第9章金融衍生工具定價理論已完成

第9章金融衍生工具定價理論【考試要求】9.1未定權(quán)益定價的一般原理

占優(yōu)策略、套利機(jī)會與風(fēng)險中性概率測度市場的完全性與未定權(quán)益的定價9.2二叉樹模型

單期二叉樹模型單期二叉樹模型下衍生品的定價公式多期二叉樹模型CRR模型9.3Black-Scholes模型

Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)基于鞅方法的Black-Scholes公式“希臘字母”及其意義精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)【要點詳解】§9.1未定權(quán)益定價的一般原理

1．占優(yōu)策略、套利機(jī)會與風(fēng)險中性概率測度（1）一般的單期市場模型

模型僅涉及兩個時刻：0時刻（即當(dāng)前時刻，此時金融資產(chǎn)的價格是確定的）、1時刻（即未來某個時刻，對風(fēng)險資產(chǎn)而言，其價格是一個隨機(jī)變量）。假定1時刻市場的狀態(tài)空間為：其中代表未來市場可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)。在上存在客觀的概率測度P，滿足假設(shè)市場上存在N個基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)，那么交易者在資產(chǎn)組合策略下的成本為：其中表示N個基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)在0時刻的價格向量；，代表交易者持有資產(chǎn)i的數(shù)量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

N個資產(chǎn)在1時刻的支付矩陣用D表示：其中dij表示第i個證券在狀態(tài)下的支付額。從而在1時刻資產(chǎn)組合的市值可以表示為：其第j個分量表示1時刻出現(xiàn)狀態(tài)時資產(chǎn)組合的市值，用表示。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（2）占優(yōu)策略、套利機(jī)會

若存在另一個策略，使得且對任意的，成立，則稱策略是一個占優(yōu)策略。一個套利機(jī)會是指滿足下列兩個條件之一的策略：

或根據(jù)占優(yōu)策略以及套利機(jī)會的定義可知：如果市場存在一個占優(yōu)策略，那么市場一定存在套利機(jī)會。

命題9-1：如果市場是無套利的，則市場不存在占優(yōu)策略。

此命題反過來的結(jié)論是不成立的，即市場不存在占優(yōu)策略但卻可能存在套利機(jī)會。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（3）市場無套利條件

稱資產(chǎn)組合為Arrow-Debreu證券，若在1時刻市場出現(xiàn)狀態(tài)i時，組合的支付額為1單位；當(dāng)出現(xiàn)狀態(tài)j時，組合的支付額為0。稱（）為狀態(tài)價格向量，如果滿足：或者，其中。一般而言，市場不一定存在Arrow-Debreu證券和狀態(tài)價格向量；若兩者都存在，則第i個Arrow-Debreu證券的成本為：

資產(chǎn)定價第一基本定理：市場無套利?市場存在狀態(tài)價格向量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（4）風(fēng)險中性概率測度

令，可以將視為無風(fēng)險證券的價格。在單期市場模型中，若假定存在無風(fēng)險資產(chǎn)，則其0時刻的價格為，即，其中r為無風(fēng)險收益率。定義一個上新的概率測度Q：令，也即對應(yīng)了Q在每個樣本點上的概率值。Q與已存在的客觀概率測度P不同，它是主觀的。二者的關(guān)系是：Q等價于P。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)根據(jù)狀態(tài)價格向量的定義可以得到等式：若用表示測度Q下的期望，則有：如果市場存在無風(fēng)險收益率r，上式可寫為：至此可以看出：測度Q是風(fēng)險中性投資者對市場狀態(tài)空間給出的概率測度，稱Q為風(fēng)險中性概率測度，資產(chǎn)定價第一基本定理可寫為：市場無套利市場存在風(fēng)險中性概率測度精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．市場的完全性與未定權(quán)益的定價

稱上的隨機(jī)變量為未定權(quán)益。以下假定市場存在無風(fēng)險收益率r。稱一個未定權(quán)益X是可復(fù)制的，如果存在一個由無風(fēng)險資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的組合，使得該組合l時刻的收益與X相同。由于無風(fēng)險資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)都有期初價格，因此可復(fù)制的未定權(quán)益是可定價的。如果所有的未定權(quán)益都是可復(fù)制的，則稱市場是完全的。對單期市場模型，選取獨(dú)立的n個未定權(quán)益。市場完全意味著對任意的都存在復(fù)制策略，成立：這等價于且矩陣D的秩等于n。從而有如下結(jié)論：

單期市場模型是完全的且矩陣D的秩等于n

如果不同的復(fù)制策略的期初成本不等，不妨設(shè)

則是一個套利組合，這與市場無套利的假設(shè)矛盾。因此未定權(quán)益有唯一的期初價格。由于未定權(quán)益的全體就是上隨機(jī)變量構(gòu)成的線性空間，因此對任意的風(fēng)險中性概率測度Q和Q’，都有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)由于在無套利市場中無風(fēng)險收益率r是唯一的，所以。也即證明了如下的定理：

資產(chǎn)定價第二基本定理：完全的無套利市場存在唯一的風(fēng)險中性概率測度。資產(chǎn)第一和第二基本定理是資產(chǎn)定價理論的基礎(chǔ)，它提供了一個市場的框架（完全、無套利）；在這一框架下，資產(chǎn)的期初價格是存在且唯一的。

假定市場是完全且無套利的，此時任意的未定權(quán)益X的價格為：借助條件期望的概念和性質(zhì)，可以將上式推廣到多期和連續(xù)的情形，其表達(dá)式分別為：這兩個等式中貼現(xiàn)的未定權(quán)益的價格過程是一個Q鞅，因此Q也稱為等價鞅測度（“等價”的含義是Q與客觀概率測度P等價）。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

§9.2二叉樹模型1．單期二叉樹模型

在單期二叉樹模型中市場僅存在兩個基礎(chǔ)資產(chǎn)：無風(fēng)險資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)。1時刻的分別代表l時刻基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的價格上升和下降的比例，且。假設(shè)無風(fēng)險收益率r滿足：顯然，當(dāng)二叉樹模型無套利時，上式一定成立。

（1）基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程

假定基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)是股票，其0、1時刻的價格如圖9-1所示。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

（2）債券的價格過程

假定市場中無風(fēng)險債券的收益率為r

。0時刻的面值為1的債券在1時刻的價格為er。假設(shè)市場上還有一個在0時刻簽訂的價格為C0、l時刻到期的未定權(quán)益（即衍生品），其價值依賴于股票價格的變化：在1時刻，股票價格上升時其價格為Cu，股票價格下降時其價格為Cd。一旦確定了衍生品的含義，就可以知道其在1時刻的支付。例如：若未定權(quán)益為執(zhí)行價格為K的看漲期權(quán)，則1時刻的支付為：

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2．單期二叉樹模型下衍生品的定價公式

考慮一個股票與債券的資產(chǎn)組合，即在0時刻持有單位的股票和單位的債券。構(gòu)建衍生品的復(fù)制策略，即下面的方程組成立：解得：由無套利假設(shè)該組合在0時刻的成本即為衍生品在0時刻的價格：(9.1)

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)二叉樹模型的性質(zhì)：首先，由式（9.1）可知二叉樹模型是完全的。此外還可以證明在d<er<u的條件下，它也是無套利的。根據(jù)資產(chǎn)定價第一基本定理，只需證明存在風(fēng)險中性概率測度Q即可。將等式改寫為：由式d<er<u可知，和都大于0，且二者之和為1；因此可以定義：則式（9.1）又可寫為：因此Q為風(fēng)險中性概率測度，從而市場是無套利的。這樣我們證明了式d<er<u等價于市場無套利。因此，d<er<u也被稱為無套利條件。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題9.1】假設(shè)市場存在一種無風(fēng)險債券和一種股票。股票的初始價格為l，無風(fēng)險利率為0。在下一個時段末，股票的價格變?yōu)?或者0.5。如果一個衍生品規(guī)定當(dāng)股價上升時支付1，股價下降不進(jìn)行支付。利用單期的二叉樹模型計算該衍生品的價格。

解：根據(jù)題意可得債券價格、股票價格、衍生品價格的過程如圖9-4所示。其中X代表衍生品1時刻的支付。構(gòu)建0時刻的復(fù)制策略，則滿足：因此該衍生品的期初價格為：

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3．多期二叉樹模型在多期二叉樹模型中，市場仍然只有兩種基礎(chǔ)資產(chǎn)：無風(fēng)險資產(chǎn)和基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)。兩個資產(chǎn)可以在每個節(jié)點處（見圖9-5）進(jìn)行交易。除此之外，仍假設(shè)市場是理想化的。

（1）基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程。假定基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)是股票。假設(shè)市場有n+1個可交易的時間點0,1,…，j，…，n股價從i時到i+1時點的變化過程服從單期二叉樹模型，即股價過程可以用圖9-5描述。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)從圖9-5可以看出，i時刻有2i種可能的股價。從時刻i-1到時刻i的股價只有兩種變化：從節(jié)點j開始，下降至節(jié)點2j或者上升至節(jié)點2j+1。

（2）無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程

假設(shè)第i期的無風(fēng)險利率為ri，同樣時刻到期的衍生品的價格也有種情況，與股價過程有所不同的是，每個ri在i-1時刻就是已知的，而Si只有在i時刻才是已知的。

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（3）多期二叉樹模型下衍生品定價

在n期二叉樹模型中，n時刻。每個對應(yīng)了價格樹上的一條路徑。當(dāng)僅考慮0時刻和n時刻時，為保證市場的完全性，須假定市場至少有2n個基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)；當(dāng)n很大時這個假定過強(qiáng)。同樣這里衍生品的定價原理也是采用復(fù)制的方法。并用倒推的方法求解復(fù)制資產(chǎn)組合。根據(jù)基礎(chǔ)資產(chǎn)在n時刻的2n個可能值寫出衍生品的2n種可能值。利用單期模型的公式可以計算n-1時刻的2n-1個節(jié)點處衍生品的價格。以此類推直到0時刻，即得衍生品的期初價格。在整個過程中，每個節(jié)點處都沒有資金的注入和撤出。假設(shè)在i-1時的j節(jié)點處構(gòu)建一個資產(chǎn)組合，即持有單位的股票和單位的無風(fēng)險資產(chǎn)，則當(dāng)股價上升時，當(dāng)股價下降時，解得：由此可以推出風(fēng)險中性概率測度下股價上升的概率為：則衍生品的價格在該節(jié)點的價格為：

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【例題9.2】已知股票的價格過程滿足下列二叉樹模型，即圖9-7。已知每個時間區(qū)間上的連續(xù)復(fù)利率均為5％，試計算執(zhí)行價格為45的歐式看漲期權(quán)0時刻的價格。解：根據(jù)題中的條件，可以寫出衍生品的價格過程圖9-8。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)首先考慮l時刻到2時刻的時間區(qū)間。先計算V（1）。在該節(jié)點上風(fēng)險中性概率測度下股價上升的概率為：顯然V（2）=0。其次考慮時刻0到時刻1的時間區(qū)間。在風(fēng)險中性概率測度下，股價上升的概率為：因此0時刻該標(biāo)準(zhǔn)歐式買權(quán)的價格為：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

４．CRR模型Cox-Ross-Rubinstein給出了一種特殊的二叉樹模型：股價上升的比例和下降的比例不隨時間的變化而變化，如圖9-9所示。此模型下，i時的股價為：其中Ni是一隨機(jī)變量，表示0時刻到i時刻股價上升的步數(shù)。這就意味著在n時刻股價有n+1種狀態(tài)而不是之前的2n種。CRR模型假設(shè)了衍生品到期時的支付僅僅依賴于股價上升和下降的步數(shù)，而不依賴于股價上升或下降的順序。設(shè)到期時衍生品的支付為cn。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)Cox，Ross，Rubinstein根據(jù)多期二叉樹模型推導(dǎo)出了衍生品的一般定價公式，即其中

cn（i）為衍生品n時刻的價格，且在前面的n期有i次上升。由于達(dá)到cn（i）的每條路徑在風(fēng)險中性概率測度下的概率均為qi（1-q）n-I,其數(shù)目為，所以將所有的cn（i）乘以再相加即得EQ（cn），貼現(xiàn)即為c0。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題9.3】一個期權(quán)價格的二叉樹模型如下圖：如果模型中上升、下降的比例不隨時間的變化而變化，市場無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利為5%，則C0值為（）。[2011年春季真題]A．2.06B．2.19C．2.39D．2.58E．2.86

【答案】B

【解析】設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格上升的概率為q，于是由得。于是

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)§9.3Black-Scholes模型

Black-Scholes是一個連續(xù)時間衍生品的定價模型。該模型建立在對市場的下列假設(shè)之上：①基礎(chǔ)資產(chǎn)不支付紅利，且其價格服從幾何布朗運(yùn)動，即基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格滿足隨機(jī)微分方程：（9.2）其中為常數(shù)。以下均假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票。②市場是完全的，即所有未定權(quán)益都是可復(fù)制的。③市場是無套利的。④無風(fēng)險利率r是一個常數(shù)，且任何期限的借貸利率都相等。⑤可以無限制的賣空。⑥市場無摩擦，即無稅收成本、無交易成本。⑦基礎(chǔ)資產(chǎn)可以以任何數(shù)量在任何連續(xù)的時間交易。根據(jù)以上的假設(shè)可以推導(dǎo)出衍生品價格滿足的偏微分方程——Black-Scholes微分方程，結(jié)合邊界條件就可以求出衍生品的價格。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

1．Black—Scholes微分方程的推導(dǎo)

（１）Black-Scholes微分方程假設(shè)衍生品的期限為T，f（t，St）表示衍生品t時刻的價格。假設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，因此f（t，St）滿足引理的條件，從而有：（9.3）構(gòu)建一個無風(fēng)險組合以消去dWt項?？紤]下面一種構(gòu)建方法，即持有：－l單位的衍生品，單位的股票。則t時刻組合的價格為：對該資產(chǎn)組合求微分整理得到：從上式可以看出，組合價格的變化僅與時間有關(guān)，與市場的狀態(tài)無關(guān)，因此是無風(fēng)險組合。故從而有：（9.4）此等式即為Black—Scholes微分方程。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）關(guān)于Black—Scholes微分方程及其推導(dǎo)的幾點說明①將式差分，得到：所以基于t刻的信息集Ft對上式兩邊求條件期望可得：所以的含義是股票的連續(xù)收益率。同理求△st基于Ft的條件方差可得：所以的含義是收益率的（瞬時）標(biāo)準(zhǔn)差。分別度量了股票的收益和風(fēng)險。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)②方程并未涉及衍生品的具體類型，因而式適用于所有的衍生品。衍生品的類型一般決定了微分方程滿足的邊界條件。例如歐式看漲期權(quán)滿足的邊界條件為：解Black—Scholes微分方程就得到標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價格：其中

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)③組合是動態(tài)的。由的定義可以看出，的價格是隨時間變化的，組合中的系數(shù)也是隨時間變化的，這表明套期保值是一個動態(tài)的過程。④衍生品的價格過程與基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格過程緊密相關(guān)。在一定的假設(shè)條件下二者都可以用隨機(jī)微分方程描述，引理正是聯(lián)系二者的橋梁。⑤一般而言，偏微分方程的求解是非常困難的，甚至?xí)霈F(xiàn)沒有解析解的情況。因此，金融數(shù)學(xué)中更為常用的衍生品定價方法是鞅定價法。⑥假設(shè)式只涉及一個dWt項，這表明市場是由一個布朗運(yùn)動驅(qū)動的，也就是說市場只有一個“風(fēng)險源”。如果衍生品涉及多個風(fēng)險，如隨機(jī)利率的股票期權(quán)的定價中涉及到兩個風(fēng)險，需要用dW1t和dW2t，描述其對價格的影響。這樣的模型稱為雙因素模型。衍生品價格滿足的微分方程的推導(dǎo)中將用到二維的引理，但推導(dǎo)的思路與單因素的情形相同。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)⑦如果基礎(chǔ)資產(chǎn)支付紅利，其價格滿足的隨機(jī)微分方程變?yōu)椋侯愃频?，可以推?dǎo)出衍生品價格滿足的微分方程：其中q為股票的紅利率。⑧方程和是基于對衍生品價格不同的理解得到的。前者是將它理解為一個與股票價格過程相關(guān)的隨機(jī)過程，后者則是將它理解為一個股票價格和時間的二元函數(shù)。

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【例題9.4】一個一年期歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)為一只公開交易的普通股票，已知：a．股票現(xiàn)價為122元b．股票年收益率標(biāo)準(zhǔn)差為0.2c．ln（股票現(xiàn)價/執(zhí)行價現(xiàn)價）=0.2利用Black-scholes期權(quán)定價公式計算該期權(quán)的價格（）。[2011年春季真題]A．18B．20C．22D．24E．26

【答案】D

【解析】利用Black?scholes期權(quán)定價公式可得：由得：。于是

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2．基于鞅方法的Black—Scholes公式

在Black—Scholes模型的假設(shè)下，市場存在唯一的風(fēng)險中性概率測度Q，且T時刻到期的衍生品在t時刻的價格可以表示為：這里XT是在衍生品到期時的支付額。下面分5個步驟證明這一結(jié)論。（1）建立貼現(xiàn)的基礎(chǔ)資產(chǎn)價格過程：通過Girsanov定理找到風(fēng)險中性概率測度Q，使得Dt是一個Q鞅。通過求解可得客觀概率測度下：所以由Girsanov定理，我們可以找到概率測度Q使得：其中是一個Q標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，且即表明Dt是一個Q鞅。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）定義過程：（3）定義過程Et：由條件期望的塔性質(zhì)可知Et是一個Q鞅。（4）由鞅表示定理可知，存在一個Ft可料過程（稱是Ft可料過程，如果可測的，其中使得：（5）設(shè)：因此如果在t時刻持有單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)和單位的無風(fēng)險資產(chǎn)（其價格為），則t時刻組合的價格為：并且所以該策略是自融資的，其資產(chǎn)組合在t時刻的價格等于衍生品t時刻的價格，即：（9.4）精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)步驟2中未采用Xt而采用了符號Vt，事實上Vt=Xt。這樣做是想明確Vt是一個復(fù)制組合的價格，而不是衍生品本身，盡管二者的價格是相等的。對歐式看漲期權(quán)式可寫為：不失一般性，求解c0。因ST在Q下服從對數(shù)正態(tài)分布因此在Q下服從正態(tài)分布設(shè)事件，則其中IA為A的示性函數(shù)?？梢钥闯觯狈椒▽⑶懊媲蠼釨lack—Scholes微分方程的復(fù)雜過程變?yōu)檩^為簡單的求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

3．“希臘字母”及其意義

希臘字母是衍生品的常用避險參數(shù)的總稱。這些避險參數(shù)度量了衍生品價格對各變量的敏感性。（1）△。對于任意衍生品，△的定義為：其中f為衍生品的價格。

命題9-1：對于歐式看漲期權(quán)，

△是對基礎(chǔ)資產(chǎn)價格敏感性的度量,度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價格波動對衍生品價格的影響?；A(chǔ)資產(chǎn)本身的△=1?！?0為△中立狀態(tài)，通過調(diào)整資產(chǎn)組合中各單一資產(chǎn)的權(quán)重，可能達(dá)到各單一資產(chǎn)按投資比例加權(quán)的△值為0?！髦辛顟B(tài)是風(fēng)險管理者消除基礎(chǔ)資產(chǎn)價格風(fēng)險的最佳狀態(tài)。（2）。對于任意衍生品，的定義為：對于歐式看漲期權(quán)，度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的變化對△的影響，即度量了衍生品價格與基礎(chǔ)資產(chǎn)價格之間的凹凸性。給出了如何重新回到△中立狀態(tài)的方法。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）v。對于任意衍生品，v的定義為：對于歐式看漲期權(quán)，

v度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價格波動性的變化對衍生品價格的影響。v較小意味著資產(chǎn)組合的價格對基礎(chǔ)資產(chǎn)價格波動率的變化不敏感，沒有必要花費(fèi)較大的成本獲得波動率的準(zhǔn)確值；反之，若v較大，則有必要獲得較準(zhǔn)確的信息。通常情況下，波動率是基于基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)估計出來的，這樣得到的稱為歷史的波動率。另一種獲得的方法是基于某個定價公式，如Black—Scholes期權(quán)定價公式，將被定價的價格用其市場價格代替，反解出；這樣得到的稱為隱含的波動率。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（4）。對于任意衍生品，的定義為：對于歐式看漲期權(quán)度量了無風(fēng)險利率的變化對衍生品價格的影響。（5）。對于任何衍生品，的定義為：對于歐式看漲期權(quán)，是衍生品時間價值變化的度量參數(shù)，它度量了時間的推移對衍生品價格的影響。將上面的五個希臘字母結(jié)合在下面的等式中：此式是f對S、、r、t的全微分，這個表達(dá)式度量了S、、r、t同時變化時