第九章 1二重積分的概念和性質

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高數(shù)

二重積分的概念和性質在一元函數(shù)積分學中,我們已經(jīng)知道,在一元函數(shù)積分學中,我們已經(jīng)知道,定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限,式的和式的極限,由于科學技術和生產(chǎn)實踐的發(fā)需要計算空間形體的體積,曲面的面積,展,需要計算空間形體的體積,曲面的面積,空間物體的質量,重心,轉動慣量等,間物體的質量,重心,轉動慣量等,定積分已經(jīng)不能解決這類問題,另一方面,不能解決這類問題,另一方面,從數(shù)學規(guī)律思維的規(guī)律出發(fā),必然會考慮定積分概念的推廣,的規(guī)律出發(fā),必然會考慮定積分概念的推廣,從而提出了多元函數(shù)的積分學問題.而提出了多元函數(shù)的積分學問題.

高數(shù)

當人們把定積分解決問題的基本思想——分分當人們把定積分解決問題的基本思想近似代替,求和,取極限割,近似代替,求和,取極限用于解決這類問題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的.題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的.把解決的基本方法抽象概括出來,就得到多元函數(shù)積分學.概括出來,就得到多元函數(shù)積分學.具體地說就是推廣到:具體地說就是推廣到:定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù),定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù),函數(shù),定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù),定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù),平面曲線弧上的二元函數(shù),定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù),定義在空間曲面上的三元函數(shù),上的三元函數(shù),定義在空間曲面上的三元函數(shù),從而得到二重積分,三重積分,曲線積分和曲面積分.而得到二重積分,三重積分,曲線積分和曲面積分.這就是多元函數(shù)積分學的內容.這就是多元函數(shù)積分學的內容.本章將探討重積分,包括二重積分,本章將探討重積分,包括二重積分,三重積分的概念,性質,計算和應用.概念,性質,計算和應用.

高數(shù)

重積分的計算方法,交換累次積分次序.重點:重積分的計算方法,交換累次積分次序.選擇坐標系,確定積分次序,定積分限.難點:選擇坐標系,確定積分次序,定積分限.

基本要求①理解重積分概念,了解其基本性質理解重積分概念,②熟練把握重積分的計算方法③把握累次積分的換序法④把握各種坐標系及坐標系下的面積元,體積元把握各種坐標系及坐標系下的面積元,⑤理解重積分的實際背景,能用重積分解決立體體理解重積分的實際背景,曲面面積,重心,轉動慣量等實際問題.積,曲面面積,重心,轉動慣量等實際問題.

高數(shù)

一,問題的提出1.曲頂柱體的體積柱體體積=底面積柱體體積底面積高底面積特點:平頂.特點:平頂.z=f(x,y)

柱體體積=?柱體體積?特點:曲頂.特點:曲頂

D

高數(shù)

分割,求和,取極限求曲頂柱體的體積采用分割,求和,取極限的方法

步驟如下:步驟

如下:先分割曲頂柱體的底并取典型小區(qū)域,,并取典型小區(qū)域,用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積,頂柱體的體積,

z

z=f(x,y)

oxDn

y(ξi,ηi)σi

曲頂柱體的體積V=lim∑f(ξi,ηi)σi.λ→0λ→i=1

高數(shù)

2.求平面薄片的質量設有一平面薄片,設有一平面薄片,占有xoy面上的閉區(qū)域D,在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y),假定ρ(x,y)在D上連續(xù),平面薄片的質量為多少?上連續(xù),平面薄片的質量為多少?

將薄片分割成若干小塊,將薄片分割成若干小塊,y取典型小塊,取典型小塊,將其近似看作均勻薄片,看作均勻薄片,所有小塊質量之和近似等于薄片總質量oM=limλ→0n

(ξi,ηi)σi

∑ρ(ξ,η)σ.iiii=1

x

高數(shù)

二,二重積分的概念定義設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域σ1,

σ2,,σn,其中σi表示第i個小閉區(qū)域,個小閉區(qū)域,也表示它的面積,在每個σi上任取一點

(ξi,ηi),作乘積并作和

f(ξi,ηi)σi,

(i=1,2,,n),

∑f(ξi,ηi)σi,i=1

n

高數(shù)

假使當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值λ趨近于零時,這和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)上的二重積分二重積分,f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dσ,D

即∫∫f(x,y)dσ=lim∑f(ξi,ηi)σi.D

n

λ→0i=1

積分區(qū)域

被積函數(shù)

積分變量

被積表達式

面積元素積分和

高數(shù)

對二重積分定義的說明:對二重積分定義的說明:(1)在二重積分的定義中,對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中,任意的.任意的(2)當f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)時,定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時,當?shù)臉O限必存在,即二重積分必存在.的極限必存在,即二重積分必存在二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時,二重積分是柱體的體積.當被積函數(shù)大于零時,二重積分是柱體的體積.當被積函數(shù)小于零時,二重積分是柱體的體積的當被積函數(shù)小于零時,負值.負值.由二重積分的定義可知n

若二重積分

∫∫f(x,y)dσ=lim∑f(ξi,ηi)σi存在λ→oi=1D

高數(shù)

則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關,則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關,故可采用一種便于計算的劃分方式在直角坐標系下,在直角坐標系下,用平行于坐標軸的直線族把D分成一些小區(qū)域,這些小區(qū)域中除去靠的邊界分成一些小區(qū)域,分成一些小區(qū)域這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外,絕大部分都是小矩形,的一些不規(guī)則小區(qū)域外,絕大部分都是小矩形,緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積緊靠的邊界的小區(qū)域的面積

σi≤tiλ∑σj≤λLj

y

Dox

其中L為的圍長其中為D的圍長

∑f(ξj,ηj)σj≤M∑σj≤MLλ→0,(λ→0)jjdσ=dxdy

則面積元素為

高數(shù)

故二重積分可寫為

∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dxdyDD三,二重積分的性質(二重積分與定積分有類似的性質)二重積分與定積分有類似的性質)性質1性質1性質2性質2

∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ.DD

∫∫[f(x,y)g(x,y)]dσD

=∫∫f(x,y)dσ∫∫g(x,y)dσ.DD

高數(shù)

性質3性質3

∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ.對區(qū)域具有可加性DD1

(D=D1+D2)DD

D2

性質4性質4若σ為D的面積,=∫∫1dσ=∫∫dσ.的面積,的面積σ性質5若在D上性質5若在上f(x,y)≤g(x,y),則有∫∫f(x,y)dσ≤∫∫g(x,y)dσ.DD

特別地

∫∫f(x,y)dσ≤∫∫DD

f(x,y)dσ.

性質6性質6設M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,的面積,最大值和最小值,σ為D的面積,則

mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ(二重積分估值不等式)二重積分估值不等式)D

高數(shù)

性質7性質7設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ為D上連續(xù),的面積,的面積,則在D上至少存在一點(ξ,η)使得計算,計例1不計算估I=∫∫e作,D2

∫∫f(x,y)dσ=D

f(ξ,η)σ(二重積分中值定理)二重積分中值定理)(x2+y2)

值,值dσ的,

xy2其中D是圓區(qū)域橢閉:2+2=1ab

(0ba).

解

區(qū)域D的面積σ=abπ,在D上

∵0≤x2+y2≤a2,

∴1=e≤e0

x2+y2

≤e,a2

由性質6知

σ≤∫∫e2

(x2+y2)a2

dσ≤σe,a2

abπ≤∫∫eD

(x+y)2

πdσ≤abπe.

D

高數(shù)

dσ值,例2估計I=∫∫2的,值2x+y+2xy+16D其中D:其中:0≤x≤1,0≤y≤2.

解∵f(x,y)=

411f(x,y)的最小值m==(x=1,y=2)2253+422故≤I≤0.4≤I≤0.5.54例3判斷r≤x+y≤1

1,區(qū)域面積σ=2,(x+y)2+161在D上f(x,y)的最大值M=(x=y=0)

∫∫ln(x

2

號.+y)dxdy的符號2

高數(shù)

0x2+y2≤(x+y)2≤1,解當r≤x+y≤1時,故

ln(x+y)≤0;22

又當x+y1時,

ln(x2+y2)0,2

于是

r≤x+y≤1

∫∫ln(x

2

+y)dxdy0.2

例4比積∫∫ln(x+y)dσ與∫∫[ln(x+y)]dσ較分DD

大,中是角閉域三點為中D是的小其三形區(qū),頂各(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜邊方程

x+y=2

高數(shù)

y

在D內有1≤x+y≤2e,

1D

故ln(x+y)1,

o

[ln(x+y)]2,于是ln(x+y)因此DD

1

2

x

ln(x+y)dσ∫∫[ln(x+y)]2dσ.∫∫

高數(shù)

四,小結二重積分的定義(和式的極限)和式的極限)曲頂柱體的體積)二

重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)

與定積分類似)二重積分的性質(與定積分類似)

思考題將二重積分定義與