理論力學(xué)動量定理

理論力學(xué)動量定理第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日實(shí)際上的問題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。 2、大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動,僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動情況。動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求解。對質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，聯(lián)立求解它們即可。從本章起,將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法,而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。動力學(xué)第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

它們以簡明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量——一種是同運(yùn)動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機(jī)械運(yùn)動進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷。本章將研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動量定理的另一重要形式——質(zhì)心運(yùn)動定理。動力學(xué)第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

§10–1質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心·內(nèi)力與外力

§10–2動量與沖量

§10–3動量定理

§10–4質(zhì)心運(yùn)動定理第十章動量定理第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心⒈定義

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念?！?0-1質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心內(nèi)力與外力⒉質(zhì)心C點(diǎn)的坐標(biāo)公式

動力學(xué)第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

在均勻重力場中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合。可采用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。⒈外力⒉內(nèi)力動力學(xué)第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

§10-2動量與沖量

一、動量

1.質(zhì)點(diǎn)的動量

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點(diǎn)的動量。是瞬時(shí)矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動量是度量物體機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量??；船：速度小，質(zhì)量大。2.質(zhì)點(diǎn)系的動量質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動量的矢量和。動力學(xué)第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

⒊剛體系統(tǒng)的動量設(shè)第i個(gè)剛體 則整個(gè)系統(tǒng)：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動量。則：動力學(xué)第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日解:曲柄OA：滑塊B：連桿AB：

[例1]曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿,質(zhì)量各為m,滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)=45o時(shí)系統(tǒng)的動量。動力學(xué)（P為速度瞬心，)第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日動力學(xué)第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日⒉變力的沖量（包括大小和方向的變化）

元沖量:

沖量：二．沖量

力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。⒈常力的沖量動力學(xué)第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

⒊合力的沖量等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動量單位同．動力學(xué)第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

§10-3動量定理一．質(zhì)點(diǎn)的動量定理在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量。質(zhì)點(diǎn)的動量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力—質(zhì)點(diǎn)的動量定理。⑴微分形式質(zhì)點(diǎn)動量的微分等于力的元沖量。⑵積分形式動力學(xué)⒈矢量形式第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日⒉投影形式⒊質(zhì)點(diǎn)的動量守恒若，則常矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動若，則常量，質(zhì)點(diǎn)沿x軸的運(yùn)動是慣性運(yùn)動二．質(zhì)點(diǎn)系的動量定理

對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)i，動力學(xué)⒈矢量形式第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日質(zhì)點(diǎn)系動量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。

在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。⑵積分形式⑴微分形式質(zhì)點(diǎn)系的動量定理動力學(xué)第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

⒉投影形式?=)(exXidtdK?=)(eyYidtdK?=)(ezZidtdK??ò==-21)()(12tteiexxdtXSixKK??ò==-21)()(12tteieyydtYSiyKK??ò==-21)()(12tteiezzdtZSizKK⒊質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒若則常矢量。若則常量。

只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動量的傳遞。動力學(xué)第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

[例2]已知砂子以恒質(zhì)量流率設(shè)以近似勻速流入車廂內(nèi)，與此同時(shí)，車廂在水平常力F

的作用下由靜止開始運(yùn)動。求向車廂內(nèi)輸送了質(zhì)量為m的砂子時(shí)，車廂的速度v和軌道給車廂的平均法向反力N

。車廂的質(zhì)量為M。解：①取車廂和質(zhì)量為m的砂子組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象；②受力分析如圖；③取Oxy直角坐標(biāo)軸；動力學(xué)第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日④根據(jù)動量定理求解：動力學(xué)第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日運(yùn)動分析，設(shè)經(jīng)過ｔ時(shí)間后，流體AB運(yùn)動到位置ab，

[例3]

流體流過彎管時(shí)，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力(附加動壓力)。設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。受力分析如圖示。由質(zhì)點(diǎn)系動量定理；得動力學(xué)第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日靜反力，附加動反力

計(jì)算時(shí)，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的附加動壓力．即：動反力（總反力）動力學(xué)第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日[例4]質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則小三角塊相對大三角塊速度為，設(shè)大三角塊速度則小三角塊運(yùn)動分析，動力學(xué)第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日§10-4質(zhì)心運(yùn)動定理將代入到質(zhì)點(diǎn)系動量定理，得若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，則或

上式稱為矢量形式的質(zhì)心運(yùn)動定理（或質(zhì)心運(yùn)動微分方程）。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。一．質(zhì)心運(yùn)動定理動力學(xué)⒈矢量形式第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日動力學(xué)或⑵自然坐標(biāo)形式：⑴直角坐標(biāo)形式：或⒉投影形式⒊剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動定理投影形式第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日動力學(xué)質(zhì)心運(yùn)動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程形式相似。對于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，無論它作什么形式的運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)⒋討論

只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動,內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。的運(yùn)動，并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上。二．質(zhì)心運(yùn)動守恒定律

⒈若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動；若開始時(shí)系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

三．質(zhì)心運(yùn)動定理可求解兩類動力學(xué)問題

⒈已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動,求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力(包括約束反力)。⒉已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律。動力學(xué)⒉若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日解:⑴研究整個(gè)電動機(jī)質(zhì)點(diǎn)系；⑵受力分析如圖示；⑶取O1xy直角坐標(biāo)軸；⑷運(yùn)動分析：定子靜止，轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動。⑸根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理求解：

[例4]

電動機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重為P1,轉(zhuǎn)子重為P2,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動機(jī)底座上的約束反力。動力學(xué)第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日定子質(zhì)心O1的坐標(biāo)為x1=0，y1=0轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的坐標(biāo)為x2=ecoswt，y2=esinwt

，電動機(jī)質(zhì)心C的坐標(biāo)為質(zhì)心C加速度在x、y軸上的投影為動力學(xué)第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日可見，由于偏心引起的動反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。有：解得：動力學(xué)第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象。[例5]

浮動起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10