線性代數(shù)其次章2

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2.1

消元法與矩陣的初等變換

一、消元法解線性方程組分析：用消元法解以下方程組的過程.引例求解線性方程組

2x1x2x3x42,xx2xx4,12344x16x22x32x44,3x16x29x37x49,

12

34

2

(1)

解1232

(1)

x1x22x3x44,2xxxx2,12342x13x2x3x42,3x16x29x37x49,x1x22x3x44,2x2x2x0,2345x25x33x46,3x23x34x43,

12

3412

(B1)

234

32131

34

(B2)

122352432

x1x22x3x44,xxx0,2342x46,x43,x1x22x3x44,xxx0,234x43,00,

12

3412

(B3)

34

423

(B4)

34

用“回代〞的方法求出解：

x1x34于是解得x2x33x34

其中x3為任意取值.

或令x3c,方程組的解可記作x1c4x2c3x,x3c3x41413即xc1003

(2)

其中c為任意常數(shù).

小結(jié)：1.上述解方程組的方法稱為消元法.2.始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換(1)交換方程次序；(i與j相互替換)(2)以不等于0的數(shù)乘某個(gè)方程；(以ik替換i)(3)一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍.(以ikj替換i)

3.上述三種變換都是可逆的.

若(A)若(A)若(A)

iii

jkkj

(B),則(B)(B),則(B)(B),則(B)i

ii

j

(A);

k(A);kj

(A).

由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.

二、矩陣的定義由mn個(gè)數(shù)aiji1,2,,m;j1,2,,n排成的m行n列的數(shù)表a11a21a12a22a1na2n

am1am2amn稱為mn矩陣.簡稱mn矩陣.記作

主對(duì)角線a11

a21Aa副對(duì)角線m1

a12a22am1

a1na2namn

元素行標(biāo)列標(biāo)

簡記為

AAmnaijmnaij.

元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.

例如

1035是一個(gè)24實(shí)矩陣,9643124

1362i是一

個(gè)33復(fù)矩陣,222222

2359是一個(gè)14矩陣,

4

是一個(gè)31矩陣,

是一個(gè)11矩陣.

幾種特別矩陣(1)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A,稱為n階方陣.也可記作An.

例如

1362i222222

是一個(gè)3階方陣.

(2)只有一行的矩陣Aa1,a2,,an,稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣

a1a2B,稱為列矩陣(或列向量).an不全為01002形如(3)0O00O0的方陣,稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷?.n

記作

Adiag1,2,,n.

mn零(4)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，矩陣記作omn或o.注意例如

不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.

0000

0000000000.000000

(5)方陣

1001EEnO00

0O01

全為1

稱為單位矩陣(或單位陣).同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.

12143例如56與84為同型矩陣.37392.兩個(gè)矩陣Aaij與Bbij為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即

aijbiji1,2,,m;j1,2,,n,則稱矩陣A與B相等,記作AB.

三、非齊次線性方程組與矩陣1、線性方程組a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2(2-8)am1x1am2x2amnxnbma11a12a1na11a12記a21a22a21a22a2n,AAaam2m1aaam2mnm1

a1nb1a2nb2amnbm

A稱為方程組(2-8)的系數(shù)矩陣,A稱為增廣矩陣

由于在引例解方程過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算.

若記

11214A(Ab)4622436979

211

12

則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣A(方程組(2-8)的增廣矩陣)的變換.

四、矩陣的初等變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

1對(duì)調(diào)兩行(對(duì)調(diào)i,j兩行,記作rirj);2以數(shù)k0乘以某一行的所有元素;3把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去(第j行的k倍加到第i行上記作rikrj).

(第i行乘k,記作rik)

同

理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r〞換成“c〞).定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型一致.

rirj逆變換rirj;1rik逆變換ri()或rik;krikrj逆變換ri(k)rj或rikrj.

假使矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價(jià)，記作A~B.等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：(1)反身性AA;

(2)對(duì)稱性若AB,則BA;(3)傳遞性若AB,BC,則AC.

具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià).例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)

例1:用