2018年中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題輔助線專題復(fù)習(xí)

./中考?jí)狠S題專題幾何〔輔助線精選1.如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE垂直平分AC,垂足為O,AD∥BC,且AB=3,BC=4,則AD的長(zhǎng)為．精選2．如圖,△ABC中,∠C＝60°,∠CAB與∠CBA的平分線AE,BF相交于點(diǎn)D,求證：DE＝DF．精選3.已知：如圖,⊙O的直徑AB=8cm,P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的切線,切點(diǎn)為C,連接AC．若∠ACP=120°,求陰影部分的面積；<2>若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),∠CPA的平分線交AC于點(diǎn)M,∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化,請(qǐng)說明理由；若不變,求出∠CMP的度數(shù)。精選4、如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)O是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn),以O(shè)A為半徑作⊙O與AC邊交于點(diǎn)P,〔1當(dāng)OA=時(shí),求點(diǎn)O到BC的距離；〔2如圖1,當(dāng)OA=時(shí),求證：直線BC與⊙O相切；此時(shí)線段AP的長(zhǎng)是多少？〔3若BC邊與⊙O有公共點(diǎn),直接寫出OA的取值范圍；〔4若CO平分∠ACB,則線段AP的長(zhǎng)是多少？．精選5．如圖,已知△ABC為等邊三角形,∠BDC＝120°,AD平分∠BDC,求證：BD+DC＝AD．精選6、已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．〔第6題圖〔1如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連結(jié)AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4,求邊AB的長(zhǎng)；〔2若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠OAB的度數(shù)；〔3如圖2,,擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上〔點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合,動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化,說明理由；若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度．精選7、如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2,一個(gè)銳角等于60°的菱形紙片,小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片,使它的兩邊分別交CB、BA〔或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,∠EDF=60°,當(dāng)CE=AF時(shí),如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF．〔1繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片,當(dāng)CE≠AF時(shí),如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立,加以證明；若不成立,請(qǐng)說明理由；〔2再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3請(qǐng)直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；〔3連EF,若△DEF的面積為y,CE=x,求y與x的關(guān)系式,并指出當(dāng)x為何值時(shí),y有最小值,最小值是多少？精選8、等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直角邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊BC交y軸于點(diǎn)E；〔1如圖〔1,若A〔0,1,B〔2,0,求C點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2如圖〔2,當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí),連接DE,求證：∠ADB=∠CDE〔3如圖〔3,在等腰Rt△ABC不斷運(yùn)動(dòng)的過程中,若滿足BD始終是∠ABC的平分線,試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．精選l1l2l3l4h3h2h1第題圖9．如圖,正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、l1l2l3l4h3h2h1第題圖求證：；〔2設(shè)正方形的面積為,求證：；〔3若,當(dāng)變化時(shí),說明正方形的面積隨的變化情況．參考答案精選1解：∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC===5,∵DE垂直平分AC,垂足為O,∴OA=AC=,∠AOD=∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=∠C,∴△AOD∽△CBA,∴=,即=,解得AD=．故答案為：．G精選2G證明：在AB上截取AG,使AG=AF,易證△ADF≌△ADG〔SAS．∴DF＝DG．∵∠C＝60°,AD,BD是角平分線,易證∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易證△BDE≌△BDG〔ASA．∴DE＝DG＝DF．精選3、解：〔1連接OC．∵PC為⊙O的切線,∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA,∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S陰影=S△OPC﹣S扇形BOC=；〔2∠CMP的大小不變,∠CMP=45°由〔1知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=〔∠BOC+∠OPC=45°．精選4、解：〔1在Rt△ABE中,．〔1分過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,則OD∥AC,∴△ODB∽△ACB,∴,∴,∴,∴點(diǎn)O到BC的距離為．〔3分〔2證明：過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,OF⊥AC于點(diǎn)F,∵△OEB∽△ACB,∴∴,∴．∴直線BC與⊙O相切．〔5分此時(shí),四邊形OECF為矩形,∴AF=AC﹣FC=3﹣=,∵OF⊥AC,∴AP=2AF=．〔7分〔3；〔9分〔4過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G,OH⊥BC于點(diǎn)H,則四邊形OGCH是矩形,且AP=2AG,又∵CO平分∠ACB,∴OG=OH,∴矩形OGCH是正方形．〔10分設(shè)正方形OGCH的邊長(zhǎng)為x,則AG=3﹣x,∵OG∥BC,∵△AOG∽△ABC,∴,∴,∴,∴,∴AP=2AG=．〔12分精選5、證法1：〔截長(zhǎng)如圖,截DF=DB,易證△DBF為等邊三角,然后證△BDC≌△BFA即可；證法2：〔截長(zhǎng)如圖,截DF=DC,易證△DCF為等邊三角,然后證△BDC≌△AFC即可；證法3：〔補(bǔ)短如圖,延長(zhǎng)BD至F,使DF=DC,此時(shí)BD+DC=BD+DF=BF,易證△DCF為等邊△,再證△BCF≌△ACD即可．證法4：〔四點(diǎn)共圓兩組對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．設(shè)AB＝AC＝BC＝a,根據(jù)〔圓內(nèi)接四邊形托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a,得證．精選6、解：〔1如圖1,①∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可得：AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C,∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4,∴====．∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP．∵AD=8,∴CP=4,BC=8．設(shè)OP=x,則OB=x,CO=8﹣x．在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=〔8﹣x2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴邊AB的長(zhǎng)為10．〔2如圖1,∵P是CD邊的中點(diǎn),∴DP=DC．∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP．∵∠D=90°,∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度數(shù)為30°．〔3作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2．∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM,MP=MQ,∴BN=QM．∵M(jìn)Q∥AN,∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中,．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由〔1中的結(jié)論可得：PC=4,BC=8,∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在〔1的條件下,當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長(zhǎng)度不變,長(zhǎng)度為2．精選7、解：〔1DF=DE．理由如下：如答圖1,連接BD．∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB．又∵∠A=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°,∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中,,∴△ADF≌△BDE〔ASA,∴DF=DE；〔2DF=DE．理由如下：如答圖2,連接BD．∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB．又∵∠A=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°,∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中,,∴△ADF≌△BDE〔ASA,∴DF=DE；〔3由〔2知,△ADF≌△BDE．則S△ADF=S△BDE,AF=BE=x．依題意得：y=S△BEF+S△ABD=〔2+xxsin60°+×2×2sin60°=〔x+12+．即y=〔x+12+．∵＞0,∴該拋物線的開口方向向上,∴當(dāng)x=0即點(diǎn)E、B重合時(shí),y最小值=．精選8、〔1解：過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F,∴∠AFC=90°,∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴AC=AB,∠CAF+∠BAO=90°,∠AFC=∠BAC,∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中,,∴△ACF≌△ABO〔AAS∴CF=OA=1,AF=OB=2∴OF=1∴C〔﹣1,﹣1；〔2證明：過點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G,∴∠ACG=∠BAC=90°,∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°,∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAO=90°,∴∠ADO=∠BAO,∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD〔AAS,∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°,∴∠DCE=∠GCE=45°,在△DCE和△GCE中,,∴△DCE≌△GCE〔SAS,∴∠CDE=∠G,∴∠ADB=∠CDE；〔3解：在OB上截取OH=OD,連接AH由對(duì)稱性得AD=AH,∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABO=∠EBO,∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中,,∴△AOB≌△EOB〔ASA,∴AB=EB,AO=EO