湘教版 八年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)全冊(cè)教案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——湘教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案2023年春湘教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案

直角三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：1理解并把握直角三角形的判定定理和斜邊上的中線性質(zhì)定理

2能應(yīng)用直角三角形的判定與性質(zhì)，解決有關(guān)問(wèn)題。

過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)幾何問(wèn)題的“操作—探究—探討—交流—講評(píng)〞的學(xué)習(xí)過(guò)程，

提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)活動(dòng)中的多向思維、合作交流的價(jià)值，主動(dòng)參與

數(shù)學(xué)思維與交流活動(dòng)。

教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的推導(dǎo)與應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：“操作—探究—探討—交流—講評(píng)〞得出直角三角形斜邊上的中線性

質(zhì)定理。

教學(xué)過(guò)程

一、教學(xué)引入

1、三角形的內(nèi)角和是多少度。學(xué)生回復(fù)。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品與直角三角形有關(guān)？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

3、等腰三角形有哪些性質(zhì)？二、探究新知

1、探究直角三角形判定定理：

⑴觀測(cè)小黑板上的三角形，從?A+?B的度數(shù)，能說(shuō)明什么？——兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。

⑵探討：直角三角形的性質(zhì)和判定定理是什么關(guān)系？2、探究直角三角形性質(zhì)定理：

⑴學(xué)生畫(huà)出直角三角形ABC斜邊的中線CD。

⑵測(cè)量并探討斜邊上的中線的長(zhǎng)度與斜邊的關(guān)系。

A⑶學(xué)生猜想：直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半。D'3、共同探究：

例已知：在Rt△ABC中，?ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線。1

求證：CD=AB。

2

[教師引導(dǎo)：數(shù)學(xué)方法——倒推法、輔助線]

CDB1

（分析：要證CD=AB，先證CD=AD、CD=AD，在同一個(gè)三角形中證明CD=AD，

2必需找?ACD=?A，但是題目中沒(méi)有我們要怎樣做呢？作?1=?A。學(xué)生注意在作輔助線時(shí)只能作一個(gè)量。因此，我們要證明?1與AB的交點(diǎn)就是中點(diǎn)。）

三、應(yīng)用遷移穩(wěn)定提高

練習(xí)：假使三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，求證，這個(gè)三角形是1

直角三角形。已知CD是?ABC的AB邊上的中線，且CD=AB。求證?ABC是直角

2三角形。

提醒：倒推法，要證明?ABC是直角三角形，只有通過(guò)定義和判定定理，定義與判定定理都與角有關(guān)系?，F(xiàn)在我們只有邊的關(guān)系，我們學(xué)過(guò)的邊與角能聯(lián)系起來(lái)的就是等腰三角形。還要找到與90°有關(guān)的角，但是我們只知道三角形的內(nèi)角和為180°。通過(guò)提醒，請(qǐng)同學(xué)們自己寫(xiě)出證明過(guò)程。

四、課堂小結(jié)

1、兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。反過(guò)來(lái)講也正確。五、作業(yè)布置P7練習(xí)題

教學(xué)反思：

直角三角形的性質(zhì)的推論

重難點(diǎn)

重點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)推論：

（1）在直角三角形中，假使一個(gè)銳角等于30°，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;

（2）在直角三角形中，假使一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角為30°.難點(diǎn)：

1.性質(zhì)定理的證明方法.

2.性質(zhì)定理及其推論在解題中的應(yīng)用.講一講

例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的長(zhǎng)

分析：由30°的銳角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半，BC可求，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求CD.

在Rt△ADE中，有∠A=30°，則DE可求.解：在Rt△ABC中∵∠ACB=90∠A=30°∴

BC?1AB2

∵AB=8∴BC=4

∵D為AB中點(diǎn)，CD為中線∴

CD?1AB?42

∵DE⊥AC，∴∠AED=90°在Rt△ADE中，

DE?11ADAD?AB22，

∴

DE?1AB?24

例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC為等邊三角形）D為BC邊上的中

點(diǎn)，

DE⊥AC于E.求證：

CE?1AC4.

分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D為中點(diǎn)，故CD為BC上的

一半，因此可證.

證明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定義)∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC∠C=60°

∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°

∴

EC?1CD2

∵D為BC中點(diǎn)，∴

DC?11BCDC?AC22∴1AC4.

∴

CE?例3：已知：如圖AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.

求證：AB=BO.

分析：證AB=BD只需證明∠BAO=∠BOA由已知中等腰直角三角形的性質(zhì)，可知

DF?1BC2。由此，建立起AE與AC

之間的關(guān)系，故可求題目中的角度，利用角度相等得證.

證明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD∴

DF?1BC2DF?1AC21AC2

∵BC=AC∴

∵DF=AE∴

AE?∴∠ACB=30°

∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°∴∠OBA=30°∴∠AOB=75°

∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO練一練

1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求證：AE=2CE。

2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE為AB邊上的中線，且∠BCD=3∠DCA。

求證：DE=DC。

3.如圖：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延長(zhǎng)線于E，若AD=9，BC=12，求BE的長(zhǎng)。

4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，DE與CF平行且相等。

求證：AE=DF。

5.已知，如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E為AC的中點(diǎn)，AB=6，求DE的長(zhǎng)。

教學(xué)反思：

直角三角形的性質(zhì)的練習(xí)

A1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB邊上中線，若CD=5cm,則AB=，三角形ABC的面積=

2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB邊上中線，圖中有個(gè)等腰三角形.

3．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，AB=6，求DE的長(zhǎng)。

AE

BCD4．已知：四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90度，E、F分別

是AC、BD的中點(diǎn)。

求證：EF⊥BD5．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，點(diǎn)D在BC邊上，且AD⊥AC.求證：CD=2AB

ACBD6．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

BC=10，則AB=

頂角為30度的等腰三角形，若腰長(zhǎng)為2，則腰上的高，三角形面積是等腰三角形頂角為120°，底邊上的高為3，則腰長(zhǎng)為三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，則BC邊上的高AD=

7．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分線交AC于D,AB于E,求證AD=2BC.AED8．已知：△ABC中,AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，求證：2DC=BD

CB

A

9.如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，EF是AB的垂直平分BC線，判斷CE與BE之間的關(guān)系DDFBECEBFCA

10．已知：∠ABC=∠ADC=90度，E是AC中點(diǎn)。求證：（1）ED=EB（2）圖中有哪些等腰三角形？

DCEA

11、如圖，AB、CD交與點(diǎn)O,且BD=BO，CA=CO，E、F、M分別是OD、OA、BC的中

B點(diǎn)。求證：ME=MF.

DB

E

M12、在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、EF分別在AB、AC邊上，AD=CE，

FCD與BE交與F,DG⊥BE。

求證：（1）BE=CD;CA(2)DF=2GF

教學(xué)反思：

DAGFEBC勾股定理的推導(dǎo)及應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：1、了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的摸索過(guò)程。

2、在勾股定理的摸索過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展合情推理能力。

過(guò)程與方法：1、通過(guò)拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。

2、在探究活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作，并在與他人交流中獲取探究結(jié)果。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

1、通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱心。2、在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和摸索精神。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷摸索及驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：用拼圖的方法證明勾股定理。教學(xué)過(guò)程：

1、課前探究知識(shí)儲(chǔ)存

請(qǐng)各個(gè)學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書(shū)籍上，盡可能多的尋覓和了解驗(yàn)證勾股定理的方法，并填寫(xiě)探究報(bào)告。

《勾股定理證明方法探究報(bào)告》方法種類(lèi)及歷史背景驗(yàn)證定理的具體過(guò)程知識(shí)運(yùn)用及思想方法2、設(shè)置懸念引出課題提問(wèn)：為什么我國(guó)科學(xué)家向太空發(fā)射勾股圖試圖與外星人溝通？

為什么把這個(gè)圖案作為2023年在北京召開(kāi)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽？引出課題《勾股定理》3、畫(huà)圖實(shí)踐大膽猜想

沿著先人的蹤跡，開(kāi)始勾股定理的摸索之旅。

活動(dòng)一：畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系。

（1）同學(xué)們，請(qǐng)你也來(lái)觀測(cè)下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？

地面圖18.1-1

（2）你能找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？

（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特別關(guān)系?由等腰直角三角形中的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步提問(wèn)：是否其余的直角三角形也有這特性質(zhì)呢？學(xué)生們展開(kāi)

活動(dòng)二：在方格紙上，畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形；并分別以這個(gè)直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，（四人小組每組成員所畫(huà)圖形一致，派小組代表前臺(tái)投影展示）

（1）以斜邊為邊的正方形面積可以怎樣求？（2）三個(gè)正方形面積有何關(guān)系？（3）直角三角形三邊長(zhǎng)有何關(guān)系？（4）請(qǐng)大膽提出你的猜想。

學(xué)生在網(wǎng)格紙上按要求畫(huà)圖，然后回復(fù)給出的問(wèn)題。進(jìn)一步追問(wèn)：是否任意直角三角形三邊都滿足此關(guān)系？由學(xué)生歸納，得出命題：假使直角

222三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a?b?c。設(shè)問(wèn)：這是

個(gè)真命題嗎？

活動(dòng)三：現(xiàn)有四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊為a、b，斜邊為c，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手拼一拼。

（1）請(qǐng)用完可能多的方法拼成一個(gè)正方形；

222（2）請(qǐng)從你拼的圖形中驗(yàn)證a?b?c；

4、動(dòng)手拼圖定理證明

繼續(xù)追問(wèn)：你還有別的方法來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？（請(qǐng)把你探究報(bào)告中了解的方法與大家一起共享）被證明為正確的命題稱(chēng)為定理

勾股定理：假使直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那

222么a?b?c。

5、學(xué)以致用體會(huì)美境課件展示練習(xí)：

（1）求下圖中字母所代表的正方形的面積。（2）求以下圖中表示邊的未知數(shù)x、y的值。

（3）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)__cm2。（4）幾何畫(huà)板演示運(yùn)動(dòng)的勾股樹(shù)。6、總結(jié)升華總結(jié)收獲：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？有什么疑問(wèn)？你還有什么想要繼續(xù)摸索的問(wèn)題？

終止寄語(yǔ)：

牛頓——從蘋(píng)果落地最終確立了萬(wàn)有引力定律我們——從朝夕相處的三角板發(fā)現(xiàn)了勾股定理雖然兩者尚不可同日而語(yǔ)

但摸索和發(fā)現(xiàn)——終有價(jià)值可能就在身邊可能就在眼前

還隱蔽著無(wú)窮的“萬(wàn)有引力定律〞和“勾股定理〞……祝愿同學(xué)們——

修得一個(gè)用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦練就一雙用數(shù)學(xué)視角觀測(cè)世界的眼睛開(kāi)啟新的摸索——

發(fā)現(xiàn)平凡中的不平凡之謎……

教學(xué)反思：

勾股定理的逆定理

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：1、體會(huì)勾股定理的逆定理得出過(guò)程，把握勾股定理的逆定理。

2、探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3、理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

過(guò)程與方法：（1）通過(guò)對(duì)勾股定理的逆定理的摸索，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形

成的過(guò)程；（2）通過(guò)用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過(guò)用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，感受定理與逆定理之間的和諧及辯證統(tǒng)一的關(guān)系；（2）通過(guò)對(duì)勾股定理的逆定理的摸索，培養(yǎng)了學(xué)生的交流、合作的意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。同時(shí)感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：證明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解決具體的問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo)。教學(xué)過(guò)程

（1）復(fù)習(xí)1、在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別是3和4，則斜邊長(zhǎng)是。。2．一個(gè)直角三角形，量得其中兩邊的長(zhǎng)分別為5㎝、3㎝則第三邊的長(zhǎng)是。

3．要登上8高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物6問(wèn)至少需要多長(zhǎng)的梯子？

（2）情境導(dǎo)入

1、在古代，沒(méi)有直尺、圓規(guī)等作圖工具，人們是怎樣畫(huà)直角三角形的呢？

用一根打了13個(gè)等距離結(jié)的細(xì)繩子，在小黑板上，用釘子釘在第一個(gè)結(jié)上，再釘在第4個(gè)結(jié)上，再釘在第8個(gè)結(jié)上，最終將第十三個(gè)結(jié)與第一個(gè)結(jié)釘在一起．然后用三角板量出最大角的度數(shù)．可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形是直角三角形。（這是古埃及人畫(huà)直角的方法）

2、用圓規(guī)、刻度尺作△ABC，使AB=5㎝，AC=4㎝，BC=3㎝，量一量∠C。再畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是5㎝、12㎝、13㎝，這個(gè)三角形有什么特征？

3、為什么用上面的三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢？它們的三邊有怎樣的關(guān)系？（學(xué)生分組探討，教師適當(dāng)指導(dǎo)）

學(xué)生猜想：假使一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足下面的關(guān)系a?b?c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

4、指出這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，對(duì)比勾股定理，理解互逆命題。（3）探究新知

2221、探究：在下圖中，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a?b?c。假使△ABC

222b的直角三角形全等。是直角三角形，它應(yīng)當(dāng)與直角邊是a，實(shí)際狀況是這樣嗎？我們畫(huà)一個(gè)直角三角形A‘B’C‘，使∠C’=90°，A‘C’=b，B‘C’=a。