2022年全國各省市中考數(shù)學真題匯編之二次函數(shù)壓軸題

2022年全國各省市中考數(shù)學真題匯編二次函數(shù)壓軸題(2022·四川省樂山市)如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（2，0），與y軸交于點C，且tan∠OAC=2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖2，過點C作CD∥x軸交二次函數(shù)圖象于點D，P是二次函數(shù)圖象上異于點D的一個動點，連結PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求點P的坐標；

（3）如圖3，若點P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個動點，連結OP交BC于點Q．設點P的橫坐標為t，試用含t的代數(shù)式表示PQOQ的值，并求PQOQ的最大值．(2022·浙江省湖州市)如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y=-x2+bx+c經過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．

（1）①求點A，B，C的坐標；

②求b，c的值．

（2）若點P是邊BC上的一個動點，連結AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設BP=m，CM=n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．(2022·湖南省邵陽市)如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點C（3，0）在拋物線上．

（1）求該拋物線的表達式．

（2）正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標．

（3）在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．(2022·湖南省衡陽市)如圖，已知拋物線y=x2-x-2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．

（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；

（2）若直線y=-x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；

（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(2022·江蘇省蘇州市)如圖，二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．

（1）求A，B，C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數(shù)；

（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；

（3）若在第四象限內二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m＞0）的圖象上，始終存在一點P，使得∠ACP=75°，請結合函數(shù)的圖象，直接寫出m的取值范圍．(2022·山東省泰安市)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A（-2，0），B（0，-4），其對稱軸為直線x=1，與x軸的另一交點為C．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作MN⊥x軸于點N．

①若點N在線段OC上，且MN=3NC，求點M的坐標；

②以MN為對角線作正方形MPNQ（點P在MN右側），當點P在拋物線上時，求點M的坐標．(2022·湖南省株洲市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）．

（1）若a=1，b=3，且該二次函數(shù)的圖象過點（1，1），求c的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、BE分別交于點M、N，BE與y軸相交于點P，且滿足tan∠ABE=34．

①求關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式的值；

②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．

閱讀材料：十六世紀的法國數(shù)學家弗朗索瓦?韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系，可表述為“當判別式△≥0時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根x1、x2有如下關系：x1+x2=?ba，x(2022·湖南省懷化市)如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y=ax2+2x+c經過點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．

（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式．

（2）當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．

（3）若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．(2022·甘肅省武威市)如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=14（x+3）（x-a）與x軸交于A，B（4，0）兩點，點C在y軸上，且OC=OB，D，E分別是線段AC，AB上的動點（點D，E不與點A，B，C重合）．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）連接DE并延長交拋物線于點P，當DE⊥x軸，且AE=1時，求DP的長；

（3）連接BD．

①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，當點G在拋物線上時，求點G的坐標；

②如圖3，連接CE，當CD=AE時，求BD+CE的最小值．(2022·云南省)已知拋物線y=-x2-3x+c經過點（0，2），且與x軸交于A、B兩點．設k是拋物線y=-x2-3x+c與x軸交點的橫坐標，M是拋物線y=-x2-3x+c上的點，常數(shù)m＞0，S為△ABM的面積．已知使S=m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和．

（1）求c的值；

（2）直接寫出T的值；

（3）求k4k8(2022·四川省達州市)如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象經過點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使∠PCB=∠ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．(2022·江蘇省連云港市)已知二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．

（1）當該函數(shù)的圖象經過原點O（0，0），求此時函數(shù)圖象的頂點A的坐標；

（2）求證：二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4的頂點在第三象限；

（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線y=-x-2上運動，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負半軸的交點為B，求△AOB面積的最大值．(2022·浙江省舟山市)已知拋物線L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）經過點A（1，0）．

（1）求拋物線L1的函數(shù)表達式．

（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．

（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3．已知點P（8-t，s），Q（t-4，r）都在拋物線L3上，若當t＞6時，都有s＞r，求n的取值范圍．(2022·安徽省)如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和，請解決以下問題：

（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達式和l的最大值；

（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標的取值范圍（P1在P4右側）．(2022·四川省德陽市)拋物線的解析式是y=-x2+4x+a．直線y=-x+2與x軸交于點M，與y軸交于點E，點F與直線上的點G（5，-3）關于x軸對稱．

（1）如圖①，求射線MF的解析式；

（2）在（1）的條件下，當拋物線與折線EMF有兩個交點時，設兩個交點的橫坐標是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；

（3）如圖②，當拋物線經過點C（0，5）時，分別與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側．在x軸上方的拋物線上有一動點P，設射線AP與直線y=-x+2交于點N．求PNAN的最大值．(2022·四川省涼山彝族自治州)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+bx+c經過點A（-1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點P的坐標；

（3）將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．(2022·四川省瀘州市)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+x+c經過A（-2，0），B（0，4）兩點，直線x=3與x軸交于點C．

（1）求a，c的值；

（2）經過點O的直線分別與線段AB，直線x=3交于點D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；

（3）P是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．(2022·四川省遂寧市)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，-3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點，F(xiàn)為BC邊上的一動點，D點坐標為（0，-2），求△DEF周長的最小值；

（3）如圖2，N為射線CB上的一點，M是拋物線上的一點，M、N均在第一象限內，B、N位于直線AM的同側，若M到x軸的距離為d，△AMN面積為2d，當△AMN為等腰三角形時，求點N的坐標．

參考答案1.解：（1）∵A（-1，0），

∴OA=1，

∵∠AOC=90°，

∴tan∠OAC=OCOA=2，

∴OC=2OA=2，

∴點C（0，-3），

設二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）?（x-2），

∴a?1×（-2）=-2，

∴a=1，

∴y=（x+1）?（x-2）=x2-x-2；

（2）設點P（a，a2-a-2），

如圖1，當點P在第三象限時，作PE∥AB交BC于E，

∵B（2，0），C（0，-2），

∴直線BC的解析式為：y=x-2，

∴當y=a2-a-2時，x=y+2=a2-a，

∴PE=a2-a-a=a2-2a，

∴S△PBC=12PE?OC，

∵拋物線的對稱軸為直線y=12，CD∥x軸，C（0，-2），

∴點D（1，-2），

∴CD=1，

∴S△BCD=12CD?OC，

∴12PE?OC=12CD?OC，

∴a2-2a=1，

∴a1=1+2（舍去），a2=1-2，

當x=1-2時，y=a2-a-2=a-1=-2，

∴P（1-2，-2），

如圖2，當點P在第一象限時，

作PE⊥x軸于E，交直線BC于F，

∴F（a，a-2）

∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，

∴S△PBC=12PF?OB=12CD?OC，

∴a2-2a=1，

∴a1=1+2，a2=1-2（舍去），

當a=1+2時，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+2-2=2，

∴P（1+2，2），

綜上所述：P（1+2，2）或（1-2，-2）；

（3）如圖3，

作PN⊥AB于N，交BC于M，

∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），

∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，

∵PN∥OC，

∴△PQM∽△OQC，

∴PQOQ=PMOC=?t2+2t2=-2.解：（1）①四邊形OABC是邊長為3的正方形，

∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；

②把A（3，0），C（0，3）代入拋物線y=-x2+bx+c中得：?9+3b+c=0c=3，

解得：b=2c=3；

（2）∵AP⊥PM，

∴∠APM=90°，

∴∠APB+∠CPM=90°，

∵∠B=∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠CPM，

∵∠B=∠PCM=90°，

∴△MCP∽△PBA，

∴PCAB=CMPB，即3?m3=nm，

∴3n=m（3-m），

∴n=-13m2+m=-13（m-32）2+34，

∵-13＜0，3.解：在直線y=2x+2中，

當x=2時，y=2，

當y=0時，x=-1，

∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（0，2），

把點A（-1，0），點B（0，2），點C（3，0）代入y=ax2+bx+c，

a?b+c=0c=29a+3b+c=0，

解得a=?23b=43c=2，

∴拋物線的解析式為y=-23x2+43x+2；

（2）①當△AOB≌△DPC時，AO=DP，

又∵四邊形OPDE為正方形，

∴DP=OP=AO=1，

此時點P的坐標為（1，0），

②當△AOB≌△CPD時，OB=DP，

又∵四邊形OPDE為正方形，

∴DP=OP=OB=2，

此時點P的坐標為（2，0），

綜上，點P的坐標為（1，0）或（2，0）；

（3）如圖，

點D′在以點P為圓心，DP為半徑的圓上運動，

∴當點D′′，點P，點C三點共線時，CD′′有最小值，

由（2）可得點P的坐標為（1，0）或（2，0），且C點坐標為（34.解：（1）當x=0時，y=-2，

∴C（0，2），

當y=0時，x2-x-2=0，

（x-2）（x+1）=0，

∴x1=2，x2=-1，

∴A（-1，0），B（2，0），

設圖象W的解析式為：y=a（x+1）（x-2），

把C（0，2）代入得：-2a=2，

∴a=-1，

∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，

∴圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式為：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；

（2）由圖象得直線y=-x+b與圖象W有三個交點時，存在兩種情況：

①當直線y=-x+b過點C時，與圖象W有三個交點，此時b=2；

②當直線y=-x+b與圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)圖象相切時，如圖1，

-x+b=-x2+x+2，

x2-2x+b-2=0，

Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，

∴b=3，

綜上，b的值是2或3；

（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，

如圖2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

∵PN∥y軸，

∴P（1，0）；

如圖3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，

當y=2時，x2-x-2=2，

x2-x-4=0，

∴x1=1+172，x2=1?172，

∴P（1+172，0）；

如圖4，當∠MCN=90°時，△OBC∽△CMN，

∴CN的解析式為：y=x+2，

∴x+2=x2-x-2，

∴x1=1+5，x2=1-5（舍），

∴P（1+5，0），

綜上，點P的坐標為（1，0）或（1+172，0）或（1+5.解：（1）當y=0時，-x2+2mx+2m+1=0，

解方程，得x1=-1，x2=2m+1，

∵點A在點B的左側，且m＞0，

∴A（-1，0），B（2m+1，0），

當x=0時，y=2m+1，

∴C（0，2m+1），

∴OB=OC=2m+1，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°；

（2）如圖1中，連接AE．

∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，

∴D（m，（m+1）2），F(xiàn)（m，0），

∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，

∵A，B關于對稱軸對稱，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠OBC=45°，

∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，

∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，

∵EF∥OC，

∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1，

∴m+1m=m+1，

∴m=1或-1，

∵m＞0，

∴m=1；

（3）如圖，設PC交x軸于點Q．

當點P在第四象限時，點Q總是在點B的左側，此時∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，

∵∠ACQ=75°，

∴∠CAO＜60°，

∴2m+1＜3，

∴m＜3?12，

∴0＜6.解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點B（0，-4），

∴c=-4，

∵對稱軸為直線x=1，經過A（-2，0），

∴?b2a=14a?2b?4=0，

解得a=12b=?1，

∴拋物線的解析式為y=12x2-x-4；

（2）①如圖1中，

設直線AB的解析式為y=kx+n，

∵A（-2，0），B（0，-4），

∴?2k+n=0n=?4，

解得k=?2n=?4，

∴直線AB的解析式為y=-2x-4，

∵A，C關于直線x=1對稱，

∴C（4，0），

設N（m，0），

∵MN⊥x軸，

∴M（m，-2m-4），

∴NC=4-m，

∵MN=3NC，

∴2m+4=3（4-m），

∴m=85，

∴點M（85，-365）；

②如圖2中，連接PQ，MN交于點E．設M（t，-2t-4），則點N（t，0），

∵四邊形MPNQ是正方形，

∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，

∴PQ∥x軸，

∴E（t，-t-2），

∴NE=t+2，

∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，

∴P（2t+2，-t-2），

∵點P在拋物線y=12x2-x-4上，

∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，

解得t1=12，t2=-2，

∵點P在第四象限，

∴t=-2舍去，7.解：（1）當a=1，b=3時，y=x2+3x+c，

把x=1，y=1代入得，

1=1+3+c，

∴c=-3；

（2）①由ax2+bx+c=0得，

x1=?b?b2?4ac2a，x2=?b+b2?4ac2a，

∴AB=x2-x1=b2?4aca，

∵拋物線的頂點坐標為：（-b2a，4ac?b24a），

∴AE=b2?4ac4a，OM=b2a，

∵∠BAE=90°，

∴tan∠ABE=AEAB=34，

∴b2?4ac4a÷b2?4aca=34，

∴b2-4ac=9；

②∵b2-4ac=9，

∴x2=?b+32a，

∵OP∥MN，

∴NPBP=OMOB，

∴b2a：?b+32a=2，

∴b=2，

∴22-4ac=9，

∴c=-54a，

∴T=8.解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+c經過點A（-1，0）、B（3，0），

∴a?2+c=09a+6+c=0，

解得a=?1c=3，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，

令x=0，可得y=3，

∴C（0，3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，則b=33k+b=0，

∴k=?1b=3，

∴直線BC的解析式為y=-x+3；

（2）如圖一中，連接PC，OP，PB．設P（m，-m2+2m+3），

∵B（3，0），C（0，3），

∴OB=OC=3，

∴∠OBC=45°，

∵PF∥AB，

∴∠PFE=∠OBC=45°，

∵PE⊥BC，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE的值最大時，△PEF的周長最大，

∵S△PBC=S△POB+S△POC-S△OBC

=12×3×（-m2+2m+3）+12×3×m-12×3×3

=-32m2+92m

=-32（m-32）2+94，

∵-32＜0，

∴m=32時，△PBC的面積最大，面積的最大值為94，此時PE的值最大，

∵12×32×PE=94，

∴PE=32，

∴△PEF的周長的最大值=32+32+62=3+62，此時P（32，154）；

（3）存在．

理由：如圖二中，設M（1，t），G（m，-m2+2m+3）．

當BC為平行四邊形的邊時，則有|1-m|=3，

解得m=-2或4，

∴G（-2，-5）或（4，-5），

當BC為平行四邊形的對角線時，12（1+m）=12（0+3），

∴m=2，9.解：（1）∵拋物線y=14（x+3）（x-a）與x軸交于A，B（4，0）兩點，

∴14（4+3）（4-a）=0，

解得a=4，

∴y=14（x+3）（x-4）=14x2-14x-3，

即拋物線的表達式為y=14x2-14x-3；

（2）在y=14（x+3）（x-4）中，令y=0，得x=-3或4，

∴A（-3，0），OA=3，

∵OC=OB=4，

∴C（0，4），

∵AE=1，

∴DE=AE?tan∠CAO=AE?OCOA=1×43=43，OE=OA-AE=3-1=2，

∴E（-2，0），

∵DE⊥x軸，

∴xP=xD=xE=-2，

∴yP=14（-2+3）（-2-4）=-32，

∴PE=32，

∴DP=DE+PE=43+32=176；

（3）①如下圖，連接DG交AB于點M，

∵△BCD與BFG關于x軸對稱，

∴DG⊥AB，DM=GM，

設OM=a（a＞0），則AM=OA-OM=3-a，

MG=MD=AM?tan∠CAO=43（3-a），

∴G（-a，43（a-3）），

∵點G（-a，43（a-3））在拋物線y=14（x+3）（x-4）上，

∴14（-a+3）（-a-4）=43（a-3），

解得a=43或3（舍去），

∴G（-43，-209）；

②如下圖，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，連接EQ，CQ，

∵AE=CD，

∴△AEQ≌△CDB（SAS），

∴EQ=BD，

∴當C、E、Q三點共線時，BD+CE=EQ+CE最小，最小為CQ，

過點C作CH⊥AQ，垂足為H，

∵OC⊥OB，OC=OB=4，

∴∠CBA=45°，BC=42，

∵∠CAH=180°-∠CAB-∠EAQ=180°-∠CAB-∠DCB=∠CBA=45°，

AC=OA2+OC2=32+42=5，AH=CH=2210.解：（1）把點（0，2）代入拋物線y=-x2-3x+c中得：c=2；

（2）由（1）知：y=-x2-3x+2=-（x+32）2+114，

∴頂點的坐標為（-32，114），

∵使S=m成立的點M恰好有三個，常數(shù)m＞0，S為△ABM的面積，

∴其中一個點M就是拋物線的頂點，

∴T=-114×2+114=-114；

（3）當y=0時，-x2-3x+2=0，

x2+3x-2=0，

∵k是拋物線y=-x2-3x+c與x軸交點的橫坐標，即x=k是x2+3x-2=0的解，

∴k2+3k-2=0，

∴k2=2-3k，

∴k4=（2-3k）2=4-43k+3k2=4-43k+3（2-3k）=10-73k，

∵k8+k6+2k4+4k2+16

=（10-73k）2+（2-3k）（10-73k）+2（10-73k）+4（2-3k）+16

=100-1403k+147k2+20-243k+21k2+20-143k+8-43k+16

=164-1823k+168（2-3k）

=500-3503k，

∴k4k11.解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經過點A（-1，0），B（3，0），

∴a?b+2=09a+3b+2=0，

解得：a=?23b=43，

∴該二次函數(shù)的表達式為y=?23x2+43x+2；

（2）存在，理由如下：

如圖1，當點P在BC上方時，

∵∠PCB=∠ABC，

∴CP∥AB，即CP∥x軸，

∴點P與點C關于拋物線對稱軸對稱，

∵y=?23x2+43x+2，

∴拋物線對稱軸為直線x=-432×(?23)=1，

∵C（0，2），

∴P（2，2）；

當點P在BC下方時，設CP交x軸于點D（m，0），

則OD=m，DB=3-m，

∵∠PCB=∠ABC，

∴CD=BD=3-m，

在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2，

∴22+m2=（3-m）2，

解得：m=56，

∴D（56，0），

設直線CD的解析式為y=kx+d，則56k+d=0d=2，

解得：k=?125d=2，

∴直線CD的解析式為y=?125x+2，

聯(lián)立，得y=?125x+2y=?23x2+43x+2，

解得：x1=0y1=2（舍去），x2=225y2=?21425，

∴P（225，-21425），

綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（225，-21425）；

（3）由（2）知：拋物線y=?23x2+43x+2的對稱軸為直線x=1，

∴E（1，0），

設Q（t，?23t2+43t+2），且-1＜t＜3，

設直線AQ的解析式為y=ex+f，則?e+f=0te+f=?23t2+43t+2，

解得：e=?23t+2f=?23t+2，

∴直線AQ的解析式為y=（?23t+2）x-23t+2，

當x=1時，y=-43t+4，

∴M（1，-4312.（1）解：把O（0，0）代入y=x2+（m-2）x+m-4得：

m-4=0，

解得m=4，

∴y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴函數(shù)圖象的頂點A的坐標為（-1，-1）；

（2）證明：由拋物線頂點坐標公式得y=x2+（m-2）x+m-4的頂點為（2?m2，?m2+8m?204），

∵m＞2，

∴2-m＜0，

∴2?m2＜0，

∵?m2+8m?204=-14（m-4）2-1≤-1＜0，

∴二次函數(shù)y=x2+（m-2）x+m-4的頂點在第三象限；

（3）解：設平移后圖象對應的二次函數(shù)表達式為y=x2+bx+c，其頂點為（-b2，4c?b24），

當x=0時，B（0，c），

將（-b2，4c?b24）代入y=-x-2得：

4c?b24=b2-2，

∴c=b2+2b?84，

∵B（0，c）在y軸的負半軸，

∴c＜0，

∴OB=-c=-b2+2b?84，

過點A作AH⊥OB于H，如圖：

∵A（-1，-1），

∴AH=1，

在△AOB中，

S△AOB=12OB?AH=12×（-b2+2b?84）×1=-18b2-14b+1=-18（b13.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：

a（1+1）2-4=0，

解得a=1，

∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；

答：拋物線L1的函數(shù)表達式為y=x2+2x-3；

（2）拋物線L1：y=（x+1）2-4的頂點為（-1，-4），

將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2，則拋物線L2的頂點為（-1，-4+m），

而（-1，-4+m）關于原點的對稱點為（1，4-m），

把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：

12+2×1-3=4-m，

解得m=4，

答：m的值為4；

（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，拋物線L3解析式為y=（x-n+1）2-4，

∵點P（8-t，s），Q（t-4，r）都在拋物線L3上，

∴s=（8-t-n+1）2-4=（9-t-n）2-4，

r=（t-4-n+1）2-4=（t-n-3）2-4，

∵當t＞6時，s＞r，

∴s-r＞0，

∴[（9-t-n）2-4]-[（t-n-3）2-4]＞0，

整理變形得：（9-t-n）2-（t-n-3）2＞0，

（9-t-n+t-n-3）（9-t-n-t+n+3）＞0，

（6-2n）（12-2t）＞0，

∵t＞6，

∴12-2t＜0，

∴6-2n＜0，

解得n＞3，

∴n的取值范圍是n＞3．14.解：（1）由題意可得：A（-6，2），D（6，2），

又∵E（0，8）是拋物線的頂點，

設拋物線對應的函數(shù)表達式為y=ax2+8，將A（-6，2）代入，

（-6）2a+8=2，

解得：a=-16，

∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y=-16x2+8；

（2）（?。唿cP1的橫坐標為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，

∴P2的坐標為（m，-16m2+8），

∴P1P2=P3P4=MN=-16m2+8，P2P3=2m，

∴l(xiāng)=3（-16m2+8）+2m=-12m2+2m+24=-12（m-2）2+26，

∵-12＜0，

∴當m=2時，l有最大值為26，

即柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達式為l=-12m2+2m+24，l的最大值為26；

（ⅱ）方案一：設P2P1=n，則P2P3=18-3n，

∴矩形P1P2P3P4面積為（18-3n）n=-3n2+18n=-3（n-3）2+27，

∵-3＜0，

∴當n=3時，矩形面積有最大值為27，

此時P2P1=3，P2P3=9，

令-16x2+8=3，

解得：x=±30，

∴此時P1的橫坐標的取值范圍為-30+9≤P1橫坐標≤30，

方案二：設P2P1=n，則P2P3=18?2n2=9-n，

∴矩形P1P2P3P4面積為（9-n）n=-n2+n=-（n-92）2+814，

∵-1＜0，

∴當n=92時，矩形面積有最大值為814，

此時P2P1=92，P2P3=92，

令-16x2+8=92，

解得：x=±15.解：（1）∵點F與直線上的點G（5，-3）關于x軸對稱，

∴F（5，3），

∵直線y=-x+2與x軸交于點M，

∴M（2，0），

設直線MF的解析式為y=kx+b，

則有2k+b=05k+b=3，

解得k=1b=?2，

∴射線MF的解析式為y=x-2（x≥2）；

（2）如圖①中，設折線EMF與拋物線的交點為P，Q．

∵拋物線的對稱軸x=-4?2=2，點M（2，0），

∴點M值拋物線的對稱軸上，

∵直線EM的解析式為y=-x+2，直線MF的解析式為y=x-2，

∴直線EM，直線MF關于直線x=2對稱，

∴P，Q關于直線x=2對稱，

∴2=x1+x22，

∴x1+x2=4；

（3）如圖②中，過點P作PT∥AB交直線ME于點T．

∵C（0，5），

∴拋物線的解析式為y=-x2+4x+5，

∴A（-1，0），B（5，0），

設P（t，-t2+4t+5），則T（t2-4t-3，-t2+4t+5），

∵PT∥AM，

∴PNAN=PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，

16.解：（1）把A（-1，0）和點B（0，3）代入y=-x2+bx+c，

得?1?b+c=0c=3，

解得：b=2c=3，

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-（x-1）2+4，

∴C（1，4），拋物線的對稱軸為直線x=1，

如圖，設CD=t，則D（1，4-t），

∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處，

∴∠PDC=90°，DP=DC=t，

∴P（1+t，4-t），

把P（1+t，4-t）代入y=-x2+2x+4得：

-（1+t）2+2（1+t）+3=4-t，

整理得t2-t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=1，

∴P（2，3）；

（3）∵P點坐標為（2，3），頂點C坐標為（1，4），將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，

∴E點坐標為（1，-1），

∴點E關于y軸的對稱點F（-1，-1），

連接PF交y軸于M，則MP+ME=MP+MF=PF的值最小，

設直線PF的解析式為y=kx+n，

∴2k+n=3?k+n=?1，

解得：k=43n=13，

∴直線PF的解析式為y=43x+13，

17.解：（1）把A（-2，0），B（0，4）兩點代入拋物線y=ax2+x+c中得：4a?2+c=0c=4

解得：a=?12c=4；

（2）由（2）知：拋物線解析式為：y=-12x2+x+4，

設直線AB的解析式為：y=kx+b，

則?2k+b=0b=4，解得：k=2