四年級(jí)下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程

四年級(jí)下期第一講加減混合運(yùn)算的簡(jiǎn)算例1計(jì)算：(1)3205＋8749－6749(2)9143－6287＋5287解：(1)觀察發(fā)覺(jué),加數(shù)8749與減數(shù)6749的末三位數(shù)字相同,若是讓這兩個(gè)數(shù)先抵消一下,計(jì)算就會(huì)簡(jiǎn)便。因?yàn)榧訑?shù)大減數(shù)小,抵消后的數(shù)仍是加數(shù),所以3205＋8749－6749＝3205＋(8749－6749)＝3205＋2000＝5205(2)觀察發(fā)覺(jué),減數(shù)6287與加數(shù)5287的末三位數(shù)字相同,若是讓這兩個(gè)數(shù)先抵消一下,計(jì)算就會(huì)簡(jiǎn)便。因?yàn)闇p數(shù)大加數(shù)小,抵消后的數(shù)仍是減數(shù),所以9143－6287＋5287＝9143－(6287－5287)＝6143－1000從上面兩題能夠發(fā)覺(jué)：加減混合運(yùn)算,為了使計(jì)算簡(jiǎn)便而需要添上括號(hào)時(shí),若是在加號(hào)后面添上括號(hào),括號(hào)里面的數(shù)沒(méi)必要改變運(yùn)算符號(hào)；若是在減號(hào)后面添上括號(hào),括號(hào)里面的數(shù)必需改變運(yùn)算符號(hào),由加變成減,由減變成加。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是,在添上括號(hào)時(shí)：加號(hào)后面添括號(hào),原來(lái)加減不變號(hào)；減號(hào)后面添括號(hào),原來(lái)加減要變號(hào)。有時(shí),為了使計(jì)算簡(jiǎn)便,需要去掉括號(hào),這條規(guī)則能夠反過(guò)來(lái)用。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是,在去掉括號(hào)時(shí)：括號(hào)前面是加號(hào),原來(lái)加減不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào),原來(lái)加減要變號(hào)。例2計(jì)算：(1)1524＋(3476－1584)(2)7369－(4369－1055)解：(1)1524＋(3476－1583)＝1524＋3476－1583＝5000－1583＝3417(2)7369－(4369－1055)＝7369－4369＋1055＝3000＋1055＝4055上面的例題，再一次印證了認(rèn)真觀察、擅長(zhǎng)試探的重要性，希望同窗們能成心識(shí)、有目的地養(yǎng)成這種好適應(yīng)。練習(xí)一1.在○里填運(yùn)算符號(hào),在橫線上填數(shù)。(1)564－496＋196＝564－(○)(2)397＋748－548＝397＋(○)(3)843－567＋967＝843＋(○)(4)638＋293－593＝638－(○)2.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。(1)9043－5678＋1678(2)5867＋4492－3492(3)6138－5476＋8476(4)3264＋2259－42593.在○里填運(yùn)算符號(hào),在橫線上填數(shù)。(1)374＋(526－312)＝374○○(2)824－(324＋158)＝824○○(3)579－(279－108)＝579○○(4)384＋(495＋216)＝384○○(5)607－(514－293)＝607○○4.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。(1)9473－(6473－2815)(2)3642＋(5307－1642)(3)6382－(4143－2618)(4)4068＋(2932－1657)(5)9364－(5364＋2989)(6)1625＋(4268＋2375)第二講乘除混合運(yùn)算的簡(jiǎn)算例1計(jì)算：(1)312×56÷7(2)9600÷25÷4解：(1)算式的意義是把312先擴(kuò)大56倍再縮小7倍。若是把擴(kuò)大和縮小的倍數(shù)抵消一下,就相當(dāng)于把312直接擴(kuò)大56÷7＝8倍。312×56÷7＝312×(56÷7)＝312×8＝2496(2)算式的意義是把9600先縮小25倍,再縮小4倍。若是把縮小的進(jìn)程歸并成一次,相當(dāng)于縮小25×4倍,因?yàn)?5×4＝100,一個(gè)數(shù)縮小100倍,只需從末尾去掉兩個(gè)0,計(jì)算就超級(jí)簡(jiǎn)便。9600÷25÷4＝9600÷(25÷4)＝9600÷100＝96從上面兩題能夠發(fā)覺(jué),乘除混合運(yùn)算,為了使計(jì)算簡(jiǎn)便而需要添上括號(hào)時(shí),若是在乘號(hào)后面添上括號(hào),括號(hào)里面的數(shù)沒(méi)必要改變運(yùn)算符號(hào)；若是在除號(hào)后面添上括號(hào),括號(hào)里面的數(shù)必需改變運(yùn)算符號(hào),由乘變除,由除變乘。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是,在添上括號(hào)時(shí)：乘號(hào)后面添括號(hào),原來(lái)乘除不變號(hào)；除號(hào)后面添括號(hào),原來(lái)乘除要變號(hào)。有時(shí),為了使計(jì)算簡(jiǎn)便,需要去掉括號(hào),這條規(guī)則能夠反過(guò)來(lái)用。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是,在去掉括號(hào)時(shí)：括號(hào)前面是乘號(hào),原來(lái)乘除不變號(hào)；括號(hào)前面是除號(hào),原來(lái)乘除要變號(hào)。例2計(jì)算。(1)25×(120÷75)(2)512÷(32÷15)解：(1)25×(120÷75)＝25×120÷75＝3000÷75＝40(2)512÷(32÷15)＝512÷32×15＝16×15＝240同窗們必然會(huì)發(fā)覺(jué),乘除混合運(yùn)算添上或去掉括號(hào)的規(guī)則,與加減混合運(yùn)算的情形超級(jí)相似。只要稍作改變就可以夠一路記住。例3用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。68×269÷17(3)125÷16×8解：(1)算式的意義能夠理解為,把68先擴(kuò)大269倍再縮小17倍。經(jīng)驗(yàn)告知咱們:把一個(gè)數(shù)先擴(kuò)大再縮小或先縮小再擴(kuò)大,結(jié)果是一樣的?？墒?一般地說(shuō),把一個(gè)數(shù)先縮小再擴(kuò)大要比先擴(kuò)大再縮小好算一些。于是68×269÷17＝68÷17×269＝4×269＝1076(2)這道題雖然是把125先縮小再擴(kuò)大,符合計(jì)算方便的要求,可是125÷16有余數(shù),往下無(wú)法進(jìn)行。所以只好先擴(kuò)大再縮小。于是125÷16×80＝125×80÷16＝10000÷16＝625于是,咱們?nèi)〉靡粋€(gè)超級(jí)有效的結(jié)論：乘、除連在一路,乘數(shù)和除數(shù)能夠帶著運(yùn)算符號(hào)互換位置。練習(xí)二帶“*”的是選作題。1.在○里填運(yùn)算符號(hào),在橫線上填數(shù)。(1)564×36÷9＝564×(○)(2)427×63÷7＝427×(○)(3)320÷8÷4＝320÷(○)(4)248÷6×3＝248÷(○)2.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。(1)423×18÷6(2)301×54÷9(3)840÷21÷2(4)656÷41÷83.在○里填運(yùn)算符號(hào),在橫線上填數(shù)。(1)16×(25÷4)＝16○○(2)96÷(16×2)＝96○○(3)79÷(79÷8)＝79○○(4)25×(4×37)＝25○○4.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。(1)256÷(64÷15)(2)125×(32÷25)(3)780÷(26÷18)(4)375×(40÷75)(5)936÷(36×13)(6)625×(16×87)5.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。51×399÷172700÷25÷2728×56÷7900÷36×4910×86÷137800×92÷269600÷25÷24225×56÷75800÷72×9011100÷25÷37800÷72×9011100÷25÷37*6.計(jì)算1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8)。第三講求等差數(shù)的和例1計(jì)算123＋234＋345＋456＋567＋678。解：觀察發(fā)覺(jué)，相鄰兩個(gè)加數(shù)的差相等,都是111。這就啟發(fā)咱們，若是按照加法互換律和加法結(jié)合律,先求出第一個(gè)加數(shù)與倒數(shù)第一個(gè)加數(shù)的和,第二個(gè)加數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)加數(shù)的和,第三個(gè)加數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)加數(shù)的和,那么3個(gè)和都相等。如此一來(lái),就可以夠用乘法代替加法,使計(jì)算簡(jiǎn)便。123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)＋(234＋567)＋(345＋456)＝801×3＝2403例2計(jì)算1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075。解：觀察發(fā)覺(jué),相鄰兩個(gè)加數(shù)的差相等,都是5,一共有7個(gè)加數(shù)。中間的第四個(gè)加數(shù)1060,不僅是第三個(gè)加數(shù)與第五個(gè)加數(shù)的平均數(shù),也是第二個(gè)加數(shù)與第六個(gè)加數(shù)的平均數(shù),也是第一個(gè)加數(shù)與第七個(gè)加數(shù)的平均數(shù)。換句話說(shuō),所有7個(gè)加數(shù)的和等于第四個(gè)加數(shù)的7倍。于是,能夠用乘法代替加法,使計(jì)算簡(jiǎn)便。1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075＝1060×7＝7420總結(jié)以上兩種情形,幾個(gè)數(shù)相加,當(dāng)相鄰兩個(gè)加數(shù)的差相等時(shí),就可以夠用乘法代替加法,使計(jì)算簡(jiǎn)便：(1)若是加數(shù)的個(gè)數(shù)是雙數(shù),能夠用首尾兩個(gè)加數(shù)相加的和乘以加數(shù)個(gè)數(shù)的一半；(2)若是加數(shù)的個(gè)數(shù)是單數(shù),能夠用中間那個(gè)加數(shù)乘以加數(shù)的個(gè)數(shù)。碰運(yùn)氣：(1)1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＋22＝?(2)310＋320＋330＋340＋350＋360＋370＋380＋390＝?練習(xí)三1.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。(1)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17(2)992＋993＋994＋995＋996＋997＋998＋999(3)1960＋1970＋1980＋1990＋2000＋2010(4)111＋222＋333＋444＋555＋666＋777＋888＋999(5)987＋876＋765＋654＋543＋432＋3212.下面是一個(gè)“乘法三角形”,第一行表示:一一得一；第二行表示:一二得二,二二得四；……認(rèn)真觀察發(fā)覺(jué)規(guī)律,把每一橫行、從右上方到左下方每一斜行各數(shù)的和,填在相應(yīng)的括號(hào)里。1()24()369()481216()510152025()61218243036()7142128354248()816243240485664()91827364554637281()()()()()()()()()()3.游樂(lè)園有一座13層寶塔,每層檐角上都掛了一些風(fēng)鈴。從上到下別離是6只、12只、18只、……、72只、78只。這座寶塔一共有多少只風(fēng)鈴?4.小華看一本故事書(shū)。第一天看了10頁(yè),從第二天起越看越快，天天都比前一天多看2頁(yè),結(jié)果,只用5天就把這本書(shū)看完了。這本故事書(shū)有多少頁(yè)?*5.小明下學(xué)途經(jīng)一條小巷,走著走著，他想查驗(yàn)一下自己的口算能力,于是，把連續(xù)10家的門(mén)牌號(hào)碼(從小到大)加了起來(lái),得105。你明白他是從幾號(hào)開(kāi)始加起的嗎?第四講解決問(wèn)題(一)例1光華紡織廠,女職工的人數(shù)比男職工的3倍多102人,比男職工的4倍少75人,那個(gè)廠有男女職工各多少人?解：這里是把男職工的人數(shù)看成一倍量,畫(huà)出線段圖男職工人數(shù)102人75人女職工人數(shù)男職工的3倍男職工的4倍能夠看出102＋75＝177(人)就是男職工人數(shù)，女職工有177×3＋102＝633(人)，或，177×4－75＝633(人)。例2一個(gè)養(yǎng)羊?qū)I(yè)戶,飼養(yǎng)山羊65只,養(yǎng)的綿羊比山羊多130只,綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍?解法一：先求出綿羊的只數(shù),再與山羊的只數(shù)比較。把山羊的只數(shù)作為一倍,綿羊的只數(shù)里包括多少個(gè)山羊的只數(shù),綿羊就是山羊的多少倍。(65＋130)÷65＝195÷65＝3解法二：先求出綿羊比山羊多的那一部份是山羊的多少倍,再加上與山羊一樣多的那一倍,就是綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍。130÷65＋1＝2＋1＝3練習(xí)四1.選擇算式填在括號(hào)里。(1)業(yè)余體校有籃球23個(gè),排球比籃球的2倍多5個(gè),排球比籃球多多少個(gè)?()(2)業(yè)余體校有籃球23個(gè),排球比籃球的3倍多5個(gè),再買(mǎi)多少個(gè)排球,排球就是籃球的4倍?()(3)業(yè)余體校有籃球23個(gè),排球比籃球的3倍少5個(gè),排球比籃球的2倍多多少個(gè)?()(4)業(yè)余體校有籃球23個(gè),排球比籃球的3倍少2個(gè),又買(mǎi)來(lái)5個(gè)排球,排球比籃球的3倍多多少個(gè)?()(23＋523－55＋35－35＋25＋2)2.同窗們到游泳館學(xué)游泳。已知游泳池里男同窗的人數(shù)比女同窗的3倍多24人,比女同窗的4倍少8人。游泳池里有男、女同窗各多少人?3.一艘木船4小時(shí)航行76千米,一艘氣墊船2小時(shí)航行114千米,氣墊船的速度是木船的幾倍?4.時(shí)鮮果品店運(yùn)來(lái)一批水果,其中,香蕉120千克,橘子的重量是香蕉的3倍。香蕉賣(mài)出了一些以后,橘子的重量變成了香蕉的5倍。賣(mài)出香蕉多少千克?5.公園里養(yǎng)了9只大猴子,比小猴子的只數(shù)少27只,小猴子的只數(shù)是大猴子的多少倍?(用兩種方式解)6.新華小學(xué)組織四年級(jí)同窗，對(duì)學(xué)校周圍居民擁有家電的情形進(jìn)行了一次調(diào)查,結(jié)果如下：252戶有彩電,36戶沒(méi)有彩電；72戶沒(méi)有洗衣機(jī),比有洗衣機(jī)的少144戶。(1)有彩電的戶數(shù)比沒(méi)有彩電的戶數(shù)多多少倍?(2)有洗衣機(jī)的戶數(shù)是沒(méi)有洗衣機(jī)的戶數(shù)的多少倍?第五講解決問(wèn)題(二)例1一臺(tái)黑白電視機(jī)468元,彩色電視機(jī)的價(jià)錢(qián)比黑白電視機(jī)的5倍還貴180元。買(mǎi)一臺(tái)黑白電視機(jī)比買(mǎi)彩色電視機(jī)廉價(jià)多少元?解法一：先求出一臺(tái)彩色電視機(jī)的價(jià)錢(qián)，再拿黑白電視機(jī)的價(jià)錢(qián)和彩色電視機(jī)相較較。468×5＋180－468＝2340＋180－468＝2052(元)解法二：畫(huà)出線段圖468元黑白電視機(jī)的價(jià)錢(qián)180元彩色電視機(jī)的價(jià)錢(qián)從圖上能夠看出：彩色電視機(jī)的價(jià)錢(qián)比黑白電視機(jī)貴的部份,相當(dāng)于黑白電視機(jī)價(jià)錢(qián)的5－1＝4倍多180元。因此,沒(méi)必要求出彩色電視機(jī)的價(jià)錢(qián),也能求出黑白電視機(jī)比彩色電視廉價(jià)多少元。468×(5－1)＋180＝468×4＋180＝2052(元)例2新華書(shū)店四月份售出兒童讀物12800本,比三月份多售出2200本。五月份售出的等于三、四兩個(gè)月售出總和的一半,五月份售出多少本?解法一：先求出三月份售出多少本，三、四兩個(gè)月一共售出多少本，再求五月份售出多少本。(12800－2200＋12800)÷2＝23400÷2＝11700(本)解法二：用線段圖表示出三、四月份售書(shū)本數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系12800本四月份售書(shū)本數(shù)三月份售書(shū)本數(shù)2200本從圖上能夠看出：三、四月份售出的總數(shù)比四月份的2倍少2200本。因此,沒(méi)必要求出三月份售出多少本,能夠先直接求出三、四月份售出的總數(shù),再求出五月份售出多少本。(12800×2－2200)÷2＝23400÷2＝11700(本)練習(xí)五1.畜牧場(chǎng)養(yǎng)了兩種羊,黑羊1048只,白羊的只數(shù)比黑羊的3倍少59只。白羊比黑羊多多少只?(用兩種方式解)2.服裝廠去年上半年生產(chǎn)童裝1054箱,下半年生產(chǎn)的童裝比上半年的2倍還多98箱,下半年比上半年多生產(chǎn)多少箱?3.果園里有桃樹(shù)204棵,梨樹(shù)的棵數(shù)比桃樹(shù)的3倍少57棵,兩種果數(shù)共有多少棵?4.學(xué)校圖書(shū)室有科技書(shū)430本,故事書(shū)的本數(shù)是科技書(shū)的3倍,可是比連環(huán)畫(huà)還少79本。連環(huán)畫(huà)比科技書(shū)多多少本?5.水果店上午賣(mài)出桔子15筐,下午賣(mài)出的比上午的2倍少4筐。每筐桔子25千克,每千克售價(jià)2元,一共賣(mài)了多少錢(qián)?6.和平路小學(xué)有學(xué)生1250人,幸福路小學(xué)的學(xué)生人數(shù)比和平路小學(xué)多548人,健康路小學(xué)的學(xué)生人數(shù)等于這兩所小學(xué)總?cè)藬?shù)的一半,健康路小學(xué)有學(xué)生多少人?(用兩種方式解)第六講雞免同籠問(wèn)題例1籠子里關(guān)著雞和兔子一共36只,一共100只腳,雞和兔子各多少只?解：這就是出名的“雞兔同籠問(wèn)題”,解答這種問(wèn)題，通常采用“假設(shè)法”。解法一：假設(shè)全都是雞,應(yīng)該有2×36＝72(只)腳,比實(shí)際少了100－72＝28(只)腳。用一只兔子換一只雞,能夠增加4－2＝2(只)腳。增加28只腳，需要換28÷2＝14(只)兔子，也就是說(shuō)實(shí)際有12只兔子,其余的36－14＝22(只)是雞。解法二：假設(shè)全都是兔子,應(yīng)該有4×36＝144(只)腳,比實(shí)際多了144－100＝44(只)腳。用一只雞換一只兔子,能夠減少4－2＝2(只)腳。減少44只腳，需要換44÷2＝22(只)雞，也就是說(shuō)實(shí)際有22只雞,其余的36－22＝14(只)是兔子。在我國(guó)古代，解這種雞兔同籠問(wèn)題，采用一種超級(jí)特殊的方式，它的特別的地方在于，腳不用“只”而用“雙”做單位。前人是如此想的：免子有2雙腳,雞有1雙腳，1只兔子比1只雞多1雙腳。此刻共有50雙腳,比頭數(shù)多14,說(shuō)明有14只兔子,其余的36－14＝22(只)自然是雞。這種方式真是妙不可言。瞧，咱們的老祖宗有多伶俐！例2一次考試共有10道題,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一題得3分；答錯(cuò)一題扣2分；不能不答。小明得了15分,他一共答對(duì)了幾道題?解：能夠如此想：假設(shè)10道題全都答對(duì)了,應(yīng)該得3×10＝30(分),答錯(cuò)一題不僅不能得分還要扣分,等于少得3＋2＝5(分),小明少得了30－15＝15(分),說(shuō)明答錯(cuò)了15÷5＝3(道),答對(duì)了10－3＝7(道)。練習(xí)六1．籠子里共有雞和兔子51只，共有腳172只，雞和兔子各多少只？2.廣場(chǎng)上停了16輛自行車和三輪車,兩種車共有38個(gè)輪子,有幾輛自行車,幾兩三輪車?3.張老師帶同窗們到游樂(lè)場(chǎng)去玩,買(mǎi)了20張門(mén)票，一共用了76元。門(mén)票有兩種,甲種票每張5元,乙種票每張3元,兩種票各買(mǎi)了多少?gòu)?4.搬運(yùn)站給客戶運(yùn)250箱玻璃,商定每箱運(yùn)費(fèi)20元,若是損壞一箱,不僅不付運(yùn)費(fèi),還要補(bǔ)償100元。結(jié)果共得運(yùn)費(fèi)4400元,損壞了幾箱?5.一次知識(shí)競(jìng)賽,共20題,答對(duì)一題得10分,答錯(cuò)一題扣5分,不答不得分也不扣分。小英得了155分,她答對(duì)了幾題?答錯(cuò)了幾題?*6.松鼠媽媽采松子,晴天天天采20個(gè),雨天天天采12個(gè),它一共采了112個(gè)松子,平均天天采14個(gè),這些天當(dāng)中有幾天下雨?第七講找規(guī)律例1先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)2，5,11,23,47，()，（）；(2)13，16,18,31,23,46，()，()；(3)8,15，11,13，15,10，20，6，()，()；(4)8,3，9,4，10,5，()，()。解：(1)觀察發(fā)覺(jué)：后項(xiàng)＝前項(xiàng)×2＋1。應(yīng)該填47×2＋1＝95，95×2＋1＝191。(2)觀察發(fā)覺(jué)：?jiǎn)螖?shù)項(xiàng)依次加5，應(yīng)該填23＋5＝28；雙數(shù)項(xiàng)依次加15，46＋15＝61。(3)觀察發(fā)覺(jué)：?jiǎn)螖?shù)項(xiàng)依次加3、4、5，應(yīng)該填20＋6＝26；雙數(shù)項(xiàng)依次減二、3、4，應(yīng)該填6－5＝1。(4)觀察發(fā)覺(jué)：逐項(xiàng)依次減5，加6，應(yīng)該填5＋6＝11,11－5＝6，例2下面的數(shù)是由自然數(shù)一、二、3、……排列而成的，第10行最左側(cè)的數(shù)是多少？最右邊的數(shù)是多少？1345678910111213141516171819202122232425……解：這道題實(shí)際上是求數(shù)列1,2，5,10,17，…和數(shù)列1,4，9,16,25，…的第10個(gè)數(shù)別離是多少。在數(shù)列1,2，5,10,17，…中，相鄰兩個(gè)數(shù)的差依次為1,3，5,7，…第10個(gè)數(shù)是1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝1＋(1＋17)×9÷2＝82。在數(shù)列1,4,9,16,25，…中，第幾個(gè)數(shù)等于幾自乘的積，第10個(gè)數(shù)是10×10＝100。練習(xí)七帶“☆”的是往屆全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題。1．找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并按所找到的規(guī)律在括號(hào)里填上適合的數(shù)。(1)25,3，22,3，19,3，()，()；(2)8,1，10,2，12,3，()，()；(3)12,14,17,21,26，()，()；(4)1,3，9,27,81，()，()；(5)1,2，5,4，9,6，13,8，()，()；(6)8，15,29,57，()，()；(7)2,3，5,9，17，()，()；(8)2,3，8,8，14,13,20，()，()。2．找出下面數(shù)表的規(guī)律，然后再接下去寫(xiě)兩行，并把每行各數(shù)的和填在右邊的括號(hào)里。1()11()121()1331()14641()()()3．找出下面算式的規(guī)律，再計(jì)算1＋2＋3＋…＋1999＋2000＋1999＋…＋3＋2＋1＝()1＋2＋1＝41＋2＋3＋2＋1＝91＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝254．找出下面算式的規(guī)律，再求出1＋3＋5＋…＋99＝()1＝11＋3＝41＋3＋5＝91＋3＋5＋7＝165．一只母雞生蛋很有規(guī)律，老是連著兩天天天生一個(gè)蛋，然后就要歇一天。已知“五·一”節(jié)此日沒(méi)有生蛋，那么五月份一共生了()個(gè)蛋?！?.下面三個(gè)方框內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律,請(qǐng)你找出它們的規(guī)律,先肯定B、C,再肯定A,那么A是多少？91202A32334BC第八講數(shù)正方形例1圖中有多少個(gè)正方形？解：圖中有許多大大小小的正方形。為了在數(shù)的時(shí)候做到既不重復(fù)又不遺漏，最好先分類，再一類一類地?cái)?shù)。(1)由兩個(gè)小三角形組成的最小的正方形有8個(gè)；(2)由4個(gè)小三角形組成的稍大一些的正方形有4個(gè)；(3)由4個(gè)小正方形組成的更大一些的正方形有3個(gè)；(4)由16個(gè)小三角形組成的最大的正方形只有1個(gè)。所以，圖中共有8＋4＋3＋1＝16(個(gè))正方形。例2圖中有多少個(gè)正方形?解：圖中的小正方形共有4行，每行有4個(gè)。這些小正方形能夠組成許多更大的正方形，仍然依照從小到大的順序來(lái)數(shù)：(1)小正方形有4×4個(gè)；(2)由4個(gè)小正方形組成的正方形有3×3個(gè)；(3)由9個(gè)小正方形組成的正方形有2×2個(gè)；(4)由16個(gè)小正方形組成的正方形有1個(gè)。共有16＋9＋4＋1＝30(個(gè))。由此猜想：假設(shè)中的小正方形共有5行，每行5個(gè)，是不是總共有5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1個(gè)正方形呢？小正方形共有6行，每行6個(gè)，是不是總共有6×6＋5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1個(gè)正方形呢？如果7行，每行7個(gè)呢？……請(qǐng)你驗(yàn)證一下好嗎？你是不是發(fā)覺(jué)了如此一個(gè)規(guī)律：若是圖中的小正方形共有n行，每行有n個(gè)，計(jì)算正方形的總數(shù)，能夠從n×n開(kāi)始，然后每一個(gè)因數(shù)都逐次減1，直到1×1為止，再把這些積相加。例3圖中有多少個(gè)正方形？解：圖中的小正方形共有4行，每行7個(gè)。這些正方形能夠分為4類：1×1的、2×2的、3×3的、4×4的。別離有：(1)1×1的正方形有4×7＝28(個(gè))；(2)2×2的正方形有3×6＝18(個(gè))；(3)3×3的正方形有2×5＝10(個(gè))；(4)4×4的正方形有1×4＝4(個(gè))。共有4×7＋3×6＋2×5＋1×4＝28＋18＋10＋4＝70(個(gè))。這就再次觸發(fā)咱們的猜想：若是圖中的小正方形共有m行，每行n個(gè)，計(jì)算正方形的總數(shù)，是不是能夠從m×n開(kāi)始，然后每一個(gè)因數(shù)都逐次減1，直到有一個(gè)因數(shù)出現(xiàn)1為止，再把這些積相加就好了呢？請(qǐng)你給m、n設(shè)一些不同的數(shù)，驗(yàn)證一下好嗎？練習(xí)八1.下面3個(gè)圖形中各有多少個(gè)正方形？2．左下圖中有多少個(gè)正方形？3．右上圖中有多少個(gè)正方形？4．右圖是一個(gè)黑白相間的8×8國(guó)際象棋盤(pán)，其中有許多正方形，在這些正方形中,黑白格子各占一半的正方形有多少個(gè)？第九講乘法分派律的妙用運(yùn)用乘法分派律有時(shí)會(huì)使復(fù)雜的計(jì)算變得超級(jí)簡(jiǎn)單。乘法分派律的運(yùn)用巧妙、靈活,處處閃耀著智慧的光芒。例1計(jì)算72×126＝？解：咱們以前做過(guò)72×125如此的題目,是把72變成9×8,然后讓8和125相乘。這就啟發(fā)咱們,能夠把126先變成125＋1。于是72×126＝72×(125＋1)＝72×125＋72＝8×9×125＋72＝9×(8×125)＋72＝9×1000＋72＝9000＋72＝9072。固然，上面寫(xiě)的是全數(shù)試探進(jìn)程，其中許多步驟都是能夠省略的。例2計(jì)算999×999＋1999＝？解：算式中999×999是求999個(gè)999的和,觀察發(fā)覺(jué),還有1個(gè)999隱藏在后面的加數(shù)1999里面。于是999×999＋1999＝999×999＋999＋1000＝999×(999＋1)＋1000＝999×1000＋1000＝(999＋1)×1000＝1000×1000＝1000000。例3計(jì)算49×16＋17×48＝？解：運(yùn)用乘法分派律的條件是：兩個(gè)積必需有一個(gè)相同的因數(shù)。這里的兩個(gè)積中,49和17不可能成為相同的因數(shù),只有寄希望于16和48。觀察發(fā)覺(jué),48＝16×3,其中有一個(gè)因數(shù)是16，這正是咱們所要找的。于是49×16＋17×48＝49×16＋17×(16×3)＝49×16＋(17×3)×16＝49×16＋51×16＝(49＋51)×16＝100×16＝1600。練習(xí)九1.用乘法分派律使下面的計(jì)算變得簡(jiǎn)便。(1)172×108－172×873×26＋73×75－73(2)125×88404×25(3)48×2548×2648×24(4)56×12556×12656×1242.用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題。4×(25×26＋25×174)(2)264×97＋264×4(3)37×15＋21×45(4)94×18－21×72(5)72×24＋15×28＋9×28(6)11×9×11＋11×11(7)235×27＋86×235－235×13(8)99＋11×11－11×19☆3.計(jì)算：×－×＝___________。第十講除法各部份的關(guān)系在四則運(yùn)算中，除法的計(jì)算最為復(fù)雜，而且，除法還與分?jǐn)?shù)的關(guān)系超級(jí)緊密，因此，為了給以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)打好基礎(chǔ)，弄清除法各部份之間的關(guān)系就顯得十分必要。被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間存在以下關(guān)系：在沒(méi)有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)。在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。例1兩個(gè)數(shù)相除,商8余16,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是463。被除數(shù)和除數(shù)各是多少?解：先從463里面減去商8和余數(shù)16,得463－8－16＝439,439就是被除數(shù)與除數(shù)的和。而“被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)”,也就是說(shuō),被除數(shù)等于“除數(shù)的8倍”與“余數(shù)”的和,所以,若是從439里面再減去一次余數(shù)16,剩下的439－16＝423里面就只有“除數(shù)的8倍”和“除數(shù)”,也就是除數(shù)的8＋1＝9倍,于是,除數(shù)是423÷9＝47。被除數(shù)是8×47＋16＝392。答：被除數(shù)是392，除數(shù)是47。例2兩個(gè)數(shù)相除，商9余4。若是被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大3倍，那么被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和等于2583。原來(lái)的被除數(shù)、除數(shù)各是多少？解：被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大3倍以后，商不變?nèi)匀皇?，而余數(shù)相應(yīng)地也擴(kuò)大了3倍，變成4×3＝12，所以，擴(kuò)大后的被除數(shù)、除數(shù)之和是2583－9－12＝2562，于是，原來(lái)的被除數(shù)、除數(shù)之和是2562÷3＝854。因?yàn)樵瓉?lái)的商是9，余數(shù)是4，說(shuō)明原來(lái)的被除數(shù)比除數(shù)的9倍多4，所以，原來(lái)的除數(shù)是(854－4)÷(9＋1)＝85，被除數(shù)是854－85＝769。答：被除數(shù)是796，除數(shù)是85。因?yàn)槌ê统朔ㄊ腔ツ骊P(guān)系，所以，有些由乘法產(chǎn)生的問(wèn)題也要用除法來(lái)解決。例3小馬在計(jì)算兩個(gè)整數(shù)相乘時(shí)，錯(cuò)把一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的5看成了8，算出的積是5632；小虎錯(cuò)把同一個(gè)因數(shù)十位上的8看成了6，算出的積是4160。這道題正確的積應(yīng)該是多少？解：對(duì)于同一個(gè)因數(shù)，小虎比小馬少算了(80－60)＋(8－5)＝23，因此積少算了5632－4160＝1472，說(shuō)明那個(gè)正確的因數(shù)是1472÷23＝64。所以小馬把另一個(gè)因數(shù)錯(cuò)當(dāng)做5632÷64＝88，可見(jiàn)，另一個(gè)因數(shù)是85，這道題正確的積應(yīng)該是64×85＝5440。答：這道題正確的積應(yīng)該是5440。練習(xí)十1．一個(gè)數(shù)除以最大的三位數(shù),商比除數(shù)多1,余數(shù)比除數(shù)少1，那個(gè)數(shù)是多少？2．一個(gè)整數(shù)除法算式的商是236,余數(shù)是47,被除數(shù)最小是多少?3.兩個(gè)數(shù)相除,商9余24,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是787。被除數(shù)是多少?4.一個(gè)數(shù)除以10，商比被除數(shù)小567沒(méi)有余數(shù)。那個(gè)數(shù)是多少？*5.小明在計(jì)算一道加法式題時(shí),沒(méi)有認(rèn)真審題，把加號(hào)當(dāng)做除號(hào)了,結(jié)果，除得的商和余數(shù)都是18。若是這道題的正確得數(shù)是531,那么這兩個(gè)加數(shù)各是多少?☆6.兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)等于415，則被除數(shù)是多少？第十一講三角形與角(一)例1咱們偉大祖國(guó)的國(guó)旗是五星紅旗。在中國(guó)少年先鋒隊(duì)隊(duì)旗上也有一顆耀眼的五角星。若是不用量角器，你能算出五角星的一個(gè)角是多少度嗎？解：觀察發(fā)覺(jué)，五角星的中心是一個(gè)正五邊形。咱們明白，一個(gè)n邊形能夠分成n－2個(gè)三角形，而無(wú)論什么樣的三角形，內(nèi)角和都是180°，所以，n邊形的內(nèi)角和等于180×(n－2)度。通常，把邊和角別離相等的多邊形叫做正多邊形。因?yàn)檎齨邊形的內(nèi)角和等于180×(n－2)度，所以，它的一個(gè)內(nèi)角等于180×(n－2)÷n度。五角星的中心是一個(gè)正五邊形，于是它的一個(gè)內(nèi)角是180×(5－2)÷5＝108度。五角星的每一個(gè)角都是一個(gè)等腰三角形的頂角，而那個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角是180o－108o＝72o，所以五角星的一個(gè)角是180o－72o×2＝36o。例2如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACD＝120o，∠AEB＝()o。解：通常，把∠ACD如此的角稱為三角形的外角。因?yàn)椤螦CD與∠ACB的和等于180o，而三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角的和也等于180o，所以∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，也就是是說(shuō)，三角形的一個(gè)外角，等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。這是三角形中一個(gè)超級(jí)重要的數(shù)量關(guān)系。因此，∠BAC＋∠ABC＝∠ACD＝120o。又因?yàn)橐阎?＝∠2，∠3＝∠4，所以，∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即，∠1與∠3的和等于∠BAC與∠ABC的和的一半，是120o÷2＝60o。在三角形AEB中，∠AEB＋∠1＋∠3＝180o，所以，∠AEB＝180o－(∠1＋∠3)＝180o－60o＝120o。練習(xí)十一1．菱形(圖1)的內(nèi)角和是多少度？常見(jiàn)的六角形螺絲帽(圖2)的一個(gè)角是多少度？正十邊形的一個(gè)角是多少度？(圖1)(圖2)2.左下圖中∠1、∠2、∠3一共是多少度?125213433．右上圖中∠1、∠2、∠3、∠4、∠5一共是多少度?4．如圖，∠BAC＝20°,∠BDE＝60°,∠DEC＝25°,求∠ACE。ABCDE5.圖中∠ADE＝90°,∠A＝45°,∠C＝25°,∠AFB＝？ADEBFC6．如圖，若是∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝100°，那么∠A＝？第十二講三角形與角(二)例1下圖是一個(gè)五角星形。連接A、B、C、D、E,取得一個(gè)正五邊形,那個(gè)正五邊形中，一共有多少個(gè)三角形?其中銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形各有多少個(gè)?解：(1)與△ABE相同的有5個(gè)；(2)與△ABG相同的有5個(gè)；(3)與△AGF相同的有5個(gè)；(4)與△ABF相同的有5個(gè)；(5)與△AGE相同的有5個(gè)；(6)與△ACD相同的有5個(gè)；(7)與△BIE相同的有5個(gè)?？偣灿?×7＝35(個(gè))三角形。其中：(1)與△ABE、△ABG、△BIE相同的15個(gè)是鈍角三角形；(2)與△AGF、△ABF、△AGE、△ACD相同的20個(gè)是銳角三角形。在這35個(gè)三角形中,除與△ABF、△AGE相同的10個(gè)不是等腰三角形之外,其余25個(gè)都是等腰三角形。答：圖中一共有35個(gè)三角形，其中有20個(gè)銳角三角形，15個(gè)鈍角三角形，25個(gè)等腰三角形?例2圖中ABCD是正方形，EBC是正三角形，∠EAD＝？ADEBC解：因?yàn)镋BC是正三角形，所以∠EBC＝60°，∠ABE＝90D°－60°＝30°。因?yàn)锳B＝BE，ABE是等腰三角形，所以∠BEA＝(180°－30°)÷2＝75°，于是，∠EAD＝90°－75°＝15°。練習(xí)十二1．一個(gè)等腰三角形,頂角是70°,它的一個(gè)底角是多少度？2．一個(gè)直角三角形，兩個(gè)銳角相差12°，這兩個(gè)銳角別離是多少度？3．下圖是由一個(gè)正方形ABCD和一個(gè)正三角形CDF組成的，那么，∠AFB是多少度？ADFBC4．如圖，在三角形ABC中，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠BAC＝。ABDEC5．圖中有兩個(gè)三角形。已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝50°，∠D是多少度？(第十屆“中原之星”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6．圖中的∠1是多少度？(第七屆“中原之星”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)第十三講小數(shù)和小數(shù)加減法例1計(jì)算＋＋＋…＋＋。解：觀察發(fā)覺(jué)：相鄰兩個(gè)加數(shù)的差都是，因此，這些加數(shù)是等差數(shù)。因?yàn)槭孜矁蓚€(gè)加數(shù)相差－＝，而里面含有19個(gè)，所以總共有19＋1＝20個(gè)加數(shù)。按照求等差數(shù)的和的方式，＋＋＋…＋＋＝＋×10＝×10(按照小數(shù)的性質(zhì)，只需把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一名。)＝129。例2小華儲(chǔ)蓄了元,買(mǎi)練習(xí)本用去元,爸爸又給他10元,他此刻有多少錢(qián)?解法一：買(mǎi)練習(xí)本以后還有－＝(元),爸爸給他錢(qián)以后他總共有＋10＝(元)。解法二：若是爸爸先把錢(qián)給他,他總共有＋10＝(元),買(mǎi)練習(xí)本以后還剩－＝(元)。解法三：若是買(mǎi)練習(xí)本用的是爸爸給的錢(qián),能剩10－＝(元),連原有的儲(chǔ)蓄總共有＋＝(元)。你喜歡用哪一種解法?練習(xí)十三1.在○里填運(yùn)算符號(hào),在橫線上填適當(dāng)?shù)臄?shù),使等式成立?！穑?80○＝○＝○＝＝○100＝○○100＝○10＝2.小數(shù)加減法的運(yùn)算性質(zhì)與整數(shù)加減法完全相同。你能像計(jì)算整數(shù)加減法那樣，用簡(jiǎn)便方式計(jì)算下面各題嗎？(1)＋(2)－(3)－＋－(4)＋－(5)＋－(6)－＋(7)＋＋(8)＋－3.一只籃球元,足球比籃球廉價(jià)元,比排球貴元,一只排球多少元?4.甲乙二人買(mǎi)同一種雜志,甲買(mǎi)一本差元,乙買(mǎi)一本差元,而他們的錢(qián)合起來(lái)買(mǎi)一本還剩元。這種雜志每本多少元?5.媽媽買(mǎi)來(lái)一塊布，給小明做褲子用了1.9米,做上衣比褲子少用0.16米,還剩下1.06米6.計(jì)算1991＋＋＋＝？第十四講趣味數(shù)學(xué)題1．圖中有11個(gè)小黑點(diǎn)和1個(gè)大黑點(diǎn)。若是從一個(gè)小黑點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较驍?shù)到200，正好是大黑點(diǎn)，你能指出是從哪個(gè)小黑點(diǎn)數(shù)起的嗎？2．下圖是用火柴擺成的圖形。要求：拿掉2根火柴，使圖形變成兩個(gè)正方形；移動(dòng)3根火柴，使圖形變成3個(gè)正方形；移動(dòng)4根火柴，使圖形變成3個(gè)正方形。你能做到嗎？畫(huà)圖表示出來(lái)。3．你能用只一、二、3、4、五、六、7七個(gè)數(shù)字和一些加號(hào)，使計(jì)算結(jié)果等于100嗎？4．把下面這張方格圖，沿格子線分成形狀相同大小相等的兩塊。聽(tīng)說(shuō)，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯，七歲的時(shí)候就找到了6種不同的分法。你也來(lái)分分試試好嗎？把你找到的分法畫(huà)在下面：5．啤酒店規(guī)定3個(gè)空啤酒瓶能夠換1瓶啤酒。若是買(mǎi)10瓶啤酒，依照那個(gè)規(guī)定最多能夠喝到多少瓶啤酒？6．在一個(gè)正方體木塊的六個(gè)面上，別離寫(xiě)著一、二、3、4、五、6六個(gè)數(shù)，而且相對(duì)的兩個(gè)面上的數(shù)之和都是7。如圖，按箭頭方向翻動(dòng)木塊，當(dāng)翻動(dòng)到最后一格時(shí)，木塊上面的數(shù)是幾？第十五講考考你自己填空。(1)是由()個(gè)百分之一組成的。(2)<()<2.填空。(1)兩條直線相交形成四個(gè)角,其中一個(gè)角是30°,另外三個(gè)角別離是(°)、(°)、(°)。(2)4:00的時(shí)候,鐘面上時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘?°)。在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),使計(jì)算簡(jiǎn)便。5384－3196＋2196＝5384○(3196○2196)4.在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使計(jì)算簡(jiǎn)便。7200×49÷36＝7200○○5.在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使計(jì)算簡(jiǎn)便。－－＋＝(○)○(○)6.用12除24與36的積,商比50多多少？7.體育用品商店有一種運(yùn)動(dòng)服,上衣元,比褲子貴元。買(mǎi)一套如此的運(yùn)動(dòng)服,付給售貨員100元,應(yīng)該找回多少元?8.一個(gè)數(shù)別離與18和15相乘,所得的兩個(gè)積相差36,那個(gè)數(shù)是多少?9.有一批畫(huà)片,平均分給10個(gè)同窗,每人能夠分6張,后來(lái)又增加了幾個(gè)同窗,如此一來(lái),每人只能分5張,增加了幾個(gè)同窗?10.有一盒火柴,從中掏出了10次,別離是1根、3根、5根、7根、9根、11根、13根、15根、17根、19根,恰好取完。這盒火柴共有多少根?參考答案第一講加減混合式題的簡(jiǎn)算(略)第二講乘除混合式題的簡(jiǎn)算1．至5.(略)。*6.原式＝1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8＝1÷2×8＝1×8÷2＝4第三講求等差數(shù)的和1．2.(略)。3.總層數(shù)13是單數(shù)，中間的那層是第7層，有7×6＝42(個(gè))風(fēng)鈴。4．第三天看了10＋2×2＝14(頁(yè))，這本故事書(shū)有14×5＝70(頁(yè))。*5.10是雙數(shù)，第1家與第10家門(mén)牌號(hào)數(shù)的和是105÷(10÷2)＝21。第10家的門(mén)牌號(hào)數(shù)比第1家大9，若是把第10家的門(mén)牌號(hào)數(shù)減9，這兩家的門(mén)牌號(hào)數(shù)的和21－9＝12，就是第1家門(mén)牌號(hào)數(shù)的2倍，所以他是從12÷2＝6號(hào)加起的。第四講解決問(wèn)題(一)1.(1)23＋5。(2)23－5。(3)23－5。(4)5－2。2.女同窗24＋8＝32(人)，男同窗32×3＋24＝120(人)。3.114÷2÷(76÷4)＝3倍。4.120－120×3÷5＝48(千克)。5．解法一：(9＋27)÷9＝4倍。解法二：27÷9＋1＝4倍。6.(1)252÷36－1＝6倍。(2)144÷72＋1＝3倍。第五講解決問(wèn)題(二)1．解法一：1048×3－59－1048＝2037(只)。解法二：1048×(3－1)－59＝2037(只)。2.1054＋98＝1152(箱)。3.204×(3＋1)－57＝759(棵)。4.430×(3－1)＋79＝939(本)。5.2×25×[15×(1＋2)－4]＝2050(元)。6.解法一：(1250＋1250＋548)÷2＝1524(人)。解法二：(1250×2＋548)÷2＝1524(人)。第六講雞兔同籠問(wèn)題1．雞16只，兔子35只。2．自行車：(3×16－38)÷(3－2)＝10(輛)。三輪車：(38－2×16)÷(3－2)＝6(輛)。3．甲種票：(76－3×20)÷(5－3)＝8(張)。乙種票：(5×20－76)÷(5－3)＝12(張)。4．(250×20－4400)÷(20＋100)＝5(箱)。五、錯(cuò)了(20×10－155)÷(10＋5)＝3(題)，對(duì)了20－3＝17(題)。*6.112÷14＝8(天)，若是這8天盡是晴天，應(yīng)該采20×8＝160(個(gè))，實(shí)際少采160－112＝48(個(gè))，雨天比晴天少采20－12＝8(個(gè))，這些天中有48÷8＝6(天)下雨。第七講找規(guī)律1．(1)16,3；(2)14,4；(3)32,37；(4)243,729；(5)17,10；(