計算機(jī)圖形學(xué)24471

計算機(jī)圖形學(xué)2Lesson4?維三維圖形變換1.窗?與視圖的變換?戶域（?戶空間）：?戶?來定義設(shè)計對象的實數(shù)域（連續(xù)的?限的）窗?區(qū)W：在?戶坐標(biāo)系中需要進(jìn)?觀察和處理的?個坐標(biāo)區(qū)域，即?戶在?戶域中指定的任意區(qū)域W（window）。窗?是?戶圖形的?部分，?于或等于?戶域，可以嵌套定義窗?。屏幕域：圖形設(shè)備上?來輸出圖形的最?區(qū)域。（有限的整數(shù)域）視圖區(qū)V：將窗?映射到顯?設(shè)備上的坐標(biāo)區(qū)域。任何?于或等于屏幕域的區(qū)域都可定義為視圖區(qū)V（viewport）。?個屏幕上可定義多個視圖區(qū)。窗?區(qū)到視圖區(qū)的觀察變換為了全部如實地在視圖區(qū)中顯?出窗?區(qū)內(nèi)所定義的物體圖形，就必須求出圖形在窗?區(qū)和視圖區(qū)之間的映象關(guān)系。即需要根據(jù)?戶所定義的參數(shù)（窗?區(qū)），找到窗?區(qū)與視圖區(qū)之間的坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系。a，c分別反映了窗?區(qū)和視圖區(qū)之間在x和y?向上的伸縮?b，d分別反映了定位點在x和y?向上的偏移量。2.?維圖形的?何變換圖形變換就是要變換圖形的頂點坐標(biāo)，同時保持圖形的原拓?fù)潢P(guān)系不變。（矩陣加法適合交換律和結(jié)合律；矩陣乘法適合結(jié)合律，不適合交換律）性質(zhì)：從屬性：變換前直線或圖形上的點，變換后直線或圖形上均有?確定的點與之對應(yīng)。同素性：變換前是直線、曲線或點，變換后仍有直線、曲線或點與之對應(yīng)。平?性：兩直線平?，變換后仍保持平?。平移變換平移變換定義：平移變換是指將p點沿直線路徑從?個坐標(biāo)位置移到另?個坐標(biāo)位置的重定位過程，是?種不產(chǎn)?變形?移動物體的剛體變換。設(shè)把圖形從屏幕上?處p(x,y)移到另?處p’(x’,y’)，平移的?平距離為Tx，垂直距離為Ty?？傻茫簒’=x+Tx和y’=y+Ty（Tx、Ty稱為平移?量）[x’y’]=[xy]+[TxTy]設(shè)T=[TxTy]，則p’=p+T?例變換?例變換定義：?例變換是指對p點相對于坐標(biāo)原點沿x?向放縮Sx倍，沿y?向放縮Sy倍?？傻茫簒’=xSx和y’=ySy（Sx、Sy稱為?例系數(shù)）若把p(x,y)相對于參考點（x0,y0）縮放到另?處p’(x’,y’)，sx、sy為?平、垂直?例因?。可得：x’=x0+(x-x0)Sx和y’=y0+(y-y0)Sy旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換定義：?維旋轉(zhuǎn)是指將p點繞坐標(biāo)原點轉(zhuǎn)動某個?度（逆時針為正，順時針為負(fù)）得到新的點p’的重定位過程。原坐標(biāo)：x=r·cosα和y=r·sinα相對原點變換后：x’=xcosθ-ysinθ和y’=xsinθ+ycosθ相對參考點變換后：x’=x0+(x-x0)cosθ-(y-y0)sinθ和y’=y0+(y-y0)cosθ+(x-x0)sinθ齊次坐標(biāo)技術(shù)使圖形變換轉(zhuǎn)化為表?圖形的點集矩陣與某?變換矩陣進(jìn)?矩陣乘法這?單?問題，從?借助計算機(jī)快速得到變換后的圖形**實現(xiàn)?法：**?n+1維向量表??個n維向量，且在n+1維空間中描述n維向量的變換例如：?維坐標(biāo)點p(x,y)的齊次坐標(biāo)為p(wx,wy,w)。w是?個?零?例系數(shù)。習(xí)慣上，?p=[xy1]表?齊次坐標(biāo)下?維平?上?個未變換的點。齊次坐標(biāo)表?法把?維線形變換表?如下所?的規(guī)格化形式：x’=a1x+b1y+c1和y’=a2x+b2y+c2n個定點的多邊形，頂點矩陣變換為：?齊次坐標(biāo)技術(shù)表??種變換：平移?例旋轉(zhuǎn)：鏡像對稱變換：錯切變換：沿x軸?向關(guān)于y錯切（x=x+cy）沿y軸?向關(guān)于x錯切（y=y+bx）復(fù)合變換：圖形作?次以上的?何變換時，可以將復(fù)雜變換轉(zhuǎn)化成?系列簡單變換的連乘積，即變換矩陣相乘。矩陣乘法沒有交換率，復(fù)合變換要按?定順序進(jìn)?連續(xù)變換：連續(xù)進(jìn)?的平移、?例、旋轉(zhuǎn)變換可以交換順序連續(xù)進(jìn)?的沿相同?向的錯切可以交換順序eg：求XOY平?內(nèi)，p(x,y)點繞任意點A(x0,y0)逆時針旋轉(zhuǎn)θ?的復(fù)合變換矩陣。①將任意點A移?坐標(biāo)原點，此時進(jìn)?平移變換。②針對原點進(jìn)??維?何變換—逆時針旋轉(zhuǎn)θ?。③進(jìn)?反平移，將任意點A?移回到原來的位置。整體的?例變換（s，全?例變換）：它使整個圖形沿x、y軸作等?例均勻變換若s>1，圖形整體縮?；若0<s<1，圖形整體放?；若s<0，發(fā)?關(guān)于原點的對稱變換。?窮遠(yuǎn)點：[100]：x軸上的?窮遠(yuǎn)點；[010]：y軸上的?窮遠(yuǎn)點；[001]：坐標(biāo)原點。3.三維圖形的?何變換通過三維圖形變換，可??維屏幕坐標(biāo)表?三維形體。三維圖形變換則分為三維?何變換和投影變換三維圖形的?何變換三維基本?何變換都是相對于坐標(biāo)原點和坐標(biāo)軸進(jìn)?的?何變換，有平移、?例、旋轉(zhuǎn)、對稱和錯切等。假設(shè)三維物體變換前?點為p(x,y,z)，變換后為p’(x’,y’,z’)。三維空間中某點的變換可以表?成點的齊次坐標(biāo)與四階的三維變換矩陣相乘：根據(jù)T3D在變換中所起的具體作?，進(jìn)?步可將T3D分成四個矩陣。即：平移變換?例變換?例變換分局部?例變換和整體?例變換。①局部?例變換局部?例變換由T3D中主對?線元素決定，其它元素均為零。當(dāng)對x，y，z?向分別進(jìn)??例變換時，其變換矩陣為：其中，a、e、i分別為x，y，z三個?向的?例因?。若a=e=i，則各?向縮放?例因?相同；若a≠e≠i，則各?向縮放?例因?不同，?體產(chǎn)?變形。②整體?例變換若?同??例進(jìn)?變換，即得到整體?例變換，可?以下矩陣表?：旋轉(zhuǎn)變換三維旋轉(zhuǎn)變換可以看成是?維旋轉(zhuǎn)變換的組合：分別以x，y，z為旋轉(zhuǎn)軸，繞每個旋轉(zhuǎn)軸的三維旋轉(zhuǎn)可以看成是在另兩個坐標(biāo)軸組成的?維平?上進(jìn)?的?維旋轉(zhuǎn)變換，將?維旋轉(zhuǎn)變換組合起來，就可得到總的三維變換。①繞z軸旋轉(zhuǎn)z坐標(biāo)不變，x，y坐標(biāo)變化，正好同?維的正向旋轉(zhuǎn)?樣三維點p繞z軸正向旋轉(zhuǎn)θ?的變換矩陣為：②繞y軸旋轉(zhuǎn)y坐標(biāo)不變，z，x坐標(biāo)變化，三維點p繞y軸正向旋轉(zhuǎn)θ?的變換矩陣為：③繞x軸旋轉(zhuǎn)x坐標(biāo)不變，y，z坐標(biāo)變化，三維點p繞x軸正向旋轉(zhuǎn)θ?的變換矩陣為：對稱變換對稱變換有關(guān)于坐標(biāo)平?、坐標(biāo)軸、原點等對稱變換。①關(guān)于坐標(biāo)平?對稱另兩種變換以此類推。②關(guān)于坐標(biāo)軸對稱另兩種變換以此類推。③關(guān)于原點對稱錯切變換三維物體沿x、y、z軸三個?向發(fā)?錯切變換，其變換矩陣為：另兩個以此類推。逆變換三維復(fù)合變換三維復(fù)合變換是指圖形作?次以上的變換，變換結(jié)果是每次的變換矩陣相乘：p’=p·T=p·T1·T2……Tn（n＞1）相對于參考點F(xf,yf,zf)的三維變換，步驟為：①將參考點F移?坐標(biāo)原點；②針對原點進(jìn)?三維?何變換；③進(jìn)?反平移將物體繞平?于某坐標(biāo)軸的軸旋轉(zhuǎn)，可通過下列變換序列來得到所需旋轉(zhuǎn)矩陣：①平移：使物體的旋轉(zhuǎn)軸和與之平?的某?坐標(biāo)軸重合；②旋轉(zhuǎn)：對該坐標(biāo)軸完成指定的旋轉(zhuǎn)；③逆平移：將物體的旋轉(zhuǎn)軸移回原位置。旋轉(zhuǎn)軸平?于z軸的?何變換。旋轉(zhuǎn)軸平?于y軸的?何變換。旋轉(zhuǎn)軸平?于x軸的?何變換。Lesson5三維圖形投影和消隱1.三維圖形投影變換基礎(chǔ)知識投影變換：把三維物體投射到投影?上得到?維平?圖形。分為平??何投影和觀察投影。1.平??何投影主要指平?投影、透視投影以及通過這些投影變換?得到的三維?體的常?平?圖形：三視圖、軸測圖。2.觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)?的圖形投影變換。?先在三維空間中選擇?個點為投影中?；不經(jīng)過這個點再定義?個平?為投影平?；連接投影中?與三維物體（線段AB）的線，稱為投影線。投影線與投影?相交，在投影?上形成物體的像（線段A’B’），這個像稱為三維物體在?維投影?上的投影。平??何投影可分為兩?類：透視投影：投影中?到投影?之間的距離是有限的，有?個投影?和?個投影中??成真實感視圖但不保持相關(guān)?例。平?投影：投影中?到投影?之間的距離是?限的，有?個投影?和投影?向。精確地反映物體的實際尺?，不具有透視縮?性。沒有給出三維物體外表的真實性表?。平?投影可分成兩類：正投影和斜投影當(dāng)投影?向與投影平?的夾?為90度時，得到的投影為正投影，否則為斜投影正投影?可分為：三視圖和正軸測。當(dāng)投影?與某?坐標(biāo)軸垂直（或投影線與某?坐標(biāo)軸平?）得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測投影。三視圖：只有物體?個?的投影，可以測量距離和?度。三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影?分別與Y軸、X軸和Z軸垂直。正軸測投影：投影平?不與坐標(biāo)軸垂直，所以同時可看到?個物體的多個?，具有?定的?體效果。它保持形體間的平?性，但?度有變化。當(dāng)投影?與三個坐標(biāo)軸之間的夾?都相等時為正等軸測；當(dāng)投影?與兩個坐標(biāo)軸之間的夾?相等時為正?測；當(dāng)投影?與三個坐標(biāo)軸之間的夾?都不相等時為正三測。三視圖為了將三個視圖畫在?張圖上，需將三個視圖都重合到?個平?XOZ上去。**主視圖：**將三維形體向XOZ?（V?）作垂直投影（即正平?投影），得到主視圖側(cè)視圖：將三維形體往YOZ?（W?）作垂直投影得到側(cè)視圖。側(cè)視圖的投影變換使W?繞Z軸正向旋轉(zhuǎn)90°使W?沿X軸負(fù)向平移?段距離x0俯視圖：將三維形體向XOY?（H?）作垂直投影得到俯視圖。俯視圖的投影變換使H?繞X軸負(fù)向旋轉(zhuǎn)90°使H?沿Z軸負(fù)向平移?段距離z0[x’y’z’1]=[xyz1]·TV=[x0z1][x’y’z’1]=[xyz1]·TW=[-y0z1][x’y’z’1]=[xyz1]·TH=[x0-y1]正軸測投影①先繞Z軸正向旋轉(zhuǎn)α?②再繞X軸反向旋轉(zhuǎn)β?③將三維形體向XOZ平?（V?）作正投影得到正軸測投影的投影變換矩陣正等軸側(cè)投影：投影后三根軸等同地縮短。a=b=c正?軸側(cè)投影：投影后三根軸向變形系數(shù)有兩個等同。a=c=2b正三軸側(cè)投影：投影后三根軸向變形系數(shù)三個各不相同。α和β的值隨意取斜平?投影投影平?不垂直于投影?向的平?投影。能像三視圖那樣在主平?上進(jìn)?距離和?度測量，?能像正軸測投影那樣同時反映物體的多個?，具有?體效果。斜等軸測投影：投影?向與投影?成45°。和投影?垂直的任何直線段，其投影的長度不變。斜?軸測投影：投影?向與投影?成arctg(2)和投影?垂直的任何直線段，其投影的長度為原來?半。透視投影特點：視線是從視點出發(fā)，它是不平?的。（視點到投影?的距離有限）在?維屏幕上表?物體三維空間位置的全部信息。離觀察者越近像越?，反之亦然。在遠(yuǎn)處的“匯聚點”處完全消失透視投影縮?效應(yīng)：透視變換與視點(xv,yv,zv)距離投影?的遠(yuǎn)近有關(guān)(zv)－正?透視變換與物體(x,y,z)距離視點(xv,yv,zv)的遠(yuǎn)近有關(guān)(z-zv)－反?當(dāng)zv=0時，圖形退化成?個點（匯聚點）當(dāng)zv→-∞時，為平?投影當(dāng)y=0時，[x’y’z’1]=[x0z1]當(dāng)y→∞時，[x’y’z’1]=[01/q01]當(dāng)y→∞時，所有點的變換結(jié)果都集中到了y軸上的1/q處，即所有平?于y軸的直線將延伸相交于點(0,1/q,0)。該點稱為滅點當(dāng)p≠0,q=r=0時，則將在x軸上的1/p處產(chǎn)??滅點，其坐標(biāo)值為(1/p,0,0)。此時所有平?于x軸的直線將延伸交于該點。當(dāng)r≠0,q=p=0時，則將在z軸上的1/r處產(chǎn)??滅點，其坐標(biāo)值為(0,0,1/r)。此時所有平?于z軸的直線將延伸交于該點。滅點?束不平?于投影?的平?線的投影將匯聚成?點，稱作滅點(VanishingPoint)透視投影的滅點個數(shù)有?限多個，不同?向的平?線在投影?上就能形成不同的滅點。主滅點：平?于坐標(biāo)軸的平?線在投影?上形成的滅點就是主滅點。主滅點個數(shù)：因為有X、Y、Z三個坐標(biāo)軸，所以主滅點個數(shù)最多有三個。透視分類?點透視：有?個主滅點，即投影?與?個坐標(biāo)軸正交，與另外兩個坐標(biāo)軸平?。兩點透視：有兩個主滅點，即投影?與兩個坐標(biāo)軸相交，與另?個坐標(biāo)軸平?。三點透視：有三個主滅點，即投影?與三個坐標(biāo)軸都相交。?點透視（平?透視）的變換矩陣將三維形體平移到適當(dāng)位置x0、y0、z0；進(jìn)?透視變換；向XOZ平?作正投影變換，將結(jié)果變換到XOZ平?上。（平移透視投影的原因：避免把物體安置在原點，產(chǎn)?平?或直線積聚成直線或點?影響圖形直觀性。）兩點透視（成?透視）的變換矩陣投影?與?個坐標(biāo)軸（Z軸）平?，即與XOZ平?和YOZ平?有?個夾?繞Z軸正向轉(zhuǎn)θ?繞Z軸正向轉(zhuǎn)θ?向XOZ平?作正投影變換，將結(jié)果變換到XOZ平?上。三點透視的變換矩陣投影?與三個坐標(biāo)軸都相交，即與XOY、YOZ、XOZ平?均有夾?。繞Z軸正向轉(zhuǎn)α?繞X軸反向轉(zhuǎn)β?平移令視點在Y軸，進(jìn)?透視變換；向XOZ平?作正投影變換，將結(jié)果變換到XOZ平?上。視向變換?戶坐標(biāo)系的點=>觀察坐標(biāo)系的點=>屏幕坐標(biāo)系的點。把?戶坐標(biāo)系中的點轉(zhuǎn)換成觀察坐標(biāo)系中的點的過程視向變換矩陣1.平移——視點為坐標(biāo)原點。2.旋轉(zhuǎn)——繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)90?。3.旋轉(zhuǎn)——繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)φ?，則Z軸垂直指向ZW。4.旋轉(zhuǎn)——繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ,則Z軸指向原點0。5.對稱——做YOZ平?的對稱變換使右?系變成左?系。從坐標(biāo)變換的?度來說，透視投影?成的過程就是把點在觀察坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換到由透視平?決定的平?坐標(biāo)系中的過程設(shè)：F為透視平?與坐標(biāo)系原點的距離x*=F·x/z和y*=F·y/z2.投影圖的消隱真實感圖形在現(xiàn)實世界，當(dāng)觀察?個不透明的物體時，我們只能看到該物體上朝向我們視線?向的那部分表?，?其余的表?不可見。三維圖形的表??式線框圖：圖上的線條為形體的棱邊消隱圖：圖上只保留了形體上看得見的部分。真實感圖形：能夠表現(xiàn)形體的光照效果線框圖：在?戶坐標(biāo)系下定義的物體，經(jīng)過空間轉(zhuǎn)換、裁剪，投影到觀察平?，再變換到視圖區(qū)并顯?出來的圖形。物體的所有線條都被表?出來，物體的形狀不清楚，不真實。消隱圖：在線框圖中消去圖形中不可見部分，?只在圖形中表現(xiàn)可見部分三維物體表??式：邊界表?法消除隱藏線算法基本求交運算1.兩條直線相交（笛卡?坐標(biāo)系表?）①已知直線?程求交點的坐標(biāo)①已知直線?程求交點的坐標(biāo)②已知直線上兩點，求直線?程2.兩線段相交（參數(shù)?程表?）3.直線與異?相交凸多?體表?外法線與可見性的關(guān)系外法線：由物體內(nèi)部指向外部空間的法線外法線與可見性的關(guān)系∵經(jīng)過投影變換后在V?輸出正投影圖∴V平?是投影?，投影線//Y軸∵外法線與Y軸的夾?β反映了外法線與視軸（投影線)的夾?∴根據(jù)β值判斷該外法線代表平?的可見性平?外法線?程與夾?β的計算1.平?外法線2.平?外法線與Y軸的夾?外法線與y軸夾?的正負(fù)決定可見性，?外法線的求法E與兩邊的叉積有關(guān)，所以兩邊的?向（順序）?常重要在向V（XOZ）?投影時，β與可見性有關(guān)；在向H（XOY）?投影時，γ與可見性有關(guān)；在向W（YOZ）?投影時，α與可見性有關(guān)。利?物體外法線消去單個凸?體隱藏線的?法1.單鏈三表結(jié)構(gòu)：整個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形式是由三個數(shù)據(jù)表組成，包括?表、環(huán)表、頂點表。①?表：?維數(shù)組存放?個?的信息，兩個地址指針分別指出該?的?環(huán)在環(huán)表中的起始和終?位置。②環(huán)表：?維數(shù)組，對應(yīng)于?表中的次序，存放每個?的?環(huán)。③頂點表：三維數(shù)組（四維齊次坐標(biāo)），存放頂點坐標(biāo)。2.繪圖步驟①按照三表結(jié)構(gòu)的形式建?描述?體模型的頂點表、環(huán)表和?表；②根據(jù)要?成?體圖形的種類（正等軸測投影），采?相應(yīng)變換矩陣對?體的頂點進(jìn)?坐標(biāo)變換；③按照?表中的指?地址從相應(yīng)的環(huán)表中取出頂點序號，利?變換后的頂點坐標(biāo)對?體的?逐?計算出每個?的E值，根據(jù)E的正負(fù)判別?的可見性；④對于可見?，按照該?所對應(yīng)的環(huán)表連點繪出多邊形的邊框。平?體的消隱算法1.排斥試驗∵只有上下、前后、左右發(fā)?重疊的?體才會互相遮擋∴將物體放??個“最?盒?”中，?六個參數(shù)定義最?盒?：Xmax，Xmin，Ymax，Ymin，Zmax，Zmin如果兩個“最?盒?”不相交，那兩個物體肯定不相交。2.包含性試驗線段如不包含在該平?圖形內(nèi)，則該線段不可能被遮住，也就不必進(jìn)?深度?較。這個算法是穩(wěn)定的。假如算出來后代數(shù)和不是0，?是0.1或0.2，那么基本上可以斷定這個點在外部，它是由計算誤差引起的，實際上是0。3.檢驗深度檢驗平?與直線之間的前后關(guān)系①粗率地檢驗（假設(shè)以y軸為觀察?向）如果?個平?多邊形的y的最?值?于?條直線中y的最?值，則平?完全在線段之后。②精確地檢驗4.平?體消隱算法基本思想及程序結(jié)構(gòu)①計算各平?外法線?向的值EE>0，?向外，正?E<0，?向?，背?E=0，側(cè)?②隱藏關(guān)系判斷計算，計算各線段可見?段③求各?段的交集消除隱藏?算法Z緩沖區(qū)（Z-Buffer）算法Z緩沖區(qū)算法?較簡單，但關(guān)鍵是它的消隱思路變了，借助外界的幫助來提?消隱算法的效率。能不能多花點內(nèi)存，開?個和屏幕顯?器（幀緩存，實際上就是?個1024×1024的數(shù)組，這個數(shù)組可以保留RGB的值）?樣?的數(shù)組，來幫助記錄像素的深度值。幀緩存區(qū)?來存放每個像素的顏?值，初值可以放背景顏?；Z緩沖區(qū)?來存放每個像素的深度值，初值存放Z的最?值，因為視點在Z的?窮?處。這樣做就會帶來?個很?的變化。假設(shè)現(xiàn)在有?個??體，要把它畫在屏幕上，??體的6個?分別涂上不同的顏?，最終畫在屏幕上應(yīng)該是3個?可見3個?不可見。先拿其中的?個?把它投影到屏幕上，投影的結(jié)果是變成?個多邊形，然后進(jìn)?掃描轉(zhuǎn)換，結(jié)果是知道這個多邊形所覆蓋的像素。假如這個?是紅?的，那就把這個?所包含的像素統(tǒng)統(tǒng)置成紅?。這樣就畫出第1個?。同時把這個?的每個像素所對應(yīng)那個點的Z值記到Z緩沖區(qū)?。然后把??體的第2個?拿來（假如是綠?），把它投影到屏幕上，再做掃描轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后?得到?些新的像素，然后再對這些像素進(jìn)?逐個處理。判斷?下在原來這個位置是否畫過紅顏?，如果沒畫過，就放?地把綠顏?畫上去；如果已經(jīng)畫過紅顏?怎么辦？就看誰在前?誰在后?。因為紅顏?像素的那個點的深度值Z值是知道的，再算?下綠的這個?在這?點的Z值，然后這兩個Z值進(jìn)??較，如果?紅的Z值?，就說明在紅的后?，就不畫了；如果Z值?于紅的，就畫綠的，同時把Z-Buffer?的這點的Z值?綠顏?的Z值替換。也就是說，Z緩沖區(qū)?的Z值總是保留這個像素所對應(yīng)空間點的最?Z值。接著再畫第3個?、第4個?等，最后就得到結(jié)果了Z-Buffer算法?較簡單，也很直觀，代價就是要開這個Z緩沖區(qū)。在像素級上以近物取代遠(yuǎn)物，形體在屏幕上的出現(xiàn)順序是?關(guān)緊要的。改進(jìn)算法：??個深度緩存變量zb，取代與圖像??相等的緩存數(shù)組ZBLesson6曲線和曲?1.基本概念1.?由曲線和?由曲?形狀?較復(fù)雜，不能?簡單?程描述的曲線/?。2.由離散點繪制兩類圖形由實驗、觀測、數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)是離散的，根據(jù)這些有序點列構(gòu)造出?條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規(guī)律和趨勢等。分為兩類：1.數(shù)據(jù)較精確，誤差??可忽略不計?？衫L制?條光滑曲線，使其通過全部數(shù)據(jù)點（型值點）。包括：①曲線/?擬和：??組型值點來指定曲線/?的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。②曲線/?插值：給定型值點之間曲線/?上的點2.數(shù)據(jù)有顯著誤差，個別點誤差較?不宜使所繪的曲線/?通過全部數(shù)據(jù)點（型值點）。①曲線/?逼近：??組數(shù)據(jù)點來指定曲線/?的形狀時，形狀不必通過數(shù)據(jù)點列，使曲線/?上的點與數(shù)據(jù)點的平均距離最?。②曲線/?逼近：??組數(shù)據(jù)點來指定曲線/?的形狀時，形狀不必通過數(shù)據(jù)點列。將連接數(shù)據(jù)點的直線序列稱為特征多邊形。3.參數(shù)?程三維空間曲線上的點：p(t)＝(x(t),y(t),z(t))三維空間曲?上的點：p(u,w)＝(x(u,w),y(u,w),z(u,w))優(yōu)點：①與坐標(biāo)系的選取?關(guān)；②突出參數(shù)對因變量的影響；③不會出現(xiàn)斜率為?窮?的情況；④所產(chǎn)?的曲線/?有界限例如：直線段的參數(shù)?程：p(t)＝p0＋(p1－p0)t＝(1－t)p0＋tp1t∈[0,1]圓的參數(shù)?程：p(t)＝(cost,sint)t∈[0,2Π]橢圓的參數(shù)?程：p(t)＝(acost,bsint)t∈[0,2Π]4.參數(shù)曲線的表?形式切?量：求導(dǎo)f＝[f1f2f3f4]為調(diào)和函數(shù)，表明?個點對整段曲線所起的作?。通過端點及其切?量產(chǎn)?整個t值范圍內(nèi)的其余各點列的坐標(biāo)，并且只與參數(shù)t有關(guān)。便于通過修改邊界條件來改變曲線的形狀。Hermite參數(shù)曲線的零階調(diào)和函數(shù)：t＝0時，f1決定p(t)的值，此時f2＝f3＝f4＝0，且f2＝1－f1隨著t從0→1，f1的作?減?到零，t＝1時，f2＝1Hermite參數(shù)曲線的?階調(diào)和函數(shù)：t＝0時，f’3決定p(t)的值，此時f’1＝f’2＝f’4＝0隨著t從0→1，f’3的作?減?到零，t＝1時，f’4＝15.曲線段的光滑連接由離散點列產(chǎn)?的曲線不僅要求兩點之間的曲線段是光滑的，也要求兩曲線段在連接點也是光滑的。q1(1)＝q2(0)，即q1(t)和q2(t)的端點重合于p，c0連續(xù)；q1(1)和q2(0)在p點處重合，且其在p點處的切?量?向相同，??相等，則c1連續(xù)；q1(1)和q2(0)在p點c0，c1連續(xù)且其q’‘1(1)和q’'2(0)??和?向均相同，則c2連續(xù)6.四點式曲線已知四個點p1、p2、p3、p4，具有連續(xù)的t值，且t1＜t2＜t3＜t4，構(gòu)造?條參數(shù)曲線，求它的?何形式。2.拋物樣條曲線?拋物線作為基本曲線來擬合給定離散點所?成的曲線。拋物線調(diào)配曲線，計算?法簡單，后?的計算不影響前?結(jié)果，節(jié)點處c1連續(xù)，c2不連續(xù)，在精度要求不?的情況下常被選?。1.由任意3點定義的拋物線繪制拋物線調(diào)和曲線?次貝塞爾表達(dá)式（2）?次貝塞爾曲線表達(dá)式（3）t＝0時，過p1點且與p1p2相切；t＝1時，過p3點且與p2p3相切2.過拋物線上3點的曲線段3.拋物線調(diào)配曲線的計算公式設(shè)有離散點列pi(i＝1,2,……,m)，?過3點作拋物線的?法可作m－2條拋物線段4.端點討論pi+1(t)前后?４個已知點，只能作出m－3段曲線，?尾兩段未包括在內(nèi)。解決?法：補(bǔ)點p0和pm+1①已知兩端點的切?量p’1和p’m∵p’1=p2–p0∴p0=p2–p’1∵p’m=pm+1–pm-1∴pm+1=p’m＋pm-1②?由端條件使p0與p1，pm+1與pm重合即可。p0＝p1，pm+1＝pm③形成封閉曲線令p0＝pm，pm+1＝p1∵多?段pmp1∴pm+2＝p2voidparspl(intp[][2],intn,intk,inte){intx,y,i,j,m;floatt1,t2,t3,t,a,b,c,d;if(e==1){m=n;p[0][0]=p[1][0];p[0][1]=p[1][1];p[n+1][0]=p[n][0];p[n+1][1]=p[n][1];}else{m=n+1;p[0][0]=p[n][0];p[0][