富。

假設(shè)這個(gè)賭博的規(guī)則是扔一枚普通硬幣，如果正面朝上，你就贏1塊錢，反之你就輸一塊錢。如果我們用X(t)來表示在扔了t次硬幣以后你的總財(cái)富，那么X(t)就是一個(gè)鞅。因?yàn)闊o論前面t次賭博中硬幣朝上或朝下的次數(shù)有多少，以后每一次扔擲朝上和朝下的概率都是均等的；也就是說無論從X(0)到X(t)到底是怎么變化的（無論你是一口氣連贏t元錢，還是一口氣連輸t元錢，抑或是先輸?shù)魌/2元錢，再贏回t/2元錢，還是其他的結(jié)果），以后每一次扔擲對你的財(cái)富的影響的數(shù)學(xué)期望都是：。因此X（t）是一個(gè)鞅第77頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

1972年，斯?fàn)柧S斯特(Silverstein)從鞅論觀點(diǎn)出發(fā)，借助布朗運(yùn)動，首次發(fā)現(xiàn)函數(shù)屬于空間只需要通過它的實(shí)部的某種極大函數(shù)屬于空間便能刻劃出來。從此，鞅論中的理論作為函數(shù)論、泛函分析與概率論互相結(jié)合的產(chǎn)物迅速發(fā)展起來。第78頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五四、隨機(jī)分析

隨著隨機(jī)過程一般理論與鞅論的發(fā)展，在隨機(jī)過程理論研究中出現(xiàn)了一個(gè)廣泛的新領(lǐng)域——隨機(jī)分析。

這方面的許多重要成果是法國、日本的學(xué)者得到的，法國學(xué)者麥葉爾、日本學(xué)者伊藤清及其同事們的工作尤為出色。

在隨機(jī)微分方程研究方面，1974年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家皮普契爾（Лилиер）、西里亞耶夫（Ширяев）系統(tǒng)地論述了由微分方程給出的過程的濾波的近代發(fā)展。

1983年，馬利雅文（Malliavin）引進(jìn)算子L來刻劃密度函數(shù)，并將隨機(jī)變分學(xué)最先應(yīng)用于亞橢圓研究。第79頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

20世紀(jì)末，概率論發(fā)展的主要特點(diǎn)是它與物理學(xué)，特別是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和數(shù)學(xué)其它分支之間的相互滲透。

《美國數(shù)學(xué)研究評審小組報(bào)告》中指出的：“利用吉布斯態(tài)概念將抽象概率引進(jìn)統(tǒng)計(jì)力學(xué)和材料力學(xué)，將動態(tài)系統(tǒng)理論和遍歷性理論應(yīng)用于湍流的研究，這是新近數(shù)學(xué)進(jìn)入物理學(xué)的兩個(gè)重要例子。這些現(xiàn)象表明，抽象數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)正在相互接近，兩者之間的相互作用正在產(chǎn)生著豐碩的成果。”第80頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第五節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法一、英國的數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法

英國是數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想方法的發(fā)源地和研究中心。

1662年，葛朗特（Graunt）使用調(diào)查員調(diào)查倫敦市死亡人數(shù)是歷史上最早出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)推斷。帕蒂（Petty）、蘇斯米赫（Sussmich）等沿襲葛朗特的方法，形成了流派。他們注意到大量觀察結(jié)果的規(guī)律性，強(qiáng)調(diào)它的統(tǒng)計(jì)意義。生物學(xué)家嘎爾頓(Galton)在遺傳研究中為了弄清父子兩輩特征值的相關(guān)關(guān)系，揭示了統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)研究中的應(yīng)用。他引進(jìn)回歸直線、相關(guān)系數(shù)的概念，創(chuàng)始了回歸分析。第81頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五繼后，英國的皮爾遜(Pearson,1857～1936)進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)理論，成功地創(chuàng)建了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，并給出了“總體”的概念。

1891年，他和英國的動物學(xué)家達(dá)爾文發(fā)現(xiàn)他們在區(qū)分物種時(shí)用的有“好”和“比較好”說法，于是皮爾遜潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論，在《機(jī)遇的法則》中提出“概率”和“相關(guān)”的概念，接著又提出標(biāo)準(zhǔn)方差、正態(tài)曲線、平均變差、均方根誤差等一系列數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本術(shù)語。皮爾遜還致力于大樣本理論的研究，1900年，他給出的一檢驗(yàn)法是假設(shè)檢驗(yàn)最早、最典型的方法，他在理論分布完全給定的情況下，求出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布。

1901年，他創(chuàng)辦的《生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》雜志，使數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了自己的陣地，這是20世紀(jì)初數(shù)學(xué)的重大收獲之一。

1908年，皮爾遜的學(xué)生戈賽特(Gosset)發(fā)現(xiàn)了Z的精確分布，開創(chuàng)了“精確樣本理論”。第82頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五遺傳學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾（Fisher,1890～1962），是把數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科來研究的奠基者。費(fèi)歇