信號與系統(tǒng)課后習題答案詳細解析

信號與系統(tǒng)課后習題答案

1-1題1-1圖示信號中，哪些是連續(xù)信號？哪些是離散信號？哪些是周

期f3fW

O2r4T6TnT

題i-i圖

信號？哪些是非周期信號？哪些是有始信號？

解（a）、（c）、（d）為連續(xù)信號；（b）為離散信號；（d）為周期信號；其余為非周

期信號；（a）、（b）、（c）為有始（因果）信號。

1-2給定題1-2圖示信號/（,）,試畫出下/(O

列信號的波形［提示：/（2t）表示將/（I）波形壓縮，

/信）表示將/⑴波形展覽］。

（a）2/（，-2）

（b）/（2t）

1題1-2圖

T

（d）/（—+1）

解以上各函數(shù)的波形如圖pl-2所示，

刖-2）

/⑵)/出)/<-*+!)

1-3如題1-3圖示，R、Z、C元件可以看成以電流為輸入，電壓為響應的

簡單線性系統(tǒng)S?,SL和S,，試寫出各系統(tǒng)響應電壓與激勵電流函數(shù)關(guān)系的表達

式。

解各系統(tǒng)響應與輸入的關(guān)系可分別表示為

“《（￡）=R，i”（t）

=L-&一

"c（，）=Jic（T）dr

1-4如題1-4圖示系統(tǒng)由加法器、

?6?

R

-o

+

o_匚-----o

+ui

一

0o

題1-3圖

子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)屬于何種聯(lián)接形式？試寫出該系統(tǒng)的微分方程c

題1-4圖

解設加法器的輸出為工(￡),由于

x(t)=/(t)+(-a)y(()

且

y(i)==yO

故有

yz(0=/(t)-ay(f)

即

y，3+ay(t)=/(，)

1-5已知某系統(tǒng)的輸入/(t)與輸出義㈠)的關(guān)系為

y(0=l/(f)I

試判定該系統(tǒng)是否為線性時不變系統(tǒng)？

解設7為系統(tǒng)的運算子，則y(c)可以表示為

>(t)=■/(￡)]=1/(i)I

不失一般性，設/(，)=￡1)+人(力，則

?"(?)]=l/)(t)f=r)(0

r[/2(z)]=i/2(t)?=/2(，)

故有

r[/(f)]=I/.(O+A(?)1=)(，)

顯然

+1/2(oi

即不滿足可加性，故為非線性時不變系統(tǒng)，

1-6判斷下列方程所表示的系統(tǒng)的性質(zhì)。

(h)y"⑴+2/(，)+3?)=/'(，)+/Q-2)

(c)+2z/(r)+2y(t)=3/(0

(d)[/(,)『+義(力=/($)

解(a)線性；(b)線性時不變；(c)線性時變；(d)非線性時不變。

1-7試證明方程

/(￡)+a-y(t)=f{t}

所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。式中。為常數(shù)。

證明不失一般性，設輸入有兩個分量，且

則有

y；⑺+ay,(t)=/)(?)

/j(t)+ayi(t)=f2(t)

相加得

yf(t)+ayI(0+)2(t)+ay,(o=/,(<)+f1(I)

即

+y2(?)j=/)(?)+/2(t)

可見

_/；(￡)+/2(，)fyi(t)十yi(￡)

即滿足可加性，齊次性是顯然的。故系統(tǒng)為線性的。

1-8試證明題1-7的系統(tǒng)滿足時不變性。

證明將方程中的［換為￡-%,篇為常數(shù)、即

/"(t-t0)+ay(Z-i0)=：/(/-Zo)

由鏈導法則，有

dy(f-“1)_dy(t-/0)t-f0)

dl-d(、￡-dT-

又因t0為常數(shù)，故

?8?

d（￡-狐）

-------T----=J

從而

dy（t-tQ）dy（￡一琳）

…—di-=

所以有

"（［玷）+ay（z-t0）=/（/-z0）

即滿足時不變性

/（t-%1y（￡-%）

1-9試一般性地證明線性時不變系統(tǒng)具有微分特性。

證明設則

-Ai）（時不變性）

又因為

&2■嚼上LA"飛一。）（線性可加性）

所以

lim/⑺"二小二。）

即有

1-10若有線性時不變系統(tǒng)的方程為

y，（t）+ay（'）=/（￡）

在非零〃t）作用下其響應y（f）=1-e—,試求方程

y，（￡）+ay（f）=2/（t）+f'（l）

的響應°

解因為/a）fya）=i-e—,由線性關(guān)系，則

2/（力f2y⑴=2（1-ef

由線性系統(tǒng)的微分特性，有

U（t）fy⑴=e~'

故響應

2/（￡）+/'（"《）=2（1-占'）+"

=2-e

2-1如題2-1圖所示系統(tǒng)，試以此（￡）為輸出列出其微分方程。

解由圖示，有

.Uc「duc

"=百+cGT

或

iL=///%-?c)dr

故

](%-U)Ur

C=6+3

從而得

+^CU<^（"）"白"，（"）=；ys（￡）

2-2如題2-2圖電路，已知uc(0.)=2V,i；.(0.)=1A,試求4(0,

uc(0+)和u,c(0.)：：

解由圖可列方程

L-TT+凡0+l*c=。

即有

ducI1

77=~取與+個

di/.1Rt.

d?=-TUc~~L1'-

從而可得

咤⑴+(嬴+金鹿")+白(1+筋卬=0

因此

此(0.)=uc(0.)=2V

it(0T)=i￡(0.)=1A

zzn\品(。+)“c(。*〉/.

uc(。+)=―E------R?=(1-2)V=-IV

2-3設有二階系統(tǒng)方程

/(t)+4/(t)+4y(i)=0

在某起始狀態(tài)下的0.起始值為

y(0+)=l,/(0t)=2

試求零輸入響應。

解由特征方程

A2+4A+4=0

?20?

得Aj=A2="2

則零輸入響應形式為

2k

九($〉=(A+A2t)e'

由于

九(0,)=4=1

-2,41+小=2

所以

4?=4

故有

7?(0=(1+4t)e~2',IN。

2-4設有如下函數(shù)-t),試分別畫出它們的波形.

(a)/(/)=2e(t-1)-2e(z-2)

(b)f(t)~sinxi[e(t)-E(f-6)]

解(a)和(b)的波形如圖p2-4所示。

圖p2-4

2-5試用階躍函數(shù)的組合表示題2-5圖所示信號。

解(a)/(4)=e(t)-2e(t-l)+e(t-2)

(b)/(?)=e(0+e(Z-T)+C(t-2T)

2-6試計算下列結(jié)果。

(a)t8(t-1)

(h)「/S(t-l)dt

解(a)^8(t—1)=3(t—1)

(B)rt6(i-l)d￡8(-l)d￡=1

--yj8(Z)d[

=Lcos(-T)s0)dt=i

(d),(t2+t)3(t-3)dz=0

(e)je~3r8(—/)di二「e_3x8(t)dt二「&￡)dc.1

JoJoJo

2-7設有題2-7圖示信號/(￡),對(a)寫出f氣￡)的表達式，對(b)寫出

/”(D的表達式，并分別畫出它們的波形。

(a)

題2?7圖

解（a）

；，0WtW2

廣⑴=-2),t=2

25(t-4),t=4

(b)f"(:)=28(t)-28(<-1)~23(t-3)+28(1-4)

圖p2-7

2-8如題2-8圖一階系統(tǒng)，對（a）求沖激響應i和必；對（b）求沖激響應

uc和〃，并畫出它們的波形。

題2-8圖

解（a）由圖有

us(t)—Ri

即

diR.1,、

dt+Tl=TUs0)

當與（：）=式￡）,則沖激響應

=：i(￡)=-^-e-r*?€(^)

則電壓沖激響應

23

A(t)=U/(t)=&.=S(t)-T-'?e(t)

(b)對于RC電路，有方程

八d%.”c

C-dT=l'~~R

即

,11.

"c+RCUc=~Clt

當=3("時,則

h(t)=u(:(^)=下。祝?E(￡)

同時，電流

2-9設有一階系統(tǒng)方程

yz(<)+3y(x)=/'(，)+/⑴

試求其沖激響應從力和階躍響應3(t)o

解因方程的特征根A=-3,故有

?(2)=e-5,?e(r)

當/(，)=&，)時，則沖激響應

h(t)=gi(t)*[^(f)+8(f)]

=8(t)-2e-3,e(t)

階躍響應

s(t)=JA(r)dr=-y(1+2e*31)e(t)

2-10某LTI系統(tǒng)的沖激響應如圖(a)所示，若輸入信號/(f)如圖(b)二角

波，試求零狀態(tài)響應

題2-10圖

解本題可用圖形掃描法計算卷積，即

-24?

y(i)=h[t)*/(/)

t<0

0wiW1

IwzW2

2WCW3

3WtW4

t>4

0t<0

y。w￡<1

一1+2%一#1w1二2

—I+2￡-/2w￡w3

g—4，+3w￡於4

0t>4

2-U如圖所示系統(tǒng)，試以此(￡)為響應，分別求我(￡)和$(￡)。

解電路方程為

「皿uc

u(:+5itc=10is(t)

當心⑴=3⑴時，得

5,

uc(t)=h(=103(z)*e~￡(I)

=10e"54?e(X)

階躍響應

s(c)=fr)dr二(2-2e's()e(t)

Jo

2-12如圖示含運算放大器的系統(tǒng)，試求其階躍響應〃o(￡)。

解在放大器“，”端節(jié)點處到KCL方程

口0-式￡)e(x)

cdi+-R2-=~R；

?25.

+

題2-12圖

化簡為

鱉+康口。=愣+（直+六卜⑴

因特征根A=-嬴，故得

2-13在一階系統(tǒng)中，設

y'（￡）+ay（t）二

若起始狀態(tài)非零，則完全響應可寫為

y（￡）=%（。+）€~"+/"（x（r）eordr

Jo

在圖示電路中，若以i為響應，試列出其微'

分方程，并求完全響應，驗證上式。

解由電路可得

，'（￡）+￡（￡）=（C）

題2-13圖

令〃，（，）=0,因〃c（。-）=10V,可得

L（。.）二VR=10A,則有零輸入響應

L（￡）=fOe：?E（/）A

當輸入%（￡）=5e（￡）時，則有方程

i'（t）+i（￡）=51（f）=58（/）

令起始狀態(tài)為零，則零狀態(tài)響應為

。（［）=e"*58（i）=e~l*5S（t）

=5e~x?e（/）A

完全響應

i(±)=l0e~x+5e-x=15e"‘?€(￡)A

?26?

注意：i.(0,)=10A,式0*)=15A

2-14試求下列卷積

(a)8(t)*2

(b)e(t+3)*e(?-5)

(c)te~**e(t)*^(i)

解(a)由B(t)的特點，故

3(f)*2=2

(b)按定義

e(t+3)*e(f-5)=Je(r+3)e(t-r-5)dr

考慮到r<-3時，Kr+3)=0;r>￡-5時，e(t-T-5)=0,故

r’-s

E(t+3)*e(t-5)=Jdr=t-2,t>2

也可以利用遲延性質(zhì)計算該卷積。因為

s(t)*e(t)=U(Z)

/1(i-*fi(t-tj)=f(￡--tz)

故對本題，有

e(t+3)*e(?-5)=(t+3-5)e(/+3-5)=(t-2)E(l-2)

兩種方法結(jié)果一致。

(c)te''e(t)*8z(t)slte'^Cr)]7

=(e-<-te~*)e(i)

2-15對圖示信號，求力(c)*力(0。

解(a)先借用階躍信號表示力(，)和/式￡),即

/i(t)=2e(t)-2c(t-1)

/j(￡)=e(c)—e(t—2)

故

=[2e(t)-2e(t-I)]*[t(4)-e(t-2)]

因為

e(z)*e(t)=JIdr=t)

故有

—一)*/(￡)

=2te(i)-2(t-l)e(/-1)-2(t-2)e(t-2)+2(：-3)e(t-3)

讀者也可以用圖形掃描法計算之。結(jié)果見圖p2-15(a)所示。

(b)根據(jù)&C)的特點，則

?27?

f對

⑴(1)

110

-爹A°T

(b)

題2-15圖

W)

2

(b)

圖p2-15

/,(t)*/：(?)=./；(/)*[8(f)+3(t-2)+S(z+2)J

=/()+/,(?-2)+/,(t+2)

結(jié)果見圖p2-15(b)所示.

2-16試求下列卷積.

(a)⑴*E(I)

(b)

解(a)因為存⑴*e(t)=/(,)=3⑴，故

2,/22,

(1-e-)e(t)*S(I)*e(t)=(1-e-*)e(i)*8(i)=(1-e-)e(：)

(b)因為e-BQ)=3Q),故

e'3，e(f)*^-[e-8(:)]=e-',e(t)*^(t)

=S()-3e”‘

2-17設有二階系統(tǒng)方程

■28?

/(t)+3/(。+2y⑴=4M(t)

試求零狀態(tài)響應y(t)o

解囚系統(tǒng)的特征方程為

A3+3A+2=0

解得特征根

A)=—1,^2=-2

故特征函數(shù)

-<2<

g2(I)=e"/*e"?'=(e*e')e(t)

零狀態(tài)響應

-1-2

y(t)=43"(t)*g2(t)=48"(t)*(e*e')e(i)

=(8e'2'_4e-')式彷

2-18如圖系統(tǒng)，已知

h,(t)=8(t-1),h2(t)-e(t)

試求系統(tǒng)的沖激響應h(t)?

解由圖關(guān)系，有

x(t)=/(t)-/(，)*陽(1)=8(f)~5(0*8(r-1)=8(t)-8(t-1)

所以沖激響應

h(.i)=y(t)=x(t)*h2(t)=[8(t)-8(t-!)]*￡(t)=￡(t)-e(t-1)

即該系統(tǒng)輸出一個方波。

2-19如圖系統(tǒng)，已知R、=%=10,1=1H,C=1F,試求沖激響應心(力。

解由KCL和KVL,可得電路方程為

題2-19圖

.29?

3+慎+華k+住+給)%=.⑺+給⑴

代人數(shù)據(jù)得

Uc+2?c+2uc=8*(t)+S(t)

特征根

"z=-1±jl

故沖激響應火;(，)為

uc(t)=(e》*e3)*?、?Mt)]

=e'1(cost-sint),e(t)V+e-'sini?e(z)V

=e'^cost,e(t)V

2-20若二階系統(tǒng)在階躍信號作用下方程為

z

/"(?)+y(/)+a()y(t)=Z>e(t)

特征根為A,和兒，或證明階躍響應

S(J)=-[1+i----?—(ARA''_A)eAz<)1e(￡)

a°L入i一2」

證明系統(tǒng)的特征函數(shù)

g2(t)=3-e、')

故階躍響應

s(￡)=g2(?)*te(t)

=、b廣(6『-e")*式。

=盤口+北七⑶山-九改?、?/p>

由于儲心=故得證。

2-21設有三階系統(tǒng)方程

yO，(t)+8/(i)+19/(x)+12y⑴=4/(t)+10/(t)

試求其沖激響應A(x)o

解系統(tǒng)的特征方程

A3+8A2+I9A+12=0

即

?30?

(A+1)(A+3)(A+4)=0

故特征根

A?工-1,42=-3,入3=-4

故特征函數(shù)

g3(￡)=(e-x*e-3<*e-41)e(t)

故沖激響應

h(t)=gi(t)*14sz(t)+108(c)〕

4t

=(b+_2e-)e(l)

2-22一線性時不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當輸入/(，)=￡(￡)時，全

響應yt(t)=3e?"?￡(￡)；當輸入f(t)=-￡(￡)時，全響應力(l)=?-"”(￡),試

求該系統(tǒng)的沖激響應h(t)c

解因為零狀態(tài)響應

€(￡)->一￡(。~*一5(2)

故有

-3

九(1)=ysl(O+s(￡)=3e,?￡(￡)

3i

力Q)=yu(t)-x(i)=e'?e(i)

從而有

7i(￡)-%(￡)=2sQ)=2e"，e(l)

KP(s(z)=e~3'?E(±)

故沖激響應

A(z)=s'(e)—S(i)—3e~3/?e(￡)

3-1求題3-1圖示周期信號的三角形式的傅里葉級數(shù)表示式。

解(a)對于周期鋸齒波信號，在周期(0,7)內(nèi)可表示為

f（t）=-.（￡■T）=一f+A

系數(shù)

?0=y￡/（f）dt=/（-!+A）d,

=4（~fr+"I。=4/2

=0

=竿1。/（，）sinM|fdf二一爺JZsinrkdjtAl+

sinzia>{tdt

2A[cosn/^jt

A

=—

T17C

所以三角級數(shù)為

+

/⑴=41白…2

(b)由已知，三角級數(shù)的各系數(shù)為

=佃=4

T

,2A.

Acosruuytdt==0

0

.T

一.24,2

b、Asin皿/di-------t

na)tI

=—(1-COS/IK)

mt

1—,n=1,3,5,…

=<打幾

I。，n=2,4,6,…

所以三角級數(shù)為

f(i)=9(sinoujt+-ysinSc^jl+…+t)

(n=1,3,5,…)

3-2求周期沖激序列信號

BT(t)=2S(e-a)

n=-oo

的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示式，它是否具有收斂性？

解沖激串信號的復系數(shù)為

T

F'=:『r3(De-g'dt=1

所以

許⑺=yE

f?=-8

因F?為常數(shù)，故無收斂性.

3-3設有周期電流

認I)=。。+兒COS皿1t

式中4,為各次諧波的有效值。試證明》(，)的有效值為

I=，a：+4；+用+…+.4：

證明因為

/(?)=aj+2(A]cos2glt+A2cos'2^!1+…+A：ros2rtt)

+2a()4|Cossif+24|Aieosa?1t?cos2<w(t+…

而根據(jù)有效值的定義，有

2

[J(c)dz=、/(Q0+￡?八/Jt)dt

?40?

由于

=a。

2

y|Anco^nwttdt二彳4：

-yzj2a0Aicosaijtd1=0

-yj2AjAjCOsfOjt?cos2<t>jtdt=0

故有

2

/=，a；+出+&+；+An

3-4設有周期電壓和電流分別為(周期相同)

B

u(￡):UQ+￡t/^cosC皿i￡+a.)

n=I

8

i(?)=，o+X/MC0S(3/+戶*)

試證明平均功率

P=U()/o+2U」“COB外

*=I

式中，a，/“分別為電壓和電流的有效值，外=a"-自。

證明因為平均功率

P=弘)d.

而

*%/。丸=UJ.

Z7o/lmCOS(S|￡+/?!)dt=0

■「i"Cns(3iC+ai)cos(s"+j3)d/=--Cr?/?(?-4)

1tl11

yjU?,cos(3|t+a,)-cos(2w］，+/?2)dt=0

所以

P=UV1Q+mcosyJ+^-U2Jlnco8(p2+???

?41

=U0Ia+XU/COSR

11z1

3-5由定義直接計算下列信號的傅里葉變換(頻譜函數(shù))。

(a)/(，)=€?〃

(b)/(￡)=sincu。￡?€(￡)(a>0)

解(a)F(jcu)=…&

(b)F'(jw)=j"/(Oe'^d:=J%-a,--

=gj[/。‘?-e"。'?e'f”]市

1

=-2Lj[I(7Q+j.s1)_jcuq(a+j.co)+.1J

12j(c>o(t)Q

2j(a+je)'+w；(a+js)，+3：

3-6求題3-6圖示信號的傅里葉變換。

解3)因為

“、[L，I”<r

/⑴=J不

0,\t\>T

為奇函數(shù)，故

尸(joi)=-j21?|~sin3tdf

.2「.

=-J—j[_sin0r—??rc(>sa>r

re”

=iCOSCUT—Sa(a>r)]

3

或用微分定理求解亦可c

(b)/(，)為奇函數(shù)，故

F(ju?)=-j21(-1)sjncwxdz

若用微分-積分定理求解，可先求出了'(，).即

廣⑴=8((+r)+8(i-r)-28(t)

所以

f'(t)-%(j&?)=e’3.+ej'-2=2cos3T-2

又因為％(0)=0,故

F{\<?)=^-F,(j<w)=.-(cuscwr-1)

jcuJ3

3-7設/d)為調(diào)制信號，其頻譜F(ja)如題3-7(b)圖所示，88%.為高

頻載波，則廣播發(fā)射的調(diào)幅信號工(?？杀硎緸?/p>

x(t)=A[1+mf(t)]cosco0t

試求x(c)的頻譜，并大致畫出其圖形。

x(Z)=4cos30t+mAf(t)cosa?01

故其變換

X(j<?)-rr4[8(a>—a>0)+8(tu+a)0)]+

'F[.j(u>—S?！礭+F[j(3+So)]I

式中，尸(2)為〃f)的頻譜,，儀,)的頻譜圖如圖p3-7所示。

3-8對于如題3-8圖所示的三角波，試求其頻譜函數(shù)。

解位于原點處的第一個三角波為偶函數(shù)，它可以表示為

?43?

題3-8圖

月(1-LAI),|/|<r

/?)=，<rf

0,ItI>r

則有

K(joi)=2)4(1—Y-jcoscot<1/

=——(I-COSCOTJ

3~T

由遲延特性，則/（，）的頻譜

尸（js）=居（je）+F1（j3）e*°"+F,（js）e"3r

=4島2傍）（1+廣+ef

=ArSa?((1+2cos2a>r)

3-9試求信號/(，)=1+2cost+3cos3t的傅里葉變換。

解因為

I-2芯(3)

2cos￡02卻6(3-1)+3(如+1)|

3cos3￡13TB(3-3)+S(<u+3)]

故有

F(j3)士2KLS(w)+8(3-1)+3(s+l)]+3R6(S-3)+3(s+3)]

?44?

3-10利用傅氏變換的性質(zhì)求題3-10圖示信號/式。的頻譜函數(shù)。

題3-10圖

解由于九C)的4=2,r=2,故其變換

Fi(jw)=ArSa。(；，)=4Sa2(a?)

根據(jù)尺度特性，有

f(?*卜-?2匕(j2s)=8Sa2(2cu)

再由調(diào)制定理,得

力⑺=/|(y)cosTTtx>F2(ja>)

F<訕)=；[8Sa2(2s-2x)+8Sa2(2a>+2x)]

=4Sa2(2cu-2K)+4Sa2(2cu+2K)

_sin'(2s)sin.(2s)

(cu-￡)2+(3+7t)2

3-11求題3-】l圖周期信號的傅里葉變換，并畫出頻譜圖、

|/(0

-5-4-3-2-1012345r

題3-11圖

解對于三角波信號，對一個周期內(nèi)的函數(shù)人("，其r=l,從而有

—(js)=4?Sa2(y)

應用周期信號傅里葉變換的關(guān)系，得了?)的變換

F(j0>)=2穴￡乙虱3一)

季i>2(竽)8(at-nui])

R=-8

8(d)-)

C=-8

如圖

3-12設信號的頻譜如題3-12圖所示，成求其反變換/(?)o

—a*。一劭—tt?o—<WQ+/000G?o+6)|CO

題3-12圖

解由反變換的定義

/⑴=3JjaMds=聶:二》?+白8b+3t

A?da?

F力

+

--_e-K?0-!)<+『30+*__

27r(jz)

=2汽(1)12jsin(+叫)]-2jsin((w0-0)，]

2A.24cojsina;,t

二—?coso/nt,Sinai,t二----?-------costdot

nt017rglc

2431c/\

=---baycu/J*cosct/At

7T?

3-13試求題3-13圖示信號/")的頻譜函數(shù)尸63)。

解從位于原點的門函數(shù)應用時移特性，則有

產(chǎn)(js)=?

2?

sinG3?e-ry2

0)

1

=汕

=7—(I-e4)

W題3-13圖

或者用下法求解