數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量及其分布知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量及其分布列.離散型隨機(jī)變量:.離散性隨機(jī)變量的分布列:.離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì):PjN0,i=1,2…；P1+P2+-=1知識(shí)點(diǎn)二:離散型隨機(jī)變量的二點(diǎn)分布知識(shí)點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)：是一個(gè)隨機(jī)變量，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是1七=? …堂=0,12…/應(yīng)=1一⑼,于是得到隨機(jī)變量歲的概率分布如下:01…K…Np……若歲?前也而，則豆歲"呼\卬呼知識(shí)點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的幾何分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某個(gè)事件第一次發(fā)生時(shí)所作試驗(yàn)的次數(shù)〈也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量。"表"汩表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)該事件第一次發(fā)生，

如果把第k次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記作Ak，事件A不發(fā)生記作&且=尸尸（4）=5那么F@二對(duì)二尸（耳耳…屈4）=（1那么離散型隨機(jī)變量，的概率分布是：1 2 3 … k稱這樣的隨機(jī)變量《服從幾何分布，記作曲上為"Q"產(chǎn)，其中無(wú)二°，1，2,一bl遜」弊=匕f若隨機(jī)變量4服從幾何分布鼠也乃二Q一或）△，則中，p知識(shí)點(diǎn)五：超幾何分布在含M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件｛*二陽(yáng)發(fā)生的概率為:.-fkr-i'M-.tF〈X=4=疝盟-如金，上=0,12…/其中心mm｛跖*n<N,M<N,根M,NeIf若隨機(jī)變量X服從超幾何分布鱷二絲則曾若隨機(jī)變量X服從超幾何分布鱷二絲則曾稱分布列X01…mP…為超幾何分布列。離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布。知識(shí)點(diǎn)六：離散型隨機(jī)變量的期望與方差1、離散型隨機(jī)變量的期望：2、離散型隨機(jī)變量的方差：經(jīng)典例題精析類型一：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率1、把n個(gè)不同的球隨機(jī)地放入編號(hào)為1,2,…，m的m個(gè)盒子內(nèi)，求1號(hào)盒恰有r個(gè)球的概率?【變式1】十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大?【變式2】實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰(shuí)先贏3局就算勝出并停止比賽).(1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率.(2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.類型二：分布列的性質(zhì)2、若離散型隨機(jī)變量，的概率分布列為:101p9c2-c3-8c試求出常數(shù)c與，的分布列。【變式1】某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)，的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)三7”的概率.【變式2】隨機(jī)變量4的分布列如下：J—101F0bc其中&成二成等差數(shù)列，若 3,則"4的值是類型三：離散型隨機(jī)變量的分布列3、某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是7。①設(shè)歲為他射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列；②設(shè)寸為他第一次擊中目標(biāo)時(shí)所需要射擊的次數(shù)，求b的分布列；③若他只有6顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)的分布列。舉一反三：【變式1】在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)，的分布列；(2)放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)n的分布列.【變式2】從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件工：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率=0%.(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率中；(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，^表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求^的分布列.【變式3】某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)充的分布如下:X678910P00.20.30.30.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為0.(I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率；(II)求’的分布列；類型四：離散型隨機(jī)變量的期望和方差4、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(I)求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；(II)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；(III)設(shè)〈為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.舉一反三：【變式1】某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.(I)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(II)任選3名下崗人員，記〈為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求歲的分布列和期望.【變式2】某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為^方，°6,°4,經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0上，°5,075.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為J，求隨機(jī)變量〈的期望.【變式3】A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1,A2,A3,B隊(duì)隊(duì)員是B1,B2,B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A對(duì)B21133A對(duì)B232255A對(duì)B233355現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為，、n，(1)求，、n的概率分布；(2)求E；、En。5、甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92。(1)求該題被乙獨(dú)立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)，的數(shù)學(xué)期望和方差。舉一反三：【變式】一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他的家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是獨(dú)立的，并且概率都是行。(I)求這名學(xué)生首次遇到紅燈前，已經(jīng)過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率；(II)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈數(shù)，的期望與方差。

舉一反三：【變式1】利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是.盈方Y(jié)八案Ai*2a2550.70*20980-30雨265282-645261678.—10【變式2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為8、n，￡和0的分布列如下:￡012P13n012P315試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較?！咀兪?】甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變第與的且或不的分布列為：;123pa0.10.6123p0.3b0.3⑴求a、b的值；⑵甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分均小于3的概率誰(shuí)更大?⑶計(jì)算或不的期望與方差，并以此分析甲乙的技術(shù)狀況。高考題萃(2008全國(guó)I)已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(I)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；(II)歲表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求^的期望.(2008全國(guó)II).購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)以元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1一°,99/”.(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率中；(II)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元).(2008北京).甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分至隰&四門四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙兩人同時(shí)參加工崗位服務(wù)的概率；(I)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；(III)設(shè)隨機(jī)變量^為這五名志愿者中參加工崗位服務(wù)的人數(shù)，求歲的分布列.(2008四川).設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為$,購(gòu)買乙種商品的概率為°石，且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的。(I)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(I)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(I)記歲表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求歲的分布列及期望。(2008安徽)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)^為成活沙柳的或株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E歲二工標(biāo)準(zhǔn)差說(shuō)為2。(I)求n,p的值并寫出歲的分布列；(II)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率。(2008山東)甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為馬，乙隊(duì)中3人答對(duì)的22概率分別為馬'馬’5且各人正確與否相互之間沒有影響.用w表示甲隊(duì)的總得分.(I)求隨機(jī)變量W分布列和數(shù)學(xué)期望；(II)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB).(2008江西)某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。令點(diǎn)幻表示方案工實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù).(1)寫出身備的分布列；(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益10萬(wàn)元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益15萬(wàn)元；柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益20萬(wàn)元；問(wèn)實(shí)施哪種方案所帶來(lái)的平均效益更大？(2008湖北)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上筮號(hào)的有霓個(gè)(內(nèi)=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球.歲表示所取球的標(biāo)號(hào).(I)求歲的分布列，期望和方差；(I)若好厘,助」切二"，試求a,b的值.(2008湖南)甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是3，且面試是否合格互不影響.求：(I)至少有1人面試合格的概率；(II)簽約人數(shù)歲的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2008陜西)某射擊測(cè)試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第工次擊中目標(biāo)得4一工@二12,3)分，3次均未擊中目標(biāo)得0分.已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8,其各次射擊結(jié)果互不影響.(I)求該射手恰好射擊兩次的概率；(II)該射手的得分記為歲，求隨機(jī)變量歲的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2008重慶)甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為5,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：(I)打滿3局比賽還未停止的概率；(I)比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)歲的分別列與期望^..(2008福建)某項(xiàng)考試按科目人、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為石，科目B每次考試成績(jī)合格的概率均為5.假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響.(I)求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；(I)在這項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為自，求自的數(shù)學(xué)期望W歲.(2008廣東)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為上(1)求歲的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即右的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為儲(chǔ)，一等品率提高為如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？14.(2008浙江)一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸2 7出1個(gè)球，得到黑球的概率是三；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是?。(I)