數(shù)學運算基礎(chǔ)知識

（簡單）計算問題——基礎(chǔ)學習

算式四則運算

藺單

計算河31

一.解答題

算式四則運算

1、算式四則運算例1：電影院有25排座位，每排有32個座位，現(xiàn)學校共759人到電影院看演

出，還剩多少個座位？

【答案】25X32-759=41,讀懂題目根據(jù)題意列式解答。

【結(jié)束】

2、算式四則運算例2：王老師要批改48篇作文，已經(jīng)批改了12篇.如果每小時批改9篇，還要

幾小時能改完？

【答案】（48-12）+9=4讀懂題目根據(jù)題意列式解答

【結(jié)束】

運用技巧計算

尾致法:

尾數(shù)法，顏名思義就是通過尾數(shù)來確定答案，尾數(shù)法在速算當中更多的是用于驗證計

算結(jié)果的正確性，所以大部分題目的最重要條件就是4個選項的尾數(shù)不一樣的時候才可以

用。故此公務員考試中的數(shù)學運算部分就全部為驗證計算結(jié)果的題目，所以熟練運用尾數(shù)法

是可以使作答事半功倍的。

首先應該掌握如下知識要點：

2452+613=3065和的尾數(shù)5是由一個加數(shù)的尾數(shù)2加上另一個加數(shù)的尾數(shù)3得到的。

2452-613=1839差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3簿到的.

2452X613=1503076積的尾數(shù)6是由一個乘數(shù)的尾數(shù)2乘以另一個乘數(shù)的尾數(shù)3得到的。

2452+613=4兩的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3簿到被除數(shù)的尾數(shù)2。（除法較特殊）

3、尾數(shù)法例1：有5個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為25,去掉其中一個數(shù)后，算術(shù)平均數(shù)為31,試問

去掉那個數(shù)是多少？（）

A.4B.3C.1D.2

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】利用尾數(shù)確定結(jié)，25X5-31X4=1（尾數(shù)法）。

【結(jié)束】

（l.Lr*（1.2T<-（l.ar+（1.4>,4,尾數(shù)法例2：請計算的值是（）。

A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30

【答案】B

1+3+9+“】.仃：1.”0.2"1."【解題關(guān)鍵點】的尾數(shù)為1,的尾數(shù)是4,的

尾數(shù)是9,的尾數(shù)是6,所以最后的尾數(shù)為的和的尾數(shù)即9,所以選B.

【結(jié)束】

【答案】應用尾數(shù)法的必要條件是四個選項的尾數(shù)不一樣。同時，我們在加，乘，減，

平方（立方）的運算中用了尾數(shù)法.這幾種運算之所以可以不用估計的使用尾數(shù)法,是因為|

這幾種運算都是從低位向高位運算，所以尾數(shù)一定是準確的。而另外兩種常見的運算，除法

是從高位算起。

除法的足數(shù)法什么時候可以用呢？現(xiàn)在給以個規(guī)律：首先我們要確定是整除運算，否則

除法尾數(shù)沒有任何意義。當除數(shù)的尾數(shù)是1,3,7,9,則尾數(shù)是固定的；當除數(shù)的尾數(shù)是2,

4,6,8時，尾數(shù)只可能有兩種；當除數(shù)的尾數(shù)是5時，一切皆有可能?當除數(shù)的尾數(shù)是0

時.看除數(shù)的例數(shù)第二位。（目前除法尾數(shù)來確定的題目并不多，難度相對來說比較低?！?/p>

【結(jié)束】

6、尾數(shù)法例3：少先隊第四中隊發(fā)動隊員中枇杷，第一天種了180棵，第二天種了166棵,

第三天種了149棵，平均每天中了多少棵（）

A.166B.167C.164D.165

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】此題的答案是165。但是用尾數(shù)法我們可以得到這時候尾數(shù)是5,也可

以得到答案。

【結(jié)束】

7、尾數(shù)法例4：一塊三角地，在三個邊上植樹，三個邊的長度分別為156米、186米、234

米，樹與樹之間的距離為6米，三個角上都必須栽一棵樹，問共需多少棵？（）

A.90棵B.93棵C.96棵D.99棵

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】用平常的方法就不說，這里用尾數(shù)法來說一下。如果用尾數(shù)法，則應該

是尾數(shù)1或者6,這題剛好選項里面沒有尾數(shù)為1的答案，所以答案應該就是96.通過這題

可以看出當除法的時候用尾數(shù)法是應當更加留心。

【結(jié)束】

6、自然數(shù)'次方的尾數(shù)變化情況知識要點

【答案】首先觀察2"的變化情況

T的尾數(shù)是A2’的尾數(shù)是4；2；的尾數(shù)是S,2’的尾數(shù)是6；25的尾數(shù)又是2；

我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以“4”為周期變化的即2\2\2*???2'z的尾數(shù)都相同。

3"是以“4”為周期進行變化的，分別為3,9,7,1.—3,9,7,1.

7"是以-4"為周期進行變化的，分別為9,3.1,7,???一3.1,7;

8,是以“4”為周期進行變化的，分別為$,4,2,6,???S,4,2,6>

4"是以“2”為周期進行變化的，分別為4,6,???%6.

9”是以“2”為周期進行變化的，分別為9,1,???%1;

5"、6"的尾數(shù)不變；

【結(jié)束】

9,尾數(shù)法例5：I%8**+1989""的各位數(shù)是（）。

A.9B.7C.5D.3

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】由以上知識點我們可知158#”的尾數(shù)是由中"得尾數(shù)確定的，

1989*4=497+1,所以/?的尾數(shù)與*的尾數(shù)是相同的，即'"的尾數(shù)是8。再來

看19891■的尾數(shù)是由尸得尾數(shù)確定的，1988+4=497+0,這里注意當余數(shù)為o時,

尾數(shù)應和0*?二?一盧尾數(shù)-致，所以產(chǎn)的尾數(shù)與?的尾數(shù)是相同的，即為1.綜

上可以得出I於L4-I989--的尾數(shù)是8+1=9,所欲選擇A.

【結(jié)束】

【答案】提取公因式進行簡化計算式一個最基本的四則運算方法。在提取公因式的時候

一定要注意提取公因式選擇的問即。

【結(jié)束】

1k提取公因式例1：(1X2X4+2X4X8+3X6X12)4-(1X3X9+2X6X9+2X6X18+3X9

X27)的值為多少？()

11￡7_

A32B.MC.而D.?

【答案】C

8

【解題關(guān)鍵點】提取公因式,[2X4X(l+8+27)]+[3X9X(1+8+27)]=27

【答案】尋找一個比較接近的數(shù)，通過一定的四則運算法則來替代原有的數(shù)從而達到簡

單快捷的運算。

【結(jié)束】

12、提取公因式例2：a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a的整數(shù)部分是()

A.44B.43C.45D.42

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】整體代換

a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+(9-0.00002)=9X5-0.22222,顯然這個

數(shù)的整數(shù)部分是44.

【結(jié)束】

13、裂項相消

【答案】通過觀察題目，把數(shù)列的通項拆分成兩項的差，便求和時出現(xiàn)的一些正負項相

互抵消，使之消去一些項，從而達到求和的目的。

常用公式：1：―5—=---—

城〃+1）n〃=1

2：--------------=-(-------------)

(2n-lX2n+l)22n-l2n=l

__________=1[^___________—]

n(n+l)(n+2)2”(”+1)(n+lX”+2)

4：廣1廣=―-而)

yja+7ba-b

5：〃?川=(n+1)J”！

【結(jié)束】

3一+……+_?_

14、裂項相消計算例1：1x21x2x3lx2x3x4Ix2x3x…xlG的值為()

108-19!-1

AW!B.10!-1C.10!D.10

【答案】c

【解題關(guān)鍵點】裂項相消

冷個-1x2x3)+

原式=(1-IX￡1X￡1X&X5??????+

11110-1

(lx2x3-*-x9Ix2x3x-xlir-Ix2x3x-xl0-10!

【結(jié)束】

15、裂項相消計算例2：3*15+35+63+99+]43+1S5+255的值是（）

包色旦

AWBWC.百D.?

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】裂項相消

1.11JI1,II,,1I、8

-Xll一一十一—一+———+———+??■+———-J=

本題可以拆成項化簡23355779156口。選擇c

【結(jié)束】

【答案】錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形

式。

【結(jié)束】

S=-+”?,|

17、錯位相減法例1：已知2482?，則S為（）

5=1-—

【答案】2*

1_

【解題關(guān)鍵點】因為2482?，兩邊同時乘以3得

1Ls=~-1

=1+1+1+......+^=1-—

2~4816尸。然后將兩式相減可得5-2尹，所以2*

【結(jié)束】

復雜計算問題——基礎(chǔ)學習

壽案多個數(shù)算術(shù)平均數(shù)I

平均數(shù)問題

考察均值不等式

考舞數(shù)列的求和公式I

數(shù)列問題

考察致列的通項公式

廠I比較兩個數(shù)的襄與0的大小I

|比較兩個皎的商與1的大小|

比較大小間S3

復雜|比較兩個數(shù)的倒皎|

計翼河總

r尋找中閶數(shù)以確定二者大小病

一、解答題

1、平均數(shù)問題例1：把自然數(shù)1,2,3,4,5????98,99分為三組，如果每組數(shù)的平

均數(shù)恰好相等，那么此平均數(shù)為()

A.55B.60C.45D.50

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】平均數(shù)問題

解析：每組的平均數(shù)相等說明平均數(shù)等于1?99的平均數(shù)，1到99的平均數(shù)為(1+99)小

2=50,那么每組的平均數(shù)為50

【結(jié)束】

2、考察均值不等式基礎(chǔ)知識

【答案】基本公式：〃+〃22出>(當且僅當24時取“=”號)

—>4ab《a>0,b>0,當且僅當a=6時取"='號》。

7

2

a+b：2(a；b)：22ab(當且僅當a=b時取?,=”號)。

衍生公式：片+會+<:221佇：亡￡匚(當且僅當a=b=c時取“=”號)。

竺昏2#盂(a>Q,b>Q,c>0.當且僅當a=b=c時取f號)。

【結(jié)束】

3、均值不等式例1：已知a,b,c為不全相等的正數(shù)，則a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a?+b2)>()

.A.6abeB.7abcC.8abcD.9abc

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】丁+朋22?*(當且僅當a=b時取“=”號)。

解析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a,b,c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，

左和右積，具備均值不等式的特征。：b2+c2>2bc,a>0,?.a(b2+c2)>2abc同理，b(c2+a2)>2bac,

c(a2+b2巨2cab,又「a,b,c不全相等，；.上述三個不等式中等號不能同時成立，因

此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。

【結(jié)束】

4、數(shù)列問題基礎(chǔ)知識

【答案】一般而言，公務員考試中的數(shù)列問題僅限于數(shù)列的簡星求和及其變化形式，一

般難度不大?？忌灰芎玫卣莆栈竟?，尤其是要學會運用等差中項的相關(guān)知識解題。

相關(guān)公式：

等差數(shù)列遞推公式：a,=q+(〃-l)d=+(M-m)d

等差數(shù)列求和公式：4=+叫=出售2

等差數(shù)列中項公式：2a”=4K+a4K

等比數(shù)列遞推公式：4=49"“

5、數(shù)列的求和例1：A,B,C,D,E五個人在一次滿分為100分的考試中，得分都大于91的

整數(shù)。如果A,B,C的平均分為95分，B,C,D的平均分為94分，A是第一名，E是第三名得

96分，則D的得分是()

A.96分B.98分C.97分D.99分

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】平均數(shù)問題

解析;A,B,C的平均分為95分，那么A,B,C的和為285,B,C,D的平均分為94分，那么B,C,D

的和為282,所以A和D的差為3,顯然B項和D項一定被排除，否則A的得分將大于100

分，如果D等于96分，則意味D和E并列得三名，則B和C中必然有一個為第二名，也

即成績要大于96分，則B和C中的另一個的成績一定要小于91分，顯然不符題意，所以

D的得分只能為97分，所以選C.

【結(jié)束】

6、數(shù)列的通項公式例1：有一串數(shù)，第一個數(shù)是6,第二個數(shù)是3,從第二個數(shù)起，每一個

數(shù)都比它前面的那個數(shù)與后面那個數(shù)的和小5,那么這串數(shù)，從第一個起到第400個數(shù)為止

的400個數(shù)之和是()

A.1991B.1992C.1993D.1995

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】考察數(shù)列的通項公式

解析:

法一：因為Q=,所以s*i=a-G-1+5，從第三個數(shù)起

?=3-64-5,<w=?-?+5=4.<u=m-<04-5=7前400個數(shù)的和為

$=創(chuàng)+01+工一<?+5+。*一。，+5+口=<M+<??+X。觀察通項公

式am=aw-a?+5=rm+10=-(-am4-10)+10，多列幾項會發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列6項為一

個循環(huán)。則aw---2,所以前400個數(shù)的和為3+2+398：5=1995

法二：通過觀察題目從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)與后面那個數(shù)的和小5,

即4*1=°-0-1+5?？梢运愠鰏=0?=又9==4.as=7.m=8,多列幾項會

發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列6項為一個循環(huán)。因為400=66x6+4,所以

S=66x(ai4-<n4-<?4-04-1-as-Hu)+<?+0■=1995

【結(jié)束】

入比較大小問題基礎(chǔ)知識

【答案】比較兩個數(shù)的差與0的大小

作差法：

任意兩數(shù)a、b,如果。一6>0則a>b;如外一6<0則a<b;如果a—b=O則a=b;

【結(jié)束】

1342111

8、比較大小例1：比較大小，n,3,加，10（）。

411竺21

--

A3<10,一五《一正

4色H21

B{-H{-10<-20

2111134

_-

c-M<10<_U<3

B11421

D-U（"IO<-3<_20

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】考察數(shù)列的通項公式

1111I1tI

解析：原式等于比較12‘3‘20’1°的大小。因為3101220即

4111321

3101220所以選A

【結(jié)束】

9、比較兩個數(shù)的兩與1的大小

【答案】

商比法：

當a、b為任意兩正勤時，如果2>1則a>b；如果2<1則a<b；如果2=lWJa=b.當

aaa

a、b為任意兩負數(shù)時,如果2>1則a<b；如果2<1則a>bi如果2=1

aaa

則a=b0

【結(jié)束】

22

10、比較大小例2：比較12與彳的大小。

54

【答案】12<1

z122.i

【解題關(guān)鍵點】解析：因為正+亍=48<1,所以，12<7

【結(jié)束】

11、比較兩個數(shù)的倒數(shù)

【答案】

倒數(shù)比較法：

兩個分數(shù)中，倒數(shù)大的那個分數(shù)反而小，倒數(shù)小的那個分數(shù)反而大。

【結(jié)束】

7￡

12、比較兩個數(shù)的倒數(shù)例1：比較Q與7的大小。

工>色

【答案】87

【解題關(guān)鍵點】比較兩個數(shù)的倒數(shù)

78=1+167=1+11<17>6

解析：因為正的倒數(shù)是亍一亍，亍的倒數(shù)是憶一不，而，6,因此后五

【結(jié)束】

【答案】

中間值法：

對任意兩數(shù)a、b.當很難亶接用作差法或者作比法比較大小時，我們通常選取中間值C,

如果a>c而c>b,則有a>b?

【結(jié)束】

色1

14、尋找中間數(shù)例1：比較京和亍的大小。

83

—>一

【答案】157

【解題關(guān)鍵點】

解析：因為正、￡,所以記,彳。

【結(jié)束】

15、定義新運算問題基礎(chǔ)知識

【答案】按新運算規(guī)則逐步計算

定義新運算：

定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義，實質(zhì)是給出了一種運算規(guī)則。

為防止發(fā)生混淆，新運算使用的符號一般不使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如

等。如定義的新運算：a*b=axb(a-b),其中新運算符號使用“*"，而等

號有邊新運算的意義則用四則運算來表示.

定義新運算的要點：

(1)如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則

的前提下，不妨先化簡運算式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。

(2價住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規(guī)定的法則代人數(shù)值。

(3)定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒

有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題。

(4)-般說來，新定義的運算不滿足運算定律，因比要特別注意即中所要求的運算順序。

【結(jié)束】

16、定義新運算例1：已知加-5,那么13*(6*11)+3的結(jié)果是多少?()

A.215B.273C.318D.385

【答案】B

【解題關(guān)鍵點】按新運算規(guī)則逐步計算

解析a**=aa+?-5那么6*11=6a+2x11-5=53

13*(6叫D=13*53=IT+2xS3-2=270所以D+3=270+3=273

【結(jié)束】

17、定義新運算例2：3T+5x+2=0,則—+3的值為()。

A.21B.23C.25D.29

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】按新運算規(guī)則組建方程

解析：由X、+5X+2=0可得=-5X-2,利用公式：

一+川=(a+A>-9/+1小+與-2x-=(^-t^a-4=(—-4=25-4=21

g*xxxx

【結(jié)束］________________________________________________________

18、公倍數(shù)公約數(shù)其礎(chǔ)知識

【答案】

公約數(shù)與公倍數(shù)的相關(guān)^念：

(1/約數(shù)：幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一

個稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。

(2居倍數(shù)：幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的個

大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。

要點提示

在有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的問題中，常用到以下結(jié)論：

(1)如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1.最小公倍數(shù)是兩個數(shù)的乘積。

(2)如果兩個數(shù)中，較大的數(shù)是較小的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，

較大數(shù)是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù).

(3)兩個數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所律的商是互質(zhì)數(shù)。

(4)兩個數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個數(shù)的乘積。

【結(jié)束】

△△19、公倍數(shù)公約數(shù)例1：先將線段AB分成20等分，線段上的等分點用“"標注，再

將線段分成21等分，等分點用“O”標注(AB兩點都不標注)，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)“”和“O”之

間的最短處為2厘米，間線段AB的長度為多少？()

A.2460厘米B.1050厘米C.840厘米D.680厘米

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】公倍數(shù)公約數(shù)

解析：20到21的最小公倍數(shù)是420,所以AB的長度為420X2=840厘米

【結(jié)束】

20、整除問題基礎(chǔ)知識

【答案】

相關(guān)概念

整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b#0),除簿的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b

整除(也可以說b能整除a)。

除盡：數(shù)a除以數(shù)b(b#0)?商是整數(shù)或有限小數(shù)而沒有余數(shù)時，叫做數(shù)a能被數(shù)b除盡，

或叫做數(shù)b能除盡數(shù)a。

約數(shù)、倍數(shù)：如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù).b就叫做a的約數(shù)。

一個自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的.其中最小的一個約數(shù)是1，最大的一個是它本身。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

整除規(guī)則

1:任何數(shù)都能被1整除。

2:個位上是2、4、6、8、0的數(shù)都能被2整除。

3:每一位上數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。

4:最后兩位能被4整除的數(shù)，這個數(shù)就能被4整除。

5:個位上是?；?的數(shù)都能被5整除。

6:一個數(shù)只要能同時被2和3整除，那么這個數(shù)就能被6整除.

7:把個位數(shù)字戴去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被

7整除。

8：最后t位能被S整除的數(shù)，這個數(shù)就能被8整除。

9:每一位上數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。

10:若一個整數(shù)的末位是0,則這個數(shù)能被10整除。

11:若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被II整

除.

12:若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

【結(jié)束】

22、整除問題例1：在1—300則300個自然數(shù)中，不能被7和9整除的數(shù)共有()個

A.42B.4C.33D.229

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】整除規(guī)則

能被7整除的有42個，能被9整除的有33個，能被63整除的有4個，所以不能被7和9

整除的個數(shù)為300-(42+33)+4=229

【結(jié)束】

23、數(shù)碼問題基礎(chǔ)知識

【答案】

相關(guān)概念：通過計算理解數(shù)碼在書頁中的理論知識.

頁碼是一位數(shù)時，每頁都是一個數(shù)碼。例如：第六頁的數(shù)碼就是1＞笫七頁也是b

頁碼是兩位數(shù)時，每頁都是兩個數(shù)碼。例如：第二十頁的數(shù)碼是2.

頁碼是三位數(shù)時，每頁都是三個數(shù)碼。例如：第一百六十頁的數(shù)碼是3.

在這里我們要尋找一題律：

當書的頁碼是9頁是，它的數(shù)碼是9.

當書的頁碼是99頁時，它的數(shù)碼是189.

當書的頁碼是999頁時，它的數(shù)碼是2889.

這樣我們就可以通過比較數(shù)碼的大小來粗略的判斷頁碼是幾頁、幾十頁還是幾百頁，從而

加快做題的速度。（公務員考試一般不會超過千頁，同學們要放心。）

【結(jié)束】

24、數(shù)碼問題例1：一本故事書的頁碼，在排版時必須用972個數(shù)碼，問：這本書共有多少

頁？

【答案】360。

【解題關(guān)鍵點】一位數(shù)頁數(shù):9頁（123-9）,二位數(shù)頁數(shù):90頁（10111213-—99）假設(shè)

100頁以后有X頁，所以】*9+2*90+3**=972即4=261.所以總共的頁數(shù)是

9+90+261=360o

【結(jié)束】

25、數(shù)碼問題例2：將自然數(shù)按從小到大的順序無間隔地排成?個大數(shù)：123456789101112…

問：左起第2000位上的數(shù)字是多少？

【答案】是0。

【解題關(guān)鍵點】本題類似于“用2000個數(shù)碼能排多少頁的頁碼？”因為（2000—189戶3=

603……2,所以2000個數(shù)碼排到第99+603+1=703（頁）的第2個數(shù)碼“0”.所以本題的第

2000位數(shù)是0o

【結(jié)束】

26、數(shù)碼問題例3：從“1”一直寫到“701”：12345678910111213...699700701。共有多少個阿

拉伯數(shù)字？

【答案】1995.

【解題關(guān)鍵點】

解法一■：

第1到第9,字符數(shù)有：9個

第10到第99,字符數(shù)有：90x2=180個

第100到第701,字符數(shù)有:(701-99)x3=1806個

因此數(shù)字有：9+180+1806=1995個

解法二：

由于一直是寫道701,因此從100開始都是3個字符

因此我們將不是3個字符的1位數(shù)、2位數(shù)都補充成3位數(shù)

我們看，第1到第9,補充成3位數(shù)的話就是001——009,也就多了2*9=18個數(shù)字

10到99,補充成3位數(shù)的話就是010——099,也就多了1*90=90個數(shù)字

因此就多了：18+90=108個數(shù)字

所以701頁的書本的字符數(shù)有:701x3-108=(701-36)'3=1995個

【結(jié)束】

分段計算問題

【答案】

是指就是代數(shù)中的分段函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是正確的找出分段點，明確各分區(qū)間內(nèi)數(shù)

值間的關(guān)系。

【結(jié)束】

28、分段計算例1：將一根繩子連續(xù)對折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共6刀。問這樣

操作之后，原來的繩子被剪成了幾段？()

A.18B.49C.42D.52

【答案】B

【解題關(guān)鍵點】分段計算問題

剪6刀應該是7X8=56段，但是原來還有7斷連續(xù)，所以是56-7=49段，所以選B.

【結(jié)束】

29、分段計算例2：某原料供應商對購買其原料的顧客實行如下優(yōu)惠措施：①一次購買金額

不超過1萬元，不予優(yōu)惠；②一次購買金額超過1萬元，但不超過3萬元，給九折優(yōu)惠；③

一次購買金額超過3萬元，其中3萬元九折優(yōu)惠，超過3萬元部分八折優(yōu)惠。某廠因庫容原

因，第一次在該供應商處購買原料付款7800元，第二次購買付款26100元，如果他一次購

買同樣數(shù)量的原料，可以少付多少元？()

A.1460元B.1540元C.3780元D.4360元

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】第一次付款7800元，因此第一次購買的原料價值7800元(不打折)；第二

次付款26100元，因此第二次購買的原料價值26100+0.9=29000元(打九折)；所以兩次

購買的原料總價值為7800+29000=36800元。①0?30000元的部分，應付30000x90%=27000

元；②30000?36800元的部分，應付6800*80%=5440元。

綜上，總共少支付(7800+26100)-(27000+5440)=1460元。

【結(jié)束】

比例問題——基礎(chǔ)學習

直接列出比例式求解問題

用比例法解分數(shù)應用§5

比例問總

兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例問題

復雜比例問題

解答題

1、比例問題的基礎(chǔ)知識

【答案】

1，比和比例主要包括：比、比例、比的基本性質(zhì)、比的化簡、比例尺、正反比例，

2：比表示兩個數(shù)相除.兩個數(shù)相除的結(jié)果，叫做比值；

3：表示兩個比相等的式子叫做比例.明確：有兩個比，且比值相等，就能組成比例；反之，

如果是比例，就一定有兩個比，且比值相等.(比例由兩個比組成，有四個數(shù)，是一個等式；

比是一個比，有兩個數(shù)，不是等式)，

4,在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積.這就是比例的基本性質(zhì)，.

5：噌加(擴大)與減少(縮小)趨勢相同的關(guān)系為正比例，噌加(擴大)與減少(縮小)

趨勢相反的關(guān)系為反比例

6：解決好比例問題，關(guān)犍要從兩點入手，第一，“和譙比”；第二，"噌加或下降多少”.

【結(jié)束】

2、直接列出比例式求解例1：車過河繳費3元，馬過河繳費2元，人過河繳費1元。某天

過河的車數(shù)：馬數(shù)=2：9,馬數(shù)比人數(shù)=3：7,共收渡費315元，則車、馬、人的數(shù)目分別是。

()

A.16,63,145B.16,63,147C.14,63,147D.16,63,156

【答案】C

【解題關(guān)鍵點】車：馬：人=2：9：21,收費比為(3X2)：(2X9)：(1X21)=2：

6：7,所以這天過的車數(shù)是315X2+(2+6+7)+3=14,馬有14+2X9=63匹，人有14?2

X21=147人。

【結(jié)束】

3、直接列出比例式求解例2：兩隊參加競賽，甲隊平均分是13.06,乙隊平均分是10.2,

兩隊總平均分是12.02,那么，兩隊人數(shù)比為()。

A.1：1B.1：2C.3：7D.7：4

【答案】D

【解題關(guān)鍵點】兩隊人數(shù)比為(12.02—10.2)：(13.06—12.02)=1.82：1.04=7：4。

【結(jié)束】

4、直接列出比例式求解例3：已知；a:b=21:4,a:c=7:6,求a:b:c是多少？

【答案】a:b:c是21:4：18o

【解題關(guān)鍵點】a:b=21:4,a:c=7:6=21：18,故a:b:c=21:4：18

【結(jié)束】

5、直接列出比例式求解例4：科技組與作文組人數(shù)的比為9：10,作文組與數(shù)學組人數(shù)的

比為5：7,求科技組、數(shù)學組、作文組的人數(shù)比是多少？若數(shù)學組與科技組共有69人，求

作文組的人數(shù)？

【答案】科技組、數(shù)學組、作文組的人數(shù)比是9：14：10,作文組有30人。

【解題關(guān)鍵點】科：作=9：10,作：數(shù)=5：7=10：14,故，科：數(shù)：作=9：14：10,

69+（9+14）=3,3X10=30（人）

【結(jié)束】

6、直接列出比例式求解例5：小張開車從甲地到乙地送貨，從乙地返回甲地時的速度是去

時的速度的3倍，時間減少了40分鐘。小張送貨時從甲地到乙地用了多少分鐘？

A.60分鐘B.50分鐘C.70分鐘1）.65分鐘

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】設(shè)甲地到乙地用時X,X:（X-40）=l:3,^fi?JX=60

【結(jié)束】

7、用比例法解分數(shù)應用題例1：有三箱水果共重60千克，如果從第一、二箱中都取出3千

克水果放入第三箱中，則第、二、三箱水果重量的比是1：2：3,求三箱水果原來分別重

多少千克？

【答案】第一、二、三箱分別有水果13千克、23千克、24千克。

【解題關(guān)鍵點】現(xiàn)在第一、二、三箱分別有水果：

60x—i—=10

1+2+3（千克）

?0x---=20

1+2+3（千克）

3

SOx---=30

1+2+3（千克）

從而，原來第一、二、三箱分別有水果13千克、23千克、24千克。

【結(jié)束】

8、用比例法解分數(shù)應用題例2：A、B、C是三個順次咬合的齒輪，已知齒輪A旋轉(zhuǎn)7圈時,

齒輪C旋轉(zhuǎn)6圈。如果A的齒數(shù)為42,那么C的齒數(shù)是多少？如果B旋轉(zhuǎn)7圈，C旋轉(zhuǎn)1

圈，那么A旋轉(zhuǎn)8圈時，B旋轉(zhuǎn)了多少圈？

【答案】如果A的齒數(shù)為42,那么C的齒數(shù)是49；A旋轉(zhuǎn)8圈時，B旋轉(zhuǎn)48圈。

1_1

【解題關(guān)鍵點】由題設(shè)知，A:C=7：6,A：C=76=6：7=42：49,即若A的齒數(shù)為

42,則C的齒數(shù)為49。B:C=7：1,從而A:B:C=7:4為6,由此,A:B=7:42=1:6=8:48。

即A旋轉(zhuǎn)8圈時，B旋轉(zhuǎn)48圈。

【結(jié)束】

1

9、用比例法解分數(shù)應用題例3：有紅、黃、白三種球共160個。如果取出紅球的了，黃球

211j1

的；，白球的“則還剩120個；如果取出紂球的5,黃球的1,白球的3,則剩116個,

問原有黃球，紅球，白球各幾個？（）

A.30,45,85B.45,75,40C.40,45,75D.75,40,45

【答案】C

22

【解題關(guān)鍵點】第二次取出的紅球比第一次少15,白球比第一次多15,則白球總數(shù)

三x+3130-2K

比紅球多30個。設(shè)紅球數(shù)量為x,列方程：3+5+4=40,得到x=45,白球有

75,黃球有40個，本題亦可由倍數(shù)快速求解。

【結(jié)束】

10、用比例法解分數(shù)應用題例4：有甲、乙兩個兩位整數(shù)，甲數(shù)的7等于乙數(shù)的3,那么

這兩個兩位整數(shù)的差最多是（）。

A.49B.56C.63D.70

【答案】B

"1-i7"

__二T

【解題關(guān)鍵點】甲數(shù)的7=乙數(shù)的3,甲數(shù)的亍=乙數(shù)，甲數(shù)一乙數(shù)=甲數(shù)的亍。100

內(nèi)的7的倍數(shù)最大是98.兩個兩位整數(shù)的差=98X7=56,故應選擇B。

【結(jié)束】

11、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例LA和B兩個數(shù)的比是8：5,每一數(shù)都減少34

后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).

【答案】A,B兩數(shù)分別是136與85.

【解題關(guān)鍵點】減少相同的數(shù)34,因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變,

解題時要充分利用這一點.

8:5,就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2：1,兩者相

差L將前項與后項都乘以3,即2：1=6:3,使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2(份)

或5-3=2(份).因此，每份是34：2=17.A數(shù)是17X8=136,B數(shù)是17X5=85.

【結(jié)束】

12、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例2：原有男、女同學共325人，新學年男生增加了

25人，女生減少了，總?cè)藬?shù)增加了16人，那么現(xiàn)在有男同學()人

A.170B.110C.160D.190

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】設(shè)男生X人，則女生325-X人。列出方程式：

(X+25)+[325-(325-X)/20]=325+16,求得：X=170

【結(jié)束】

13、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例3：甲、乙兩同學的分數(shù)比是5：4.如果甲少得22.5

分，乙多得22.5分，則他們的分數(shù)比是5：7.甲、乙原來各得多少分？

【答案】甲原先得90(分)，乙得72(分).

【解題關(guān)鍵點】解?：甲、乙兩人的分數(shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后

要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是

36,我們讓變化前后都按36份來算.

5:4=(5X4)：(4X4)=20：16.

5：7=(5X3):(7X3)=15：21.

甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來

甲得22.525X20=90(分),

乙得22.5+5X16=72(分).

答：原來甲得90分，乙得72分.

我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.

解二：設(shè)原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.

(5x-22.5)：(4x+22.5)=5：7,即5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12X22.5,

x=18.甲原先得分18X5=90(分)，乙得18X4=72(分).

【結(jié)束】

14、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例4：有一袋子球，其中紅球占三，然后再放入8個

￡

紅球后，紅球占14,求現(xiàn)在袋子中共有多少個球？

【答案】現(xiàn)在共有球224個.

【解題關(guān)鍵點】本題的特點是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把1：2寫成4.5：9,

就是充分利用這特點.本題也可以列出如下方程求解：

(x+8):2x=5:9.

其他球的數(shù)量沒有改變，增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是

5:(14-5)=5:9；

在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是

1:(3-1)=1：2=4.5:9.

因此8個紅球是5-4.5=0.5(份)：

現(xiàn)在總球數(shù)是8X(5+9)X2=224(個)?

【結(jié)束】

15、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例5：甲、乙兩隊工程隊，甲隊的人數(shù)是乙隊的70%。

根據(jù)工程需要，現(xiàn)從乙隊抽出40人到甲隊，此時乙隊比甲隊多136人，則甲隊原有人數(shù)是

多少？()

A.504人B.620人C.630人D.720人

【答案】A

【解題關(guān)鍵點】由甲隊的人數(shù)是乙隊人數(shù)的70%可知甲隊人數(shù)能被7整除，選項中A、C

符合。若為C,則甲、乙兩隊人數(shù)都能整除10,則從乙隊抽出40人后，兩隊相差的人數(shù)依

然能整除10,與“乙隊比甲隊多136人”矛盾，排除C。故A是正確答案。

【結(jié)束】

16、兩個數(shù)量同時發(fā)生增減變化的比例例6：甲、乙兩盒共有棋子108顆，先從甲盒中取出

放入乙盒，再從乙盒取出放回甲盒，這時兩盒的棋子數(shù)相等，問，甲盒原有棋子多少顆？

()

A.40B.48C.52D.60

【答案】B

【解題關(guān)鍵點】此題可用方程法，設(shè)甲盒有X顆，乙盒有y顆，可得x+y=108,x+（y+

x）=45,解得x=48,y=60.

【結(jié)束】

17、復雜比例例1：張家與李家的收入錢數(shù)之比是8:5,開支的錢數(shù)之比是8：3,結(jié)果張

家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？

【答案】張家收入720元，李家收入450元.

【解題關(guān)鍵點】法一：我們采用“假設(shè)”方法求解.

如果他們開支的錢數(shù)之比也是8:5,那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應是8:5.張家結(jié)余240

元，李家應結(jié)余x元.有

240:x=8:5,x=150（元）.

實際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8：5中5份與8：3中3份的差，

每份是120+（5-3）=60.（元）.因此可求出

張家李家

開支60X8=48060X3=180

收入480+240=720180+270=450

法二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一

樣多.

我們畫出一個示意圖：

_一8份X3、----、

張二-----------母&

__----份--------------一?

李X3Q-------------1------------有

張家開支的3