工程力學(xué)教材

目錄緒論………………1質(zhì)點(diǎn)、剛體及變形體概念……………………1工程力學(xué)課程的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法…………2第一篇?jiǎng)傮w靜力學(xué)………………1第一章剛體的受力分析…………………1基本概念………………………1靜力學(xué)公理……………………3力在直角坐標(biāo)軸上的投影……………………7力對(duì)點(diǎn)的矩…………………10力對(duì)軸的矩…………………16第六節(jié) 約束和約束反力……………19第七節(jié)物體的受力分析和受力圖…………………25習(xí)題…………………31力系的簡化和平衡方程…………1第一節(jié)平面匯交力系…………………1力偶和力偶系…………………8平面一般力系…………………11空間一般力系簡介……………22物體的重心…………………26習(xí)題…………………32第三章平衡方程的應(yīng)用 …………………1第一節(jié)靜定問題及剛體系統(tǒng)平衡………1第二節(jié)平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算……………………10習(xí)題……………………17第四章摩擦…………………1滑動(dòng)摩擦………………………1摩擦角和自鎖現(xiàn)象……………3滾動(dòng)摩阻………………………6第四節(jié)考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題……………………9習(xí)題…………………14第二篇彈性靜力學(xué)I（桿件的基本變形）………………5－1第五章軸向拉伸和壓縮……………………2第一節(jié)軸向拉伸（壓縮）時(shí)桿的內(nèi)力和應(yīng)力…………2第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）時(shí)桿的變形…………………7第三節(jié)材料在軸向拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能………10第四節(jié)許用應(yīng)力·安全系數(shù)·強(qiáng)度條件………………16第五節(jié)簡單拉壓超靜定問題…………20第六節(jié)應(yīng)力集中的概念………………25習(xí)題…………………27第六章剪切………………1剪切的概念………………………1剪切的實(shí)用計(jì)算…………………2擠壓的實(shí)用計(jì)算…………………5習(xí)題…………………10第七章扭轉(zhuǎn)…………………1外力偶矩的計(jì)算…………………1扭矩和扭矩圖…………………2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算…………………4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算…………………9*第五節(jié)圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形…………11*第六節(jié)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念………14習(xí)題…………………17第八章梁彎曲時(shí)內(nèi)力和應(yīng)力………………1第一節(jié)梁的計(jì)算簡圖…………………2第二節(jié)彎曲時(shí)的內(nèi)力…………………3第三節(jié)剪力圖和彎矩圖………………5第四節(jié)純彎曲時(shí)的正應(yīng)力……………11剪切彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算………………14第六節(jié)彎曲切應(yīng)力……………………18第七節(jié)提高梁彎曲強(qiáng)度的一些措施…………………24*第八節(jié)懸索……………27習(xí)題…………………35第九章梁的彎曲變形……………………1工程中的彎曲變形……………1梁變形的基本方程……………1用疊加法求梁的變形…………6簡單靜不定梁…………………12第五節(jié)梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施……15習(xí)題…………………18彈性靜力學(xué)II（壓桿穩(wěn)定、強(qiáng)度理論和組合變形）………………第十章壓桿穩(wěn)定與壓桿設(shè)計(jì)………………1壓桿穩(wěn)定的概念……………1細(xì)長壓桿的臨界載荷………2歐拉公式及經(jīng)驗(yàn)公式………5壓桿穩(wěn)定條件………………8提高壓桿穩(wěn)定性的措施……………………10習(xí)題…………………12第十一章復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論………1第一節(jié)應(yīng)力狀態(tài)概念…………………1第二節(jié)二向應(yīng)力狀態(tài)分析……………4第三節(jié)三向應(yīng)力狀態(tài)分析……………11第四節(jié)廣義胡克定律…………………12第五節(jié)強(qiáng)度理論………………………13習(xí)題…………………21第十二章組合變形的強(qiáng)度計(jì)算……………1第一節(jié)組合變形的概念………………1第二節(jié)拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形……………2第三節(jié)彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形………6習(xí)題………………12附錄A單位制及數(shù)值精度…………………附錄B截面的幾何性質(zhì)……………………附錄C型鋼表……………習(xí)題答案…………………參考文獻(xiàn)………………緒論固體的移動(dòng)﹑旋轉(zhuǎn)和變形，氣體和液體的流動(dòng)等都屬于機(jī)械運(yùn)動(dòng)。力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的科學(xué)。機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最簡單的一種運(yùn)動(dòng)形式，此外物質(zhì)還有發(fā)熱﹑發(fā)光﹑發(fā)生電磁現(xiàn)象﹑化學(xué)過程，以及更高級(jí)的人類思維活動(dòng)等各種不同的運(yùn)動(dòng)形式。力學(xué)分為三個(gè)部分：質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)、固體力學(xué)和流體力學(xué)。質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)不具有某些工程學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，即不依賴于經(jīng)驗(yàn)和獨(dú)立觀測；力學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、強(qiáng)調(diào)演繹，看上去更像是數(shù)學(xué)，但是力學(xué)不是抽象的純理論學(xué)科。力學(xué)研究物理現(xiàn)象，其目的是解釋和預(yù)測物理現(xiàn)象，并以此作為工程應(yīng)用的基礎(chǔ)。力使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱為力的外效應(yīng)，主要在質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)中討論；而力使物體形狀發(fā)生改變（即變形）的效應(yīng)稱為力的內(nèi)效應(yīng)，屬于固體力學(xué)范疇。本課程將研究力的外效應(yīng)和力的內(nèi)效應(yīng)。當(dāng)討論力的內(nèi)效應(yīng)時(shí)，主要在物體受到平衡力系狀態(tài)下進(jìn)行分析。工程力學(xué)學(xué)科涉及眾多的力學(xué)分支及廣泛的工程技術(shù)內(nèi)容，本課程只是其中最基礎(chǔ)的部分，它涵蓋了原有理論力學(xué)和材料力學(xué)兩門課程的基本內(nèi)容，同時(shí)增加了非金屬材料力學(xué)基礎(chǔ)。力學(xué)可以追述到古代希臘亞里斯多得和阿基米德時(shí)代，我國古代也有關(guān)于力學(xué)研究的文獻(xiàn)記載。到了17世紀(jì)，牛頓提出三定律和萬有引力定律，后來達(dá)朗貝爾、拉格朗日和哈密頓給出了這些原理的其他形式。20世紀(jì)初，愛因斯坦建立了相對(duì)論，對(duì)牛頓經(jīng)典力學(xué)提出挑戰(zhàn)。本教材所研究的運(yùn)動(dòng)是速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，屬于經(jīng)典力學(xué)的范疇。經(jīng)典力學(xué)以牛頓定理為基礎(chǔ)，采用了與物質(zhì)運(yùn)動(dòng)無關(guān)的所謂“絕對(duì)”空間﹑時(shí)間和質(zhì)量的概念，應(yīng)用范圍有一定的局限性。對(duì)于速度接近光速的物體和基本粒子的運(yùn)動(dòng)，則必須用相對(duì)論和量子力學(xué)的方法加以研究。但是，經(jīng)過長期的實(shí)踐證明，現(xiàn)代一般工程中所遇到的大量力學(xué)問題，用經(jīng)典力學(xué)來解決，不僅方便簡捷，而且能夠保持足夠的精確度，所以經(jīng)典力學(xué)至今仍有很大的實(shí)用意義，并且還在不斷地發(fā)展。討論固體材料的力學(xué)起源于17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)研究對(duì)象主要是木材和石料，伽利略研究了梁橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律。到了19世紀(jì)中葉，研究對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)橐凿摬臑橹黧w的金屬材料。鋼材的特點(diǎn)，使連續(xù)均勻、各向同性等基本假設(shè)以及線彈性問題的虎克定律成為當(dāng)今變形體材料力學(xué)的基礎(chǔ)。固體力學(xué)包括材料力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)等課程。到了20世紀(jì)，材料力學(xué)形成兩大流派：歐美材料力學(xué)體系，其代表為美國斯坦福大學(xué)鐵木辛柯教授1930年所著的《材料力學(xué)》；前蘇聯(lián)工科院校材料力學(xué)體系，其代表為列寧格勒鐵道學(xué)院別遼耶夫教授1932年所著的《材料力學(xué)》。20世紀(jì)50年代開始，計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展，應(yīng)用不斷普及，這對(duì)于工程力學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用。在力學(xué)理論分析中，人們可以借助計(jì)算機(jī)推導(dǎo)復(fù)雜公式，從而求得復(fù)雜的解析解；在實(shí)驗(yàn)研究中，計(jì)算機(jī)不僅可以采集和整理數(shù)據(jù)、繪制實(shí)驗(yàn)曲線、顯示圖形，還可以幫助人們選用最優(yōu)參數(shù)。近幾十年來，先進(jìn)制造技術(shù)不斷出現(xiàn)，工程中除了使用鋼鐵等金屬材料外，聚合物、復(fù)合材料和工業(yè)陶瓷等材料越來越多地被采用，工程力學(xué)研究對(duì)象進(jìn)一步擴(kuò)展，非金屬材料力學(xué)成為工程力學(xué)課程的一個(gè)組成部分。第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)、剛體及變形體概念 工程中涉及機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物體有時(shí)十分復(fù)雜，在研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須忽略一些次要因素的影響，對(duì)其進(jìn)行合理的簡化，抽象出力學(xué)模型。當(dāng)所研究物體的運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其本身的幾何尺度時(shí)，物體的形狀和大小對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響很小，這時(shí)可將其抽象為只有質(zhì)量而沒有體積的質(zhì)點(diǎn)。由若干質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，稱為質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)之間的聯(lián)系如果是剛性的，這樣的質(zhì)點(diǎn)系稱為剛體；如果聯(lián)系是彈性的，質(zhì)點(diǎn)系就是彈性體或變形體；如果質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)都是自由的，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)系便是自由質(zhì)點(diǎn)系。實(shí)際物體在力的作用下都將發(fā)生變形。但對(duì)于那些受力后變形極小，或者雖有變形但對(duì)整體運(yùn)動(dòng)的影響微乎其微，則可以略去變形，將物體簡化為剛體。同時(shí)需要強(qiáng)調(diào)，當(dāng)研究作用在物體上的力所產(chǎn)生的變形，以及由變形而在物體內(nèi)部產(chǎn)生相互作用力時(shí)，即使變形很小，也不能將物體簡化為剛體，而應(yīng)是變形體。質(zhì)點(diǎn)、剛體與變形體都是實(shí)際物體的抽象力學(xué)模型，不是絕對(duì)的，例如對(duì)于一個(gè)航天器，當(dāng)討論軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，視航天器為質(zhì)點(diǎn)；當(dāng)討論姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，視航天器本體為剛體，附加天線等為彈性體。又如當(dāng)討論地球繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)，視地球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)；當(dāng)討論地球自轉(zhuǎn)時(shí)，視地球?yàn)閯傮w；當(dāng)討論地震時(shí)，必須將地球看作變形體。第二節(jié)工程力學(xué)課程的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法工程力學(xué)課程作為大學(xué)生的一門技術(shù)基礎(chǔ)課，只討論工程力學(xué)學(xué)科中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，主要涉及質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)、固體材料力學(xué)，涵蓋了原理論力學(xué)和材料力學(xué)兩門課程的主要經(jīng)典內(nèi)容，同時(shí)適當(dāng)增加了當(dāng)前制造業(yè)中常用的聚合物、復(fù)合材料和工業(yè)陶瓷等非金屬材料的力學(xué)行為。靜止是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式。工程中把物體相對(duì)于地球靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)稱為物體的平衡狀態(tài)。剛體靜力學(xué)研究物體在外力作用下的平衡規(guī)律；運(yùn)動(dòng)學(xué)是從幾何觀點(diǎn)研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)，而不考慮作用于點(diǎn)和剛體上的力；動(dòng)力學(xué)研究作用于物體上的力與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)的各個(gè)組成部分，如機(jī)床的軸﹑建筑物的梁和柱等，統(tǒng)稱為構(gòu)件。當(dāng)機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)工作時(shí)，構(gòu)件將受到載荷的作用，例如數(shù)控車床主軸受齒輪嚙合力和切削力的作用。在外力作用下，構(gòu)件的尺寸和形狀將發(fā)生變化，稱為變形。為保證機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)的正常工作，構(gòu)件應(yīng)當(dāng)滿足下列要求：強(qiáng)度要求在規(guī)定載荷作用下構(gòu)件不應(yīng)破壞。例如液化氣罐不應(yīng)爆破；飛機(jī)降落輪子觸地時(shí)，起落架不能被折斷；沖床曲軸工作中不能發(fā)生斷裂。強(qiáng)度要求即指構(gòu)件應(yīng)有足夠的抵抗破壞的能力。剛度要求在載荷作用下，構(gòu)件變形不能超過允許值。例如圖0-1所示車床的床頭箱簡圖，如果切削力使機(jī)床主軸產(chǎn)生過大的變形，這樣使加工出來的零件不能達(dá)到預(yù)定的精度，同時(shí)齒輪的嚙合情況變壞，加速磨損。所以剛度要求是指構(gòu)件應(yīng)有足夠的抵抗變形的能力。圖0-1另外對(duì)受壓力作用的細(xì)長桿，如千斤頂?shù)穆輻U﹑內(nèi)燃機(jī)的挺桿等，應(yīng)始終維持原有的直線平衡狀態(tài)，保證不被壓彎。即構(gòu)件應(yīng)有足夠的保持原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能力。一般來說，工程中構(gòu)件應(yīng)有足夠的強(qiáng)度﹑剛度和穩(wěn)定性，但是對(duì)某些特殊構(gòu)件有相反的要求，例如當(dāng)載荷超過某一極限時(shí)，安全銷應(yīng)立即破壞，起到保護(hù)作用。為發(fā)揮緩沖作用，車輛的緩沖彈簧應(yīng)有較大的變形。為了提高構(gòu)件的強(qiáng)度﹑剛度和穩(wěn)定性，一般是采用加大構(gòu)件的尺寸或選用質(zhì)量好的材料。但是構(gòu)件的尺寸過大﹑材料過好，就會(huì)造成結(jié)構(gòu)笨重和浪費(fèi)。因此本課程將分析、計(jì)算構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度，為設(shè)計(jì)既經(jīng)濟(jì)又安全的構(gòu)件，提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。除了金屬材料外，當(dāng)前復(fù)合材料、高分子材料、結(jié)構(gòu)陶瓷等在工業(yè)部門廣泛應(yīng)用，如汽車制造業(yè)所采用的非金屬材料已經(jīng)超過總體積的70%以上，家用電器中塑料件的比例很高,用復(fù)合材料制成的運(yùn)動(dòng)器械深受歡迎。這些材料的力學(xué)特性也是工程力學(xué)所討論的。聚合物、復(fù)合材料和工業(yè)陶瓷等材料的力學(xué)性能，是傳統(tǒng)工程力學(xué)課程內(nèi)容的進(jìn)一步擴(kuò)展，非金屬材料力學(xué)已經(jīng)成為工程力學(xué)課程的一個(gè)組成部分。工程力學(xué)研究方法有理論方法、實(shí)驗(yàn)方法和計(jì)算機(jī)數(shù)值分析方法。在解決工程實(shí)際中的力學(xué)問題時(shí)，首先從實(shí)踐出發(fā)，經(jīng)過抽象化﹑綜合﹑歸納，運(yùn)用數(shù)學(xué)推演得到定理和結(jié)論，對(duì)于復(fù)雜的工程問題往往借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值分析和公式推導(dǎo)，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論和計(jì)算結(jié)果的正確性。在學(xué)習(xí)工程力學(xué)過程中，要注意觀察實(shí)際機(jī)械設(shè)備工作情況，以及日常生活中的力學(xué)現(xiàn)象，對(duì)力學(xué)理論要勤于思考﹑多做練習(xí)題，做到熟能生巧。通過掌握領(lǐng)會(huì)本課程的內(nèi)容，為學(xué)習(xí)機(jī)械后繼課程打好基礎(chǔ)，并能初步運(yùn)用力學(xué)理論和方法解決工程實(shí)際中的技術(shù)問題。剛體靜力學(xué)靜力學(xué)研究物體在力系作用下平衡的普遍規(guī)律，即研究物體平衡時(shí)作用在物體上的力應(yīng)該滿足的條件。在本篇的靜力學(xué)分析中，我們將物體視為剛體。剛體靜力學(xué)主要研究三方面的問題:（1）剛體的受力分析；（2）力系的等效與簡化；（3）力系的平衡條件及應(yīng)用。剛體靜力學(xué)的理論和方法在工程中有著廣泛的應(yīng)用，許多機(jī)器零件和結(jié)構(gòu)件，如機(jī)器的機(jī)架、傳動(dòng)軸、起重機(jī)的起重臂、車間天車的橫梁等，正常工作時(shí)處于平衡狀態(tài)或可以近似地看作平衡狀態(tài)。為了合理地設(shè)計(jì)這些零件或構(gòu)件的形狀、尺寸，選用合理的材料，往往需要首先進(jìn)行靜力學(xué)分析計(jì)算，然后對(duì)它們進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算。所以靜力學(xué)的理論和計(jì)算方法是機(jī)器零件和結(jié)構(gòu)件靜力設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。第一章剛體的受力分析第一節(jié)基本概念一、力的概念人用手拉懸掛著的靜止彈簧，人手和彈簧之間有了相互作用，這種作用引起彈簧運(yùn)動(dòng)和變形。運(yùn)動(dòng)員踢球，腳對(duì)足球的力使足球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀都發(fā)生變化。太陽對(duì)地球的引力使地球不斷改變運(yùn)動(dòng)方向而繞著太陽運(yùn)轉(zhuǎn)。鍛錘對(duì)工件的沖擊力使工件改變形狀等。人們?cè)陂L期的生產(chǎn)實(shí)踐中，通過觀察分析，逐步形成和建立了力的科學(xué)概念：力是物體之間的相互機(jī)械作用，這種作用使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化或使物體形狀發(fā)生改變。物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是力的外效應(yīng)，物體形狀的改變是力的內(nèi)效應(yīng)。實(shí)踐證明，力對(duì)物體的內(nèi)外效應(yīng)決定于三個(gè)要素：（1）力的大??；（2）力的方向；（3）力的作用點(diǎn)。力的作用點(diǎn)表示力對(duì)物體作用的位置。力的作用位置，實(shí)際中一般不是一個(gè)點(diǎn)，而往往是物體的某一部分面積或體積。例如人腳踩地，腳與地之間的相互壓力分布在接觸面上；物體的重力則分布在整個(gè)物體的體積上。這種分布作用的力稱為分布力。但有時(shí)力的作用面積不大，例如鋼索吊起機(jī)器設(shè)備，當(dāng)忽略鋼索的粗細(xì)時(shí)，可以認(rèn)為二者連接處是一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)鋼索拉力可以簡化為集中作用在這個(gè)點(diǎn)上的一個(gè)力。這樣的力稱為集中力。由此可見，力的作用點(diǎn)是力的作用位置的抽象化。為了度量力的大小必須首先確定力的單位，本書采用國際單位制，力的大小以牛頓為單位。牛頓簡稱牛（N），1000牛頓簡稱千牛（kN）。在力學(xué)中要區(qū)分兩類量：標(biāo)量和矢量。在確定某種量時(shí)，只需一個(gè)數(shù)就可以確定的量稱為標(biāo)量。例如長度﹑時(shí)間﹑質(zhì)量等都是標(biāo)量。在確定某種量時(shí)，不但要考慮它的大小，還要考慮它的方向，這類量稱為矢量，也稱向量。力﹑速度和加速度等都是矢量。矢量可用一具有方向的線段來表示。如圖1-1所示，線段的起點(diǎn)A（或終點(diǎn)B）表示力的作用點(diǎn)，沿力矢順圖1-1著箭頭的指向表示力的方向；線段的長度（按一定的比例尺）表示力的大小。本書中用黑體字母表示矢量，而以普通字母表示這矢量的模（即大?。?。圖1-1中F表示力矢量，F(xiàn)表示該力的大小（F=600N）。力系是指作用在物體上的一組力。作用在物體上的一個(gè)力系如果可以用另一個(gè)力系來代替而效應(yīng)相同，那么這兩個(gè)力系互為等效力系。若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則這個(gè)力稱為該力系的合力。二、質(zhì)點(diǎn)和剛體的概念如果我們仔細(xì)地考慮物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)情況總是比較復(fù)雜的。例如物體的落體運(yùn)動(dòng)，一方面物體受到重力作用，另一方面它還受到空氣的阻力，而空氣阻力又與落體的幾何形狀、大小及下降速度有關(guān)。但是在許多情況下，阻力所起的作用很小，運(yùn)動(dòng)的情況主要取決于重力，因而可以忽略空氣阻力，這樣物體的運(yùn)動(dòng)就可看作與幾何形狀、大小等無關(guān)。類似的例子很多，概括這些事實(shí)，我們可以看到，在某些問題中，物體的形狀和大小與研究的問題無關(guān)或者起的作用很小，是次要因素。為了首先抓住主要的因素和掌握它的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們有必要忽略物體的形狀和大小。這樣在研究問題中，不計(jì)物體形狀﹑大小，只考慮質(zhì)量并將物體視為一個(gè)點(diǎn)，即質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在空間占有確定的位置，常用直角坐標(biāo)系中x﹑y﹑z值表示。力對(duì)物體的外效應(yīng)是使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，力對(duì)物體的內(nèi)效應(yīng)是使物體發(fā)生變形。在通常情況下，機(jī)械零件、工程中的結(jié)構(gòu)件在工作時(shí)，受力產(chǎn)生的變形是很微小的，往往只有專門的儀器才能測量出來。在很多工程問題中，這種微小的變形對(duì)于研究物體的平衡問題影響極小，可以忽略不計(jì)。這樣忽略了物體微小的變形后便可把物體看作剛體。我們把剛體定義為由無窮多個(gè)點(diǎn)組成的不變形的幾何形體，它在力的作用下保持其形狀和大小不變。剛體是對(duì)物體加以抽象后得到的一種理想模型，在研究平衡問題時(shí)，將物體看成剛體會(huì)大大簡化問題的研究。同一個(gè)物體在不同的問題中，有時(shí)可看作質(zhì)點(diǎn)，有時(shí)要看作剛體，有時(shí)則必須看作變形體。例如當(dāng)研究月球運(yùn)行軌道時(shí)，月球可看作質(zhì)點(diǎn)；當(dāng)研究月球自轉(zhuǎn)時(shí)，月球要看作剛體。同樣，當(dāng)研究車輛離出發(fā)點(diǎn)距離時(shí)，車輛可看作質(zhì)點(diǎn)；當(dāng)研究車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)，車輛可看作剛體；當(dāng)研究車輛振動(dòng)時(shí)，車輛則要看作變形體。三、平衡的概念物體相對(duì)于地面保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)稱為物體的平衡狀態(tài)。例如橋梁﹑機(jī)床的床身﹑高速公路上勻速直線行駛的汽車等，都處于平衡狀態(tài)。物體的平衡是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的特殊形式。平衡規(guī)律遠(yuǎn)比一般的運(yùn)動(dòng)規(guī)律簡單。如果剛體在某一個(gè)力系作用下處于平衡，則此力系稱為平衡力系。力系平衡時(shí)所滿足的條件稱為力系的平衡條件。力系的平衡條件，在工程中有著十分重要的意義。在設(shè)計(jì)工程結(jié)構(gòu)的構(gòu)件或作勻速運(yùn)動(dòng)的機(jī)械零件時(shí)，需要先分析物體的受力情況，再運(yùn)用平衡條件計(jì)算所受的未知力，最后按照材料的力學(xué)性能確定幾何尺寸或選擇適當(dāng)?shù)牟牧掀贩N。有時(shí)對(duì)低速轉(zhuǎn)動(dòng)或直線運(yùn)動(dòng)加速度較小的機(jī)械零件，也可近似地應(yīng)用平衡條件進(jìn)行計(jì)算。人們?cè)谠O(shè)計(jì)各種機(jī)械零件或結(jié)構(gòu)物時(shí)，常常需要靜力分析和計(jì)算，平衡規(guī)律在工程中有著廣泛的應(yīng)用。第二節(jié)靜力學(xué)公理人們?cè)陂L期的生活和生產(chǎn)活動(dòng)中，經(jīng)過實(shí)踐﹑認(rèn)識(shí)﹑再實(shí)踐﹑再認(rèn)識(shí)的過程，不僅建立了力的概念，而且總結(jié)出力所遵循的許多規(guī)律，其中最基本的規(guī)律可歸納為以下五條：1.二力平衡原理受兩力作用的剛體，其平衡的充分必要條件是：這兩個(gè)力大小相等，方向相反，并且作用在同一直線上（圖1-2）。簡稱此兩力等值﹑反向﹑共線。即：F1=－F2圖1-2上述條件對(duì)于剛體來說，既是必要又是充分的；但是對(duì)于變形體來說，僅僅是必要條件。例如，繩索受兩個(gè)等值反向的拉力作用時(shí)可以平衡，而兩端受一對(duì)等值反向的壓力作用時(shí)就不能平衡。在兩個(gè)力作用下處于平衡的剛體稱為二力體。如果物體是某種桿件或構(gòu)件，有時(shí)也稱為二力桿或二力構(gòu)件。2.加減平衡力系原理在作用于剛體上的任何一個(gè)力系上，加上或減去任意的平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效果。 由二力平衡原理和加減平衡力系原理這兩條力的基本規(guī)律，可以得到下面的推論：作用在剛體上的一個(gè)力，可沿其作用線任意移動(dòng)作用點(diǎn)而不改變此力對(duì)剛體的效應(yīng)。這個(gè)性質(zhì)稱為力的可傳性，說明力是滑移矢量。在圖1-3中，作用在物體A點(diǎn)的力F，將它的作用點(diǎn)移到其作用線上的任意一點(diǎn)B，而力對(duì)剛體的作用效果不變。特別需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)必須考慮物體的變形時(shí)，這個(gè)性質(zhì)不再適用。例如圖1-4所示拉伸彈簧，力F作用于A處與作用于B處效果完全不同。圖1-3圖1-4根據(jù)力的可傳性，作用在剛體上的力其三要素成為大小﹑方向和作用線的位置。這樣力矢就可以從它作用線上的任一點(diǎn)畫出。本篇研究剛體靜力學(xué)，故在本篇以后的敘述中，“物體”也代表“剛體”。3．力的平行四邊形法則作用在物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成為一個(gè)合力，合力也作用于該點(diǎn)，其大小和方向由兩分力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線表示。圖1-5中R表示合力，F(xiàn)1﹑F2表示分力。這種求合力的方法，稱為矢量加法，用公式表示為R=F1+F2圖1-5上述求合力的方法，稱為力的平行四邊形法則。為了方便起見，在用矢量加法求合力時(shí)，可不必畫出整個(gè)平行四邊形，而是從A點(diǎn)作一個(gè)與力F1大小相等﹑方向相同的矢量AB，如圖1-6所示，過B點(diǎn)作一個(gè)與力F2大小相等﹑方向相同的矢量BC，則AC就是力F1和F2的合力R。這種求合力的方法，稱為力三角形法則。圖1-6推論（三力平衡匯交定理）當(dāng)剛體受三個(gè)力作用（其中二個(gè)力的作用線相交于一點(diǎn)）而處于平衡時(shí)，則此三力必在同一平面內(nèi)，并且它們的作用線匯交于一點(diǎn)。證明圖1-7中，剛體上A﹑B﹑C三點(diǎn)，分別作用著互成平衡的三個(gè)力F1﹑F2﹑F3，圖1-7它們的作用線都在平面ABC內(nèi)但不平行。F1與F2的作用線交于O點(diǎn)，根據(jù)力的可傳性原理，將此兩個(gè)力分別移至O點(diǎn)，則此兩個(gè)力的合力R必定在此平面內(nèi)且通過O點(diǎn)。而R必須和F3平衡。由力的平衡條件可知F3與R必共線，所以F3的作用線亦必通過力F1﹑F2的交點(diǎn)O，即三個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)。4．作用和反作用定律兩個(gè)物體間相互作用的一對(duì)力，總是同時(shí)存在并且大小相等﹑方向相反﹑作用線相同，分別作用在這兩個(gè)物體上。這就是作用和反作用定律。例如車刀在加工工件時(shí)（圖1-8），車刀作用于工件上切削力為P，同時(shí)工件必有反作用力P’加到車刀上。P和P’總是等值、反向、共線。圖1-8機(jī)械中力的傳遞，都是通過機(jī)器零件之間的作用與反作用的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的。借助這個(gè)定律，我們能夠從機(jī)器一個(gè)零件的受力分析過渡到另一個(gè)零件的受力分析。特別要注意的是必須把作用和反作用定律與二力平衡原理嚴(yán)格地區(qū)分開來。作用和反作用定律是表明兩個(gè)物體相互作用的力學(xué)性質(zhì)，而二力平衡原理則說明一個(gè)剛體在兩個(gè)力作用下處于平衡時(shí)兩個(gè)力應(yīng)滿足的條件。5.剛化原理變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。此公理提供了把變形體視為剛體模型的條件。如圖1-9所示，繩索在等值、反向、共線圖1-9的兩個(gè)力作用下處于平衡，如果將繩索剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。反之不一定成立。例如剛體在兩個(gè)等值、反向的壓力作用下平衡，如果將它用繩索代替就不能保持平衡了。 由此可見，剛體的平衡條件是變形體平衡的必要條件，而非充分條件。在剛體靜力學(xué)的基礎(chǔ)上，考慮變形體的特性，可以進(jìn)一步研究變形體的平衡問題。 以上最基本的五條規(guī)律也稱為靜力學(xué)公理，這些公理不可能用更簡單的原理去代替，也無須證明而被大家所公認(rèn)。靜力學(xué)公理概括了力的基本性質(zhì)，是建立靜力學(xué)理論的基礎(chǔ)。第三節(jié)力在直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三個(gè)坐標(biāo)軸如圖1-10所示，已知力F與三根軸的夾角分別為α﹑β﹑γ。此力在x﹑y﹑z軸上的投影X﹑Y﹑Z分別為：圖1-10（1-1）投影是代數(shù)量。例如當(dāng)900<1800時(shí)，X為負(fù)值。在一些機(jī)械問題中，人們往往習(xí)慣于采用二次投影法。設(shè)力F與z軸夾角為﹑在Oxy平面分量Fxy與x軸夾角為。如圖1-11所示，首先將力F投影到z軸和Oxy平面上，分別圖1-11得到Fz、Fxy，然后將Fxy再投影到x﹑y軸上。結(jié)果為：（1-2）設(shè)i﹑j﹑k為x﹑y﹑z軸的單位矢量，若以Fx﹑Fy﹑Fz分別表示F沿直角坐標(biāo)軸x﹑y﹑z的三個(gè)正交分量（圖1-12），則：F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk (1-3)圖1-12（1－4）如果已知投影X﹑Y﹑Z的值，力F的大小與方向可由式（1-4）確定。應(yīng)當(dāng)注意力的投影和分量的區(qū)別，首先力的投影是標(biāo)量，而力的分量是矢量；其次對(duì)于斜交坐標(biāo)系，力的投影不等于其分量的大小。例如圖1-13所示斜交坐標(biāo)系Oxy,力F沿Ox﹑圖1-13Oy軸的分量大小為OB和OC(圖a)，而對(duì)應(yīng)投影的大小是OD和OE（圖b），顯然它們不相同。已知圓柱斜齒輪所受的總嚙合力P=2828N，齒輪壓力角α=200，螺旋角β=250,如圖1-14所示。試計(jì)算齒輪所受的圓周力Pt﹑軸向力Pa和徑向力Pr。圖1-14解：取坐標(biāo)系如圖1-14所示，使x﹑y﹑z三個(gè)軸分別沿齒輪的軸向﹑圓周的切線方向和徑向，先把總嚙合力P向z軸和Oxy坐標(biāo)平面投影，分別為Z=－Psin=－2828sin200N=－967N，Pn=Pcos=2828cos200N=2657N再把力二次投影到x和y軸上，得到X=－Pnsinβ=-Pcossinβ=-2828cos200sin250N=-1123NY=－Pncosβ=-Pcoscosβ=-2828cos200cos250N=-2408N各分力的大小分別等于對(duì)應(yīng)投影的絕對(duì)值，即軸向力Pa大?。篜a=|X|=1123N，周向力Pt大?。篜t=|Y|=2408N徑向力Pr大?。篜r=|Z|=967N在數(shù)控車床上加工外圓時(shí)，已知被加工件S對(duì)車刀D的作用力（即切削抗力）的三個(gè)分力為：Fx=300N，F(xiàn)y=600N，F(xiàn)z=－1500N，如圖1-15所示，試求合力的大小和方向。圖1-15解：取直角坐標(biāo)系Oxyz如圖1-15b所示。合力R在x﹑y﹑z坐標(biāo)軸上的分力為Fx﹑Fy﹑Fz。由于力在直角坐標(biāo)軸上的投影和力沿相應(yīng)直角坐標(biāo)軸的分力在數(shù)值上相等，所以合力R的大小和方向可由公式（1-4）求得，即合力的大小為合力與x﹑y﹑z軸的夾角分別為第四節(jié)力對(duì)點(diǎn)的矩一、力矩的定義用扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺母時(shí)，螺母的軸線固定不動(dòng)，軸線在圖面上的投影為點(diǎn)O，如圖1-16所示。力F可以使扳手繞點(diǎn)O（即繞通過點(diǎn)O垂直于圖面的軸）轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，力F越大，螺釘就擰的越緊；力F的作用線與螺釘中心O的距離越遠(yuǎn)，就越省力。顯然，力F使扳手繞圖1-16點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力F的大小和力作用線到點(diǎn)O的垂直距離h。這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力對(duì)點(diǎn)的矩來度量。力對(duì)點(diǎn)的矩實(shí)際上是力對(duì)通過矩心且垂直于平面的軸的矩。設(shè)平面上作用一力F，在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)O稱為力矩中心，簡稱矩心，如圖1-17所圖1-17示。點(diǎn)O到力作用線的垂直距離h稱為力臂。力F對(duì)點(diǎn)O的矩用mo（F）表示或mo表示，計(jì)算公式為：mo（F）=±Fh(1-5)即在平面問題中力對(duì)點(diǎn)的矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，力矩的正負(fù)號(hào)通常規(guī)定為：力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為負(fù)。力矩在下列兩種情況下等于零：（1）力的大小等于零；（2）力的作用線通過矩心，即力臂等于零。力矩的量綱是[力]·[長度]，在國際單位制中以牛頓·米(N·m)為單位。二、平面問題中力對(duì)點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式在力對(duì)點(diǎn)的矩的計(jì)算中，還常用解析表達(dá)式。由圖1-18可見，力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩圖1-18mo（F）=Fh=Frsin(-)=Frsincos-Frcossin=rcos﹒Fsin-rsin﹒Fcos由于力F作用點(diǎn)A坐標(biāo)x=rcos,y=rsin；力F在x軸投影X=Fcos,在軸y投影為Y=Fsin。所以mo（F）=xY-yX(1-6)一旦知道力作用點(diǎn)的坐標(biāo)x﹑y和力在坐標(biāo)軸上的投影X﹑Y，利用式（1-6）便可計(jì)算出力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)之矩，式（1-6）稱為力矩的解析表達(dá)式。例1-3力F作用在托架上，如圖1-19所示。已知F=480N，a=0.2m，b=0.4m。試求力F對(duì)B點(diǎn)之矩。圖1-19解直接計(jì)算矩心B到力F作用線的垂直距離h比較麻煩?，F(xiàn)建立直角坐標(biāo)系Bxy，將力F沿水平方向x和垂直方向y分解由公式(1-6)得到力F對(duì)B點(diǎn)之矩例1-4剎車踏板如圖1-20所示。已知F=300N，a=0.25m，b=c=0.05m，推桿頂力S為水平方向，F(xiàn)與水平線夾角α=300。試求踏板平衡時(shí)，推桿頂力S的大小。圖1-20解踏板AOB為繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿，力F對(duì)O點(diǎn)矩與力S對(duì)O點(diǎn)矩相互平衡。力F作用點(diǎn)A坐標(biāo)為：x=b=0.05m, y=a=0.25m力F在x﹑y軸投影為：X=－Fcos300=－260N Y=－Fsin300=－150N由公式（1-6）得到力F對(duì)O點(diǎn)的矩mo（F）=xY-yX=0.05×(－150)－0.25×(－260)N=57.5N力S對(duì)O點(diǎn)的矩等于S×c，由杠桿平衡條件Σmo（F）=0，得到 三、空間問題中力對(duì)點(diǎn)的矩 力矩是度量力對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量。對(duì)空間三維問題，我們需要建立力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量表達(dá)式。 設(shè)O點(diǎn)為空間的任意定點(diǎn)，自O(shè)點(diǎn)至力F的作用點(diǎn)A引矢徑r，如圖1-21所示。r和F的矢積（叉積）稱為力F對(duì)O點(diǎn)的矩，記作mo(F)，它是一個(gè)矢量，O點(diǎn)稱為矩心。即mo(F)=r×F （1-7）圖1-21注意式（1-5）中mo（F）為代數(shù)量（標(biāo)量），而式（1-7）中mo(F)為矢量。設(shè)力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y，z），i﹑j﹑k為x﹑y﹑z軸上單位矢量，力F用坐標(biāo)軸上的投影X﹑Y﹑Z表示為：F=Xi+Yj+Zk (a)矢量叉積運(yùn)算中i×i=j×j=k×k=0，i×j=－j×i=k，j×k=－k×j=i，k×i=－i×k=j。以mox﹑moy﹑moz分別表示力矩mo(F)在x﹑y﹑z軸上的投影，由于r=xi+yj+zk (b)將(a)、(b)式代入（1-7）式，根據(jù)矢量叉積的運(yùn)算規(guī)則，得到mo(F)=moxi+moyj+mozk=r×F=(xi+yj+zk)×(Xi+Yj+Zk)=(yZ-zY)i+(yX-xZ)j+(xY-yX)k（1-8）于是得到（1－9）將矢量叉積r×F用三階行列式表示：（1－10）在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算常運(yùn)用公式（1-9）編制程序，公式（1-10）簡捷明了便于記憶。本節(jié)公式涉及高等數(shù)學(xué)中的矢量叉積﹑行列式等內(nèi)容，希望同學(xué)們多練習(xí)﹑多計(jì)算，做到熟能生巧。例1-5如圖1-22所示，大小為200N的力F平行于Oxz平面,作用于曲柄的右端A點(diǎn)，曲柄在Oxy平面內(nèi)。試求力F對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的力矩mo(F)。圖1-22解曲柄上的右端A點(diǎn)坐標(biāo)為：x=－0.1m，y=0.2m，z=0.0力F在x﹑y﹑z軸上的投影為X=Fsin300=200×0.5000N=100.0NY=0.0Z=－Fcos300=－200×0.8660N=－173.2N力F對(duì)O點(diǎn)矩為即Mox=－34.64N·m，Moy=－17.32N·m，Moz=－20.0N·m。例1-6如圖1-23所示，已知力F作用點(diǎn)A坐標(biāo)（3，4，5），單位為米；對(duì)O點(diǎn)力矩mo(F)=－6i+7j－2k，單位為牛頓﹒米。試求力F的大小和方向。圖1-23解力作用點(diǎn)A坐標(biāo)為：x=3m，y=4m，z=5m力F對(duì)O點(diǎn)矩在坐標(biāo)軸上投影為mox=－6N·m，moy=7N·m，moz=－2N·m力矢量表達(dá)為：F=Xi+Yj+Zk將坐標(biāo)值﹑力和力矩投影代入式（1-9）得到：求解上述三元一次方程組，得到X=Y=2N，Z=1N。將X﹑Y﹑Z代入公式（1-4）求得力F的大小:力F與x﹑y﹑z軸夾角分別為第五節(jié)力對(duì)軸的矩在機(jī)電系統(tǒng)中，存在著大量繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的構(gòu)件，例如電機(jī)轉(zhuǎn)子﹑齒輪﹑飛輪﹑機(jī)床主軸等。力對(duì)軸的矩是度量作用力對(duì)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體作用效果的物理量。我們討論圖1－24所示手推門的情況。設(shè)門繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其上A點(diǎn)受力F的作用。將力F沿z軸和垂直于z軸的H平面分解為Fz和Fxy兩個(gè)分量。實(shí)踐表明，分力Fz不能使剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只有分力圖1－24Fxy才能使剛體產(chǎn)生繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以力F對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于分力Fxy對(duì)O點(diǎn)的矩，稱為力F對(duì)z軸的矩，以符號(hào)mz(F)表示。擴(kuò)展到一般情形，如圖1-25所示，定義：力F對(duì)任意軸z的矩，等于力F在垂直于z軸的H平面上的分力Fxy對(duì)z軸與平面H交點(diǎn)O的矩。圖1-25力對(duì)軸的矩其正負(fù)號(hào)按照右手螺旋規(guī)則確定。即從矩軸的正端向另一端看去，力使剛體繞矩軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正號(hào)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取負(fù)號(hào)。根據(jù)上面的定義可知，力對(duì)軸的矩為零的條件是：若力F的作用線與軸平行，則Fxy等于零，故力對(duì)軸的矩為零;若力F的作用線與軸相交，則力臂為零，故力對(duì)軸的矩也為零。概括上述兩種情況，得到：當(dāng)力的作用線與軸共面時(shí)，力對(duì)軸的矩為零。當(dāng)力不為零并且它的作用線與軸是異面直線時(shí)，力對(duì)軸的矩不等于零。力對(duì)軸的矩的單位是牛頓·米(N·m)。討論圖1-26所示的一般情形，設(shè)力F的作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為x﹑y﹑z，力F沿著坐標(biāo)軸的分力分別為Fx﹑Fy﹑Fz，在坐標(biāo)軸上的投影為X﹑Y﹑Z。按力對(duì)軸的矩的定義得到力對(duì)x﹑y﹑z坐標(biāo)軸的矩的解析表達(dá)式圖1-26（1－11）對(duì)照式（1-9）﹑（1-11），得到（1-12）注意力F對(duì)任意軸z的矩mx(F)﹑my(F)﹑mz(F)為代數(shù)量，是標(biāo)量；而力對(duì)點(diǎn)的矩mo(F)是矢量，mo(F)=moxi+moyj+mozk，mox﹑moy和moz是mo(F)在x﹑y﹑z軸的投影。由式（1-12）得到力矩關(guān)系定理：力F對(duì)點(diǎn)O的力矩矢mo(F)在Oxyz坐標(biāo)軸上的投影等于力F對(duì)x﹑y﹑z軸的力矩。例1-7構(gòu)件OA在A點(diǎn)受到作用力F=1000N，方向如圖1-27a所示。圖中A點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)，尺寸如圖。試求力F對(duì)x﹑y﹑z坐標(biāo)軸的矩mx(F)﹑my(F)﹑mz(F)。圖1-27解力F作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為x=－0.05m，y=0.06m，z=0.0力F在x﹑y﹑z軸上的投影為X=－Fcos450×sin600=－1000×0.707×0.866N=－612NY=Fcos450×cos600=1000×0.707×0.500N=354NZ=Fsin450=1000.0×0.707N=707N將各個(gè)量代入式（1-11），得力F對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的矩分別為例1-8半徑為r的斜齒輪，其上作用一力F，如圖1-28a所示，求力F對(duì)y軸的矩。圖1-28解將力F沿x、y、z軸分解，其大小為(a)方法一：由于Fy與y軸平行，F(xiàn)z的作用線與y軸相交，故它們對(duì)y軸的矩等于零。由圖b可以看出Fx對(duì)y軸的矩為方法二：力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)為x=0，y=a，z=r(b)將(a)、(b)式代入式（1-11），得第六節(jié)約束和約束反力在空間自由運(yùn)動(dòng)，其位移不受限制的物體稱為自由體。例如飛行中的飛機(jī)﹑熱氣球﹑火箭等。而某些物體的位移受到事先給定的限制，不可能在空間自由運(yùn)動(dòng)，這種物體稱為非自由體。例如高速鐵路上列車受鐵軌的限制只能沿軌道方向運(yùn)動(dòng)；數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)受到床身導(dǎo)軌的限制只能沿導(dǎo)軌移動(dòng)；電機(jī)轉(zhuǎn)子受到軸承的限制只能繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。事先給定的限制物體運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。對(duì)非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體也可稱為約束。例如鐵軌對(duì)列車，導(dǎo)軌對(duì)工作臺(tái)，軸承對(duì)轉(zhuǎn)子等都是約束。既然約束能夠限制物體沿某些方向的位移，因而當(dāng)物體沿著約束所限制的方向有運(yùn)動(dòng)趨勢時(shí)，約束就與物體之間互相存在著作用力。約束作用于物體以限制物體沿某些方向發(fā)生位移的力稱為約束反力或約束力，簡稱反力。約束反力以外的其它力統(tǒng)稱為主動(dòng)力，例如電磁力﹑切削力﹑流體的壓力﹑萬有引力等，它們往往是給定的或可測定的。約束反力的方向必與該約束所能阻礙的運(yùn)動(dòng)方向相反。應(yīng)用這個(gè)準(zhǔn)則，可以確定約束反力的方向或作用線的位置。例如地面對(duì)人的約束是阻礙人向地下運(yùn)動(dòng)，其約束反力只能向上。約束反力的大小往往是未知的，在靜力學(xué)問題中，約束反力與主動(dòng)力組成平衡力系，因此可用平衡條件求出約束反力。機(jī)械中大量平衡問題是非自由體的平衡問題。任何非自由體都受到約束力的作用，因此研究約束及其反力的特征對(duì)于解決靜力平衡問題具有十分重要的意義。下面介紹在工程實(shí)際中常遇到的幾種基本約束類型和確定約束反力的方法。一、柔索約束工程中鋼絲繩﹑皮帶﹑鏈條﹑尼龍繩等都可以簡化為柔軟的繩索，簡稱柔索。討論非常簡單的繩索吊掛物體情況，如圖1-29a所示。由于柔軟的繩索本身只能承受拉力（圖1-29b），所以它給物體的約束反力也只能是拉力（圖1-29c）。因此，柔索對(duì)物體的約束反力，作用在接觸點(diǎn)，方向沿著柔索背離物體（即柔索承受拉力）。通常約束反力用T或S表示。(a)(b)(c)圖1-29再討論鐵鏈吊起減速箱蓋（圖1-30a）。箱蓋重力G，將鐵鏈視為柔索，只能承受拉力，根據(jù)約束反力的性質(zhì)，鐵鏈作用于箱蓋的力為SB﹑SC，鐵鏈作用于圓環(huán)A的力為T﹑TB﹑TC，其方向如圖1-30b所示。皮帶同樣只能承受拉力。當(dāng)繞過皮帶輪時(shí)，約束反力沿輪緣的切線方向，如圖1-31所示。圖1-30圖1-31二、具有光滑接觸表面的約束在所研究的問題中，如果兩個(gè)物體接觸面之間的摩擦力很小，可以忽略不計(jì)時(shí)，則認(rèn)為接觸面是光滑的。例如支撐物體的固定平面（圖1-32a）﹑嚙合齒輪的齒面（圖1-32b）﹑直桿擱置在凹槽中（圖1-33）﹑重為G的光滑圓軸擱在V形鐵上（圖1-34）。討論圖1-32所示情況，支承面不能限制物體沿約束表面切線的位移，只能阻礙物體沿接觸表面法線方向的位移。因此，光滑接觸面對(duì)物體的約束反力，(a)(b)圖1-32圖1-33圖1-34作用在接觸點(diǎn)處，作用線方向沿接觸表面的公法線，并指向物體（即物體受壓力）。這種約束反力稱為法向反力，用N表示。如圖1-32a中的NA和圖1-32b中NB。圖1-33中直桿在A﹑B﹑C三點(diǎn)受到約束，按照光滑接觸面的性質(zhì)，約束力NA﹑NB和NC分別為方向沿相應(yīng)接觸面公法線。圖1-34中，圓軸受到V型鐵的約束力為NA﹑NB，它們的方向垂直于相應(yīng)的接觸面。三、光滑圓柱鉸鏈約束光滑圓柱鉸鏈約束是由兩個(gè)帶有圓孔的構(gòu)件并由圓柱銷釘連接構(gòu)成。它在機(jī)械工程中有許多具體應(yīng)用形式。1.光滑圓柱銷釘連接這類鉸鏈用圓柱形銷釘C將兩個(gè)物體A﹑B連接在一起，如圖1-35a﹑b所示，并且假定銷釘和釘孔是光滑的。這樣被約束的兩個(gè)構(gòu)件只能繞銷釘?shù)妮S線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種約束常采用圖1-35c所示簡圖表示。圖1-35在圖1-36中，如果忽略不計(jì)微小的摩擦，銷釘與物體實(shí)際上是以兩個(gè)光滑圓柱面相接圖1-36觸的。當(dāng)物體受主動(dòng)力作用時(shí)，柱面間形成線接觸，若把K點(diǎn)視為接觸點(diǎn)，按照光滑面約束反力的特點(diǎn)，可知銷釘給物體的約束反力應(yīng)沿接觸點(diǎn)K的公法線，必通過銷釘中心（即鉸鏈中心），但因主動(dòng)力的方向不能預(yù)先確定，所以約束反力方向也不能預(yù)先確定。由此可得如下結(jié)論：圓柱形銷釘連接的約束反力必通過鉸鏈中心，方向不定。約束反力用兩個(gè)正交分力X﹑Y來表示。機(jī)械工程中采用圓柱銷釘連接的實(shí)例很多，圖1-37所示為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的簡圖。曲柄OA與連桿AB、連桿AB與滑塊B分別用光滑圓柱銷釘A﹑B連接起來的。圖1-37需要指出，對(duì)光滑圓柱銷釘連接的兩個(gè)構(gòu)件進(jìn)行受力分析時(shí)，通常把光滑圓柱銷釘看作固定在其中一個(gè)構(gòu)件上，一般不畫銷釘受力圖，只有在需要分析圓柱銷釘?shù)氖芰r(shí)才把銷釘分離出來單獨(dú)研究。2.向心軸承軸承是機(jī)器中常見的一種約束，它的性質(zhì)與鉸鏈約束性質(zhì)相同，只是在這里軸本身是被約束的物體，向心軸承包括向心滑動(dòng)軸承（圖1-38）和向心滾動(dòng)軸承（圖1-39）。向心軸承在受力分析上與光滑圓柱銷釘連接相同。對(duì)于向心滑動(dòng)軸承，轉(zhuǎn)軸的軸頸受到約束反力R的圖1-38圖1-39作用，反力R的作用線在垂直于軸線的對(duì)稱平面內(nèi)，其方向不能預(yù)先確定，故采用兩個(gè)正交分力X﹑Y表示。同樣，對(duì)于向心滾動(dòng)軸承，在垂直于軸線的平面內(nèi)，軸承只限制軸的移動(dòng)而不限制軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，所受約束性質(zhì)與光滑圓柱銷釘連接相同，約束反力可用兩個(gè)正交分力X﹑Y表示。3.固定鉸鏈支座工程中常用鉸鏈將機(jī)器人相鄰構(gòu)件連接起來，橋梁﹑起重機(jī)的起重臂等構(gòu)件同支座或機(jī)架之間也采用鉸鏈連接。當(dāng)轉(zhuǎn)軸軸線在空間固定不動(dòng)時(shí)，構(gòu)成固定鉸鏈支座。圖1－40a表示橋梁A端用固定鉸鏈支座支承，其構(gòu)造如圖1－40b所示。固定鉸鏈支座的約束反力往往不能預(yù)先確定，因此采用兩個(gè)正交分力X﹑Y表示(圖1－40c）。圖1-404.可動(dòng)鉸鏈支座圖1-40a橋梁的B端為輥軸支座支承。如果在支座和支承面之間有輥軸，就稱為可動(dòng)鉸鏈支座或輥軸支座，其構(gòu)造如圖1-40d所示。因?yàn)橛辛溯佪S，且支承面視為光滑，支座對(duì)結(jié)構(gòu)沿支承面的運(yùn)動(dòng)沒有限制，所以可動(dòng)鉸鏈支座的約束反力R垂直于支承面。圖1-40e為可動(dòng)鉸鏈支座的簡化圖。當(dāng)橋梁因熱脹冷縮而長度發(fā)生變化時(shí)，可動(dòng)鉸鏈支座相應(yīng)地沿支承面移動(dòng)，從而避免了橋梁產(chǎn)生溫度應(yīng)力。四、光滑球鉸鏈約束球鉸鏈結(jié)構(gòu)如圖1-41a所示，桿端為球形，它被約束在一個(gè)固定的球窩中，球和球窩半徑近似相等，球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)球心是固定不動(dòng)的，桿可以繞球心在空間任意轉(zhuǎn)動(dòng)。球鉸鏈應(yīng)用于空?qǐng)D1-41間問題，例如電視機(jī)室內(nèi)天線與基座的連接，機(jī)床上照明燈具的固定，汽車上變速操縱桿的固定以及照相機(jī)與三腳架之間的接頭等。對(duì)于光滑球鉸鏈約束，由于不計(jì)摩擦，并且球只能繞球心相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以約束反力必通過球心并且垂直于球面，即沿半徑方向。因?yàn)轭A(yù)先不能確定球與球窩接觸點(diǎn)的位置，所以約束反力在空間的方位不能確定。圖1-41b為球鉸鏈簡圖的表示方法。約束反力以三個(gè)正交分量X0﹑Y0﹑Z0表示。五、鏈桿約束兩端用光滑鉸鏈與其它物體相連且不計(jì)自重的剛性直桿稱為鏈桿。只受兩個(gè)力作用并且平衡的構(gòu)件稱為二力桿。因鏈桿只是在兩端各受到鉸鏈作用于它的一個(gè)力而處于平衡，故屬于二力桿，這兩個(gè)力必定沿轉(zhuǎn)軸中心的連線。故鏈桿對(duì)物體的約束反力也必沿著鏈桿軸線，指向不能預(yù)先確定。圖1-42a中畫出了鏈桿的簡化圖，鏈桿所產(chǎn)生的約束反力SA如圖1-42b所示。圖1-42以上介紹的幾種約束是比較常見的類型，在實(shí)際機(jī)械工程中應(yīng)用的約束有時(shí)不完全是上述各種典型的約束形式，這時(shí)我們應(yīng)該對(duì)實(shí)際約束的構(gòu)造及其性質(zhì)進(jìn)行全面考慮，抓住主要矛盾，忽略次要因素，將其近似地簡化為相應(yīng)的典型約束形式，以便計(jì)算分析。第七節(jié)物體的受力分析和受力圖在工程實(shí)際中，為了求出未知的約束反力，需要根據(jù)已知力，應(yīng)用平衡條件求解。為此先要確定構(gòu)件受到幾個(gè)力，各個(gè)力的作用點(diǎn)和力的作用方向，這個(gè)分析過程稱為物體的受力分析。作用在物體上的力可分為主動(dòng)力和被動(dòng)力兩類。對(duì)于物體的約束反力是未知的被動(dòng)力。約束反力以外的其它力稱為主動(dòng)力。靜力學(xué)中要研究力系的簡化和力系的平衡條件，就必須分析物體的受力情況。為此我們把所研究的非自由體解除全部約束，將它所受的全部主動(dòng)力和約束反力畫在其上，這種表示物體受力的簡明圖形，稱為受力圖。為了正確地畫出受力圖，應(yīng)當(dāng)注意下列問題：1.明確研究對(duì)象所謂研究對(duì)象就是所要研究的受力體，它往往是非自由體。求解靜力學(xué)平衡問題，首先要明確研究對(duì)象是哪一個(gè)物體。明確后要分析它所受的力。在研究對(duì)象不明，受力情況不清的情況下，不要忙于畫受力圖。2.取分離體，畫受力圖明確研究對(duì)象后，我們把研究對(duì)象從它周圍物體的聯(lián)系中分離出來，把其它物體對(duì)它的作用以相應(yīng)的力表示，這就是取分離體﹑畫受力圖的過程。分離體是解除了約束的自由體，它受到主動(dòng)力和約束反力的作用。畫出主動(dòng)力相對(duì)容易一些，分析受力的關(guān)鍵在于確定約束反力的方向，因此要特別注意判斷約束反力的作用點(diǎn)﹑作用線方向和力的指向。建議根據(jù)以下三條原則來判斷約束反力：將約束按照性質(zhì)歸入某類典型約束，例如光滑接觸面﹑光滑圓柱鉸鏈﹑鏈桿等，根據(jù)典型約束的約束反力特征，可以確定反力的作用點(diǎn)﹑作用線方向和力的指向。這是分析約束反力的基本出發(fā)點(diǎn)。運(yùn)用二力平衡條件或三力平衡匯交定理確定某些約束反力。例如構(gòu)件受三個(gè)不平行的力作用而處于平衡，已知兩力作用線相交于一點(diǎn)，第三個(gè)力為未知的約束反力，則此約束反力的作用線必通過此交點(diǎn)。按照作用力和反作用力規(guī)律，分析兩個(gè)物體之間的相互作用力。討論作用力和反作用力時(shí)，要特別注意明確每一個(gè)力的受力體和施力體。研究對(duì)象是受力體，要把其它物體對(duì)它的作用力畫在它的受力圖上。當(dāng)研究對(duì)象改變時(shí)，受力體也隨著改變。下面舉例說明受力圖的畫法。例1-9質(zhì)量為m的球，用繩掛在光滑的鉛直墻上，如圖1-43a所示。試畫出此球的受力圖。圖1-43解（1）以球?yàn)檠芯繉?duì)象，畫出圖1-43b所示分離體。解除繩和墻的約束；（2）畫出主動(dòng)力G；（3）畫出繩的約束反力T和光滑面約束反力NA。例1-10兩個(gè)圓柱放在圖1-44a所示的槽中，圓柱的重量分別為G1﹑G2，已知接觸處均光滑。試分析每個(gè)圓柱的受力情況。圖1-44解（1）分析圓柱Ⅰ的受力情況。取圓柱Ⅰ為研究對(duì)象，畫出分離體；圓柱Ⅰ的主動(dòng)力為G1；圓柱Ⅰ在A和B兩處都受到光滑面約束，其反力NA﹑NB都通過圓柱Ⅰ的中心O1。圓柱Ⅰ的受力圖如圖1-44b所示。（2）分析圓柱Ⅱ的受力情況。取圓柱Ⅱ?yàn)檠芯繉?duì)象，畫出分離體；圓柱Ⅱ的主動(dòng)力除了自重G2外，還有上面圓柱Ⅰ傳來的壓力，注意到與NB為作用力和反作用力，B﹑C﹑D三處都受到光滑面約束，其反力﹑Nc﹑ND都通過圓柱Ⅱ的中心O2。并且=－NB。圓柱Ⅱ的受力圖如圖1-44c所示。例1-11如圖1-45a所示，梁AB的B端受到載荷P的作用，A端以光滑圓柱鉸鏈固定于墻上，C處受直桿支撐，C﹑D均為光滑圓柱鉸鏈，不計(jì)梁AB和直桿CD的自身重量，試畫出桿CD和梁AB的受力圖。圖1-45解先分析桿CD，已知桿CD處于平衡狀態(tài)，由于桿上只受到兩端鉸鏈C﹑D的約束反力作用，且桿的重量不計(jì)，即直桿CD在RC和RD作用下處于平衡，是二力構(gòu)件中的鏈桿。所以RC和RD作用線沿CD連線，并假設(shè)它們的指向如圖1-45b所示。再分析桿AB受力情況，力P垂直向下，桿CD通過鉸鏈C對(duì)AB桿的作用力，為RC的反作用力，方向?yàn)閺腄指向C，與力P的作用線相交于K點(diǎn)，由三力平衡匯交定理得到RA必沿AK方向，如圖1-45c所示。至于約束反力的大小和指向，需要下一章介紹的平衡條件求得。例1-12如圖1-46a所示的三鉸拱橋，由左﹑右兩拱鉸接而成。設(shè)各拱自重不計(jì)，在拱AC上作用有載荷P。試分別畫出拱AC和CB的受力圖。圖1-46解（1）先分析受力比較簡單的拱BC。因?yàn)椴豢紤]拱BC的自重，并且只有B﹑C兩處受到鉸鏈約束，因此拱BC為二力構(gòu)件。在鉸鏈中心B﹑C處分別受RB﹑RC兩力的作用，方向如圖1-46b所示，且RB=－RC。（2）取拱AC為研究對(duì)象。由于不考慮自重，因此主動(dòng)力只有載荷P。拱在鉸鏈C處受有拱BC給它的約束反力的作用，根據(jù)作用和反作用定律，=－RC。拱在A處受到固定鉸鏈支座給它的約束反力RA的作用，由于拱AC在P﹑和RA三個(gè)力作用下保持平衡，根據(jù)三力平衡匯交定理，確定鉸鏈A處約束反力RA的方向。點(diǎn)D為力P和作用線的交點(diǎn)，當(dāng)拱AC平衡時(shí)，反力RA的作用線必通過點(diǎn)D，至于RA的指向，需要用下一章的平衡條件確定。拱AC的受力圖如1-46c所示。例1-13液壓夾具如圖1-47a所示。已知油缸中油壓合力為P，沿活塞桿軸線作用于活塞，缸壁對(duì)活塞的作用力忽略不計(jì)。四桿AB﹑BC﹑AD﹑DE均為光滑鉸鏈連接，B﹑D兩個(gè)滾輪壓緊工件。桿和輪的重量均略去不計(jì)，接觸均為光滑。試畫出銷釘A﹑桿AB﹑滾輪B的受力圖。圖1-47解作用在活塞上的壓力通過復(fù)合鉸鏈A推動(dòng)連桿AB和AD，使?jié)L輪B和D壓緊壓板和工件。由于桿AB和桿AD兩端均為圓柱鉸鏈并且不計(jì)桿自重，所以AB和AD都是二力桿。選擇銷釘A為研究對(duì)象，二力桿AB對(duì)其作用力S1沿BA方向，二力桿AD對(duì)A作用力S2沿DA方向，其受力圖如圖1-47b所示。由作用與反作用定律得到，二力桿AB受到銷釘A的作用力，與S1等值﹑反向﹑共線（作用在不同物體上）；滾輪B對(duì)AB作用力，應(yīng)與等值﹑反向﹑共線（作用在同一物體上）。二力桿AB受力圖如圖1-47c所示。最后選擇滾輪B為研究對(duì)象，設(shè)滾輪B與壓板之間為光滑接觸，故壓板對(duì)滾輪的約束反力N沿接觸面的公法線。由于AB和BC均為二力桿，它們對(duì)滾輪B的約束反力S3﹑S4分別沿BA﹑BC方向。滾輪B的受力圖如圖1-47d所示。例1-14如圖1－48a所示，梯子的兩部分AB﹑AC由繩DE連接，A處為光滑鉸鏈。梯子放在光滑的水平面上，自重不計(jì)。質(zhì)量為m的人站在AB的中點(diǎn)H處。試畫出整個(gè)系統(tǒng)受力圖以及繩子DE和梯子的AB﹑AC部分的受力圖。圖1-48解(1)討論整個(gè)系統(tǒng)受力情況，主動(dòng)力為G=mg，按照光滑接觸面性質(zhì)，B﹑C處受到沿法線方向的約束反力NB﹑NC，受力圖如圖1-48b所示。(2)繩子DE的受力分析。繩子兩端D﹑E分別受到梯子對(duì)它的拉力TD﹑TE的作用，如圖1-48c所示。（3）梯子AB部分在H處受到人對(duì)它的作用力G，在鉸鏈A處受到梯子AC部分給它的約束反力XA和YA的作用。在點(diǎn)D處受到繩子對(duì)它的拉力的作用。在點(diǎn)B處受到光滑地面對(duì)它的法向反力NB的作用。梯子AB部分的受力圖如圖1－48d所示。（4）梯子AC部分在鉸鏈A處受到梯子AB部分給它的約束反力和的作用。在點(diǎn)E處受到繩子對(duì)它的拉力的作用。在點(diǎn)C處受到光滑地面對(duì)它的法向反力NC的作用。梯子AC部分的受力圖如圖1-48e所示。上題中存在著這樣一些成對(duì)出現(xiàn)的作用力與反作用力：=－XA﹑=－YA﹑=－TD﹑=－TE，在討論整個(gè)系統(tǒng)受力情況時(shí)，這些糺統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力。內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)且等值﹑反向﹑共線，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的作用效果相互抵消。系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為外力。選擇不同的研究對(duì)象，內(nèi)力與外力之間可以相互轉(zhuǎn)化，例如在整個(gè)系統(tǒng)受力分析時(shí)，﹑和是內(nèi)力；在梯子AC部分受力分析時(shí)，﹑和便是外力?？梢?，內(nèi)力與外力的區(qū)分，只有相對(duì)于某一確定的研究對(duì)象才有意義。正確地畫出物體的受力圖，是分析解決力學(xué)問題的基礎(chǔ)。在本節(jié)開頭已經(jīng)介紹了畫受力圖時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題，通過上面幾個(gè)例題，同學(xué)們對(duì)畫受力圖已有了一些認(rèn)識(shí)，下面我們總結(jié)一下正確進(jìn)行受力分析﹑畫好受力圖的關(guān)鍵點(diǎn)：1.選好研究對(duì)象。根據(jù)解題的需要，可以取單個(gè)物體或整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取由幾個(gè)物體組成的子系統(tǒng)為研究對(duì)象。2.正確確定研究對(duì)象受力的數(shù)目。既不能少畫一個(gè)力，也不能多畫一個(gè)力。力是物體之間相互的機(jī)械作用，因此受力圖上每個(gè)力都要明確它是哪一個(gè)施力物體作用的，不能憑空想象。物體之間的相互作用力可分為兩類：第一類為場力，例如萬有引力﹑電磁力等；第二類為物體之間相互的接觸作用力，例如壓力﹑摩擦力等。因此分析第二種力時(shí)，必須注意研究對(duì)象與周圍物體在何處接觸。3.一定要按照約束的性質(zhì)畫約束反力。當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)受到幾個(gè)約束的作用時(shí)，應(yīng)分別根據(jù)每個(gè)約束單獨(dú)作用情況，由該約束本身的性質(zhì)來確定約束反力的方向，絕不能按照自己的想象畫約束反力。4.當(dāng)幾個(gè)物體相互接觸時(shí)，它們之間的相互作用關(guān)系要按照作用與反作用定律來分析。5.分析系統(tǒng)受力情況時(shí)，只畫外力，不畫內(nèi)力。習(xí)題解釋下列名詞：力的內(nèi)效應(yīng)﹑力的外效應(yīng)﹑等效力系﹑質(zhì)點(diǎn)﹑剛體。合力一定比分力大，對(duì)嗎？平衡狀態(tài)一定靜止嗎？什么是平衡力系？什么是二力桿？二力桿一定是直桿嗎？凡是兩端用鉸鏈連接的直桿都是二力桿，對(duì)嗎？什么是作用在剛體上的力的三要素？什么是三力平衡匯交定理？作用在剛體上的三個(gè)力互成平衡時(shí)，這三個(gè)力的作用線是否在同一個(gè)平面？如圖1-49所示，已知力F1=60N,=300；力F2=80N,=450。試用力的平行四邊形法則、力的三角形法則分別求合力R的大小以及與F1的夾角β。圖1-49已知F1﹑F2﹑F3三個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)剛體上，它們的作用線位于同一平面，作用點(diǎn)分別為A﹑B﹑C，如圖1-50所示。已知力F1﹑F2的作用線方向，試求力F3的作用線方向。圖1-50圖1-51所示圓柱斜齒輪，其上受嚙合力Pn的作用,大小為2kN。已知斜齒輪的螺旋角，壓力角。試求力Pn沿x﹑y和z軸的分力。圖1-51如圖1-52所示，試計(jì)算下列力F對(duì)點(diǎn)O的矩。圖1-52力F作用在曲軸的曲柄中點(diǎn)A處，如圖1-53所示。已知，F(xiàn)=400N，c=1.0m，r=0.125m。試計(jì)算力F對(duì)O點(diǎn)的矩以及對(duì)坐標(biāo)軸y的矩。圖1-53已知接觸面為光滑表面，試畫出圖1-54所示圓球的受力圖。圖1-54不計(jì)繩子、桿的質(zhì)量，試畫出圖1-55中指定物體的受力圖。左半拱AC、右半拱BC被鋼纜吊起的鋼管梁AB鋼架AB動(dòng)滑輪、定滑輪梁AB(a)(e)(f)圖1-55下列各物體的受力圖是否有錯(cuò)誤？如何改正？圖1-561-16畫出下列AB桿的受力圖。圖1-57第二章力系的簡化和平衡方程為了研究方便，我們將力系按其作用線的分布情況進(jìn)行分類。各力的作用線處在同一平面內(nèi)的一群力稱為平面力系，力系中各力的作用線不處在同一平面的一群力稱為空間力系。本章研究平面力系的簡化合成問題，以及處于平衡時(shí)力系應(yīng)滿足的條件；此外還介紹空間一般力系，研究討論物體的重心問題以及在機(jī)械工程中的應(yīng)用。第一節(jié)平面匯交力系在平面力系中，各力作用線相交于一點(diǎn)的稱為平面匯交力系，作用線相互平行的稱為平面平行力系，作用線即不平行又不相交于一點(diǎn)的稱為平面任意力系。圖2-1中鋼架的角撐板承受F1﹑F2﹑F3﹑F4四個(gè)力的作用，這些力的作用線位于同一平面內(nèi)并且匯交于點(diǎn)O，構(gòu)成一個(gè)平面匯交力系。圖2-1按照由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)規(guī)律，我們首先討論平面匯交力系。討論力系的合成和平衡條件可以用幾何方法或解析方法。幾何法直觀明了，物理意義明確；解析法計(jì)算規(guī)范﹑程式化，適合于計(jì)算機(jī)編程。一﹑幾何法設(shè)作用于剛體上的四個(gè)力F1﹑F2﹑F3﹑F4構(gòu)成平面匯交力系，如圖2-2a所示。根據(jù)力的可傳性原理，首先將各力沿其作用線移到O點(diǎn)（圖2-2b），然后從任意點(diǎn)a出發(fā)連續(xù)應(yīng)用力三角形法則，將各力依次合成，如圖2-2c所示,即先將力F1與F2合成，求出合力R2，然后將力R2與F3合成得到合力R3，最后將力R3和F4合成，求出力系的合力R，即R=F1+F2+F3+F4圖2-2由于我們需要求出的是整個(gè)力系的合力R，所以對(duì)作圖過程中表示的矢量線R2﹑R3可以省去不畫，只要把力系中各力矢首尾相接，連接最先畫的力矢F1的始端a與最后畫的力矢F4的末端e的矢量ae，就是合力矢量R，如圖2-2d所示。各力矢F1﹑F2﹑F3﹑F4和合力矢R構(gòu)成的多邊形abcde稱為力多邊形。代表合力矢ae的邊稱為力多邊形的封閉邊。這種用力多邊形求合力矢的作圖規(guī)則稱為力多邊形法則。用力多邊形法則求匯交力系合力的方法稱為匯交力系合成的幾何法。合成中需要注意以下兩點(diǎn)：合力R的作用線必通過匯交點(diǎn)。改變力系合成的順序，只改變力多邊形的形狀，并不影響最后的結(jié)果。即不論如何合成，合力R是唯一確定的。如果平面匯交力系中有n個(gè)力組成，可以采用與上述同樣的力多邊形法則，將各力Fi（i=1，2，…，n）相加，得到合力R。于是得到如下結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，其大小和方向由力多邊形的封閉邊代表，作用線通過力系中各力作用線的匯交點(diǎn)。合力R的表達(dá)式為：或簡寫為（2-1）由上述分析可以知道，平面匯交力系可以用一個(gè)合力來代替，所以該力系平衡的充分必要條件是力系的合力等于零。即（2－2）上式表明，當(dāng)平面匯交力系平衡時(shí)，我們畫出的力多邊形其封閉邊長度必為零。由此可得，平面匯交力系平衡的幾何條件為：各分力F1﹑F2﹑……﹑Fn所構(gòu)成的力多邊形自行封閉。 應(yīng)用平面匯交力系平衡的幾何條件，可以求解平衡力系中力的未知元素。力是矢量，包括大小和方向二個(gè)元素。作力多邊形求解平面匯交力系平衡問題時(shí)，由于合力為零，這個(gè)平面矢量方程本質(zhì)上可以化為二個(gè)標(biāo)量方程，所以用封閉力多邊形可以求出二個(gè)未知元素。即可以有一個(gè)力大小和方向都未知，或者有二個(gè)力各有一個(gè)未知元素（大小或方向）。例2-1在物體圓環(huán)上作用有三個(gè)力F1=300N，F(xiàn)2=600N，F(xiàn)3=1500N，其作用線相交于O點(diǎn)，如圖2-3所示。試用幾何作圖法求力系的合力。圖2-3解：（1）選比例尺，如圖所示。（2）將F1、F2、F3首尾相接得到力多邊形abcd,其封閉邊矢量ad就是合力矢R。量得ad的長度，得到合力R=1650N，R與x軸夾角=16021′。例2-2在曲柄壓機(jī)的鉸鏈A上作用一水平力F=300N，如圖2-4所示。已知桿OA=0.20m，AB=0.40m。試求當(dāng)桿OA與鉛垂線OB的夾角α=300時(shí)，錘頭作用于物體M的壓力。圖2-4解：（1）以銷釘A為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析。OA和AB桿均為鏈桿，按照約束的性質(zhì)，OA桿及AB桿對(duì)銷釘A的作用力N1﹑N2必沿各桿兩端銷釘中心的連線,但方向不能肯定。P、N1、N2構(gòu)成平面匯交力系，受力圖如圖2-4b所示。 由正弦定理得到按照平面匯交力系平衡的幾何條件，取比例尺作出封閉的力三角形，如圖2-4c所示。量得N1=370N。（2）其次取錘頭B為研究對(duì)象。 錘頭B受到連桿AB對(duì)錘頭的作用力NB作用，如圖2-4d所示。由鏈桿AB的性質(zhì)得到NB=N1=370N,NB與N1方向相反。壁的反力N以及壓榨物M對(duì)錘頭的反作用力Q。按照平面匯交力系平衡的幾何條件，取比例尺作出封閉的力三角形，如圖2-4e所示。量得Q=360N。二﹑解析法我們?cè)谏弦徽碌谌?jié)討論了力在直角坐標(biāo)軸上的投影，對(duì)于平面匯交力系Fk(k=1,2,…,n),各力在平面直角坐標(biāo)系情形下，可寫成 Fk=Xki+Ykj (2-3)按照定義，平面匯交力系的合力R等于各分力Fk的矢量和,即=+。將合力寫成解析式R=RXi+RYj,得到：（2－4）上式表明：平面匯交力系的合力在任一坐標(biāo)軸上的投影，等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。這個(gè)結(jié)論稱為合力投影定理。這個(gè)結(jié)論還可以推廣到其它矢量的合成上，可以統(tǒng)稱為合矢量投影定理。 合力的模和方向可用下列公式表示：（2－5）我們知道，平面匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力等于零。從式（2-4）可知，要滿足合力R=0，其充分必要條件是：（2－6）即平面匯交力系平衡的充分必要（解析）條件是：力系中各力在X、Y坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零。式（2-6）稱為平面匯交力系的平衡方程，可以用來求解兩個(gè)未知量。用解析法求未知力時(shí)，約束力的指向要事先假定。在平衡方程中解出未知力若為正值，說明預(yù)先假定的指向是正確的；若為負(fù)值，說明實(shí)際指向與假定的方向相反。例2-3圖2-5a所示三鉸拱，不計(jì)拱重。已知結(jié)構(gòu)尺寸a和作用在D點(diǎn)的水平作用力F=141.4N，求支座A﹑C約束反力。圖2-5 解：（1）取左半拱AB（包括銷釘B）為研究對(duì)象。AB只受到右半拱BC的作用力和鉸鏈支座A的約束反力的作用，屬于二力構(gòu)件（圖2-5b所示）。所以和兩個(gè)力的作用線必沿AB連線，并且有=-。（2）取右半拱BC為研究對(duì)象。作用在BC上有三個(gè)力，分別為：水平力F、鉸鏈支座C的約束反力和AB拱對(duì)BC拱的約束反力。和為一對(duì)作用力與反作用力，即=-。應(yīng)用三力平衡匯交定理可確定作用線的方位，即沿B、C點(diǎn)的連線，假定從B指向C，如圖2-5c所示。根據(jù)右半拱BC的受力圖并取坐標(biāo)系Bxy,列出平面匯交力系的平衡方程：（a）(b)由式(b)得 (c)將式(c)代入式(a)得 (d)求得為負(fù)值表示力矢量的指向與受力圖中假定的指向相反，把式(d)代入式(c)，注意要把負(fù)號(hào)一起代入，得到 求得為正值表示所假定的指向符合實(shí)際。 因?yàn)?=，所以。求得為負(fù)值表示的指向與受力圖中假定的指向相反。為簡便起見，在求解本題時(shí)，可以取投影軸﹑分別垂直于未知力、，則：，，這樣可以使所列的每一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知數(shù)，避免求解聯(lián)立方程的麻煩。例2-4圖2-6a所示的均質(zhì)細(xì)長桿AB重G=10N，長L=1m。桿一端A靠在光滑的鉛垂墻上，另一端B用長a=1.5m的繩BD拉住。求平衡時(shí)A﹑D兩點(diǎn)之間的距離x﹑墻對(duì)桿的反力N和繩的拉力T。圖2-6解：以桿AB為研究對(duì)象。作用在桿上的力有三個(gè)，分別是作用在桿中點(diǎn)上的重力G，繩索對(duì)桿的拉力T，墻的反作用力NA。按照約束的性質(zhì)，拉力T沿繩索軸線方向BD，NA垂直于墻即水平向右。桿在這三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)，根據(jù)三力平衡匯交定理可知這三個(gè)力必匯交于一點(diǎn)。由于G與T相交于BD的中心點(diǎn)E，故只有當(dāng)通過A點(diǎn)的水平力也通過E點(diǎn)時(shí)桿AB才能平衡，即NA必須沿AE。桿AB的受力圖如圖2-6b所示。過B點(diǎn)作水平線交墻于F點(diǎn)，因?yàn)镹A垂直于墻，所以AE線水平，與BF平行。由于DE=EB，所以DA=AF=x,對(duì)于直角三角形BFD，有BF2=BD2-DF2=a2-(2x)2；對(duì)于直角三角形BFA，有BF2=BA2-AF2=L2-x2。于是可得： a2-4x2=L2-x2解得 由此得到繩索與BF夾角。下面應(yīng)用平面匯交力系的平衡方程，求解繩索拉力T和墻約束反力NA。取直角坐標(biāo)系如圖2-6b所示。列寫方程：(a)(b)由(b)式得到代入(a)式得到。第二節(jié)力偶和力偶系一﹑力偶的概念及等效當(dāng)物體受到大小相等、方向相反的二個(gè)共線力作用時(shí)，物體保持平衡狀態(tài)。但是，當(dāng)物體受到大小相等、方向相反、平行而不共線的二個(gè)力作用時(shí)，物體將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)或出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢。司機(jī)開汽車用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，我們用手指旋轉(zhuǎn)鑰匙或自來水龍頭、擰螺絲，都是上述受力情況的實(shí)例。在力學(xué)上，把大小