連續(xù)型隨機變量

§3連續(xù)型隨機變量除了離散型隨機變量之外，還有非離散型的隨機變量，這些隨機變量的取值已不再是有限個或可列個。在這類非離散型隨機變量中，有一類常見而重要的類型，即所謂連續(xù)型隨機變量。粗略地說，連續(xù)型隨機變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹的高度；測量的誤差；計算機的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機變量。對于連續(xù)型隨機變量，不能一一列出它可能取值，因此不能像對離散型隨機變量那樣用它取各個可能值的概率來描述它的概率分布，而是要考慮該隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率，我們是用概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機變量的。概率密度和連續(xù)型隨機變量定義：對于隨機變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)(—8<x<+8)，使得對于任意實數(shù)，a,b(a<b)都有P{a<X<b}=Jbf(x)dx，a則稱X為連續(xù)型隨機變量；稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度.由定義可知，分布密度f(x)具有如下基本性質(zhì)：")(1).f(x)>0(—8<xV+8);(2).J+8f(x)dx=P(—8<X<+8)=1.一工這兩條性質(zhì)的幾何意義是：概率分布密度曲線不在X軸下方，且該曲線與X軸所圍的圖形面積為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨機變量的分布密度的條件。對于連續(xù)型隨機變量X可以證明，它在某一點a處取值的概率為零，即對于任意實數(shù)a，有P(X=a)=0.即研究X在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。從而可知，研究X在某區(qū)間上取值的概率時，該區(qū)間含不含端點，不影響概率值。即(3).對于任意實數(shù)，a,b(a<b)都有P{a<X<b}=P{a<X<b}=P{a<X<b}'=P{a<X<b}=Jbf(x)dx'一"—a【例1】設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，已知X的概率密度為3嚴(yán)、七郴〔o,yo.其中人為正常數(shù).試確定常數(shù)A.

解：由概率密度函數(shù)性質(zhì)，知1=1/(x)jx=Odx+|Ae~lld^J-00J-eJn從而，A=Z*幾個常用的一維連續(xù)型隨機變量：1.均勻分布：如果連續(xù)型隨機變量x的概率密度為〔0，其它.則稱X在區(qū)間上服從均勻分布.飛廣-一「一記作X:U[a,b].F-'如果X在區(qū)間上服從均勻分布，則對于任意滿足|祁《。的"和4,有LdxdfP{c<x<d)=\c這說明X落入幻中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的具體位置無關(guān),這就是均勻分布的概率意義?因此上述定義中的概率密度可以改為其他易得人=丁」其他易得人=丁」其中中為一常數(shù)’利用概率密度的性質(zhì)’i2.指數(shù)分布：如果連續(xù)型的隨機變量X的概率密度為“Wq。，則稱X服從指數(shù)分布(參數(shù)為人)，記為X:E則稱X服從指數(shù)分布(參數(shù)為人)，記為X:E（人）若X服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，則對任意0-a<b,有P{aCX<b服從指數(shù)分布的。3.正態(tài)分布：(1)定義：如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度為其中％UAO為常數(shù)，則稱*服從參數(shù)為也的正態(tài)分布，記作X?N爭可以證明：=1(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)參數(shù)R=0而。2=1時，即X:N(0,1),稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為4(x)，則83)=』e2x2<2k正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是實踐中最常見的一種分布，例如測量的誤差，人的身高、體重，農(nóng)作物的收獲量，大批學(xué)生的考試成績等等，都近似服從正態(tài)分布。一般說來，若某一數(shù)量指標(biāo)受到很多相互獨立的隨機因素的影響，而每個因素所起的作用都很微小，則這個數(shù)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，許多分布在一定條件下可以用正態(tài)分布來近似，因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應(yīng)用中，正態(tài)分布都有著十分重要的地位。(3)性質(zhì)：在直角坐標(biāo)系內(nèi)f3)的圖形呈鐘形；在尤=旦處得最大值了3)=/2.口-.關(guān)于直線X=旦對稱；在X=^±b處有拐點；如果b固定，改變?nèi)盏闹?，則f(X)的圖形沿x軸平行移動，而不改變其形狀，可見f(X)形狀完全由b決定，而位置完全由日來決定.當(dāng)X-±8時，曲線以x軸為漸近線；當(dāng)b大時，曲線平緩，當(dāng)b小時，曲線陡峭.(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機變量X落在區(qū)間(a,b)中的概率:中(0)=P(X<0)=1；①(+8)=1;①(-8)=0.2a,b>0：可直接查本書的附表1，得?P(a<X<b)=Q(b)—①(a)(誼)a>0:?P(X<a)二①(a)；?中(-a)=P(X<-a)=f-a中(t)dt=1-fa^(t)dt=1-0(a)；S-3P(X>a)=1-P(X<a)=1-①(a)P(-a<X<b)=①(b)-①(-a)=①(b)-(1-①(a))=①(b)+①(a)-1；P(|X|<a)=P(-a<X<a)=20(a)-1.【例2】設(shè)X:N(0,1)，則P(1<X<2)=O(2)-O(1)=0.9773-0.8413=0.1360P(|X|<1)=P(-1<X<1)=20(1)-1=2x0.8413-1=0.6826P(X<-1.96)=1-O(1.96)=1-0.975=0.025P(-1<X<2)=O(2)+O(1)-1=0.9773+0.8413-1=0.8190(5)一般正態(tài)分布N(日,Q2)的隨機變量X落在區(qū)間(a,b)中的概率：只要搞清楚一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，即可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求得一般正態(tài)分布N(四,Q2)的隨機變量X落在區(qū)間(a,b)中的概率.具體地，設(shè)X:N(日,Q2)，則P(a<X<b)=fb2_e-志*")2dx令t=x_-,貝^有P(a<X<b)=f曾e-212dt=O(^^)-O(^-^)，i<2_bb轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查本書的附表1，就可得這概率.特別地，P(日-b<X<日+b)=O(1)-O(-1)=2O(1)-1=0.6826；P(p-2b<X<p+2b)=O(2)-O(-2)=2O(2)-1=0.954；

P(四一3b<X<p+3b)二①(3)一①(-3)=2①(3)-1=0.9974,由上面三式可見，服從正態(tài)分布N(四,b2)的隨機變量X之值基本上落在區(qū)間［p-2b,p+2b］內(nèi)，而幾乎不在區(qū)間［p-3b,p+3b］外取值.【例3】X:N(2,0.32),求P(X>2.4)解：p=2,b=0.3,2.4—2P(X>2.4)=1-P(X<2.4)=1-①(03)=1-①(1.33)=0.0918例題：【例4】對以下各題隨機變量所對應(yīng)的概率分布，試確定常數(shù)a.==&=0,1,2,…MAO常數(shù)解因為1=克糜又=爵)=蕓>￡所以(2)F(X=左)=妃『山a==0L2l解因為1==會&T+，=掘丸T所以(3)P(X==孑脂k=0,11*"aaHr解因為1="尸0=妗=輔易所以【例5】設(shè)隨機變量X服從泊松分布，且已￡p(X=l)p(xN2r涇H4)。四s哭XH1)HF(xHE)爭『耳A浮AITH~^rIta^2AH七F(xn欠—牛s6】落圈咨>?*Xs^<??*其==C.—一■-并ac(DFSAXAIJ?Hc(「JIHNU%$+，F(xiàn)siH》HO3廣i氣法》H舄sc*3P3AXA1)T$HrllrA.0求⑴常數(shù)AB的值(ii)P(-I<X<1)解(i)1=F(+8)=A+壓f|所以A=L由于工是連續(xù)型隨機變量,所以它的分布函數(shù)是連續(xù)的，故liir