無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計方法

無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計方法第1頁/共62頁

下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。一．低通變換通過模擬原型設(shè)計數(shù)字濾波器的四個步驟：

1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率{ωk}。

2）由變換關(guān)系將{ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值{Ωk}。

3）根據(jù){Ωk}設(shè)計模擬濾波器的Ha(s) 4）把Ha(s)變換成

H(z)（數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)）第2頁/共62頁例1

設(shè)采樣周期,設(shè)計一個三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。

解：a.脈沖響應(yīng)不變法由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)為：

以代替其歸一化頻率，得：

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也可以查表得到。由手冊中查出巴特沃茲多項式的系數(shù)，之后以代替歸一化頻率，即得。將代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計，但為簡化運算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。第4頁/共62頁

為進行脈沖響應(yīng)不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：

對照前面學過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式有

將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：

,--極點

第5頁/共62頁并將代入，得：

合并上式后兩項，并將代入，計算得：

第6頁/共62頁

可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，實際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與有關(guān)，即只與fc和fs的相對值有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。

例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。最后得：第7頁/共62頁

b.雙線性變換法（一）首先確定數(shù)字域臨界頻率（二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率

(三)以代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)

并將代入上式。（四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。第8頁/共62頁第9頁/共62頁

圖1三階Butterworth數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法fs/2第10頁/共62頁第11頁/共62頁020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻率/Hz圖3.14三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)幅值第12頁/共62頁

圖1為兩種設(shè)計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。第13頁/共62頁

二.高通變換 設(shè)計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時，有兩種方法： ①先設(shè)計一個相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬原型模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計。即確定轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的

高通、帶通、帶阻模擬濾波器的設(shè)計

Ha(s)H(Z)②直接利用模擬濾波器的低通原型，通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計。頻率變換模擬原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻第14頁/共62頁這里只討論第二種方法。因其簡捷便利，所以得到普遍采用。

變換方法的選用：脈沖響應(yīng)不變法：對于高通、帶阻等都不能直接采用，或只能在加了保護濾波器后才可使用。因此，使用直接頻率變換（第二種方法），對脈沖響應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮，它一般應(yīng)用于第一種方法中。雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實際使用中多數(shù)情況也是如此?；陔p線性變換法的高通濾波器設(shè)計：在模擬濾波器的高通設(shè)計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器.

即第15頁/共62頁

由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。即

如圖第16頁/共62頁

映射到即映射到即

圖1高通變換頻率關(guān)系

這一曲線的形狀與雙線性變換時的頻率非線性關(guān)系曲線相對應(yīng)，只是將坐標倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。1.01.00第17頁/共62頁

圖2高通原型變換

第18頁/共62頁應(yīng)當明確：所謂高通DF，并不是ω高到，由于數(shù)字頻域存在折疊頻率，對于實數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，部分只是的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是，高通也僅指這一段的高端，即到為止的部分。高通變換的計算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預(yù)畸的臨界頻率時，應(yīng)采用,不必加負號，因臨界頻率只有大小的意義而無正負的意義。第19頁/共62頁例

：采樣設(shè)計一個三階切比雪夫高通DF，其通過頻率（但不必考慮以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。解：首先確定數(shù)字域截止頻率,

則

切比雪夫低通原型的模函數(shù)為：

為N階切比雪夫多項式第20頁/共62頁通帶損耗時，N=3時,系統(tǒng)函數(shù)為（可由MATLAB計算獲得）：為方便，將和S用T/2歸一化，

則第21頁/共62頁于是圖3三階切比雪夫高通頻響第22頁/共62頁例5（書上）

設(shè)計一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400～500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù)N。模擬切比雪夫濾波器設(shè)計中階數(shù)的確定公式為

求得最小的N：

第23頁/共62頁wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));

wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));

[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');

[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');

[num,den]=bilinear(B,A,1000);

[h,w]=freqz(num,den);

f=w/pi*500;

plot(f,20*log10(abs(h)));

axis([0,500,-80,10]);

grid;

xlabel('') ylabel('幅度/dB')第24頁/共62頁頻率/Hz

切比雪夫高通濾波器幅度/dB第25頁/共62頁三．帶通變換如圖1,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將:

（頻率映射關(guān)系具有周期性,幅頻響應(yīng)具有原點對稱性）。

即將S的原點映射到，而將點映射到，滿足這一要求的雙線性變換為：模擬低通第26頁/共62頁

圖1帶通原型變換

第27頁/共62頁

當時

因此（帶通變換關(guān)系）第28頁/共62頁

圖中點正好映射在上，而映射在，兩端，因此滿足帶通變換的要求。帶通變換的頻率關(guān)系第29頁/共62頁穩(wěn)定性證明：同時，這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)

由于上式完全是實數(shù)，所以是映射在S平面軸上。其中分子永遠非負的，因此的正負決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來完成帶通的變換，如圖1。第30頁/共62頁設(shè)計：設(shè)計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設(shè)計要求。為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關(guān)系式：由于在模擬低通中是一對鏡象頻率，代入上面兩等式，求出第31頁/共62頁例又同時也就是模擬低通的截止頻率，有了這兩個參數(shù)就可完成全部計算。：采樣fs=400kHz，設(shè)計一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率：

第32頁/共62頁求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：

從頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標（查表）歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：

代入，

代入變換公式

第33頁/共62頁例6帶通濾波器設(shè)計第34頁/共62頁第35頁/共62頁

四．帶阻變換把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。

給定第36頁/共62頁例7w1=95/500; w2=105/500; [B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop'); [h,w]=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([50,150,-30,10]); grid; xlabel('頻率/Hz') ylabel('幅度/dB')第37頁/共62頁頻率/Hz巴特沃茲帶阻濾波器幅度/dB第38頁/共62頁§3.4從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）

上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來設(shè)計各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。

DF低通原型函數(shù)這種變換是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一個映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，我們把變換前的Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)g表示：

①各種DF的H（z）第39頁/共62頁于是，DF的原型變換可表為：

第40頁/共62頁

函數(shù)的特性：

1)是的有理函數(shù)。

2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求

u的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。

3）必須是全通函數(shù)。為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以分別表示u平面和Z平面的單位圓，則①式為

且必有，其中是的相位函數(shù)，即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。

第41頁/共62頁全通函數(shù)的基本特性：

任何全通函數(shù)都可以表示為：

其中為極點，可為實數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。

的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù)

N：全通函數(shù)的階數(shù)。變化時，相位函數(shù)的變化量為。不同的N和對應(yīng)

各類不同的變換。

第42頁/共62頁下面具體討論幾種原型變換：

①低通——低通（LP）

LP→LP的變換中，和都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當時，相應(yīng)的，如圖1(a)，根據(jù)全通函數(shù)相位變化量為的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且必須滿足以下兩條件：

g(1)=1,g(-1)=-1

滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為：

①其中是實數(shù)，且第43頁/共62頁

圖1(a)LP-LP變換（有對稱性）第44頁/共62頁

代入（1）式，可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系：

由此得

上式把，。頻率特性:

呈線性關(guān)系，其余為非線性。當時，，帶寬變窄，當時，，帶寬變寬，適當選擇，可使變換為，如上圖所示。

:低通原型截止頻率，:變換后截止頻率

第45頁/共62頁LP-LP頻率變換圖LP-LP頻率變換特性

第46頁/共62頁

確定：把變換關(guān)系帶入（2）式，有：

得

（2）式的頻率關(guān)系，如圖

第47頁/共62頁

②LP-HP

a.基本思想：上述LP變換中的Z代以–Z,則LP=>HP。第48頁/共62頁b.高通變換或LP-HP變換把如圖2（a），

在上述LP-LP變換中，將Z代以–Z,得LP-HP變換關(guān)系：第49頁/共62頁

原型低通的截止頻率對應(yīng)于高通的邊界頻率，欲將變換到，由（2）式，

有：

第50頁/共62頁

LP-Hp變換

圖2(a)LPHp變換第51頁/共62頁③LP-BPLP-BP變換把帶通的中心頻率

故N=2。

由以上分析得變換關(guān)系：

或

如圖3(a),全通函數(shù)取負號。第52頁/共62頁LP-BP變換圖3(a)LP-BP變換第53頁/共62頁

把變換關(guān)系代入（2）式得：消去r1，得：令確定r1,r2：第54頁/共62頁可證明，其中

r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變