迭代算法跟遞歸算法的區(qū)別

什么是迭代跟遞歸算法？二者有什么區(qū)別？迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的一種基本方法。它利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓計(jì)算機(jī)對(duì)一組指令（或一定步驟）進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令（或這些步驟）時(shí)，都從變量的原值推出它的一個(gè)新值。利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來(lái)完成。三、對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程?這是編寫(xiě)迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái);另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。例1：一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第12個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？分析：這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第1個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u1，第2個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u2，第3個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為u3，根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有以下是引用片段：u1=1,u2=u1+u1x1=2,u3=u2+u2x1=4,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：以下是引用片段：un=un-1x2(n>2)對(duì)應(yīng)un和un-1，定義兩個(gè)迭代變量y和x，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：以下是引用片段：y=x*2x=y讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行11次，就可以算出第12個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：以下是引用片段：clsx=1fori=2to12y=x*2x=ynextiprintyend例2:阿米巴用簡(jiǎn)單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分鐘。將若干個(gè)阿米巴放在一個(gè)盛滿營(yíng)養(yǎng)參液的容器內(nèi)，45分鐘后容器內(nèi)充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴220個(gè)。試問(wèn)，開(kāi)始的時(shí)候往容器內(nèi)放了多少個(gè)阿米巴?請(qǐng)編程序算出。分析：根據(jù)題意，阿米巴每3分鐘分裂一次，那么從開(kāi)始的時(shí)候?qū)⒚装头湃肴萜骼锩?，?5分鐘后充滿容器，需要分裂45/3=15次。而“容器最多可以裝阿米巴2

20個(gè)”，即阿米巴分裂15次以后得到的個(gè)數(shù)是220。題目要求我們計(jì)算分裂之前的阿米巴數(shù)，不妨使用倒推的方法，從第15次分裂之后的220個(gè)，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之后）的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后第1次分裂之前的個(gè)數(shù)。設(shè)第1次分裂之前的個(gè)數(shù)為x0、第1次分裂之后的個(gè)數(shù)為x1、第2次分裂之后的個(gè)數(shù)為x2第15次分裂之后的個(gè)數(shù)為x15，則有以下是引用片段：x14=x15/2、x13=x14/2、xn-1=xn/2（n>1）因?yàn)榈?5次分裂之后的個(gè)數(shù)x15是已知的，如果定義迭代變量為x，則可以將上面的倒推公式轉(zhuǎn)換成如下的迭代公式：x=x/2（x的初值為第15次分裂之后的個(gè)數(shù)220）讓這個(gè)迭代公式重復(fù)執(zhí)行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴個(gè)數(shù)。因?yàn)樗璧牡螖?shù)是個(gè)確定的值，我們可以使用一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制。參考程序如下：以下是引用片段：clsx=2A20fori=1to15x=x/2nextiprintxend例3:驗(yàn)證谷角猜想。日本數(shù)學(xué)家谷角靜夫在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)n，若n為偶數(shù)，則將其除以2;若n為奇數(shù)，則將其乘以3，

然后再加1。如此經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，總可以得到自然數(shù)1。人們把谷角靜夫的這一發(fā)現(xiàn)叫做“谷角猜想”。要求：編寫(xiě)一個(gè)程序，由鍵盤(pán)輸入一個(gè)自然數(shù)n，把n經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，最終變成自然數(shù)1的全過(guò)程打印出來(lái)。分析：定義迭代變量為n，按照谷角猜想的內(nèi)容，可以得到兩種情況下的迭代關(guān)系式：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n=n/2;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n=n*3+1。用QBASIC語(yǔ)言把它描述出來(lái)就是：以下是引用片段：ifn為偶數(shù)thenn=n/2elsen=n*3+1endif這就是需要計(jì)算機(jī)重復(fù)執(zhí)行的迭代過(guò)程。這個(gè)迭代過(guò)程需要重復(fù)執(zhí)行多少次，才能使迭代變量n最終變成自然數(shù)1，這是我們無(wú)法計(jì)算出來(lái)的。因此，還需進(jìn)一步確定用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。仔細(xì)分析題目要求，不難看出，對(duì)任意給定的一個(gè)自然數(shù)n，只要經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，能夠得到自然數(shù)1，就已經(jīng)完成了驗(yàn)證工作。因此，用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：以下是引用片段：clsinput"Pleaseinputn=";ndountiln=1ifnmod2=0thenrem如果n為偶數(shù)，則調(diào)用迭代公式n=n/2n=n/2print"—";n;elsen=n*3+1print"—";n;endifloopend迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0,用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：選一個(gè)方程的近似根，賦給變量X0;將X0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量X0;當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟(2)的計(jì)算。若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根以下是引用片段：{x0=初始近似根；do{x1=x0;x0=g(x1);/*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/}while(fabs(x0-x1)>Epsilon);printf(“方程的近似根是％fh”，x0);}迭代算法也常用于求方程組的根，令X=(x0，x1，...，xn-1)設(shè)方程組為：

xi=gi(X)(I=0,1,...,n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根以下是引用片段：{for(i=0;ix=初始近似根；do{for(i=0;iy=x;for(i=0;ix=gi(X);for(delta=0.0,i=0;iif(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x);}while(delta>Epsilon);for(i=0;iprintf(“變量x[%d]的近似根是％f”，I，x);printf("n”)；具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過(guò)程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制；方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。遞歸遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。

能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問(wèn)題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問(wèn)題，然后從這些小問(wèn)題的解方便地構(gòu)造出大問(wèn)題的解，并且這些規(guī)模較小的問(wèn)題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問(wèn)題，并從這些更小問(wèn)題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問(wèn)題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解?！締?wèn)題】編寫(xiě)計(jì)算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib(n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：以下是引用片段：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(當(dāng)n>1時(shí))。寫(xiě)成遞歸函數(shù)有：以下是引用片段：intfib(intn){if(n==0)return0;if(n==1)return1;if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問(wèn)題(規(guī)模為n)的求解推到比原問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題(規(guī)模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。

在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問(wèn)題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，......，在得到了fib(n-l)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫(xiě)遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層時(shí)，原來(lái)層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫(xiě)程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)?！締?wèn)題】組合問(wèn)題問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合為：(1)5、4、3(2)5、4、2(3)5、4、1(4)5、3、2(5)5、3、1(6)5、2、1(7)4、3、2(8)4、3、1(9)4、2、1(10)3、2、1分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為voidcomb(intm,intk)為找出從自然數(shù)1、2、、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)

數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a[]中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序中的函數(shù)comb?！境绦颉恳韵率且闷危篿ncludedefineMAXN100inta[MAXN];voidcomb(intm,intk){inti,j;for(i=m;i>=k;i--){a[k]=i;if(k>1)comb(i-1,k-1);else{for(j=a[0];j>0;j--)printf("％4d”,a[j]);Lvoidmain(){a[0]=3;comb(5,3);【問(wèn)題】背包問(wèn)題問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總

價(jià)值最大的方案于數(shù)組option日，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品;當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過(guò)方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇?？紤]物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。按以上思想寫(xiě)出遞歸算法如下：以下是引用片段：try物品i當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv){/考慮物品1包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if包含物品i是可以接受的){將物品1包含在當(dāng)前方案中；if(itry(i+1,t物品1的重量，tv);else/*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存；恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；}/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if不包含物品i僅是可男考慮的)if(itry(i+1,tw,i物v品1的價(jià)值)；

else/*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存；}為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見(jiàn)表：物品0123重量5321價(jià)值4431并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過(guò)程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。按上述算法編寫(xiě)函數(shù)和程序如下：【程序】以下是引用片段：includedefineN100doublelimitW,totV,maxV;intoption[N],cop[N];struct{doubleweight;doublevalue;}a[N];intn;voidfind(inti,doubletw,doubletv){intk;/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if(tw+a.weight<=limitW)

{cop=1;if(ielse{for(k=0;koption[k]=cop[k];maxv=tv;cop=0;/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if(tv-a.value>maxV)if(ielse{for(k=0;koption[k]=cop[k];voidmain(){intk;doublew,v;printf(“輸入物品種數(shù)n”)；scanf((“％d”,&n);printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”)；for(totv=0.0,k=0;k{scanf("％1f%1f',&w,&v);a[k].weight=w;a[k].value=v;totV+=V;prlntf(“輸入限制重量n”)；scanf("％1f',&limitV);maxv=0.0;for(k=0;kfind(0,0.0,totV);for(k=0;kif(option[k])printf("％4d”,k+1);printf(“n總價(jià)值％%.2fn”,maxv);作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來(lái)形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過(guò)依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾

種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的;反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中;反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品?！境绦颉恳韵率且闷危篿ncludedefineN100doublelimitW;intcop[N];structele{doubleweight;doublevalue;}a[N];intk,n;struct{int;doubletw;doubletv;}twv[N];voidnext(inti,doubletw,doubletv){twv.=1;twv.tw=tw;twv.tv=tv;doub…e*a,intn){inti,k,f;doublemaxv,tw,tv,totv;maxv=0;for(totv=0.0,k=0;ktotv+=a[k].value;next(0,0.0,totv);i=0;While(i>=0){f=twv.;tw=twv.tw;tv=twv.tv;switch(f)

{case1:twv.++;if(tw+a.weight<=limitW)if(i{next(i+1,tw+a.weigh