第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1.頻率特性的基本概 urA1

RC

GsuCs

Tur RCs Tsu(s)ru(s)rs22u(s)G(s)u(s)1crTs s22uu(s)G(s)u(s)1crTs s22輸出uu(t)c1Tet/T1T22Asin(wttg1t=無(wú)窮大時(shí)，輸出uc(t)的穩(wěn)態(tài)部u(u(t)1TAsin(wtc1輸出

u(t)

u(t)c1Tu(t)c1Tet/T1TAsin(wttg1輸出uc(t)的穩(wěn)態(tài)部分：

1T 0--

Output

u

-

率的正弦信號(hào)，只是振幅與相角不一定相同。A=1ω=0.5 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4

A1sin(t1)

A2sin(t2ctA2sin(t2ctA2sin(t2即A2A121，并且

均為頻 的函數(shù)即A2,2

A()|G(j)或

()2()G(j)A()ejGj

(在系統(tǒng)的傳遞(在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)中，用代替s即得系統(tǒng)頻率特性j)，。系統(tǒng)模型間的關(guān)A2A() 2()1 rt3sin8t20

rt作用下的穩(wěn)態(tài)輸出6s6s

csstA2cos2t2

(s)C(s)

s (j2)

22j222

A

A2A2

30

1.77cos2t1878282

2038.7A2

即c

1.41cos8t18.7物理意義: G(jω)只與系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)2.頻率特性的幾何表示方

G(j)為復(fù)數(shù) 在坐標(biāo)圖中，它是一個(gè)矢量 既可用模和幅角表示,也可在直角坐標(biāo)中用實(shí)部和虛部表示。即:GjAejReGj Gjm

復(fù)平面上描繪出一條軌跡,這條軌跡就是G(jw)的極坐標(biāo)圖,通常又稱(chēng)為幅相頻率特性曲線，也稱(chēng)Nyquist曲線。用箭頭表示ω增加的方向,角度以實(shí)軸正方向作為相角的零度線如網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù):

幅相頻率特性:

Gj

jRC幅頻特性:

Gj T2T22

(w)arctgRCω的偶函數(shù)，相頻特性是ω的偶函數(shù)，相頻特性是的奇函數(shù).故ω從0到-∞的極坐標(biāo)圖于實(shí)軸.

典型環(huán)節(jié)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特1.G(G(s)K(s1)(2s22s1)s(Ts1)(T2s22Ts1)12 (s12 (Tsij幅頻特性

GsK,KGjKej0KK

sGj1

1e幅頻特性

GjjA

TsT22T22

T22T22

Tj1

ej1T Aj1T1/T A0.707, 12 212

GjTj1 T22

T221ejj1G ,1傳遞函 G ,1

2

頻率特性

sn1

2s1n

n

j n1

1 1 222 n2n n A當(dāng)時(shí),A

, 當(dāng)時(shí),A j 1極坐標(biāo)圖與虛軸交點(diǎn)與有關(guān)，越小，A越大rr Amr11諧振頻 諧振峰值諧振頻率

Gs

2

nj

nj

Gj

2

11222

2 2 2 L20lg 1 n

w

2/11 n1j

Gs Ts

GjT22T22

T22T221

ej

180【關(guān)鍵】根據(jù)相角把握【關(guān)鍵】根據(jù)相角把握 復(fù)一個(gè)積分環(huán)節(jié),滯后一個(gè)一階微分環(huán)節(jié),超前0－90度2用頻率法分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng),主要是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性進(jìn)行的,而開(kāi)環(huán)頻率特性常用極坐標(biāo)圖(Nyquist曲線)。G(s)G1(s)G2(s GnGG(j)G1(j)G2(jGn(Aj1A2j21nAnAinji開(kāi)

()G(j)i性n性nnn

(開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)(0)和終 (ImG(jx)

或Gjxkk0ReReG(jx)G(jxx稱(chēng)為穿越頻率[例1]已知一個(gè)零型單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下,試?yán)L制

1sGjTT1 2T212

KarctgT1arctgT2起

終

K()開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)K()90 1T211T1T211T1221 T

KTK

0,

KTKTT1T G(s)

如果nG(s)

(Tns則n分別為1 整數(shù)時(shí)，極坐標(biāo)圖的大致形狀

單調(diào)變負(fù)j

[例2]G(s) GjT12T12T 22

K90arctgTarctgT 1.起點(diǎn)：A, 單調(diào)變負(fù)，270(w0 900arctgTarctgT180 arctgTarctgT90 T1T1 T1 12T T1

1s3Ts1 K(1s1)(2s1)G(s)

s(Ts1)(Ts1)(T2s22Ts1)

(KV0(零型系統(tǒng)1(1型系統(tǒng)2(2型系統(tǒng)0（0）

nnn00的表達(dá)形式后，根據(jù)以下環(huán)節(jié)的特點(diǎn)判一個(gè)積分環(huán)節(jié),滯后90一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié),滯后0－90度一個(gè)一階微分環(huán)節(jié),超前0－90度Gjx ImGjx

KT1KTKT1KTT

A 起點(diǎn)：

AK

終點(diǎn)： AKT1

T1T2 AT1KT1T1KT1T1T2 AG(s)H(s)K(s1);K,,TG(j)H(j)

j(jT1

起點(diǎn)：A(,()終點(diǎn)：A(0,()K()2K()21

j0j0 G(j)H(j)

G(s)

G(s)

ss22s

G(s)

G(s)

G(s)Ks

G(s)

Ks1(T

G(s)Ks2 2

(T 5]某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

b=conv([51],[2b=conv([51],[21]);%分母的兩個(gè)因子相乘n=[b0];%-- - - - - - - 3.3. 開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖G(s)G(s) K(s1)(2s22s1)(ss(Ts1)(T2s22Ts1)12 (TsjG(jG(j)Kj1 2s(Tj22jj2212212j1)22T2j1)(ij(TjjGjAGjAejReGjjIGjm

相頻特G(s)G1(s)G2(sGnG(s)G1(s)G2(sGnG(j)G1(j)G2(jGn(Aj1)A2j2)1nAnAinji()G()G(j)inn

L()L()20lg 橫坐標(biāo)：ω，對(duì)數(shù)刻度，單位為弧度/秒(()G(j)in縱坐標(biāo)：

橫坐標(biāo)：ω324 324

11

34 34

12 12

- -

2113241 2 3 41234 1

加,極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算及作圖。對(duì)數(shù)幅頻特性以為單位,減小了L(w)曲線的斜率,便于在 由于軸采用對(duì)數(shù)分度刻度,可大范圍地?cái)U(kuò)展橫軸上的頻率范圍,又不降低低頻段特性的準(zhǔn)確性。頻率特性幅頻特性相頻特性伯德圖

GsK,KGjKej0

L

sGj1

1e

lg1lglg1lg2

L20lg

L(L(10-L，每增加十倍時(shí)L()減少20dB 貝線相交于=1，

0

L(1)L(2)lg1lg20lg20lg

GjjAL lg1

L0

Gs Ts

T22T22

T22T221

e

T22L20lgAT22

L漸20lgT,當(dāng)T <<1時(shí)，L()為與0當(dāng) >>1時(shí)，L()為斜率為－20dB/dec的線段L

T1T

處 T

稱(chēng)為 T22

(1T1 1

1/1/ 0.15.7arctg 84.3

GjTj1 T22

T221e對(duì)數(shù)幅頻特 L1T

w-20

w對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性

G ,1傳遞函 G ,1

s22s

2

頻率特性

sn1

2sn

n

j n1

1 1 222 n2n n 2

2

2

n 當(dāng) 1L ＝40

n

1 LL－L12n2n1212n2n

L20lgr20r 1 120lg2122nnL20lgA20lg120lg2【【注】ξ≤0.5，則向上修正

21

n nnw0--[例1繪制以下傳遞函數(shù)的

s2

s

n2n

L20lgA20

120lg

Gs

2

nj

nj

Gj

2

11222

w

2/1122 2 n

L20

n180180

Gs Ts

GjT22T22

T22T221

e

180T22對(duì)數(shù)幅頻特性L20lgAT22--w0 0？？不穩(wěn)定環(huán)節(jié)G(s)=1/(－Ts＋1)的圖如何

漸近線漸近

變 Ts

-

s

-

/

1o1(s(

)2

1

二階(s)2

s

0~+18

G(s)G1(s)G2(s GnG(j)G1(j)G2G(j)G1(j)G2(jGn(Aj1)A2j2)1nAnAinji(ninL20lgA20lg s Kis1

2si

G(s)H(s)

si si sTs

2pi pi pi繪制低頻段的特性，開(kāi)環(huán)頻率特性的低頻部分在w趨向于limG(s)H(slimG(s)H(s)s

La()20lg

20lgK20lg低頻漸近線或其延長(zhǎng)線與軸的交點(diǎn)L

滿(mǎn)足：La(a- v

-

-K

繪制對(duì)數(shù)相頻曲線方法 率），算出幾個(gè)()值，然后用逐點(diǎn)描繪的方法繪出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線L(w)穿過(guò)0c叫做開(kāi)環(huán)系數(shù)。在c處有（求解方法） G(s) 100(ss(s1)(s10)(s22s 10s 4Gs

s

s1ss110122 系統(tǒng)型別是I，低頻漸近線的斜率為-20dB/dec,延長(zhǎng)線與0分貝線交點(diǎn)為a10 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)斜率s交接頻率交接頻率1斜率s交接頻率交接頻率2斜率[40(s s 交接頻率4斜率交接頻率4斜率[204交接頻率交接頻率10斜率[20s

(w)arctgw900arctgwarctgwarctgw/ 1(0) (1)(2)(4)(10)()提坐標(biāo)起點(diǎn)0.01,0.1,1,(合理布局，充分利用繪圖空 10(s10(sG(s)s(s2)(s2s的漸近對(duì)數(shù)幅頻曲線

7.5(s/3s(s/21)(s2/2s/2GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2Step2各典型環(huán)節(jié)的交接頻率 1τ)。 GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2Step3

17.5dB/dec這一點(diǎn)，根據(jù)積分環(huán)節(jié)數(shù)ν=1畫(huà)斜率20dB/dec的最左端直線，或在貝線上找到頻率GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2:3.用Ts分別繪兩種情況系下G(s)TTs2

的BodeT1T2

T1 T

G(s)10s1

2sBode([101],[2

8640FrequencyBodeBode864200 Frequency4. 4. 比較G(s)=1/(Ts+1) 1TsG(s)1TsG(s)Ts1Tjw1T2w1Tjw1T2w2G(jw)A(w)TjwA(w)

T2w2(w(w)(w)w

w以下系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性有何特點(diǎn)G(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2sG(s)H(s)G(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2s10(ss2(s2)(s2sG(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2s[例G(s)H(s) 2000ss2(s1)(s210s11 s2G(s)H(s) 2s2(s1)( s 確定各交接頻率，慣性環(huán)節(jié)1＝1，微分環(huán)節(jié)22 10，v=2，斜率為－40，s（1,20）繪制min20lgk=15，∴k=5.6

G(s)

5.6(s/7s(s/2練習(xí)1[-[--[例] 0.解：[+40] [+40]→[0 G(s)

(Ts1)2過(guò)點(diǎn)（0.01,0），20lg(K2

0.01

K在

處，20lg(K2

1 T G(G(s)(25s10424

40w1lgw1lg lgw11-20lg(2)622[-1--[-解 低頻段[-40db],11?1[-(s)2 s1 [-

(s)2 s2?22?22G(s)G(s)K221ss22s2s11s11 KA()

低頻段延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)[5.623,0],所以有KL()20logA()20

5.623KK

K31求低頻段又過(guò)點(diǎn)[1,20dbL()20logA()20logK20log31.622 11 ()20log120log10 1 2,2

[220 lg2

80,

lg1 2121220log

0

1

2

(12) 2的2個(gè)解為20.87,22ss22G(s)31.65.7ss2s22s5.45.4頻域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件—全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)— 頻域穩(wěn)定判據(jù)

Nyquist判據(jù)F(s)K(sz1)(sz2)...(szm(sp1)(sp2)...(spn

F(s)p F(s)mKsm

nj (n

zi

(

pjF(s)

Fm

ejF(s) ei1nspjj1nn

F(s)(szi)(spj js順s順時(shí)F順時(shí)ABCH012D301GABCH012D301GEDF(s)ssH3GFEs順時(shí)F順時(shí)1.圍線 F(s)(s2)(s

FssF(s)ssABCHD10DEGGFE0 CsF

映射圍線F順時(shí)針變化一圈2.圍線 2.圍線 F(s)(s2)(s

FF(s)ssABCGFF(s)ssABCGEHDHD001GFECsF順時(shí)3圍線sF(s)(s

4.圍線4.圍線 F(s)ss一周時(shí)， 不需要知道圍線s的確切形狀和位置，只要知映射F是否包圍原點(diǎn)以及包圍原點(diǎn)的次數(shù)；反過(guò)來(lái)，根據(jù)給定的圍線F -C(s)-

1G(s)H(s)1G(s)H(s)設(shè)G(s)H(s

F(s)F(s)1G(s)H(s)A(s)F(s)1G(s)H(s)A(s)

RRFF(s)1G(s)H(s)A(s)

R

Fs針移動(dòng)一周，映射到F(s)Fs 右半平面極點(diǎn)數(shù)FF(s)1G(s)H(s)A(s)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：N=-G開(kāi)(s)平面中，N為圍線順時(shí)針

F平

011220112233440FF(s)1G(s)H(s)A(s)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：N=-充要條件為：N=0即，對(duì)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，G開(kāi)(s)平面的圍線G 經(jīng)證明，G開(kāi)經(jīng)證明，G開(kāi)(s)平面的圍線P:例 (s)

(T,T

wwwwww0+2×1=2，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)10K（1）繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線

G開(kāi)(s

(sNyquist

2sw A(w)w A(w)

(w) Imaginary(w)Imaginary 1ImaginaryImaginary0

wx

RE[A(wx)]0Real

（2）判斷穩(wěn)定性K>0時(shí)，當(dāng)（2）判斷穩(wěn)定性K>0時(shí)，當(dāng) ,N=0,Z=0,穩(wěn)K<0K ,N=0,Z=0,∞,-1)段稱(chēng)為如果Z=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定否Z=P-2(N+-N-例ww(-∞1)段，正穿越次數(shù)N+=1,負(fù)穿越次數(shù)N-=1，則例w w(-∞(-∞1)段，正穿越次數(shù)N+=1,負(fù)穿越次數(shù)N-=2，則例wwww(-1∞)段穿越為無(wú)(-∞(-∞1)段，正穿越次數(shù)N+=2,負(fù)穿越次數(shù)N-=2，則例起于(-1,∞)段實(shí)軸起于(-1,∞)段實(shí)軸w(-∞(-∞1)段，正穿越次數(shù)N+=1/2,負(fù)穿越次數(shù)N-=0，mmKis (s) RRr

w G（jw)j開(kāi)開(kāi)開(kāi)開(kāi)RealReal為無(wú)窮大的v×90度圓弧，并用虛線表示，v代表積分環(huán)節(jié)的節(jié)補(bǔ)v×90度。G(s)

s2(Ts

(TwII型系統(tǒng)，補(bǔ)

s右wwwww

w

GsGsK2(w)arctg() [180003600arctg()

P=1,N+=0,N-=1/2,N=N+-N-P=1,N+=0,N-=1/2,N=N+-N-=-∞,-1)段稱(chēng)為注：N-為負(fù)穿越次數(shù)，N+起于(-1,∞)段實(shí)軸起于(-1,∞)段實(shí)軸w(-∞(-∞1)段，正穿越次數(shù)N+=1/2,負(fù)穿越次數(shù)N-=0，mKism (s)

sTjsj

節(jié)補(bǔ)v×90度。練習(xí)－1.5－1.5- -0 j單位(w)-映映射

0分貝線，軸

1

映映射關(guān)A-A- LA--ABC Z=P-2N=P-2(N+-N-定性.

如最小相角系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)圖為以下曲線,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)『解』N+＝1，N-＝1，N＝N+-N-＝0，Z＝P-12]GG(s)K(T1s1)(T2s1)(T3s

[- (w)

[----G(s)

s2(Ts繪出伯德圖，因?yàn)関

(wk1s(w ssN+=1，N-=1/2，N=N+-N-=-練習(xí)LL----已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)型次v=3，P=0所示，圖中ω<ωc時(shí)，L(ω)>L(ωc)『解N-=1.5，N+＝0，P＝0，Z＝P-『練習(xí)』利用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定1.Gs 2.Gs s

Gs 5.

K

(w(w穩(wěn)

(w(w—G(s)

Ts180arctgT180(w(w 0 1/2 G(s) sTs90180arctgT270(w(w—=1/201/2 G(s)

(w(w—=1/201/2 3.頻域穩(wěn)定裕 越接近(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差。『示例最小相角系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，在四個(gè)不同的值下，開(kāi)環(huán)----衡量穩(wěn)定裕度的兩個(gè)指180G(jc)H(jc ：在開(kāi)環(huán)截止頻180G(jc)H(jc以最小相角γ的物理意義：一般要求 γ>0，表明Nyquist曲線未包圍1,j0，表明Nyquist曲線包圍了(-1,j0γ=0，表示Nyquist曲線正通過(guò)(-1,j0衡量穩(wěn)定裕度的兩個(gè)指：使h h GjxHjx20lgh20lgGjxHjx的物理意義：表示系統(tǒng)在幅值方面的穩(wěn)定儲(chǔ)

h 設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的目標(biāo)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的目標(biāo):為了使系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕度和獲得良好的動(dòng)態(tài)性能，一般要求相角裕度γ=30~70Note1:僅僅用相角裕度或僅僅用幅值裕度，都不足以說(shuō)Note2一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的相角裕度，幅值裕度？總k-ss11s1

Gs ss11s1 要求相角裕度γ，先求截止頻率GjcHjc2

c1.2247jcjc15jc1

c c180-154.53

90arctgarctgx

arctg5

900

1 51 0, x5

520lgh2052c2ccc25

G(jx)H(jx20

c3.990

5

180-203.6-20lgh20lgGjxHjx10.5dB用做圖法：(dB)

[-

0---

1

[-[-

[- [-w G(jwc)H(jwc

G開(kāi)(s)G開(kāi)(s)ks(s1)(1s5 (s) (s) 2bodeka20lgkwsw 1.41 (s) 20ka20lgkwsw 4.4'系統(tǒng)的相角裕度和

K 20lgK

K w顯然，轉(zhuǎn)折頻率

180 A

c[1

902arctg

cc

cx902arctg(0.01)x

h20lgA(x)20

Gss2

180 aac2A c2 c2c180arctgac 21 a1 cc系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為

s0.1s

180 A

c1c290