電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)第1頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1電磁場(chǎng)物理模型的構(gòu)成理想化假設(shè)實(shí)際的電工、電子技術(shù)裝置電路模型(一種具體的物理模型)電路模型：理想電路元件(R、L、C)及其組合理想電壓源、電流源(e,i)分析問(wèn)題以u(píng)，i為基本物理量給定激勵(lì)(e,i)求響應(yīng)(u,i)電路分析：第2頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電磁場(chǎng)分析：理想化假設(shè)實(shí)際電磁裝置中的電磁現(xiàn)象和過(guò)程電磁場(chǎng)的物理模型電磁場(chǎng)的物理模型：連續(xù)媒質(zhì)的場(chǎng)空間(,,

及其相應(yīng)的幾何結(jié)構(gòu))理想化的場(chǎng)源(q,i)分析問(wèn)題以

為基本物理量(場(chǎng)量)給定源量(q,i),求場(chǎng)分布(

)第3頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一以上電磁場(chǎng)與電路分析的求解過(guò)程均可歸結(jié)為(1)給出與所分析的物理模型對(duì)應(yīng)的基本規(guī)律性的數(shù)學(xué)描述（泛定方程）及其定解條件，即構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)運(yùn)用相應(yīng)的分析計(jì)算方法；(3)解出數(shù)學(xué)模型中的待求物理量，即得所分析問(wèn)題的確定解。第4頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1.1源量?jī)深?lèi)場(chǎng)源（電荷

q、電流

i）

1.電荷

q（Charge）

e=1.60217733×10-19C取決于電荷分布的不同形態(tài)，定義靜態(tài)分布的四種形式：

點(diǎn)電荷分布形式（pointcharge）

（

——源點(diǎn)的位矢）

第5頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

體電荷密度（volumechargedensity）

面電荷密度（surfacechargedensity）

線電荷密度（linechargedensity）第6頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.電流i（current）

定義一個(gè)與電流相關(guān)的點(diǎn)函數(shù)，作為產(chǎn)生場(chǎng)效應(yīng)的源量，體電流密度(簡(jiǎn)稱(chēng)電流密度)矢量點(diǎn)函數(shù)：方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向

大小：第7頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1.2場(chǎng)量對(duì)應(yīng)于電場(chǎng)和磁場(chǎng)效應(yīng)的兩個(gè)基本場(chǎng)量(、)

1.電場(chǎng)強(qiáng)度

（electricfieldintensity）試體電荷qt>0

(正電荷)試體電荷幾何尺寸很小(“點(diǎn)”特性的描述)試體電荷電量很小，不足以影響所研究的電場(chǎng)分布第8頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.磁感應(yīng)強(qiáng)度（magneticfieldinduction）(1)洛侖茲力洛侖茲力

定義

方向，由決定第9頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)安培力公式磁場(chǎng)強(qiáng)度

電位移矢量

第10頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.1.3媒質(zhì)的電磁性能參數(shù)

反映媒質(zhì)在電場(chǎng)作用下的極化性能——介電常數(shù)

(F/m)

反映媒質(zhì)在電場(chǎng)作用下的導(dǎo)電性能——電導(dǎo)率

(1/m=S/m)

反映媒質(zhì)在磁場(chǎng)作用下的磁化性能——磁導(dǎo)率

(H/m)

C

R

L真空（自由空間）中電磁性能的特征參數(shù)

第11頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一光速第12頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.1標(biāo)量場(chǎng)的梯度GradientofScalarField1.2矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x，y，z)，若函數(shù)

在點(diǎn)

P可微，則

在點(diǎn)

P

沿任意方向

的方向?qū)?shù)為第13頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一納布拉算子第14頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯度的意義：

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。第15頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.1電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。第16頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.2設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)(1)該點(diǎn)函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(2)求該點(diǎn)函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處該方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第17頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一[解](1)由梯度定義,可解出待求P點(diǎn)的梯度為第18頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)第19頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)的最大變化率，即系最大方向?qū)?shù)，故，恒成立。第20頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.2矢量場(chǎng)的通量與散度FluxandDivergenceofVectorField

對(duì)于一個(gè)矢量場(chǎng)

，通過(guò)空間某一曲面的通量為矢量場(chǎng)對(duì)該曲面的面積分。

通量：第21頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：(有正源)(無(wú)源)(有負(fù)源)第22頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

矢量場(chǎng)的散度：(1)有無(wú)電荷？(2)在該點(diǎn)的電荷分布的密度

？

第23頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

將S向P點(diǎn)收縮，即令其所界定的體積V→0（物理無(wú)限?。蟠┻^(guò)該微小表面S的通量與V比值的極限，即數(shù)學(xué)上的處理方法：第24頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矢量場(chǎng)的散度為一標(biāo)量；

該處線是連續(xù)的

該點(diǎn)有發(fā)出通量線的源（正源）

該點(diǎn)有匯集通量線的匯（負(fù)源）散度起到了檢測(cè)通量源的作用；

矢量散度值與所選坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，但若以該矢量的分量表示該矢量的散度時(shí)，則數(shù)學(xué)表達(dá)式將因坐標(biāo)系不同而互異。第25頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

直角坐標(biāo)系下散度()的表達(dá)式：不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。設(shè)場(chǎng)量

僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)；

表達(dá)式的推導(dǎo)用圖第26頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第27頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第28頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

散度定理高斯定理建立了某一空間中的場(chǎng)與包圍該空間的邊界場(chǎng)之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。第29頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.3矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度CirculationandCurlofVectorField矢量場(chǎng)

沿空間有向閉合曲線的線積分。

環(huán)量：

環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。第30頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一無(wú)旋有旋第31頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

矢量場(chǎng)的旋度：(1)電流是否通過(guò)P點(diǎn)所在的微小表面S？(2)在P點(diǎn)上的電流密度有多大？

第32頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第33頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一旋度是一矢量；

旋度的方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿足右螺旋定則，并和獲得最大環(huán)量位置的面元的法線方向()相一致；矢量的旋度值與所選擇的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，但若以該矢量的分量形式來(lái)表示其旋度時(shí)，則數(shù)學(xué)表達(dá)式各異。第34頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

直角坐標(biāo)系下旋度()的表達(dá)式：設(shè)場(chǎng)量

僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)；為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，圍繞P點(diǎn)在xOy平面上作一很小的矩形積分回路，如圖所示。

表達(dá)式的推導(dǎo)用圖第35頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理

第36頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第37頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第38頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

斯托克斯定理建立了場(chǎng)域中某一區(qū)域的場(chǎng)與該區(qū)域邊界上場(chǎng)量之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)換。第39頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.4矢量分析常用的恒等式第40頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.2.5亥姆霍茲定理

若矢量場(chǎng)在無(wú)界空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則該矢量場(chǎng)唯一地由其散度和旋度所確定，且可被表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和，即標(biāo)量函數(shù)

矢量函數(shù)第41頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中

是源點(diǎn)()到場(chǎng)點(diǎn)()的距離；積分也對(duì)源點(diǎn)坐標(biāo)展開(kāi)。算子是對(duì)源點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算的；定理的內(nèi)涵：矢量場(chǎng)的特性取決于該矢量場(chǎng)的散度和旋度特性；給出了場(chǎng)量與場(chǎng)的散度源和旋度源之間的定量關(guān)系；對(duì)特定的電磁場(chǎng)，可分類(lèi)予以定義，分析各自的規(guī)律性。

第42頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分類(lèi)：(1)無(wú)旋場(chǎng)(irrotationalfield)例如靜電場(chǎng)

從而由矢量恒等式

可定義（—電位函數(shù)）

勢(shì)量場(chǎng)，或位場(chǎng)(potentialfield)第43頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)無(wú)散場(chǎng)(無(wú)源場(chǎng)、管量場(chǎng)solenoidalfield)例如恒定電流的磁場(chǎng)第44頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)一般的場(chǎng)例如時(shí)變電磁場(chǎng)

第45頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.3電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型——麥克斯韋方程組MathematicalModel數(shù)學(xué)模型——將物理現(xiàn)象的固有特征及其與周?chē)挛锵嗷ラg的關(guān)聯(lián)給以數(shù)學(xué)表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

宏觀、大范圍、大尺寸：積分形式小范圍、小尺寸：微分形式第46頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.3.1麥克斯韋方程組的積分形式1.電場(chǎng)中的高斯定理

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的物理意義是，通過(guò)任意閉合面S的電位移矢量的通量，恒等于該閉合面所限定體積V內(nèi)自由電荷的代數(shù)和，即面積分中被積函數(shù)應(yīng)在閉合面S（高斯面S）上取值；高斯面上通量為零，并不意味著面上各處=0。第47頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.磁場(chǎng)中的高斯定理

線（磁力線）是無(wú)頭無(wú)尾的——磁通連續(xù)性原理

電場(chǎng)的通量線（電場(chǎng)線）有頭有尾磁場(chǎng)的通量線（磁場(chǎng)線）無(wú)頭無(wú)尾第48頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.法拉第電磁感應(yīng)定律楞次定律：閉合回路中的感應(yīng)電勢(shì)及其所產(chǎn)生的感應(yīng)電流總是企圖阻止磁通的變化。e~

假定正方向滿足右螺旋關(guān)系(1)第49頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)

e的計(jì)算

磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化(恒定磁場(chǎng))，導(dǎo)電回路相對(duì)于磁場(chǎng)有位移，即有“切割磁力線”的效應(yīng)存在——常稱(chēng)作切割電動(dòng)勢(shì)或發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)。第50頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一感應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)

局外場(chǎng)強(qiáng)

第51頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)線回路不動(dòng)，回路內(nèi)磁通隨時(shí)間變化，即

=(t)——常稱(chēng)作變壓器電動(dòng)勢(shì)。第52頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第53頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一以上兩者兼有，即導(dǎo)電回路運(yùn)動(dòng)，且，此時(shí)，對(duì)于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e，應(yīng)是以上兩種效應(yīng)的迭加。第54頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)源有兩種：電荷和變化的磁場(chǎng)

麥克斯韋把法拉第電磁感應(yīng)定律推廣到場(chǎng)域中任一假想閉合回路的情況（簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)學(xué)環(huán)），提出了“渦旋電場(chǎng)”的假設(shè)，即只要與數(shù)學(xué)環(huán)相交鏈的磁通發(fā)生變化，即使沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，但在該回路中的任一點(diǎn)總有感應(yīng)電場(chǎng)存在，因此沿該數(shù)學(xué)環(huán)將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。第55頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第56頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1.3電子回旋加速器(

加速器)可作為法拉第電磁感應(yīng)定律物理含義的實(shí)驗(yàn)例證。電子回旋加速器的構(gòu)造原理圖

電子回旋加速器中電磁鐵由正弦電流激勵(lì)，在兩磁極中間放置一扁平環(huán)形真空室。該加速器內(nèi)運(yùn)動(dòng)電子的加速過(guò)程就是在該真空室內(nèi)由變動(dòng)的磁場(chǎng)所產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。[解]第57頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)電子在真空室中運(yùn)動(dòng)是沿著半徑為R的圓周軌道進(jìn)行的。在正弦激磁電流由零到最大值的增長(zhǎng)過(guò)程中(1/4周期)，磁場(chǎng)也將由零單調(diào)地增加到某一終值。在這一段時(shí)間內(nèi)，圓周軌道上呈現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)當(dāng)磁場(chǎng)對(duì)圓周軌道中心呈對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，軌道上任一場(chǎng)點(diǎn)處的感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度值第58頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電子槍射入的電子e(e<0)受到的沿圓周軌道切向的電場(chǎng)力電子受到的沿圓周軌道內(nèi)法向的磁場(chǎng)力此時(shí)，電子即由時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)加速，并在向心的磁場(chǎng)力作用下，沿逆時(shí)針?lè)较蛟趫A周軌道上加速環(huán)行。因切向電場(chǎng)力Fe的作用等于切線方向上動(dòng)量的變化率，即第59頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)電子射入真空室時(shí)，0＝0，且初速度v0遠(yuǎn)小于末速度。在這樣的初始條件下，上式積分得向心的磁場(chǎng)力Fm則被離心力所平衡，即以初始時(shí)刻分析，應(yīng)有第60頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由此可知，為保證持續(xù)加速、能量不斷累積的電子始終沿著圓周軌道運(yùn)動(dòng)，工程設(shè)計(jì)要求軌道上各場(chǎng)點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度必須滿足一定條件，即該磁感應(yīng)強(qiáng)度值必須等于軌道所限定面上平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半。這一條件可由加強(qiáng)該面中心部分的磁場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)設(shè)定激磁在1/4周期的時(shí)間內(nèi)，加速的電子能量可達(dá)幾億電子伏特(1eV＝1.60219×10-19J)。這時(shí)，移出高能電子，使之去轟擊一個(gè)“靶”時(shí)，即可產(chǎn)生X射線等。這一生動(dòng)體現(xiàn)了麥克斯韋第二方程物理含義的裝置，被用作核物理研究、工業(yè)探傷和治療癌癥等。第61頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.全電流定律(1)位移電流的假設(shè)，即

電場(chǎng)中某點(diǎn)的位移電流密度（）等于該點(diǎn)電位