激光原理教案第二章

激光原理教案第二章第1頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

高斯光束在空間的傳輸規(guī)律、光學(xué)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換規(guī)律。第2頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.1

光腔理論的一般問(wèn)題一、光腔的構(gòu)成和分類諧振腔：在激活物質(zhì)的兩端恰當(dāng)?shù)胤胖脙蓚€(gè)反射鏡片平行平面腔，它由兩塊平行平面反射鏡組成。這種裝置在光學(xué)上稱為法布里—珀羅干涉儀，簡(jiǎn)記為F—p腔。共軸球面腔:由兩塊具有公共軸線的球面鏡構(gòu)成的諧振腔第3頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

閉腔：由于固體激光材料通常都具有比較高的拆射率(例如，紅寶石的折射率為1．76)，在側(cè)壁磨光的情況下，那些與軸線交角不太大的光線將在例壁上發(fā)生全內(nèi)反射。因此，如果腔的反射鏡緊貼著激光棒的兩端，則將形成封閉腔。

開放式光學(xué)諧振腔：其側(cè)面沒有光學(xué)邊界(這是一種理想化的處理方法)，簡(jiǎn)稱開腔。根據(jù)光束幾何偏折損耗的高低，開腔通常又可分為穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔和臨界腔。氣體激光器是采用開腔的典型例子。第4頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

氣體波導(dǎo)諧振腔：在一段空心介質(zhì)波導(dǎo)管兩端適當(dāng)位置處放置兩塊適當(dāng)曲率的反射鏡片。這樣，在空心介質(zhì)波導(dǎo)管內(nèi)，場(chǎng)服從波導(dǎo)管中的傳輸規(guī)律；而在波導(dǎo)管與腔鏡之間的空間中，場(chǎng)按與開腔中類似的規(guī)律傳播。這種腔與開腔的差別在于：波導(dǎo)管的孔徑往往較小(雖然通常仍遠(yuǎn)比波長(zhǎng)為大)，以致不能忽略側(cè)面邊界的影響。第5頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第6頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第7頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

腔的模式:光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)的本征態(tài)稱。場(chǎng)的每一個(gè)本征態(tài)將具有一定的振蕩頻率和一定的空間分布。諧振腔可以按不同的方法可分為：端面反饋腔與分布反饋腔，球面腔與非球面腔，高損耗腔與低損耗腔，駐波腔與行波腔，兩鏡腔與多鏡腔，簡(jiǎn)單腔與復(fù)合腔等．本章討論兩鏡腔。二、模的概念、腔與模的一般聯(lián)系第8頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

腔與模的關(guān)系：

腔內(nèi)電磁場(chǎng)的本征態(tài)應(yīng)由麥克斯韋方程組及腔的邊界條件決定。不同類型和結(jié)構(gòu)的諧振腔的模式各不相同。

對(duì)閉腔，一般可以通過(guò)直接求解微分形式的麥克斯韋方程組來(lái)決定其模式尋求開腔模式的問(wèn)題通常歸結(jié)為求解一定類型的積分方程。

模的基本特征：模在腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布，模的諧振頻率，模在腔內(nèi)往返的相對(duì)功率損耗；模的光束發(fā)散角。第9頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日0為光在真空中的波長(zhǎng)，L’為腔的光學(xué)長(zhǎng)度，q為整數(shù)

縱模頻率間隔：利用均勻平面波模型在開腔中傍軸傳播模式的諧振條件，可建立關(guān)于縱模頻率間隔的普遍表示式。

均勻平面波在F—P腔中沿軸線方向往返傳播,發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件是：第10頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日0q

稱為腔的諧振波長(zhǎng)q稱為腔的諧振頻率當(dāng)光腔內(nèi)充滿折射率為的均勻物質(zhì)時(shí)式中q

為物質(zhì)中的諧振波長(zhǎng)第11頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日本征模式在腔的橫截面內(nèi)場(chǎng)分布是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)由q決定，q單值地決定模的諧振頻率。第12頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

光頻諧振腔的尺寸一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，因而總是工作在極高次的諧波上，即整數(shù)q通常很大，一般具有104~106數(shù)量級(jí)。例如，對(duì)L＝l00cm的氦氖激光器(x＝0.6328μm):第13頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、光腔的損耗(1)幾何偏折損耗光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)，可能從腔的側(cè)面偏折出去，我們稱這種損耗為幾何偏折損耗。例如，穩(wěn)定腔內(nèi)傍軸光線的幾何損耗應(yīng)為零，而非穩(wěn)腔則有較高的幾何損耗。不同幾何尺寸的非穩(wěn)腔其損耗大小亦各不相同。幾何損耗的高低依模式的不同而異,高階模幾何損耗也比低階橫模為大。第14頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(2)衍射損耗

由于腔的反射鏡片通常具有有限大小的孔徑，因而當(dāng)光在鏡面上發(fā)生衍射時(shí)，必將造成一部分能量損失。衍射損耗的大小與腔的菲涅耳數(shù)有關(guān)，與腔的幾何參數(shù)有關(guān)，而且不同橫模的衍射損耗也將各不相同。(3)腔鏡反射不完全引起的損耗包括鏡中的吸收、散射以及鏡的透射損耗。

(4)材料中的非激活吸收、散射，腔內(nèi)插入物(如布儒斯特窗，調(diào)Q元件、調(diào)制器等)所引起的損耗，等等。第15頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

1，2兩種損耗常稱為選擇損耗，不同模式的幾何損耗與衍射損耗各不相同。3，4兩種稱為非選擇損耗，通常情況下它們對(duì)各個(gè)模式大體一樣。

平均單程損耗因子：如果初始光強(qiáng)為I0，在無(wú)源腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為

I1，則第16頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單程損耗因子‘當(dāng)損耗很小時(shí)1.光子在腔內(nèi)的平均壽命第17頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

時(shí)間常數(shù)R的物理意義:經(jīng)過(guò)R時(shí)間后，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減為初始值的1／e,腔內(nèi)光子數(shù)將隨時(shí)間依指數(shù)規(guī)律衰減，到R時(shí)刻衰減為初始值1／e。愈大，R愈小，說(shuō)明腔的損耗愈大，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減得愈快。

2．無(wú)源諧振腔的Q值

腔的損耗愈小,Q值愈高，表示腔的損耗或儲(chǔ)能的情況。第18頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3．損耗舉例(1)由鏡反射不完全所引起的損耗

以r1,r2表示腔的兩個(gè)鏡面的反射率，初始強(qiáng)度為I0的光，在腔內(nèi)往返一周經(jīng)兩個(gè)鏡面反射后，其強(qiáng)度I1應(yīng)為第19頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第20頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗:設(shè)光在腔內(nèi)往返m次后才逸出腔外第21頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

上式表明，傾斜腔的損耗與L，D，均有關(guān)。且隨L的增大及D的減小而增加。以D＝1cm，L＝1m計(jì)算，為了保持＜0.1必須有第22頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(3)衍射損耗由衍射引起的損耗隨腔的類型、具體幾何尺寸及振蕩模式而不同，是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題。這里只就均勻平面波在乎面孔徑上的夫瑯和費(fèi)衍射對(duì)腔的損耗作一粗略的估計(jì)。第23頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日N：菲涅耳數(shù)，N愈大，損耗愈小。第24頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件

一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示

第25頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日規(guī)定：

朝上為正、下為負(fù)

指向上方為正、下方為負(fù)第26頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日光線在均勻介質(zhì)中傳播距離L時(shí)有

第27頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在球面鏡上發(fā)生反射時(shí)

第28頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日界面折射（折射率分別為n1,n2）

折射率、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻介質(zhì)

薄透鏡（焦距f）

平面反射鏡

第29頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第30頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第31頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第32頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日光線在腔內(nèi)傳播的情形,其坐標(biāo)變換情況如下：第33頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第34頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第35頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件

第36頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日按穩(wěn)定性條件將諧振腔如下分類：例：對(duì)稱共焦腔、平平腔、共心腔第37頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：相同透鏡波導(dǎo)（f1＝f2）：第38頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

共軸球面腔的穩(wěn)定圖第39頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日利用穩(wěn)定條件可將球面腔分類如下:

雙凹穩(wěn)定腔，由兩個(gè)凹面鏡組成，對(duì)應(yīng)圖中l(wèi)、2、3和4區(qū)

平凹穩(wěn)定腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成，對(duì)應(yīng)圖中AC、AD段凹凸穩(wěn)定腔，由一個(gè)凹面鏡和一個(gè)凸面鏡組成，對(duì)應(yīng)圖中5區(qū)和6區(qū)。共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，對(duì)應(yīng)圖中的坐標(biāo)原點(diǎn);半共焦腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)R=2L的凹面鏡組成的腔，對(duì)應(yīng)圖中E和F點(diǎn)。。(1)穩(wěn)定腔第40頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)非穩(wěn)腔:圖中陰影部分的光學(xué)諧振腔都是非穩(wěn)腔平行平面腔，對(duì)應(yīng)圖中的A點(diǎn)。只有與腔軸平行的光線才能在腔內(nèi)往返。共心腔，滿足條件R2＋R2＝L，對(duì)應(yīng)圖中第一象限的g1g2＝1的雙曲線;半共焦腔，由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成，對(duì)應(yīng)圖中C點(diǎn)和D點(diǎn)(2)臨界腔第41頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.3開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法

一、開腔模的一般物理概念

理想的開腔模型：兩塊反射鏡片(平面的或曲面的)沉浸在均勻的、無(wú)限的、各向同性的介質(zhì)中。這樣就沒有側(cè)壁的不連續(xù)性，而決定衍射效應(yīng)的孔徑就由鏡的邊緣所構(gòu)成.第42頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

開腔的自再現(xiàn)?；驒M模：經(jīng)過(guò)足夠多次渡越以后形成的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)；分布不再受衍射的影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場(chǎng)分布。

穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一可能的變化是，鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同祥的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。當(dāng)兩個(gè)鏡面完全相同時(shí)(對(duì)稱開腔)，這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布應(yīng)在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越后即實(shí)現(xiàn)“再現(xiàn)”。第43頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

自再現(xiàn)模一次往返所經(jīng)受的能量損耗稱為模的往返損耗。在理想開腔中，等于前面所指出的衍射損耗。自再現(xiàn)橫經(jīng)一次往返所發(fā)生的相移稱為往返相移，該相移等于2的整數(shù)倍，這就是摸的諧振條件。

二、孔闌傳輸線孔闌傳輸線：由一系列同軸的孔構(gòu)成，這些孔徑開在平行放置的無(wú)限大完全吸收屏上，相鄰兩個(gè)孔徑間的距離等于腔長(zhǎng)L，孔徑大小等于鏡的大小，對(duì)稱開腔的所有孔徑的大小和形狀都應(yīng)相同。第44頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第45頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

三、菲涅耳—基爾霍夫衍射積分

惠更斯—菲涅耳原理：從理論上分析衍射問(wèn)題，是開腔模式問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述是所謂菲涅耳—基爾霍夫衍射積分，它可以從普遍的電磁場(chǎng)理論推導(dǎo)出來(lái)。該積分公式表明，如果知道了光波場(chǎng)在其所達(dá)到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場(chǎng)在空間其它任意位置處的振幅和相位分布。第46頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

惠更斯-菲涅耳原理第47頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第48頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

四、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程式

上式就是模式再現(xiàn)概念的數(shù)學(xué)表述，應(yīng)為一個(gè)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)

第49頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日以v(x,y)表示開腔中自再現(xiàn)模，則有

K(x,y,x’,y’)稱為積分方程的核。v(x,y)應(yīng)為復(fù)函數(shù)，它的模描述鏡面上場(chǎng)的振幅分布，而其輻角描述鏡面上場(chǎng)的相位分布。

第50頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1十cos)／=2／L

只要滿足條件L，R》d》，尋求開腔模的問(wèn)題都可以歸結(jié)為求解以上積分方程或積分方程組。第51頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日五、復(fù)常數(shù)的意義

e-:量度每經(jīng)單程渡越時(shí)自再現(xiàn)模的振幅衰減的大小，＝0自再現(xiàn)橫在腔內(nèi)能無(wú)損耗地傳播。表示每經(jīng)一次渡越模的相位滯后，愈大，相位滯后愈多。

第52頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

自再現(xiàn)橫在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越所經(jīng)受的相對(duì)功率損失稱為模的單程損耗

自再現(xiàn)模在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越的總相移定義為

開腔自再現(xiàn)模的諧振條件

第53頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

六、分離變量法

對(duì)矩形及圓形平面鏡腔、共焦球面或拋物面腔和一般球形鏡腔等幾種常見的幾何結(jié)構(gòu)，可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)變量分離，將關(guān)于二元函數(shù)V(x,y)的積分方程化成兩個(gè)單元函數(shù)的積分方程，從而更易于求解。

例：對(duì)稱矩形平面鏡腔，鏡的邊長(zhǎng)為2a×2b,腔長(zhǎng)為L(zhǎng),滿足關(guān)系

L》a,b》第54頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第55頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)滿足條件a2/L<<(L/a)2,b2/L<<(L/b)2

，近似有第56頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第57頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

對(duì)圓形平面鏡腔，也可以進(jìn)行類似的推導(dǎo)，并證明其模式積分方程是可分離變量的。第58頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.4平行平面腔模的迭代解法

平行平面腔在激光發(fā)展史上最先被采用，第一臺(tái)激光器（梅曼）紅寶石激光器就是用平行平面腔做成的。目前，在中等以上功率的固體激光器和氣體激光器中仍常常采用它。平行平面腔的主要優(yōu)點(diǎn)是光束方向性極好(發(fā)散角小)、模體積較大、比較容易獲得單橫模振蕩等。主要缺點(diǎn)是調(diào)整精度要求極高，此外，與穩(wěn)定腔比較，損耗也較大，因而對(duì)小增益器件不大適用。

第59頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

平面腔模的迭代解法:利用迭代公式直接進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，首先．假設(shè)在某一鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布，將它代入迭代式，計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第一次渡越而在第二個(gè)鏡面上生成的場(chǎng)、，然后再用所得到的場(chǎng)計(jì)算在腔內(nèi)經(jīng)第二次渡越而在第一個(gè)鏡上生成的場(chǎng)。

反復(fù)運(yùn)算注意經(jīng)過(guò)足夠多次以后，在腔面上能否形成一種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布。如果直接數(shù)值計(jì)算得出了這種穩(wěn)定的場(chǎng)分布，則可認(rèn)為找到了腔的一個(gè)自再現(xiàn)?；驒M模。

第60頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例：對(duì)稱條狀腔鏡的寬度為2a，腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的對(duì)稱條狀腔。

取ul=1,即認(rèn)為整個(gè)鏡面為等相位面且鏡面上各點(diǎn)波的振幅均為1

第61頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日條狀腔中模的形成

第62頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日a＝25，L＝100,N=6．25

數(shù)值計(jì)算過(guò)程表明，為了形成穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布，對(duì)N＝6．25的情形，300次左右的渡越是必要的?？梢垣@得自再現(xiàn)模建立時(shí)間的概念：對(duì)L＝100，2a＝50．＝1m(N＝6．25)的平面腔，完成300次渡越所需要的時(shí)間為t＝300×L/c＝10—10s而對(duì)L＝100cm，2a＝0．5cm，＝1m，(N＝6.25)的條狀腔，模的建立時(shí)間為t＝300×L/c＝10—6s為了形成自再現(xiàn)模所必需的渡越次數(shù)與波的菲涅耳數(shù)有關(guān)，N愈大，所需渡越次數(shù)愈多。

第63頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

滿足條件Rl＝R2＝L的諧振腔稱為對(duì)稱共焦腔，腔的中心即為兩個(gè)鏡面的公共焦點(diǎn)。

博伊德和戈登首先證明，方形鏡共焦腔模式積分方程具有嚴(yán)格的解析函數(shù)解。當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)N足夠大時(shí)，可將自再現(xiàn)模式積分方程的積分限開托至無(wú)窮大，從而獲得共焦腔自再現(xiàn)模的近似解析解?！?-5方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模第64頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

一、自再現(xiàn)模所滿足的積分方程式及其精確解

方形孔徑對(duì)稱共焦腔第65頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第66頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

尋求方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模的問(wèn)題就等價(jià)于求解下述兩個(gè)積分本征值問(wèn)題第67頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

以上方程式的精確解已為博伊德和戈登所求得，在c為有限值時(shí)的本征函數(shù)為第68頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第69頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

角向、徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)均為實(shí)函數(shù)。可以計(jì)算出c取某些具體數(shù)值時(shí)的角向及徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)表，研究它們?cè)谀承┨厥馇闆r下的近似表達(dá)式。第70頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布

1．厄米—高斯近似

在x《a,y《a的區(qū)域內(nèi)，即在共焦反射鏡面中心附近，角向長(zhǎng)橢球函數(shù)可以表示為厄米多項(xiàng)式和高斯分布函數(shù)的乘積第71頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

式中Cm、Cn為常系數(shù),Hm(x)為m階厄米多項(xiàng)式其中[m/2]表示m/2的整數(shù)部分。最初幾階厄米多項(xiàng)式，如圖。第72頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

最初幾階厄米多項(xiàng)式第73頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

即為方程方形鏡共焦腔模的本征函數(shù)，在c為有限值的情況下，只要條件c=2N>>1成立，則以上函數(shù)仍是極好的近似。即使不能滿足則在鏡面中心附近，厄米—高斯函數(shù)仍能正確描述共焦腔模的振幅和相位分布。當(dāng)c，厄米—高斯函數(shù)第74頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．基模m＝n＝0，TEM00為共焦腔基模的場(chǎng)分布函數(shù)第75頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

基模在鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心(x＝y(tǒng)＝0)向邊緣平滑地降落.在離中心的距離為處場(chǎng)的振幅降落為中心處的1/e第76頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日共焦腔基模在鏡面上的光斑尺寸或光斑半徑

共焦腔基模在鏡面上的光斑大小與鏡的橫向幾何尺寸無(wú)關(guān)，而只決定于腔長(zhǎng)L或共焦腔反射鏡的焦距f＝L／2。這是共焦腔的一個(gè)重要特征，與平行平面腔的情況是不同的。當(dāng)然，這一結(jié)論只有在模的振幅分布可以用厄米·高斯函數(shù)近似表述的情況下才是正確的第77頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

光斑尺寸的數(shù)量概念：共焦腔的二氧化碳激光器，L＝1m,＝10．6m則0s=1．84mm

共焦腔氦氖激光器，L＝30cm，

＝0．6328m，鏡面上的光斑尺寸為0s

＝0．25mm共焦腔的光斑半徑通常很小的，比實(shí)際上使用的反射鏡的橫向尺寸小得多。因此，共焦腔模的場(chǎng)主要集中在鏡面中心附近。第78頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

光斑尺寸的第二種定義：在基摸強(qiáng)度最大值的1/2處(即半功率點(diǎn)處)的光斑尺寸0s’第79頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日高斯分布與光斑尺寸第80頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

3.高階橫模

TEMmn模在鏡面上振幅分布的特點(diǎn)取決于厄米多項(xiàng)式與高斯分布函數(shù)的乘積。厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定場(chǎng)的節(jié)線，厄米多項(xiàng)式的正負(fù)交替的變化與高斯函數(shù)隨著x,y的增大而單調(diào)下降的特性決定著場(chǎng)分布的外形輪廓。由于m階厄米多項(xiàng)式有m個(gè)零點(diǎn)(即方程Hm(x)＝0有m個(gè)根)，因此TEMmn模沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線。第81頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第82頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日方形鏡共焦腔模的振幅分布和強(qiáng)度花樣第83頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日高階橫模的光斑半徑第84頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4．相位分布

鏡面上場(chǎng)的相位分布由自再現(xiàn)模Vmn(x，y)的輻角決定。由于長(zhǎng)橢球函數(shù)為實(shí)函數(shù)，Vmn(x，y)亦為實(shí)函數(shù)。這就表明，鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)的相位相同，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成場(chǎng)的一個(gè)等相位面，無(wú)論對(duì)基?；蚋唠A橫模，情況都是一樣。共焦腔的這一性質(zhì)也與平行平面腔不同。對(duì)平行平面腔來(lái)說(shuō)，反射鏡本身已不是嚴(yán)格意義下的等相位面。第85頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

三、單程損耗

對(duì)方形鏡共焦腔，代入徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)的具體數(shù)值．將損耗作為菲涅耳數(shù)的函數(shù)給于圖2.5.5中。為了便于比較，圖中還給出了平行平面腔衍射損耗的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，和均勻平面波在線度為2a的鏡面上的衍射損耗，第86頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第87頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

從圖中的曲線可以看出，均勻平面波的夫瑯和費(fèi)衍射損耗比平面腔自再現(xiàn)模的損耗大得多，而平面腔模的損耗又比共焦腔模的損耗大得多。

理解：在共焦腔中，除了衍射引起的光束發(fā)散作用以外，還有腔鏡(凹面鏡)對(duì)光束的會(huì)聚作用。對(duì)共焦腔和其它穩(wěn)定球面腔而言，傍軸光線的幾何偏折損耗為零，因而腔的損耗具有“純粹”衍射損耗的性質(zhì)。而且，只要N不太小，共焦腔模就將集中在鏡面中心附近，在鏡邊緣處振幅很小，因而衍射損耗極低。第88頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

平面腔的情況與此不同，所有與軸線成非零夾角的傳播的光都將不可避免地出現(xiàn)幾何損耗，而且平面腔模原則上展布在整個(gè)鏡面上，在菲涅耳數(shù)相同的情況下，同一模式在鏡邊緣處的振幅遠(yuǎn)比共焦腔模的振幅大，所有這一切都決定了平面腔的損耗應(yīng)比共焦腔高得多。

共焦腔中各個(gè)模式的損耗與腔的具體幾何尺寸無(wú)關(guān)，而單值地由菲涅耳數(shù)確定。所有模式的損耗都隨著菲涅耳數(shù)的增加而迅速下降。第89頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：氦氖激光器采用共焦腔，膠長(zhǎng)L＝30cm，放電管半徑a=0.1cm，振蕩波長(zhǎng)0.6328微米00＝10－25.2比具有同一菲涅耳數(shù)的圓形平面鏡腔基模的損耗2％要低得多第90頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

采用共焦腔時(shí)，對(duì)通常尺寸的激光器基模的損耗往往小到可以忽略，只有當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)很小時(shí)，衍射損耗才起顯著作用。在同一菲涅耳數(shù)下，不同橫模的衍射損耗各不相同，損耗隨著模的階次的增高而迅速增大。這就表明，在共焦腔中可以利用衍射損耗的差別來(lái)選模。

四、單程相移和諧振頻率

共焦腔TEM00模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為第91頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日共焦腔模的諧振條件為第92頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第93頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日共焦腔的振蕩頻譜

共焦腔模在頻率上是高度簡(jiǎn)并的，(2q十m十n)相同的所有模式都具有相同的諧振頻率。但頻率上簡(jiǎn)并的模在損耗上并不是簡(jiǎn)并的圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜第94頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.6方形鏡共焦腔的行波場(chǎng)一、焦腔中的厄米—高斯光束第95頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、振幅分布和光斑尺寸第96頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日0s為鏡面上基模的光斑半徑,腔中不同位置處的光斑大小各不相同0稱為高斯光束的基橫腰斑半徑第97頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日共焦腔基模高斯光束腰斑半徑第98頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

三、模體積定義：某一模式的模體積為該模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間范圍。意義：模體積大，對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多，因而，也就可能獲得大的輸出功率；模體積小，則對(duì)振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就少，輸出功率也就小。一種模式能否振蕩及能獲得多大的輸出功率、它與其它模式的競(jìng)爭(zhēng)能力如何不僅取決于該模式損耗的高低，也與模體積的大小有密切的關(guān)系。第99頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日共焦腔基模的模體積：例如：腔長(zhǎng)L＝1m，放電管直徑為2a＝2cm的共焦腔二氧化碳激光器(＝10．6m)，其激活介質(zhì)的體積為V＝314cm3，而基模體積為第100頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、等相位面的分布

共焦場(chǎng)的等相位面都是凹面向著腔的中心的球面。等相位面的曲率半徑隨坐標(biāo)z0而變化，當(dāng)z0=土f時(shí)，共焦腔反射鏡面本身與場(chǎng)的兩個(gè)等相位面重合，當(dāng)z0＝0時(shí)，即通過(guò)共焦腔中心的等相位面是與腔軸垂直的平面，距腔中心無(wú)限遠(yuǎn)處的等相位面也是平面。共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大的等相位面。第101頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖共焦場(chǎng)等相位面第102頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

如果在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放上一塊具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，則入射在該鏡片上的場(chǎng)將準(zhǔn)確地沿著原入射方向返回，這樣共焦場(chǎng)分布將不會(huì)受到擾動(dòng)。第103頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

五、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角

共焦腔的基模光束依雙曲線規(guī)律從腔的中心向外擴(kuò)展，遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角第104頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日高斯光束的主要特征參量：

第105頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

§2.7圓形鏡共焦腔

一、拉蓋爾—高斯近似當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)N時(shí)，圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模近似為拉蓋爾—高斯函數(shù)1．模的振幅和相位分布第106頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

基模在鏡面上的振幅分布是高斯型的，整個(gè)鏡面上沒有場(chǎng)的節(jié)線，在鏡面中心z=0處、振幅最大，定義在基模振幅1／e處的光斑半徑為

其他各階橫模，鏡面上出現(xiàn)節(jié)線。TEMmn模沿輻角()方向的節(jié)線數(shù)目為m，沿徑向(r方向)的節(jié)線圓數(shù)目為n，各節(jié)線圓沿r方向不是等距分布的。第107頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D圓形鏡共焦腔模的強(qiáng)度花樣第108頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第109頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D3-3橫模光斑示意圖第110頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2．單程相移和諧振頻率自再現(xiàn)橫在腔內(nèi)一次渡越的總相移為圓形鏡共焦腔模的諧振頻率，是高度簡(jiǎn)并的第111頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第112頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.單程衍射損耗

當(dāng)N為有限(但不太小)時(shí)，拉蓋爾—高斯近似雖然能隨意地描述場(chǎng)分布及相移等特征，但卻不能用來(lái)分析模的損耗。只有精確解才能給出共焦模的損耗與N及橫模指標(biāo)m和n的關(guān)系。與方形鏡共焦腔模的損耗比較，當(dāng)菲涅耳數(shù)相同時(shí)，它的損耗比方形鏡腔類似橫模的損耗要大幾倍。第113頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖圓形鏡共焦腔模的單程功率損耗第114頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、圓形鏡共焦腔的行波場(chǎng)

圓形鏡共焦腔行波場(chǎng)特性的分析可按與方形鏡同樣的方法進(jìn)行。兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同第115頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.8一般穩(wěn)定球面腔的模式特征

共焦腔模式理論不僅能定量地說(shuō)明共焦腔振蕩模本身的特征，更重要的是．它能被推廣到整個(gè)穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)，這一推廣是諧振腔理論中的一個(gè)重大進(jìn)展。

任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)。而任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)子一個(gè)共焦腔。這里所說(shuō)的“等價(jià)”，就是指它們具有相同的行波場(chǎng)?？梢岳霉步骨荒Ｊ嚼碚摰难芯拷Y(jié)果來(lái)解析地表述一般穩(wěn)定球面腔模的特征第116頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(1)任意一個(gè)共焦球面(拋物面)腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)

在共焦場(chǎng)的任意兩個(gè)等相位面上放置兩塊具有相應(yīng)曲率半徑的球面反射鏡，則共焦場(chǎng)將不會(huì)受到擾動(dòng)。就作成了一個(gè)新的諧振腔，它的行彼場(chǎng)與原共焦腔的行彼場(chǎng)相同，由于任一共焦腔模有無(wú)窮多個(gè)等相位面，因而我們可以用這種方法構(gòu)成無(wú)窮多個(gè)等價(jià)球面腔。并且，所有這些球面腔都是穩(wěn)定腔。第117頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。

如果一個(gè)球面滿足穩(wěn)定性條件，則我們必定可以找到一個(gè)而且也只能找到一個(gè)共焦腔，其行波場(chǎng)的兩個(gè)等相位面與給定球面腔的兩個(gè)反射鏡面相重合。第118頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價(jià)性第119頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.8.2

穩(wěn)定球面腔和它的等價(jià)共焦腔第120頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、鏡面上的光斑尺寸第121頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、模體積第122頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

§2.9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)

一、基模高斯光束

沿z軸方向傳輸?shù)幕８咚构馐还芩怯珊畏N結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定腔所產(chǎn)生的，均可表示為如下的一般形式：第123頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第124頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

0為基模高斯光束的腰斑半徑，f稱為高斯光束的共焦參數(shù)，f表示光斑半徑增加到腰斑的根號(hào)2倍處的位置，焦距為f或曲率半徑R=2f的對(duì)稱共焦腔所產(chǎn)生的高斯光束的腰斑半徑恰為0

R(z)為與傳播軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半徑，(z)是與傳播軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面上的光斑半徑。第125頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

由一般穩(wěn)定球面腔(R1、R2、L)所產(chǎn)生的高斯光束，參數(shù)0及f與R1、R2、L的關(guān)系為第126頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、基模高斯光束在自由空間的傳輸規(guī)律

(1)基模高斯光束在橫截面內(nèi)的場(chǎng)振幅分布按高斯函數(shù)所描述的規(guī)律從中心向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的1/e的點(diǎn)定義為光斑半徑第127頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)基模高斯光束的相移特性由相位因子

描述高斯光束在點(diǎn)(x,y,z)處相對(duì)于原點(diǎn)(0,0,0)處的相位滯后.其中kz描述幾何相移，arctg(z/f)描述高斯光束在空間行進(jìn)距離z時(shí)相對(duì)幾何相移的附加相位超前；因子kr2／2R表示與橫向坐標(biāo)(x,y)有關(guān)的相位移動(dòng)，它表明高斯光束的等相位面是以R為半徑的球面：第128頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

當(dāng)z＝0時(shí)，R(z)當(dāng)z＝土?xí)r，R(z),離束腰無(wú)限遠(yuǎn)處的等相位面亦為平面，且曲率中心就在束腰處

當(dāng)z=f時(shí)，R(z)=2f為極小值；當(dāng)o＜z＜f時(shí)，R(z)＞2f，表明等相位面的曲率中心在[-f~一]區(qū)間上；

當(dāng)z＞f時(shí)，z＜R(z)＜z+f,表明等相位面的曲率中心在[一f，0]區(qū)間上。第129頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)定義在基模高斯光束強(qiáng)度的1/e2點(diǎn)的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角

高斯光束在其傳輸軸線附近可近似看作是一種非均勻球面波。其曲率中心隨著傳輸過(guò)程而不斷改變，但其振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)始終保持高斯分布特性，且其等相位面始終保持為球面。第130頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、高斯光束的特征參數(shù)(1)用參數(shù)0(或f)及束腰位置表征高斯光束。(2)用參數(shù)

(z)和R(z)表征高斯光束。

如果知道了某給定位置(設(shè)其坐標(biāo)為z)處的光斑半徑

(z)及等相位面曲率半徑R(z)，則可決定高斯光束腰斑的大小和位置第131頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)高斯光束的q（z)參數(shù)

參數(shù)q描述高斯光束基本特征的兩個(gè)參數(shù)

(z)和R(z)統(tǒng)一在一個(gè)表達(dá)式中，表征高斯光束的又一個(gè)重要參數(shù)。第132頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

上述三組參數(shù)都可以確定基模高斯光束的具體結(jié)構(gòu)。可以根據(jù)實(shí)際靈活地選擇最合適的參數(shù)來(lái)表征高斯光束。這些特征參數(shù)是互相聯(lián)系的。用

(z)和R(z)來(lái)描述高斯光束比較直觀，但用q參數(shù)來(lái)研究高斯光束的傳輸規(guī)律，特別是高斯光束通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的傳輸將比應(yīng)用其它參數(shù)更為方便。第133頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、高階高斯光束

1．厄米—高斯光束在方形孔徑共焦腔或方形孔徑穩(wěn)定球面腔中，除了存在基模高斯光束以外，還存在各高階高斯光束．其橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布可由高斯函數(shù)與厄米多項(xiàng)式的乘積來(lái)描述。第134頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

厄米—高斯光束沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線，沿傳輸軸線相對(duì)于幾何相移的附加相位超前第135頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2．拉蓋爾—高斯光束在柱對(duì)稱穩(wěn)定腔(包括圓形孔徑共焦腔)中，高階橫模由締合拉蓋爾多項(xiàng)式與高斯分布函數(shù)的乘積來(lái)描述沿半徑r方向有n個(gè)節(jié)線圓，沿幅角方向有m根節(jié)線，而拉蓋爾—高斯光束的附加相移為第136頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

§2-10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律一、普通球面波的傳播規(guī)律普通球面波在自由空間的傳播第137頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第138頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

當(dāng)傍軸球面波通過(guò)焦距為f的簿透鏡時(shí)其波前曲率半徑滿足關(guān)系式第139頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

球面波的傳播規(guī)律式可以統(tǒng)一地寫成

二、高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律——ABCD公式

高斯球面波:非均勻的、曲率中心不斷改變的球面波也具有類似于普通球面波的參量曲率半徑R，其傳播規(guī)律與普通球面波完全類似。第140頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

高斯光束的q參數(shù)在自由空間〔均勻各向同性介質(zhì))中的傳輸規(guī)律。第141頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

薄透鏡對(duì)高斯光束的變換第142頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

高斯光束經(jīng)過(guò)薄透鏡變換后仍為高斯光束

高斯光束的q參數(shù)起著相普通球面波的曲率半徑R一樣的作用，又稱為高斯束的復(fù)曲率半徑。第143頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、用q參數(shù)分析高斯光束的傳輸問(wèn)題高斯光束的傳輸?shù)?44頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日已知：入射高斯束腰斑半徑為0，束腰與透鏡L的距離為l，透鏡的焦距為F.求：通過(guò)透鏡L后在與透鏡相距l(xiāng)c處的高斯束參數(shù)c和Rc。將C點(diǎn)取在像方束腰處，此時(shí)應(yīng)有第145頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可解得第146頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)物高斯光束束腰與透鏡相距足夠遠(yuǎn)時(shí)：

正是幾何光學(xué)中的成象公式。同樣，可求得薄透鏡對(duì)高斯光束的腰斑放大率：第147頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如果條件不滿足，則與幾何光學(xué)有甚大的差異。這時(shí)高斯光束的行為與通常幾何光學(xué)中傍軸光線的行為不同。例如，當(dāng)

l＝F時(shí)，l’=F即當(dāng)物高斯光束束腰處在透鏡物方焦面上時(shí)，象高斯光束束腰亦將處在透鏡象方焦面上第148頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.11高斯光束的聚焦、匹配、準(zhǔn)直

現(xiàn)在討論透鏡變換的一種重要應(yīng)用，即如何用適當(dāng)?shù)墓鈱W(xué)系統(tǒng)將高斯光束聚焦。高斯光束能聚焦成極小的光斑，其極限可以小到波長(zhǎng)的量級(jí)，因此功率密度是極高的，可用于打孔、切割和焊接等多種加工。由于聚焦光斑小，空間分辨率高，可用來(lái)實(shí)現(xiàn)高密度信息存儲(chǔ)。第149頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日聚焦一、F一定時(shí)，0’隨l變化的情況

1．當(dāng)l＜F時(shí)，0‘2隨l的減小而減小，l=0時(shí)0’達(dá)到最小值。第150頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

不論透鏡的焦距F為多大，它總有一定的會(huì)聚作用，且像方腰斑位置在透鏡前焦點(diǎn)以內(nèi).若進(jìn)一步滿足F《f,即使用短焦距透時(shí)，像方腰斑近似位于透鏡后焦面上，且透鏡焦距越短，聚焦效果越好。第151頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2．當(dāng)l＞F時(shí)，0‘隨l的增大而減小，l時(shí)

實(shí)際上，由于透鏡孔徑的衍射作用，光斑不可能無(wú)限小，它的極限值由夫瑯和費(fèi)衍射決定。當(dāng)物高斯光束的腰斑離透鏡甚遠(yuǎn)(l》F)的情況下第152頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

當(dāng)物高斯光束的腰斑離透鏡甚遠(yuǎn)(l》F)的情況下，l越大，F(xiàn)越小，聚焦效果越好。3．當(dāng)l＝F時(shí)，0‘達(dá)到極大值第153頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.11.1

高斯光束的聚焦(a)F一定時(shí)(b)l＝0，l’=F〔c)l>>F,l’=F第154頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、l一定時(shí)，0‘隨F變化的情況圖2.11.2l一定時(shí)，0‘隨F而變化的曲線第155頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

從圖中可以看出，對(duì)一定的l值，只有當(dāng)其焦距F＜R/2時(shí)，透鏡才能對(duì)高斯光束起聚焦作用，且F越小，聚焦效果越好。綜上所述，為使高斯光束獲得良好聚焦作用，通常采用的方法是：作短焦距透鏡，使高斯光束腰斑遠(yuǎn)離透鏡焦點(diǎn).第156頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日匹配：當(dāng)一個(gè)諧振腔產(chǎn)生的單模高斯光束入射到另一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)，例如干涉儀、多程反射室等，由于該光學(xué)系統(tǒng)都有自己的本征模式，而且一般來(lái)說(shuō)．與入射光束的模式是不匹配的，這樣第一個(gè)腔發(fā)出的單模光束將與第二個(gè)腔中的各個(gè)不同模式相耦合，從而發(fā)生模的交叉激發(fā)作用而使損耗增加，激發(fā)起系統(tǒng)的多模，在很多情況下這是需要避免的。而在模式匹配的情況下，一個(gè)入射的單模高斯光束只會(huì)激發(fā)起系統(tǒng)一個(gè)相對(duì)應(yīng)的單模。第157頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.11.3高斯模的匹配第158頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D中如果在適當(dāng)位置上插入一個(gè)適當(dāng)焦距f的薄透鏡，使由1腔發(fā)出的光束與腔2發(fā)出的光束為物像共軛，則該透鏡稱為二腔的模匹配透鏡。第159頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(1)當(dāng)0和0‘給定時(shí)，模匹配公式仍包含三個(gè)未知量z,z’和F，因而其中有一個(gè)量可以獨(dú)立選擇。F必須滿足以下不等式。

(2)若0和0‘

，和二腔相對(duì)位置z+z’給定時(shí)，數(shù)學(xué)上可確定匹配所需要的系統(tǒng)參數(shù)，但必須檢查求出的結(jié)果在物理上是否合理。第160頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

準(zhǔn)直：用光學(xué)儀器來(lái)改善光束的方向性，即要壓縮光束的發(fā)散角，通常稱為光束的準(zhǔn)直問(wèn)題。

高斯光束從束腰向前傳輸，在距離束腰較小范圍內(nèi)，它的光班大小幾乎不變；在遠(yuǎn)離束腰的地方，光斑隨著傳輸距離的增加線性地?cái)U(kuò)大。第161頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

對(duì)于準(zhǔn)直應(yīng)用，需要一條細(xì)而直的光束，即在相當(dāng)長(zhǎng)的范圍內(nèi)使光斑直徑保持盡可能小。然而在光斑大小與準(zhǔn)直長(zhǎng)度之間存在著相反的綜合調(diào)整關(guān)系。就是說(shuō)要保持光斑小就不得不犧牲準(zhǔn)直長(zhǎng)度。一條被準(zhǔn)直的光束，是一個(gè)特別長(zhǎng)的高斯光束的束腰。第162頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.11.4腰斑與光束發(fā)角第163頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

1．單透鏡準(zhǔn)直

結(jié)論：要想用單透鏡將高斯光束變換成平面波是不可能的。在l=F時(shí)，。’達(dá)到極大值時(shí)，‘將達(dá)到極小值。且F越大，‘越小。第164頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.11.5單透鏡準(zhǔn)直第165頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

聚焦光斑的焦深：焦深就是縱向聚焦范圍（二倍的瑞利距離或共焦參數(shù)），又稱準(zhǔn)直長(zhǎng)度?？紤]到有效通光孔徑D，可表示成：一塊通光孔徑為10厘米的透鏡，對(duì)可見光而言，光束的準(zhǔn)直長(zhǎng)度約為6公里，而光班直徑保持在5厘米左右。打孔深度一般不能超過(guò)焦深。第166頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直圖2.11.6高斯光束通過(guò)望遠(yuǎn)鏡的準(zhǔn)直第167頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

討論（1）一個(gè)給定望遠(yuǎn)鏡對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率M’不僅與望遠(yuǎn)鏡本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與高斯光束的f及腰斑與副鏡的距離l有關(guān).l=0時(shí)，M’＝M＝F2/F1.第168頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

（2）望遠(yuǎn)鏡對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率總是比它對(duì)普通近軸光線的幾何壓縮比高。（3）透鏡只將光束近似聚焦在它的焦點(diǎn)附近，所以兩透鏡之間的距離不再嚴(yán)格是f1+f2,而是有所偏離。這應(yīng)在調(diào)節(jié)時(shí)加以考慮。

（4）實(shí)際的望遠(yuǎn)鏡可做成透射式、反射式或折反式，原理都相似。（5）光斑等于或大于透鏡的孔徑時(shí)，要考慮衍射效應(yīng)，最小發(fā)散角由透鏡的孔徑?jīng)Q定第169頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔

如果一個(gè)高斯光束通過(guò)透鏡后其結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，即參數(shù)0或f不變，則稱這種變換為自再現(xiàn)變換。第170頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、利用透鏡實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變換可見，當(dāng)透鏡的焦距等于高斯束入射在透鏡表面上的波面曲率半徑的一半時(shí)，透鏡對(duì)該高斯束作自再現(xiàn)變換。第171頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、球面反射鏡對(duì)高斯光束的自再現(xiàn)變換

在高斯束被球面鏡反射的情況下，當(dāng)入射在球面鏡上的高斯束波前曲率半徑正好等于球面鏡的曲率半徑時(shí)，在反射時(shí)高斯光束的參數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，即象高斯束與初高斯束完全重合。這種情況稱為反射鏡與高斯束的波前相匹配。第172頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)D2.12.1薄透鏡與球面鏡的等價(jià)性第173頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

圖2.12.2

高斯光束的自再現(xiàn)變換第174頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、高斯束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔

高斯光束的等相位面近似為球面，且任意兩個(gè)等相位面的曲率半徑及其間距之間滿足穩(wěn)定性條件。因此，如果將某高斯光束的兩個(gè)等相位面用相應(yīng)曲率半徑的球面反射鏡來(lái)代替，則將構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定腔，而且由于該高斯束放腔的兩個(gè)反射鏡作自再現(xiàn)變換，因而它將成為該諧振腔中的自再現(xiàn)模。反之，對(duì)任意穩(wěn)定腔而言，只要適當(dāng)選擇高斯束的束腰位置及腰斑大小，就可以使它成為該穩(wěn)定腔的本征模．第175頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第176頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

上式意義1）知道了參考平面上的R及值，就可以求出任意平面上的R及值，特別是，可以求出腰斑的大小及位置。

2）一旦給定了穩(wěn)定腔的具體幾何結(jié)構(gòu)，其高斯模的特征就可完全確定。3）可以導(dǎo)出腔的穩(wěn)定性條件。光學(xué)開腔中不存在傍軸光線的幾何逸出損耗與腔內(nèi)存在著高斯光束型的本征模是等價(jià)的。第177頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§2.13非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型

高功率激光器件設(shè)計(jì)中的主要問(wèn)題是，如何獲得盡可能大的模體積和好的橫模鑒別能力，以實(shí)現(xiàn)高功率單模運(yùn)轉(zhuǎn)，從而既能從激活物質(zhì)中高效率地提取能量，又能保持高的光束質(zhì)量。穩(wěn)定腔不能滿足這些要求，而非穩(wěn)腔卻是合適的。第178頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

由于非穩(wěn)腔中傍軸光線幾何損耗往往很高，每一單程可達(dá)百分之幾十；又由于高功率激光器件的激活物質(zhì)的橫向尺寸往往較大，菲涅耳數(shù)遠(yuǎn)大于1，衍射損耗往往不起重要作用。因此可用幾何光學(xué)的分析方法對(duì)非穩(wěn)腔進(jìn)行分析。非穩(wěn)定腔的一般特點(diǎn)和種類第179頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(一)非穩(wěn)定腔的特點(diǎn)1．大的可控模體積，在非穩(wěn)定腔中，基模在反射鏡上的振幅分布是均勻的，它不僅充滿反射鏡，而且不可避免地要向外擴(kuò)展。例如把反射鏡尺寸增大一倍時(shí)，模的橫向尺寸也增大一倍，即使在腔長(zhǎng)很短時(shí)也可得到足夠大的模體積，故特別適于選用高功率激光器的腔型。第180頁(yè)，共196頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

3．容易鑒別和控制橫模。對(duì)于非穩(wěn)定腔系統(tǒng)，在幾何光學(xué)近似下，腔內(nèi)只存在一組球面波型或球面-平面波型．故可在腔的一端獲得單一球面波型或單一的平面波型(即基模)，從而可提高輸出光束的定向性