用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

用函數(shù)思想解決數(shù)列問題06級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)張志斌【論文摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想，而數(shù)列本身就是特殊的函數(shù),故許多數(shù)列問題均可以從函數(shù)的角度去分析,去思考。可以構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列問題，也可以利用與、與、與、與的函數(shù)關(guān)系來解決數(shù)列問題，還可以利用函數(shù)思想解決數(shù)列中的恒成立問題。【關(guān)鍵詞】函數(shù)函數(shù)思想數(shù)列構(gòu)造，圖象，離散，前項(xiàng)和，通項(xiàng)，恒成立函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想,函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué),特別是高中數(shù)學(xué)的主線，函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù),尤其是導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重函數(shù)思想是相當(dāng)重要的．高考中對(duì)函數(shù)思想的考查的力度較大，考試中心對(duì)考試大綱的說明中指出：“高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的根本運(yùn)算，而在解答題中，那么從更深的層次，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。〞什么是函數(shù)思想？簡(jiǎn)單地說，就是學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與未知的關(guān)系.在解題時(shí)，用函數(shù)思想做指導(dǎo)就需要把字母看作變量，把代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)做工具進(jìn)行分析，或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把外表上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題．著名數(shù)學(xué)家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來思考〞．一個(gè)學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，他在解決問題時(shí)往往是被動(dòng)的，而建立了函數(shù)思想，才能主動(dòng)地去思考一些問題．因?yàn)閿?shù)列本身就是特殊的函數(shù),故許多數(shù)列問題均可以從函數(shù)的角度去分析,去思考,本文就此問題從以下幾個(gè)方面舉例加以闡述.一、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列問題構(gòu)造函數(shù)的方法是數(shù)學(xué)中重要思想方法之一，不少數(shù)列問題的解決,使用構(gòu)造函數(shù)的方法，構(gòu)思巧妙，方法簡(jiǎn)便，思路清晰，往往能收到事半功倍的效果.

例1、〔2005年江西省高考試題理科第21題改編〕數(shù)列證明:分析:這是一個(gè)以遞推公式為背景的數(shù)列不等式，但是如果把遞推公式看作一個(gè)函數(shù)，就可以得到以下的簡(jiǎn)單證明方法.方法一:把看作一個(gè)函數(shù)由此啟發(fā)得于是又因?yàn)樗?由以上有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切成立.例2、〔2006年湖南省高考試題理科第19題改編〕數(shù)列滿足:,證明(Ⅰ);(Ⅱ).證明〔Ⅰ〕先用數(shù)學(xué)歸納法證明…〔i〕當(dāng)時(shí)，由，結(jié)論成立.〔ii〕假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)闀r(shí)，所以在〔0，1〕上是增函數(shù)，又在[0，1]上連續(xù)，從而，即，故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立由〔i〕、〔ii〕可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立又因?yàn)闀r(shí)，,所以，綜上所述〔Ⅱ〕設(shè)函數(shù)由〔Ⅰ〕知，當(dāng)時(shí)，從而所以在〔0，1〕上是增函數(shù)，又在[0，1]上連續(xù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，故.評(píng)析:從以上兩例可看出,對(duì)于一階遞推數(shù)列與不等式結(jié)合的題目,有時(shí)采用構(gòu)造函數(shù),并利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決,能起到出奇制勝的效果.例3、〔1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題〕給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有等差數(shù)列試求的最大值.解:由可得;又由可得,從而即. 構(gòu)造函數(shù),那么由,有,亦即,從而.當(dāng)時(shí),即,時(shí).評(píng)析:這道聯(lián)賽試題涉及的字母變量較多,難度較大,命題者給出的解答技巧性較強(qiáng),學(xué)生們難以想到.以上解法那么充分利用了函數(shù)思想,抓住是給定的量,消元后得到只剩下變量和的不等式,然后把看作主元,構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù),而在函數(shù)中扮演參數(shù)的角色,進(jìn)而利用判別式法使問題得到解決,思路自然,符合中學(xué)生的實(shí)際,令人叫絕.把上題改編一下,可得下題:例4、(2004年石家莊市二模試題)給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有等差數(shù)列,試求的最大值,并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差.分析:利用上題的解題思想,可得如下解法.解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,那么,又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..當(dāng)數(shù)列的首項(xiàng),公差時(shí),.評(píng)析：此題把例３的條件改了一下，難度有所下降，通過放大把變量消去，同時(shí)得到關(guān)于的二次三項(xiàng)式〔二次函數(shù)〕，利用常規(guī)的配方法即可解決,如果沒有強(qiáng)烈的用函數(shù)思想方法解決問題的意識(shí),就不可能有如此清晰的思路.二、與的函數(shù)關(guān)系數(shù)列的通項(xiàng)公式就是函數(shù)的特例，所以經(jīng)?？梢越柚瘮?shù)來解決數(shù)列的有關(guān)問題.例5、.數(shù)列{an}中，an=，那么數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第()項(xiàng).分析:考察函數(shù),因?yàn)橹本€為函數(shù)圖象的漸近線,且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)且時(shí),最大,故最大,即第16項(xiàng)最大.將上例改編一下可得下例.例6、.數(shù)列{an}中，an=，那么數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是()A.第12項(xiàng) B.第13項(xiàng) C.第12項(xiàng)或13項(xiàng) D.不存在分析:考察函數(shù),又由,可知數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第12項(xiàng)或13項(xiàng),應(yīng)選C.三、與的函數(shù)關(guān)系我們主要研究一下等差數(shù)列中與項(xiàng)和公式可知,當(dāng)時(shí),是關(guān)于的二次函數(shù)，點(diǎn)在拋物線上,其圖象是該拋物線上一系列離散的點(diǎn).此外,還可以變形為,這說明點(diǎn)在直線上,其圖象是該直線上一系列離散的點(diǎn).例7、等差數(shù)列中,那么取最大值時(shí),=.分析:由可知，故.又所以等差數(shù)列的公差,故拋物線的開口向下,點(diǎn)在拋物線上,由可知拋物線的對(duì)稱軸為,又所以取最大值時(shí)，6或7.把該問題推廣,可得如下問題:例8、等差數(shù)列中,為常數(shù),且),問為何值時(shí),取最大值?分析:按上題的分析方法,可得結(jié)論:假設(shè)為偶數(shù)時(shí),那么當(dāng)時(shí),取最大值;假設(shè)為奇數(shù)時(shí),那么當(dāng)時(shí),取最大值.例9、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且S＝S求S的值.分析：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，那么〔p,〕、(q,)、(p+q，x)在同一直線上，由任兩點(diǎn)連線斜率相等解得x＝0，那么答案為0.例10、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S,求證:S＝.分析:利用類似上題的解法,馬上可得結(jié)論.四、與的函數(shù)關(guān)系由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可知,當(dāng)時(shí),對(duì)于給定的和，是關(guān)于的一次函數(shù).例11、〔2004年上海市高考試題文科第22題改編〕設(shè)P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲線C:(a>b>0)上的點(diǎn),且a1=2,a2=2,…,an=2構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).記=a1+a2+…+an.點(diǎn)P1(a,0),對(duì)于給定的自然數(shù)n,當(dāng)公差d變化時(shí),求的最小值.解:原點(diǎn)O到二次曲線C:(a>b>0)上各點(diǎn)的最小距離為b,最大距離為a.∵a1=2=a2,∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,∴≤d<0.∵n≥3,>0∴==d+na2在[,0]上遞增,故的最小值為na2+·=.評(píng)析:解決此題的關(guān)鍵在于先利用橢圓的性質(zhì)求出公差d的取值范圍,且把看作公差d的一次函數(shù),再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值.五、與的函數(shù)關(guān)系對(duì)于等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和公式,經(jīng)過變換,不僅可以得到一系列關(guān)于、、的函數(shù)，而且還可以得到關(guān)于的函數(shù).(1)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,①由通項(xiàng)公式變形得:.②將②代入①,整理得這說明點(diǎn)在拋物線上,其圖象是該拋物線上一系列離散的點(diǎn).(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.這說明點(diǎn)在直線上,其圖象是該直線上一系列離散的點(diǎn).例12、〔2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津初賽〕是等差數(shù)列，為公差且不等于，和均為實(shí)數(shù)，它的前項(xiàng)和記作，設(shè)集合，，試問以下結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說明．〔Ⅰ〕假設(shè)以集合中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這些點(diǎn)都在一條直線上；〔Ⅱ〕至多有一個(gè)元素；〔Ⅲ〕當(dāng)時(shí)，一定有．解：〔Ⅰ〕正確．因?yàn)?，在等差?shù)列中，，所以，．這說明點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程．所以,點(diǎn)均在直線上．〔Ⅱ〕正確．設(shè)，那么坐標(biāo)中的、應(yīng)是方程組的解．解這個(gè)方程組，消去，得．〔﹡〕當(dāng)時(shí)，方程〔﹡〕無解，此時(shí)，．當(dāng)時(shí)，方程〔﹡〕只有一個(gè)解，此時(shí)方程組也只有一個(gè)解，即故上述方程組至多有一解，所以至多有一個(gè)元素．〔Ⅲ〕不正確．取，，對(duì)一切，有，．這時(shí)集合中的元素的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為正．另外，由于，如果，那么根據(jù)〔Ⅱ〕的結(jié)論，至多有一個(gè)元素〔〕，而，．這樣的，產(chǎn)生矛盾．所以，，時(shí)，，故時(shí)，一定有是不正確的．評(píng)析：在問〔Ⅰ〕中，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，推得，從而馬上可看出是關(guān)于的一次函數(shù)，構(gòu)思巧妙，一蹴而就.而在〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕問中那么主要涉及到函數(shù)與方程的思想方法.例13、(1999年全國(guó)高考題)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,求的值.解:由知:,那么由等比數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系知數(shù)列為等比數(shù)列,且即 .六、數(shù)列中的恒成立問題對(duì)于數(shù)列中的恒成立問題,與函數(shù)中的恒成立問題的處理方法相類似.例14、Sn=1++…+,(n∈N*),設(shè)=S2n+1－Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.，但由于無法求和，故對(duì)不等式難以處理.解決此題的關(guān)鍵是把(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.從而轉(zhuǎn)化為求(n∈N*)是以n為自變量的函數(shù),從而聯(lián)想到分析的單調(diào)性.解：∵Sn=1++…+.(n∈N*)∴∴是關(guān)于n的增函數(shù).∴對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，==∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式＞