電磁場電磁波教案

電磁場電磁波教案第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1標(biāo)量（1）標(biāo)量：只有大小沒有方向的物理量。用斜體字母表示，如A。

（2）恒力作功W=F·S力F和位移S都是矢量，而功W是標(biāo)量，F(xiàn)和S進(jìn)行了一次點(diǎn)乘。（3）標(biāo)量還可能是復(fù)數(shù)，如交流電路中的復(fù)數(shù)電壓U，復(fù)數(shù)電流I等，人們把相位信息巧妙的存放在復(fù)數(shù)的幅角上，公式推導(dǎo)和計算都很方便。a一部分標(biāo)量是算數(shù)量：如質(zhì)量m、體積v、直流電阻R均大于等于0。b另一部分標(biāo)量是代數(shù)量：電量Q、靜電位φ

、磁通量Ψ等可正可負(fù)；電量Q正負(fù)可描述帶正電還是帶負(fù)電；磁通量Ψ的正負(fù)可描述磁力線的穿進(jìn)和穿出；忽略力F的方向?qū)傩院?，從它的正?fù)依然可甄別是吸力還是斥力；規(guī)定了參考方向以后，電流強(qiáng)度I的正負(fù)可描述電流的瞬時方向等等。在研究的問題中，如果只存在兩種對立的廣義方向，則使用標(biāo)量進(jìn)行描述和處理是合理的。1-1標(biāo)量與矢量2023/4/132第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2矢量：既有大小又有方向且滿足平行四邊形合成法則的物理量。例：物體的位移s，速度v，加速度a，角速度，力F，電場強(qiáng)度E等。3標(biāo)量場與矢量場場是物質(zhì)的存在形態(tài)，在空間同一點(diǎn)上，允許同時存在多種場，或者一種場的多種模式，這與實物粒子的不可入性和排他性有天壤之別。標(biāo)量場：標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場。矢量場：矢量的空間分布構(gòu)成矢量場?；蛘哒f：如果在空間區(qū)域Ω上，每一點(diǎn)都存在一確定的物理量A，則場域上存在由場量A構(gòu)成的場，如果A是標(biāo)量，我們就說Ω上存在一標(biāo)量場；如果A是矢量，則說明場域Ω上存在一矢量場。用加粗的斜體字母表示，如A。手寫體為斜體字母加箭頭，如。2023/4/133第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一4按時空變化規(guī)律的幾種典型場（2）如果A=A(t)，即場量A僅隨時間t變化，而在空間上呈現(xiàn)均勻分布，這種場被稱為均勻場。5常矢量：若矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，這種矢量稱為常矢量。否則，稱為變矢量。（1）如果A=A(x,y,z)，即場量A不隨時間t變化，人們把這種場稱為靜態(tài)場或恒定場。

例如，房間的溫度場T(x,y,z)一般是均勻場，因為盡管在一晝夜中溫度是變化的，但同一時刻t房間內(nèi)任意兩點(diǎn)間的溫差為0；換言之，不同點(diǎn)上的溫度變化是同步的，在均勻情況下，觀測不到波動現(xiàn)象，只能觀測到整個場域在作同步的振動。（3）均勻平面波（4）時變場例如：地球內(nèi)部密度分布，點(diǎn)電荷的靜電位φ和電場強(qiáng)度E。2023/4/134第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1-2矢量的代數(shù)運(yùn)算2.加法：結(jié)合律：

交換率：3.矢量與標(biāo)量相乘：與大小方向均相同：1.2023/4/135第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一1-3矢量的標(biāo)積2.矢量的模：矢量A的大小定義為A的模，以或A表示。3.單位矢量：模為1的矢量。則：任一矢量等于該矢量的模與其單位矢量的乘積。1.兩個矢量的標(biāo)積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積，以點(diǎn)號“”表示。若矢量A的坐標(biāo)分量為，矢量B的坐標(biāo)分量為，兩個矢量的標(biāo)積是一個標(biāo)量，且滿足交換律，即：則矢量A與矢量B的標(biāo)積的代數(shù)定義為：則定義：為矢量A的單位矢量，即的模為1，方向與A相同。2023/4/136第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一則矢量A為坐標(biāo)軸上投影的合成矢量，即

或者其中，為與軸的夾角稱為A矢量的方向余弦。分別表示x軸、y軸、z軸方向上的單位矢量，4.A的方向余弦：若，，則矢量A在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為，2023/4/137第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一5.矢量標(biāo)積的幾何意義：由

可得：，，令與x軸夾角為，則，設(shè)是矢量B在矢量A方向上的投影大小標(biāo)積A·B等于矢量A的模與矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘積，或者說等于矢量B的模與矢量A在矢量B的方向上的投影大小的乘積。是矢量A在矢量B方向上的投影大小

顯然：2023/4/138xyzAOBθ第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一兩個矢量的矢積仍然是一個矢量

注意：矢量的矢積運(yùn)算不滿足交換律1.矢量的矢積又稱為叉積或外積，以叉號“×”表示。在直角坐標(biāo)系中若矢量A和矢量B分別為則矢量A與矢量B矢積的代數(shù)定義可用行列式表示為1-4矢量的矢積2023/4/139第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2.矢量矢積的幾何意義：，矢量，若矢量A與矢量B之間的設(shè)矢量夾角為θ，則有2023/4/1310xyzAOBθA×B

顯然：可見，矢量（A×B）的方向與矢量A及矢量B垂直，且由若矢量A旋轉(zhuǎn)到矢量B，并與矢量（A×B）構(gòu)成右旋關(guān)系，矢量（A×B）的大小為。第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一5.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù):標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

例如標(biāo)量場

在

P點(diǎn)沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl2023/4/1311第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1312梯度:標(biāo)量場在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方

向為該點(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向?？梢?，梯度是一個矢量。在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可寫為若矢量l的方向余弦為

，則上式變?yōu)槿袅睿ǎ槭噶縂的三個坐標(biāo)分量，即而矢量l的單位矢量為數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)：第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1313那么，標(biāo)量場Φ沿矢量l方向上的方向?qū)?shù)可以寫為矢量G稱為標(biāo)量Φ的梯度，以gradΦ表示，即由此可見，標(biāo)量場Φ的梯度是一個矢量場。由式可見，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向一致時，方向?qū)?shù)取得最大值。因此，標(biāo)量場在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向為該點(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場

的梯度可表示為式中g(shù)rad

是英文字母

gradient的縮寫。若引入算符，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為2023/4/1314第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一梯度運(yùn)算規(guī)則:例1-4-1

已知標(biāo)量場，求（2,1,3）處方向?qū)?shù)的最大值。解：根據(jù)梯度的定義，求得該標(biāo)量場的梯度為：那么，在（2,1,3）處的梯度為，其模為因此，在（2,1,3）處方向?qū)?shù)的最大值為。第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一例1-4-2

計算及。這里為空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，，如圖。點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示對運(yùn)算，表示對運(yùn)算。xyzO解：令點(diǎn)的位置矢量為，點(diǎn)的位置矢量為，則再令則由題意第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一則又同理則第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一因此同理xyzO注意：上述運(yùn)算過程及結(jié)果在電磁場計算中經(jīng)常遇到，通常以表示產(chǎn)生電磁場的源坐標(biāo)，以表示場坐標(biāo)。圖中，表示源點(diǎn)，表示場點(diǎn)。當(dāng)計算某一分布源在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)時，為動點(diǎn)，為定點(diǎn)；當(dāng)計算空間場量的分布特性或者空間某點(diǎn)各個場量之間的關(guān)系時，為動點(diǎn)，為定點(diǎn)。第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一通量定義：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

6.矢量場的通量與散度通量的正、負(fù)、零：通量可為正、或為負(fù)、或為零。當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場的洞（或匯）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時，矢量通過該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時，矢量通過該閉合面的通量一定為負(fù)。所以，前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。

2023/4/1319第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一電學(xué)實例：由物理得知，真空中的電場強(qiáng)度

E

通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，可見，當(dāng)閉合面中存在正電荷時，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。這一電學(xué)實例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無源的通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場的散度。

2023/4/1320第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一散度：當(dāng)閉合面

S

向某點(diǎn)無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA表示，即式中div

是英文字母

divergence的縮寫，

V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量，可以簡單的記為通量體密度。直角坐標(biāo)系中散度可表示為2023/4/1321第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一因此散度可用算符

表示為高斯散度定理或者寫為

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場，反之亦然。2023/4/1322第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一散度運(yùn)算規(guī)則:拉普拉斯算子:直角坐標(biāo)系中因此第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一式中稱為拉普拉斯算子。直角坐標(biāo)系表達(dá)式：例1-5-1

求空間任一點(diǎn)的位置矢量的散度。解：已知因此第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一環(huán)量：矢量場

A沿有向閉合曲線

l的線積分稱為矢量場

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即7.矢量場的環(huán)量與旋度可見，若在閉合有向曲線

l上，矢量場

A的方向處處與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若處處相反，則

<0

?？梢姡h(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。2023/4/1325第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度

B沿任一閉合有向曲線

l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I

與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中電流

I的正方向與

dl的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。由此可見，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。

2023/4/1326第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一旋度：旋度是一個矢量。若以符號

rotA

表示矢量

A

的旋度，則其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中

rot

是英文字母

rotation的縮寫，en

為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S為閉合曲線

l

包圍的面積。上式表明，矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量，或簡單記為最大環(huán)量面密度。

2023/4/1327第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一直角坐標(biāo)系中旋度可用矩陣表示為

或用算符

表示為

應(yīng)該注意，無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場在某點(diǎn)附近的變化特性，場中各點(diǎn)的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的點(diǎn)特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。

2023/4/1328第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一斯托克斯旋度定理

同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域

S中的場和包圍區(qū)域

S

的閉合曲線

l上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界

l上的場，反之亦然?；蛘邔憺?023/4/1329第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一旋度運(yùn)算規(guī)則:例1-6-1

證明，式中為常矢量，為位置矢量。證：令，而，則那么第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。

8.無散場和無旋場兩個重要公式：

左式表明，任一矢量場A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。2023/4/1331

右式表明，任一標(biāo)量場

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。

第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一兩個重要公式：第一式是判別場量是否是旋度場的準(zhǔn)則。若，則矢量可以寫成的形式。例：矢量能否表示成某矢量場的旋度？說明理由。說明：矢量是無散場。因為任一無散場可以表示成另一矢量場的旋度，因此，可以表示成某矢量場的旋度。解：對矢量求散度。第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一兩個重要公式：第二式是判別場量是否是梯度場的準(zhǔn)則。若，則矢量可以寫成的形式。例：矢量是否為梯度場？說明理由。解：對矢量求旋度。說明：矢量是無旋場。因為任何梯度場一定是無旋場，因此，是梯度場。第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一9.格林定理

設(shè)任意兩個標(biāo)量場

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。

SV,

那么，可以證明該兩個標(biāo)量場

及

滿足下列等式根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場

在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。2023/4/1334第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。

設(shè)任意兩個矢量場P

與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場P及Q滿足下列等式式中S

為包圍V

的閉合曲面，面元dS

的方向為S

的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。

2023/4/1335第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。

無論何種格林定理，都是說明區(qū)域

V中的場與邊界

S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。

此外，格林定理說明了兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。格林定理廣泛地用于電磁理論。2023/4/1336第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一10.矢量場的惟一性定理

位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。

已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。2023/4/1337第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一

若矢量場

F(r)

在無限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V

中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場

F(r)可以表示為

11.亥姆霍茲定理式中2023/4/1338第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一2023/4/1339（1）無限空間中的矢量場被其散度及旋度惟一的確定，而且它給出了場與源之間的定量關(guān)系。（2）已知，梯度場是無旋場，旋度場是無散場。所以，任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。（3）如果矢量場的散度及旋度已知，即可求出該矢量場。因此，矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。式中定理表明：亥姆霍茲定理：第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期一12.正交曲面坐標(biāo)系

已知矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中可分別表示為式中

a,b,c

均為常數(shù)，A

是常矢量嗎？圓柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0