滬科版八年級下勾股定理測試卷

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一、選擇題

1．以下四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．4，5，6B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，3

2．給出以下命題：①在直角三角形ABC中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5；②

222三角形的三邊a、b、c滿足ac

b，則∠C=90；③△ABC中，若∠A：∠B：∠

C=1：5：6，則△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c=1：2，則這個三角形是直角三角形．其中，假命題的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個

D．4個

3．如圖，假使把△ABC的頂點A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點，連接A′B，則線段A′B與線段AC的關(guān)系是（）

A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直

4．下面說法正確的是個數(shù)有（）

①假使三角形三個內(nèi)角的比是1∶2∶3，那么這個三角形是直角三角形；

②假使三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形；③若三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形；④假使∠A=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，那么這個三角形是直角三角形；

⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，則此三角形是直角三角形。

A3個B4

個C5個D6個

5．如圖，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，

M為BC的中點，MN⊥

AC于N點，則MN=（）

A6．以下各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

A．14，36，39

B．8，24，25

C．8，15，17

D．10，20，26

7．（2023貴州安順）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行（）

A．8米

B．10米

C．12米

D．14米

8．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60，∠BCD=30，BC=6，那么△ACD的面積是（）

A

．

第II卷（非選擇題）

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二、新添加的題型

三、解答題

9．在Rt△ABC中，∠CAB=90，AB=AC．

（1）如圖①，過點A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若AM=a，BM=b，AB=c，試?yán)脠D①驗證勾股定理a2b2=

c2；

（2）如圖②，過點A在△ABC內(nèi)作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判斷線段MN

、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案）

10．（6分）小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作：

操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE．

（1）假使AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周長為；

（2）假使∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度數(shù)為；

操作二：如圖2，小王拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，請求出CD的長．

11．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝5cm，BC＝12cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它恰好落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．

12．如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的馬路，學(xué)生放學(xué)后走AB，BC兩條路可到達(dá)馬路，經(jīng)測量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，現(xiàn)需修建一條路使學(xué)校到馬路距離最短，請你幫助學(xué)校設(shè)計一種方案，并求出所修路的長．

13

．如圖，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝9，BC

＝12，求Rt△ABC中斜邊AB上的高

CD．

14．閱讀理解題：如圖，在△

ABC中，AD是BC邊上的中線，且求證：∠BAC=90．．證明：∵，，

∴AD=BD=DC，

∴ADB

∴∠，∠C=∠CAD，

∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180，

∴∠BAD+∠CAD=90，即∠BAC=90．

（1）此題實際上是直角三角形的另一個判定方法，請你用文字語言表達(dá)出來．

（2）直接運用這個結(jié)論解答題目：一個三角形一邊長為2，這邊上的中線長為1，另兩邊之和為

15．如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形(兩直角邊長分別是a、b，斜邊長為c)

和一個正方形(邊長為c)．請你將它們拼成一個能驗證勾股定理的圖形．

(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖；

(2)用(1)中畫出的圖形驗證勾股定理．

16．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不防備掉到兩墻之間，如圖．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）從三角板的刻度可知AC=25cm

，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）．

17．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上的中線AD＝12．

CB（

1）AD平分∠BAC嗎？請說明理由．

（2）求：△ABC的面積．

四、填空題

18．直角三角形兩邊長分別為3厘米、4厘米，則第三邊的長為。

19．一個直角三角形的兩邊長分別為9和40，則第三邊長的平方是．

20．若一個直角三角形的兩邊的長分別為m、n邊的長為___________．

21．則由此x,y,z為三邊的三角形是三角形

22．△ABC的三邊長分別為m2－1，2m，m2＋1，則最大角為________．

23．在長方形紙片ABCD中，AD＝3cm，AB＝9cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE＝．

24．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點，設(shè)BP=x，

若能在

AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90，則x的取值范圍是．

25．如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP且PP1＝1P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法繼續(xù)作下去，得OP2023＝________．

五、計算題

參考答案

1．B．

222試題分析：A．4+5≠6，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

222B．3+4=5，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；

222C．2+3≠4，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

222D．1+2≠3，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．

應(yīng)選B．

考點：勾股數(shù)．

2．B

試題分析：命題①中若4是直角邊，則第三邊長為5，若4

錯誤；命題②中應(yīng)當(dāng)是∠B=90，故錯誤；命題③、④均正確；故假命題有2個；應(yīng)選B.

考點：真命題與假命題.

3．D

試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷線段A′B與線段AC的關(guān)系：

如圖，將點A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A′點，連接A′B，與線段AC交于點O．

∴線段A′B與線段AC相互平分，

又∵∠AOA′=45+45=90，

∴A′B⊥AC，

∴線段A′B與線段AC相互垂直平分．

應(yīng)選D．

考點：1.網(wǎng)格問題；2.平移的性質(zhì)；3.勾股定理.

4．D.

試題分析：①∵三角形三個內(nèi)角的比是1：2：3，

∴設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別為x，2x，3x，

∴x+2x+3x=180，解得x=30，

∴3x=330=90，

∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；

②∵三角形的一個外角與它相鄰的一個內(nèi)角的和是180，

∴若三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則此三角形是直角三角形，故本小題正確；③∵直角三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，

∴若三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形，故本小題正確；

④∵∠A=∠

C，∴設(shè)∠A=∠B=x，則∠C=2x，

∴x+x+2x=180，解得x=45，

∴2x=245=90，

∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；

⑤∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，

∴三角形一個內(nèi)角也等于另外兩個內(nèi)角的和，

∴這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補，∴有一個內(nèi)角一定是90，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確；

⑥∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個內(nèi)角也等于另外兩個內(nèi)角的和，由此可知這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補，∴有一個內(nèi)角一定是90，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確．

應(yīng)選D．

考點：1.三角形內(nèi)角和定理；2.三角形的外角性質(zhì)．

5．C．

試題分析：連接AM，

∵AB=AC，點M為BC中點，

∴AM⊥CM，BM=CM，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，

∴根據(jù)勾股定理得：

又S△

∴應(yīng)選C．

考點：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì)．

6．C

滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)a，b，c是勾股數(shù)，由于82＋152＝289，172＝289，所以82＋152＝172，即8、15、17為勾股數(shù)．同理可判斷其余三組數(shù)均不是勾股數(shù)．

7．B

如圖，設(shè)大樹高為AB＝10米，小樹高為CD＝4米，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形．連接AC，則EB＝CD＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6（米）．在Rt△AEC

8．A．

試題分析：如圖，過點

A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．

設(shè)AB=AD=x．

又∵AD∥BC

，

∴四邊形AEFD是矩形形，

∴AD=EF=x．

在Rt△ABE中，∠ABC=60，則∠BAE=30，

∴

，∴

，．在Rt

△CDF中，∠FCD=30，則

又BC=6，

∴BE+EF+CF=6

解得x=2

∴△ACD，

2

應(yīng)選A．

考點：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．

9．（1）證明見解析；（2）MN=BM-CN.

試題分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

，S

梯形MBCN

2BM+CN）

a+b），進(jìn)而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90，∠ACN+∠NAC=90，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMAANCMABNCA，

ABAC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，

∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，

∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

2，S梯形MBCN

BM+CN）

a+b），

2

2a+b），

∴a+b2=c2；

（2）MN=BM-CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90，∠ACN+∠NAC=90，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMAANCMABNCA，

ABAC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AN-AM=BM-CN．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．

10．操作一（1）14cm（2）35操作二CD=4．5

試題分析：操作一利用對稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內(nèi)角和可求得答案；

操作二利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設(shè)CD=x，表示出BD，AE，在Rt

△BDE中，利用勾股定理可得答案

試題解析：操作一（1）14cm（2）35

操作二由折疊知：AE=AC=9，DE⊥AB，設(shè)CD=DE=X，

則BD=12-X，

∵AB2AC2BC2=81+144=225，

∴AB=15

∴BE=15-9=6，

又BD2DE2BE2，

∴(12x)=x2+36，2

即CD=4．5cm

考點：軸對稱，線段的垂直平分線

11．CD．

試題分析：利用翻折變換的性質(zhì)得出DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90，進(jìn)而利用勾股定理得出x的值．

試題解析：∵有一塊直角三角形紙片兩直角邊AC=5cm，BC=12cm，

∴AB=13cm，

∵將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，

∴DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90，

設(shè)CD=xcm，則BD=（12﹣x）cm，

222故DE+BE=BD，

222即x+（13﹣5）=（12﹣x）

，

則CD．解得：考點：勾股定理

12．4.8km．

解：過B作AC的垂線，垂足為D，線段BD就是要修的路．

在△ABC中，∵AB2＋BC2＝82＋62＝100，而AC2＝102＝100，

∴AB2

＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠ABC＝

90

km），即所修路長為4.8km．

13．

解：在Rt△ABC

14．（1）假使一個三角形的一邊上的中線的長等于這條邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形.

（2

試題分析：根據(jù)題目的已知條件和結(jié)論寫出判斷方法即可．

試題解析：（1）假使一個三角形的一邊上的中線的長等于這條邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形。

（2）由于這個三角形的一條邊上的中線長是這條邊長的一半，所以這個三角形是直角三角形。

設(shè)這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為a、b

，則根據(jù)勾股定理，得

222a+b=2

22a+b=4

222由于（a+b）=a+b+2ab

2即（

=4+2ab

考點：直角三角形斜邊上的中線．

15．(1)(答案不唯一)如圖．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

(1)(答案不唯一)如圖．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2．

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

16．（1）證明見解析；

（2）砌墻磚塊的厚度a為5cm．

試題分析：（1）根據(jù)題意可知AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，從而得到結(jié)論；

2（2）根據(jù)題意得：AD=4a，BE=3a，根據(jù)全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）+（3a）

22=25，再解即可．

試題解析：（1）根據(jù)題意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90，

∴∠ACD+∠BCE=90，∠ACD+∠DAC=90，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

ADCCEBDACBCE，

ACBC

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

222在Rt△ACD中：AD+CD=AC，

222∴（4a）+（3a）=25，

∵a＞0，

解得a=5，

答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．

考點1.：全等三角形的應(yīng)用2.勾股定理的應(yīng)用．

17．（1）平分，理由詳見解析；（2）60

試題分析：（1）AD平分∠BAC，

理由為：

∵BC邊上的中線AD

∴BD=5

∵在△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，

222222∴25=24+7，即：AB=AD+BD

∴∠ADB=90，即AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC

∴AB=AC

∴AD平分∠BAC

⑵由（1）得AB=AC，AD垂直平分BC

∴S△ABC

．

考點:1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形面積的計算方法

18．5cm

．

試題分析：題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應(yīng)當(dāng)分狀況進(jìn)行分析．

試題解析：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5cm；

（2）當(dāng)4

；

故直角三角形的第三邊應(yīng)當(dāng)為5cm

．

考點：勾股定理．

19．1681或1519．

設(shè)第三邊為x

2222（1）若40是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得：9+40=x，所以x=1681．

2222（2）若40是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得：9+x=40，所以x=1519．

所以第三邊的長為1681或1519．

20．5

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