數(shù)學(xué)物理方程其次版習(xí)題解答 第四章

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第四章二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)

1二階方程的分類

1．證明兩個自變量的二階線性方程經(jīng)過可逆變換后它的類型不會改變，也就是說，經(jīng)可逆變換后

（4）sgnyuxx+2uxy+sgnxuyy

1x0

=0(sgnx=0x=0)

1x0

(5)uxx4uxy+2uxz+4uyy+uzz=0解：(1)x2uxxy2uyy=0

=a2

12a11a22的符號不變。

證：因兩個自變量的二階線性方程一般形式為

a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f

經(jīng)可逆變換x=x(x,y)D(x,η)

η=η(x,y)D(x,y)≠0

化為11uxx+212uxη+22uηη+2uη+=f

=ax2+2axx+其中

1111x12xya22xy

2

12=a11xxηx+a12(xxηy+xyηx)+a22xyηy

22

=a11ηx2+2a12ηxηy+a22ηy2

所以=2

121122=a2

12(xx

2

ηy2+xy2ηx2)2a11xxxyηxηy+2a11a22xxxyηxηy2)=(a212

D(2

a11a22(ηx2xy2+xx2ηyaηx,η)

11a22)(xxyxyηx)2=D(x,y)

因D(x,η)

2

D(x,y)

0，故與同號，即類型不變。2．判定下述方程的類型

（1）x2uxxy2uyy=0（2）uxx+(x+y)2uyy=0（3）uxx+xyuyy=0

因=x2y20當(dāng)x≠0,y≠0時0,

x=0或y=0時=0。

即在坐標(biāo)軸上方程為拋物型，其余處為雙曲型。

（2）u2

xx+(x+y)uyy=0

因=(x+y)2≤0，在直線x+y=0上，=0為拋物型，其余處0，為橢圓型。（3）uxx+xyuyy=0

因=xy在坐標(biāo)軸上，=0為拋物型；在一，三象限中，0，為橢圓型；在二，四象限中，

0，為雙曲型。

（4）sgnyuxx+2uxy+sgnxuyy=0

因=1sgnxsgny,在坐標(biāo)軸上0，為雙曲型；在一，三象限內(nèi)=0，為拋物型；在二，四

象限內(nèi)0，為雙曲型。

（5）uxx4uxy+2uxz+4uyy+uzz=0因?qū)?yīng)二次型為

x2

2

14x1x2+2x1x3+4x2+x2

3相應(yīng)對稱矩陣為121240

101

其特征方程為

59

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λ

212

4λ0=(λ36λ2+4λ+4)=0

1

1λ

記f(λ)=(λ36λ2+4λ+4)經(jīng)計算得：

f(1)=7,f(0)=4,f(1)=3,f(2)=4,f(5)=1f(6)=28

說明A的三個特征值分別在區(qū)間(1,0),(1,2),(5,6)中，故方程為雙曲型的。3．化以下方程為標(biāo)準(zhǔn)形式

（1）uxx+4uxy+5uyy+ux+2uy=0（2）x2

u2

xx+2xyuxy+yuyy=0（3）uxx+yuyy=0

（4）u2

xx2cosxuxy(3+sinx)uyyyuy=0（5）(1+x2

)u2

xx+(1+y)uyy+xux+yuy=0解：（1）uxx+4uxy+5uyy+ux+2uy=0因=45=10，方程為橢圓型。

特征方程為

2

dydx

4dydx+5=0

解之得

dy

dx

=2i,y=(2+i)x+c1,y2xix=c2因此引變換

x=2xy

η=x

有

ux=u

x2+

uη

2u2u2u2u2u2u2u2x2=2(x2+u2xη)+xη2+η2=4x

2+4

xη+η2uy=ux(1)2u2u2y2=(1)ux2(1)=

x2

2u2u2xy=2u2u2u

x2(1)+xη(1)=2x

2

xη代入化簡即得：

2u2uu

x2

+η2+η

=0(2)

x2uxx+2xyuyy+y2uyy=0

因=x2y2x2y2=0,方程為拋物型.特征方程為x2(dydx)22xydy

dx+y2=0解之得

dydx=yx

,y=cx

xy因此引變換

=

xη=x

有u

uyx

=

x(u

x2)+

η

2u

2uy2

2uyu2y2uyx2=x2(xxη(2u

4)+x2)+xx3+xη(x2)+η

2uu1

y=

xx

2u2y2=u1

x2x

22

u2

2

xy=uyu11u

x2(x3)+xηxx2

x

代入化簡即得

x2uηη=0uηη=0

(x≠0)

(3)uxx+uyy=0

60

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0y0因=y

=0

y=0

0y0

當(dāng)y0為雙曲型.特征方程為(

dydx

)2

+y=0解之得dy

dx=y,2y=x+c

因此引變換

x=x+2y

η=x2y

有

ux=uu

x+

η

2u2u2u

2u2ux2=x

2

+2xη+xη+η2u11

y=ux((y)2

)+uη(y)22u2u2y2=x2(y)1+2uxη((y)1)+2uη2

(y)1

u13

u13

+x(2(y)2

)+η2

(y)2代入化簡得

u1

xη+

2(xη)

(uxuη)=0

當(dāng)y=0為拋物線型,已是標(biāo)準(zhǔn)形式.當(dāng)y0為橢圓形.特征方程為(

dydx

)2

+y=0,解之得dy

dx

=yi,2y=xi+c,xi2y=c1

因此引變換

x=x

η=2y

有

uu

x=

x

2u2ux2

=

x2

u1

y=u2

η

y2u

=2u

3

y2η

2y1

+uη(122y)代入化簡得

u1xx+uηη

η

uη=0

(4)uxx2cosxuxy(3+sin2x)uyyyuy=0因=cos2x+(3+sin2x)=40為雙曲型.特征方程為

(

dydx)2+2cosxdy

dx(3+sin2x)=0解之得

dy

dx

=cosx2

y=sinx+2x+c1y=sinx2x+c

y+sinx2x=c1

2

y+sinx+2x=c2因此引變換x=2x+sinx+y

y

η=2xsinx有ux=ux(2+cosx)+u

η

(2cosx)

2u2

2u

2

x2=(2+cosx)x2+2(4cosx)2u22

uuuxη+(2cosx)η

2sinxx+sinxηuy=ux

u

η

2u

=2u

y2x22uxη+2u

2η

22uxy=(2+cosx)2u2u2ux2+(2cosx)xη(2cosx)η

2代入化簡得

2uxηxη32(uxu

η

=0(5)(1+x)2uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0因=(1+x2)(1+y2)0為橢圓形。特征方程為

61

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dy21+y2(+=0

2dx1+x

dy1+y2

即=i2dx1+x

解之得ln(y++y2)=iln(x++x2)+c1因此引變換

因eλx+uη不等于零,且取λ=

xvηη

ab

,u=,消去eλx+uη得22a2b2a2b2+(++d)v+f1e(λx+uη)=0

4422

a2b2

記d=c,f1e(λx+uη)=f即得所求.

44

2二階方程的特征理論1、求以下方程的特征方程和特征方向(1)

x=ln(x++x2)

2

η=ln(y++y)

uu22

有=(1+x)

xx

1

2ux1

2

+

2ux2

2

=

2ux3

2

+

2ux4

2

ux2

2

=

1u

2

1+x2x2

+(x(1+

1

3x2)2)

ux

(2)

2ut1

2

=

2ux1

2

+

2ux2

2

+

2ux3

2

uu22

=(1+y)yη

u2u2u

(3)=2+2

txy

3

2)

2uy2

代入化簡得

=

1

2u

1+y2η2

+(y(1+y2)

uη

解：(1)

2ux1

2

+

2ux2

22

=

2ux3

2

2

+

2ux4

2

2

2ux

2

+

2uη

2

=0

特征方程α1+α2=α3+α4又α1+α2+α3+α4=1所以α1+α2=α3+α4=引實參數(shù)α,β得特征方向為

2

2

2

2

2

4.證明兩個自變量的二階常系數(shù)雙曲型方程或橢圓型方程一定可以經(jīng)過自變量的變換及函數(shù)變換

2222

u=eλx+uηv`將它化成xvηη+cv=f的形式.

證:已知可通過某個可逆變換將雙曲型或橢圓型化為標(biāo)準(zhǔn)型

uxxuηη+aux+buη+buη+bu+f1=0其中a,b,c當(dāng)原方程為常系數(shù)時為常數(shù).再令u=eλx+uηv(x,η)有

12

λx+uη

12

cosα,

12

sinα,

12

cosβ,

1

ux=euη=e

λx+uη

+λev=e

λx+uη

(+λv)

sinβ2

λx+uη

(vη+uv)

2

uxx=eλx+uη(x+2λ+λ2v)uηη=e

代入方程得

λx+uη

2u2u2u2u

(2)2=++222

t1x1x2x3

特征方程α0(α1+α2+α3)=0

2

2

2

2

2

2

(vηη+2uvη+uv)

e

λx+uη

[xvηη+(a+2λ)+(b+2u)vη+(λ+u+aλ+bu+d)v]+f1=0

62

又α0+α1+α2+α3=1

2222

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所以α0=α1+α2+α3=

α0=即任一點特征方向與t軸交角為

2

2222

12

12

2u

=

xixj

n

2uylyku2yl∑yyxx+∑yxx

kltjltjj,k=1l=1n

代入原方程，得u關(guān)于y1,,yn的方程：

2nu2ylnuylyk

∑Aij∑+∑

i,j=1k,l=1ykylxtxjl=1ylxtxj

n

π

4

。

u2u2u

(3)=

tx2y2

特征方程α1α2=0又α0+α1+α2=1

2

所以α0+2α12=1

2

2

nuy

l

+∑Bi∑j=1ylxti=1

nn

+cu=F

交換求和次序，簡寫二次求導(dǎo)以下的項，得

2

22

nn2uyyulkAA+∑ij∑ijxxyy∑ly+cu=F

ijkllk,l=1l=1i,j=1

*G*G滿足：設(shè)它的特征曲面為G(y1,,yn)=0則其法向,yyn1

引實參數(shù)α,β得特征方向為

*

11

cosα,sinα,sinα

22

2、證明經(jīng)過可逆的坐標(biāo)變換xi=fi(y1,,yn)(i=1,,n)，原方程的特征曲面變?yōu)榻?jīng)變換后的新方程的特征曲面，即特別性征曲面關(guān)于可逆坐標(biāo)變換具有不變性。

證：探討的是二階線性方程

n

2uuAB+∑ijxx∑ix+Cu=F

iji=1ii,j=1n

nG*G*yylk∑∑Aij=0

xixjykylk,l=1i,j=1

n

(1)

另一方面對原方程的特征曲面經(jīng)同樣變換得特征曲面為：

G(f1(y1,,yn),,fn(y1,,yn))≡G1(y1,,yn)

n

GyG

從=∑l

xil=1ylxt

n

GyG

=∑kxil=1yhxj

代入所滿足的方程得

nnG1ylGG

∑Aijxx=∑Aij∑yx

ijli,j=1i,j=1l=1ln

n

它的特征曲面G(x1,,xn)=0的法矢量滿足

i,j=1

∑

n

Aij

GG

=0

xixj

yjD(x1,,xn)

D(y,,y)≠0且x存在

ni1

nG1yk

∑yxjk=1k

(2)

對任一可逆的坐標(biāo)變換：

xi=fi(y1,,yn)

nylykG1G1=0=∑∑Aij

xixjylykk,l=1i,j=1

由（1），（2）知G1=G*即經(jīng)可逆坐標(biāo)變換后特征曲面不變。

3．證二階偏微分方程解的m階弱休止（即直至m1階導(dǎo)數(shù)為連續(xù)，m階導(dǎo)數(shù)休止）也只可能

沿著特征發(fā)生。

63

n

uuyl

將求導(dǎo)式=∑

xil=1ylxt

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證：二階線性偏微分方程m階弱休止解沿(x1,,xm)=0發(fā)生這個問題與下面的提法相當(dāng):假使在(x1,,xn)=0上給定了函數(shù)u及其所有直到m1階導(dǎo)數(shù)的值(應(yīng)不相矛盾),能不能利用這些值以及方程:

n

2uu

∑aij+∑bi+cu=f

xxxijii,j=1i=1

n

2nnnxxuuxkkll

∑aij∑++∑bi∑+cu=f

xxxxxxtjkii,j=1k,l=1kli=1k=1

n

2uxxnn或∑ai,j+=f

2xixjxni,j=1

n

來唯一確定u的m階偏導(dǎo)數(shù)在(x1,,xm)=0上的數(shù)值。易見,假使能夠唯一地確定u的m階導(dǎo)數(shù)之值，則(x1,,xn)=0就不能為階弱休止面。

現(xiàn)用反正法。設(shè)m階偏導(dǎo)數(shù)休止在ψ(x1,,xn)=0上發(fā)生，ψ(x1,,xn)=0為非特征曲面,即

2unxxnn∑ai,j=f

i,j=1xixjxn2

其中省略的項僅含有u,u的一階偏導(dǎo)數(shù),二階內(nèi)導(dǎo)數(shù)以及u的只含有一次外導(dǎo)數(shù)的項。

在ψ(x1,,xn)=0上,因xn=ψ=0,由假定

i,j=1

∑

n

ai,j

xnxn

≠0

xixj

2u

∑aij

xixji,j=1

n

由此得

2uxn

2

=(f)

i,j=1

∑

n

ai,j

xnxn

xixj

引入新變量x1,,xn代替x1,,xn,即在此式兩邊對xn求m2階導(dǎo)數(shù)得

xi=xi(x1,,xn)

且使xn=ψ,而當(dāng)xn=0時得

muxn

m

=

其中右邊省略號僅含有u,u的直到m1階的偏導(dǎo)數(shù),以及u的直到m階但上導(dǎo)數(shù)最多到m1階的

xi=gi(x1,,xn)

恰為曲面ψ=0的參數(shù)表示.。

這時有

n

uuxk

=∑

xik=1xkxt

(i=1,,n)

偏導(dǎo)數(shù).因此右邊的項在ψ(x1,,xn)=0上為已知,從而由此等式知u的m階偏導(dǎo)數(shù)也唯一確定,與假定矛盾,即得所證。

4、試定義n階線性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。

解：k個自變量的n階線性偏微分方程一般形式為

n

2

uuxkluxklxl

()=∑=∑+

xixjk=1xjxkxik,l=1xkxlxtxj

2n

l1++lk=n

∑

Al1ln

ux1xk

l1

lk

+=0(1)

以上僅寫出最高階偏導(dǎo)數(shù)的項。設(shè)有空間曲面G(x1,,xn)=0成為（1）的某個弱休止解的某個休止面，我們就定義此曲面為（1）的特征曲面，其法線方向為特征方向，該曲面所滿足的方程（條件）

為特征方程。

下面來推導(dǎo)特征曲面G(x1,,xn)

代入原方程得u關(guān)于x1,,xn的方程

=0滿足的條件。與二階類似，弱休止解與以下問題

64

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相當(dāng)：在G(x1,,xn)=0上給定u及其n1階偏導(dǎo)數(shù)的值。能不能利用這些值以及方程（1）來唯代入上式，得特征應(yīng)滿足的條件：

一決定u的n階偏導(dǎo)數(shù)的值。

為此引入新變量使x1,,xn，使xk=G(x1,,xn)，而當(dāng)xk=0時xi=gi(x1,,xn)(i=1,,k)

為曲面G=0的參數(shù)式。設(shè)此變換為xi=xi(x1,,xn)(i=1,,k)

uk

則有

uxm

x=im∑

=1xmxi

一般地

nu

nlkxl=uxkl1

x1xl

x

kk

x1

kn(x)(k1

x)+

k其中省略號中僅含有低于對xk的n階偏導(dǎo)數(shù)的項。代入（1）式得u關(guān)于x,xk的方程

∑Axlkl1xklknu

1lk(l1+lk=n

x)(xn+=0

1kx由此知當(dāng)在G(x1,xk)=0上

Axx

ll∑

1lk(kx)l1(k)lk1++lk=n

1xk

=

Gl∑

Al1lk(

1+lk=n

x)l1(G)lk

≠01xk

時，u對x的n階外導(dǎo)數(shù)唯一確定，因此不可能產(chǎn)生休止。因此弱休止面必需滿足

AGlk

ll∑

Gl1=n

1lk(x()=1++lk

1x0

k此既G應(yīng)滿足的條件。滿足此條件的曲面G(x1xk)=0叫做特征曲面，其法線方向叫做特征方向，記

αG

i=

x(i=1,,k)i

Alll

l∑

1lk

α11αkk=0

1++lk=n

叫做特征方程。

3三類方程的比較

1．試回想以前學(xué)過的求解偏微分方程定解問題的諸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。

解：1.將非齊次方程定解問題化為一個齊次方程定解問題和一個非齊次方程但有零初始條件的問題。它利用了線性方程可迭加原理

2．齊次化原理。它實質(zhì)上也利用了線性方程可迭加的原理3．分開變量法。它很大一部分利用迭加的原理4．行波法解一維波動方程

5．平均值法三維波動方程柯西問題6．降維法解二維波動方程柯西問題7．富里埃變換法

8．格林函數(shù)法解拉普拉斯方程的邊值問題。

2．證明熱傳導(dǎo)方程

u2

2ut=ax

2混合問題

u(0,t)=u(l,t)=0

,0)=(x)

u(x的解關(guān)于自變量x（0xl）和t（t0）可進(jìn)行任意次微分。

證：由分開變量法知，這個混合問題的解為

∞u(x,t)=∑c(anπ)2

neltsin

nπxn=1

ll

cn=2

nπ

l∫(x)sin0l當(dāng)(x)有界可積時，cn有界，此時級數(shù)在0xl,t≥t00時絕對且一致收斂。要證解關(guān)于自變量x和t可進(jìn)行任意次微分，只需證明級數(shù)在

∑

號下逐項微分任意次，既只需證明

級數(shù)在逐項微分任意次后仍是絕對一致收斂既可。設(shè)對t微分α次，對x微分β次，需要證

65

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級數(shù)

nπcnπ2nπβ

()()(sinc∑nllln=1

∞

∞

α

anπ2

(t(β)lx)nπexl

x=x(x,η)

yyxη=(,)

anπ2

)t0l為優(yōu)級數(shù)。用比值法，易

使η=ψ，且ψ=0時使。

anπ2αnπβ(

絕對且一致收斂。當(dāng)t≥t00，級數(shù)以∑M()()e

lln=1

證此優(yōu)級數(shù)收斂。因此原級數(shù)絕對收斂且一致收斂。得證。

3．舉例說明弦振動方程不成立極值原理。解：函數(shù)u(