2023年福建省福州一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

2023年福建省福州一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分1．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≥-1B．x≥-1且x≠3C．x＞-1D．x＞-1且x≠32．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a-b|-|a|的結(jié)果為（）A．-2a+bB．-bC．-2a-bD．b3．如圖，4根火柴棒形成象形“口”字，只通過平移火柴棒，原圖形能變成的漢字是（）A.B.C.D.4．打開某洗衣機開關(guān)，在洗滌衣服時（洗衣機內(nèi)無水），洗衣機經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間滿足某種函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象大致為（）A．B．C．D．5．對參加某次野外訓(xùn)練的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計，結(jié)果如表：年齡131415161718人數(shù)456672則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．17，15.5B．17，16C．15，15.5D．16，166．如圖所示，圓A和圓B的半徑都為1，AB=8．圓A和圓B都和圓O外切，且三圓均和直線l相切，切點為C、D、E，則圓O的半徑為（）A．3B．4C．5D．67．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②b2-4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個8．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點D與點B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是（）A．12B．1C．2D．39．如圖是一個切去了一個角的正方體紙盒，切面與棱的交點A，B，C均是棱的中點，現(xiàn)將紙盒剪開展成平面，則展開圖不可能是（）A．B．C．D．10．甲，乙，丙，丁，戊與小強六位同學(xué)參加乒乓球比賽，每兩人都要比賽一場，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了5場，乙已經(jīng)賽了4場，丙已經(jīng)賽了3場，丁已經(jīng)賽了2場，戊已經(jīng)賽了1場，小強已經(jīng)賽了（）A．1場B．2場C．3場D．4場17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點，直線AB與x軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（-6，n），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點，且tan∠AOE=（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積．18．如圖，過圓O直徑的兩端點M、N各引一條切線，在圓O上取一點P，過O、P兩點的直線交兩切線于R、Q．（1）求證：△NPQ∽△PMR；（2）如果圓O的半徑為，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的長19．如果方程x2+bx+c=0的兩個根是x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關(guān)于x的方程x2-（a+1）x+a2+1=0的兩根之差的絕對值為，求a的值；（2）已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有兩個實數(shù)根，求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)20．福州一中初一（1）班的班徽如圖1所示，班徽由一個菱形和一個正三角形組合構(gòu)成，如圖2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN為正三角形，如果點M、N分別在菱形的變AB、BC上滑動，且M、N不與A、B、C重合．（1）證明：不論M、N如何滑動，總有BM=CN；（2）在M、N滑動的過程中，試探究四邊形DMBN的面積是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．（3）求△BMN的面積的最大值．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-與拋物線y=-x2+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為-8（1）求該拋物線的解析式（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E，設(shè)△PDE的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．22．古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)位正方形數(shù)（四邊形數(shù)）．（1）請你寫出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)且大于1的最小正整數(shù)為（2）試證明：當(dāng)k為正整數(shù)時，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必須為正方形數(shù)；（3）記第n個k變形數(shù)位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①試直接寫出N（n，3）N（n，4）的表達式；②通過進一步的研究發(fā)現(xiàn)N（n，5）=n2-n，N（n，6）=2n2-n，…，請你推測N（n，k）（k≥3）的表達式，并由此計算N（10，24）的值．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，請將正確答案填在答題卡相應(yīng)位置11．對正實數(shù)a，b作定義a*b=-a，若2*x=6，則x=12．羅馬數(shù)字有7個基本符號，它們分別是I，V，X，L，C，D，M分別代表1，5，10，50，100，500，1000．羅馬數(shù)依靠這7個符號變換組合來表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分別表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分別表示9，10，11，12；根據(jù)以上規(guī)律，你認為LII表示的數(shù)應(yīng)該是13．已知一個口袋中裝有7個只有顏色不同的球，其中3個白球，4個黑球，若往口袋中再放入x個白球和y個黑球，從口袋中隨機取出一個白球的概率是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為15．將一副三角板按如圖1位置擺放，使得兩塊三角