2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二第3講平面向量Word版含答案

專題二

三角函數(shù)、解三角形、平面向量與數(shù)列第3講平面向量考向展望1．以選擇題、填空題的形式考察向量的線性運算，多以熟知的平面圖形為背景，難度中低檔；2．以選擇題、填空題的形式考察平面向量的數(shù)目積，多考察角、模等問題，難度中低檔；3．向量作為工具常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、分析幾何等聯(lián)合，以解答題形式出現(xiàn)．知識與技巧的梳理1．平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在獨一一個實數(shù)λ，使b＝λa．(2)平面向量基本定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一直量a，有且只有一對實數(shù)λ，λ，使a＝λe＋λe，此中e，e是一組基底．121122122．平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0．(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．3．平面向量的三個性質(zhì)(1)若a＝(x，y)，則|a|＝a·a＝x2＋y2．→(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．，y，ya·b＝x1x2＋y1y2．(3)若a＝(x11)，b＝(x22)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝|a||b|x12＋y12x22＋y224．平面向量的三個錦囊(1)向量共線的充要條件：O為平面上一點，則A，B，P三點共線的充要條件是→＝λ→＋λ→＋λOP1OA2OB(此中λ12＝1)．→→→→1→→(2)三角形中線向量公式：若P為△OAB的邊AB的中點，則向量OP與向量OA，OB的關(guān)系是OP＝(OA＋OB)．2(3)三角形重心坐標(biāo)的求法：G為△ABC的重心→→→xA＋xB＋xC，yA＋yB＋yC．?GA＋GB＋GC＝0?G33熱門題型熱門一平面向量的有關(guān)運算【例1】(1)(2018·大連八中)已知向量a1,1，b3,m，a∥ab，則（）A．B．2C．D．312→＝λ→＋λ→，λ為實數(shù))，則(2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝2AB，BE＝3BC．若DE1AB2AC(λ12＋λ的值為________．λ12分析(1)向量a1,1，b3,m，∴ab2,1m，∵a∥ab，∴1×2＝﹣1（1+m），∴m＝﹣3．應(yīng)選C．→→→1→2→1→2→→1→2→→→→(2)DE＝DB＋BE＝2AB＋3BC＝2AB＋3(AC－AB)＝－6AB＋3AC，∵DE＝λ1AB＋λ2AC，∴λ＝－1，λ＝2，所以λ＋λ＝1．1623122答案(1)C(2)12研究提升關(guān)于平面向量的線性運算，第一要選擇一組基底，同時注意共線向量定理的靈巧運用．其次運算過程中重視數(shù)形聯(lián)合，聯(lián)合圖形剖析向量間的關(guān)系．【訓(xùn)練1】(2019·廣州一模)已知的邊上有一點知足，則可表示為()A．B．C．D．分析由題意可知．，應(yīng)選D．答案D熱門二平面向量的數(shù)目積命題角度1平面向量數(shù)目積的運算【例2－1】(1)(2019株·洲質(zhì)檢)在中，點為斜邊的中點，，，則（）A．48B．40C．32D．16(2)(2016山·東卷)已知非零向量m，n知足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1．若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為（）399A．4B．－4C．4D．－4分析(1)由于點為斜邊的中點，所以，所以，又中，所以，應(yīng)選C．22，由已知得3212(2)∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|＝0t×|n|×＋|n|43＝0，解得t＝－4．答案(1)C(2)B研究提升1．求兩個向量的數(shù)目積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)目積的幾何意義．2．進行向量的數(shù)目積的運算，第一要有“基底”意識，重點用基向量表示題目中所求有關(guān)向量．其次注意愿量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特別情況．a(chǎn)·b3．求兩向量的夾角：cosθ＝|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．4．兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|．5．求向量的模：利用數(shù)目積求解長度問題的辦理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2．(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x2＋y2．→→→1→→→AB【訓(xùn)練2】(1)(2015·福建卷)已知AB⊥AC，|AB|＝t，|AC|＝t，若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且AP＝→|AB|→→→4AC＋→，則PB·PC的最大值等于（）|AC|A．13B．15C．19D．21(2)(2019新·泰一中)已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為（）A．﹣8B．﹣6C．0D．41→1，0→分析(1)成立如下圖坐標(biāo)系，則，0，C(0，t)，AB＝t，AC＝(0，t)，Bt→則AP＝

→→AB4AC→＋→＝t|AB||AC|

1，0＋4(0，t)＝(1，4)．∴點P(1，4)，tt→→11＋4t1－1，－4·(－1，t－4)＝17－t≤17－2t·4t＝13，則PB·PC＝t11→→當(dāng)且僅當(dāng)4t＝t，即t＝2時取等號，故PB·PC的最大值為13．(2)向量與的夾角為，且，可得，即有．應(yīng)選A．答案(1)A(2)A熱門三平面向量與三角的交匯綜合【例3】(2017·鄭州質(zhì)檢)已知向量m＝(2sinωx，cos2ω－2ω，＝ω，1)，此中0，xR．xsinx)n(3cosx若函數(shù)f(x)＝m·n的最小正周期為π．(1)求ω的值；(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝→→3，sinB＝3sinA，求BA·BC的值．解(1)f(x)＝m·n＝23sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6．∵f(x)的最小正周期為π，∴2ππ．∵0，∴1．T2w(2)設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．ππ2π∵f(B)＝－2，∴2sin2B＋6＝－2，即sin2B＋6＝－1，解得B＝3(B∈(0，π))．∵BC＝3，∴a＝3，∵sinB＝3sinA，∴b＝3a，∴b＝3．由正弦定理，有3＝3πππ，解得sinA＝1．∵0＜A＜，∴A＝．∴C＝，∴c＝a＝3．sinA2π2366sin3→→2π3∴BA·BC＝cacosB＝3×3×cos3＝－2．研究提升1．破解平面向量與“三角”訂交匯題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)變法”，即先活用引誘公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、協(xié)助角公式等對三角函數(shù)進行巧“化簡”；而后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩?yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對三角形的邊、角進行互化．2．這類問題求解的重點是利用向量的知識將條件“脫去處量外套”，轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的有關(guān)知識進行求解．【訓(xùn)練3】(2018·天津七校)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值．解（1）∵，∴，又，∴∵，∴．（2）,∴，∴，∵∴∴．限時訓(xùn)練

（45分鐘）經(jīng)典慣例題1．(2018

·全國

I卷)在△

中，

為邊上的中線，

為

的中點，則

（）A．

B．C．

D．2．(2018

·全國

II卷)已知向量

a，b知足

a

1，ab

1，則

a

2a

b

（

）A．4

B．3

C．2

D．03．(2018

·全國

III

卷)已知向量

a

1,2

，b

2,2，c

1,

．若

c∥

2a+b

，則

________．4．(2017·江蘇卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．高頻易錯題1．(2018·平遙中學(xué))若向量a與b知足，且，則向量a在b方向上的投影為（）A．B．C．－1D．2．(2019·內(nèi)江一模)若，，，則與的夾角為（）A．

B．

C．

D．3．(2019

·樂山一模

)如下圖，

是三角形

的中線，

是

的中點，若

，此中

，則的值為（

）A．B．C．D．4．(2017山·東卷)已知e1，e2是相互垂直的單位向量，若3e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是____．5．設(shè)向量a＝(π．3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，2(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．精確展望題1．(2017·漢中模擬)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，則|b|＝（）A．9B．3C．109D．3102．(2018·平遙中學(xué))已知向量,若，則的值為（）A．-3B．-1C．1D．23．(2019·河南聯(lián)考)若非零向量，知足，且，則與的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．4．(2017·貴陽調(diào)研)已知向量a＝cosπsinπ，b＝(－sinx,3sinx)，f(x)＝a·b．＋x，＋x22(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；A(2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f2＝1，a＝23，求三角形ABC面積的最大值．5．(2018·武威十八中)已知函數(shù)，此中．（1）求函數(shù)的單一遞加區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，且，求的面積．參照答案經(jīng)典慣例題1．【解題思路】第一將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特點，求得加法運算法例-------三角形法例，獲得，以后將其歸并，獲得反向量，求得，進而求得結(jié)果．【答案】依據(jù)向量的運算法例，可得所以，應(yīng)選A．2．【解題思路】依據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果．【答案】由于，所以選B．3．【解題思路】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可．【答案】由題可得，

，以后應(yīng)用向量的，下一步應(yīng)用相，，,即，故答案為．點睛：此題主要考察向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．【解題思路】(1)兩向量平行，坐標(biāo)對應(yīng)成比率；(2)依據(jù)數(shù)目積定義求出f(x)，再用協(xié)助角公式進行化簡．π＝0．【答案】(1)∵a∥b，∴3sinx＝－3cosx，∴3sinx＋3cosx＝0，即sinx＋6ππ7π5π∵0≤x≤π，∴6≤x＋6≤6π，∴x＋6＝π，∴x＝6．(2)f(x)＝a·b＝3cosx－3sinx＝－23sinx－πππ2π．∵x∈[0，π]，∴x－∈－，，3333∴－3≤sinx－π≤1，∴－23≤f(x)≤3，23ππππ5π當(dāng)x－＝－，即x＝0時，f(x)獲得最大值3；當(dāng)x－＝，即x＝時，f(x)獲得最小值－23．33326高頻易錯題1．【解題思路】由向量與知足||＝1，||＝2，且，求出ab1，由此能求出向量在向量方向上的投影．【答案】∵向量與知足||＝1，||＝2，且，∴a（）1＝0，解得ab1，∴向量在向量方向上的投影為：||?cos＜，＞||．應(yīng)選B．2．【解題思路】依據(jù)，，對兩邊平方即可求出，進而可求出＜，＞，這樣即可求出與的夾角．【答案】∵，，；∴；∴；∴＜，＞；又＜，＞，∴，的夾角為．應(yīng)選D．3．【解題思路】在三角形中是的中點，可得，而后將其轉(zhuǎn)變到、上求出、的值【答案】由題知，則，，故，應(yīng)選A．a(chǎn)·b4．【解題思路】求兩向量的夾角：cosθ＝|a|·|b|，注意θ∈[0，π]．【答案】cos60°＝（3e1－e2）·（e1＋λe2）＝3－λ＝1．解之得λ＝3．故填3．|3e1－e2||e1＋λe2|22333＋11＋λ5．【解題思路】(1)直接利用坐標(biāo)形式求模公式；(2)依據(jù)數(shù)目積定義求出f(x)，再用二倍角公式和協(xié)助角公式進行化簡．【答案】(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，x及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．又x∈0，ππ2，進而sinx＝1，所以x＝．26(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝3sin2x－1cos2x＋1＝sin2x－π＋1，22262ππ時，sinπ取最大值1．所以f(x)的最大值為3當(dāng)x＝∈0，22x－6．32精確展望題1．【解題思路】兩向量垂直，兩向量的數(shù)目積為0．【答案】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得

1＋8－x＝0，解得

x＝9．則|b|＝（－3）2＋92＝310．應(yīng)選

D．2．【解題思路】依據(jù)向量的坐標(biāo)的運算得

．

，利用向量模長相等列方程即可求解．【答案】由向量

,可得

．

．，

．由

，得

，解得

．應(yīng)選

C．3．【解題思路】由得結(jié)果．【答案】設(shè)與的夾角為，

，

可得

，

，聯(lián)合

可，應(yīng)選D．4．【解題思路】(1)依據(jù)數(shù)目積定義求出f(x)，再用二倍角公式和協(xié)助角公式進行化簡；A＝1可得A，再利用余弦定理聯(lián)合均值不等式．(2)f2【答案】(1)∵a＝(－sinx，cosx)，b＝(－sinx，3sinx)，21(1－cos2x)＋3π1，∴f(x)的最小正周期T＝2π則f(x)＝a·b＝sinx＋3sinxcosx＝2sin2x＝sin2x－6＋＝π，222πππ3當(dāng)2x－6＝2＋2kπ，k∈Z時，即x＝3＋kπ(k∈Z)，f(x)取最大值是2．A＝sinπ1＝1，∴sinπ1π(2)∵f2A－6＋A－6＝，∴A＝．223a2＝b2＋c2－2bccosA，∴12＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝12＋bc≥2bc，∴bc≤12(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝23時等號成立)．∴S＝1bcsinA＝3bc≤33．24∴當(dāng)三角形ABC為等邊三角形時面積取最大值是33．5．【解題思路】（1）利用