概率統(tǒng)計(jì)第七章

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概率答案

習(xí)題七解答

1.設(shè)X的分布律為，

求（1）EX，（2）E(X1)，（3）E(X2)，（4）DX。解由隨機(jī)變量X

所以

EX(1)111130626112141

3EX121311612160112

12(43EX2111113064611124135

4

24

D(X)E(X

2

)(E(X2)3524123(9772

另外，也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：

EX1EX112

313

2.設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為0的泊松分布，EX2X32，求的值。

解

EX2X3EX25X6EX2

5EX62

DXEX2

5EX62

2

5

402

且已知

概率答案

3.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0.4，試求X2的數(shù)學(xué)期望EX2。

解X~B10,0.4

所以EX100.44,DX100.40.62.4故EX2DXEX22.44218.4

4.國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量，它在[2000，4000]（單位：噸）上聽從均勻分布。若每售出一噸，可得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大？

解設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均收益（單位：萬元），進(jìn)貨量為a噸

則

400011EY4xadx3adx

2000a20002000

12a214000a80000002000

a

xa3XaXxa3a

要使得平均收益EY最大，所以

2a

2

14000a8000000

0

0得a350（噸）

5.一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部

件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX。

解X的可能取值為0，1，2，3，有

PX00.90.80.70.504

PX10.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398PX20.10.20.70.90.20.30.10.80.30.092PX30.10.20.30.006

所以X的分布律為

概率答案

EX00.50410.39820.09230.0060.6EX2020.504120.398220.092320.0060.82DX0.820.60.46

2

6.設(shè)X的密度函數(shù)為fx

1x

e，求（1）EX；（2）EX2。2

1x

解（1）EXxedx0

211x

x2exdx2（2）EX2x2edx2022

注：求解（1）時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，求解（2）時(shí)化簡為x2exdx

可以看成為是聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。

2(1x),0x1

7.某商店經(jīng)銷商品的利潤率X的密度函數(shù)為f(x)，求

其他0

EX,DX。

11

解（1）EXx2(1x)dx

03112

（2）EXx22(1x)dx

06

111

故D(X)E(X2)(E(X))2()2

6318

8.

設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為

fxexx0

0x0

求EX、E2X、EXe2X、DX。

解

EX

xexdx1

E2X2EX2EXeEX

2

2X

EXEe1

2X

e

2xx

14

edx1e3xdx1

033

x2exdx2

2

DXEX2EX19.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律為

概率答案

求EX、EY、EX2Y、E3XY、DX、DY、covX,Y、X,Y。

解關(guān)于

EX00.510.50.5

EX2020.5120.50.5DX0.50.50.25EY00.710.30.3

2

EY2020.7120.30.3

DY0.30.30.21

EX2YEX2EY0.520.30.1

2

E3XY3EXY3000.3010.2100.4110.130.10.3covX,YEXYEXEY0.10.50.30.05

covX,YDXDY0.050.250.21

2121

X,Y

10.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的密度函數(shù)分別為

fXx求DXY。

2e2x0

x0x0

fY

4e4y0

y0

y0

11，22411

Y~E4，所以DY2，

164

X,Y相互獨(dú)立，所以

5

DXYDXDY。

16

解X~E2，所以DX

11.設(shè)X,Y聽從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線xy10所圍成的區(qū)域，求（1）EX；（2）E3X2Y；（3）EXY的值。

解先畫出A

概率答案

fx,yx,yA

0其他

fXxfx,ydy

x1

2dy21x1x0

0其他

fYyfx,ydx0

2dx21y1y0

1y

0其他

1

1301

EYy21ydy

13EXx21xdx

111

E3X2Y3EX2EY32

333

00012

EXYxy2dydxx1xdx

11x112

12.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為

fx,y12y20yx10其他求EX,EY,EXY,EX2Y2,DX,DY。

解先畫出區(qū)域0yx1的圖

y1

01x

fXxfx,ydy

x

12y2dy4x30x1

0其他

fYyfx,ydx

22

1y0y112ydy12yy

1

概率答案

其他

EXx4x3dx

01

1

45

EYy12y21ydy

3

051X1

EXYxy12y2dydx

002

1

1

EX2Y2EX2EY2x24x3dxy212y21ydyDXEXDYEY

22

16

15

EX

2

2

4426575

2

2

EY

63115575

13.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且EXEY1,DX2,DY3，求

DXY。

解

DXYEX2Y2EXY

2

2

EXEYEXEY

2

2

2

DXEXDYEYEXEY21311111

2

2

2

14.設(shè)DX25,DY36,X,Y0.4，求（1）DXY；（2）DXY。解：（1）DXYDXDY2X,YDXDY

253620.4253685

（2）DXYDXDY2X,YDXDY

253620.42537

15.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X~N(1,1)，Y~N(2,1)，求E(2XY),D(2XY)。

EY()D2,Y解E(X)1,D(X)1;(

E(2XY)2E(X)E(Y)21(2)0

2

D(2XY)2D(X)D(Y)4115

16.驗(yàn)證：當(dāng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，按公式

概率答案

EX

xf(x,y)dydx及按公式EXxf(x)dx算得的EX值相等。這里，

f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。

證明EX

x(f,x)ydydx

x(,f)xydyd(xxfx)dx

17.設(shè)X的方差為2.5，利用契比曉夫不等式估計(jì)PXEX7.5}的值。D(X)2.51

解P{XEX7.5}2

7.527.522.5

18.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)PXY6的值。

解EXYEXEY220

DXYDXDY2X,YDXDY1420.543

所以

PXY6PXY06

PXYEXY6

DXY1

1262

21.在人壽保險(xiǎn)公司里有3000個(gè)同齡的人