高中數(shù)學(xué)-反證法教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】：

（1）知識目標(biāo)：1.理解反證法的概念及其特點；2.掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟.

3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能.

（2）過程與方法目標(biāo)：通過生活中的具體問題的解決引入反證法的基本概念及其特點；結(jié)合具體實例讓學(xué)生掌握用反證法求解問題的方法和步驟.（3）情感與能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力.

【教學(xué)重點】：1.

理解反證法的概念2．掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟

【教學(xué)難點】：掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟

【教學(xué)突破點】：從實際問題引入通過日常生活中遇到的實際問題，理解和掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟.【教法、學(xué)法設(shè)計】：合作探究式教學(xué)，講授、練習(xí)相結(jié)合.【課前準(zhǔn)備】：課件

【教學(xué)過程設(shè)計】：1、創(chuàng)設(shè)情景，引入概念

觀看視頻故事：王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛爬上樹去摘果子,只有王戎站在原地不動.有人問王戎為什么?

王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.【問題1】王戎是在怎樣知道李子是苦的呢？

【問題2】你認(rèn)為他的判斷方法正確嗎？他運用了怎樣的推理方法？

（1）學(xué)生經(jīng)過思考，知道王戎是這樣判斷出李子是苦的：假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的.（2）我們不妨把這則故事改編成數(shù)學(xué)中證明題的格式，即寫出“條件、結(jié)論、過程證明”來總結(jié)王戎的推理方法：

事實：樹上結(jié)滿了果子

條件：樹在路邊李子多；

小朋友問：為什么李苦？

結(jié)論：李為苦李

王戎：假如李子不苦

分析：假如李不苦

則早被路人摘光

則早被路人摘光而樹上結(jié)滿李子

與已知樹上有李矛盾所以一定是苦的

所以李為苦李

從數(shù)學(xué)角度看王戎的推理：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立。這樣的證明方法叫做反證法.[設(shè)計意圖]通過教師設(shè)問，學(xué)生思考、探究、類比，學(xué)生對反證法有了初步的認(rèn)識.2、分析例子，加深認(rèn)識反硬幣試驗：桌面上有3枚正面向上的硬幣，每次用雙手同時翻轉(zhuǎn)2枚硬幣，能否使硬幣全部反面向上？【問題3】你能做出怎樣的判斷？你運用了怎樣的推理方法？

我們依然把這則實驗改編成數(shù)學(xué)中證明題的格式，即寫出“條件、結(jié)論、過程證明”來總結(jié)王戎的推理方法：

條件：三枚硬幣雙手；

結(jié)論：不能

分析：從硬幣翻轉(zhuǎn)數(shù)分析：第一枚硬幣要想翻轉(zhuǎn)一定需要奇數(shù)次，第二，三枚硬幣要想翻轉(zhuǎn)也一定需要奇數(shù)次。所有翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)一定為奇數(shù)。（2）從手分析因為是雙手，所有翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是偶數(shù)次所有兩者互相矛盾假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立。[設(shè)計意圖]讓學(xué)生進一步加深對反證法這種從反面開始，逆向思維的認(rèn)識。3、總結(jié)歸納，形成概念結(jié)合上面的兩個例子的分析，讓學(xué)生自己經(jīng)過相互討論，自己總結(jié)歸納反證法的定義。反證法定義：假設(shè)原命題不成立，(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)不成立，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.分析：假設(shè)原命題不成立……反設(shè)經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾……歸謬說明假設(shè)不成立，從而證明原命題成立……結(jié)論[設(shè)計意圖]讓學(xué)生總結(jié)歸納出反證法的定義，同時讓學(xué)生初步了解反證法的步驟。4、例題講解、規(guī)范步驟

例1：已知：∠A，∠B,∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個不小于60°.

分析：本例要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰，于是考慮采用反證法證明本題.教師板書

證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中都小于60°。即∠A<60°,∠B<60°，∠C<60°所以∠A+∠B+∠C<180°這與∠A+∠B+∠C=180°相矛盾所以假設(shè)錯誤，原命題成立。[設(shè)計意圖]讓學(xué)生在熟悉反證法的定義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己總結(jié)出反證法的步驟.反證法的一般步驟:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理先假設(shè)命題的結(jié)論不成立從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出矛盾否定假設(shè)肯定原命題練習(xí)：已知，,且，求證：，至少有一個小于2.證明：假設(shè)，都不小于2，即，因為，，所以，所以，即所以與矛盾，所有假設(shè)不成立原結(jié)論成立.[設(shè)計意圖]讓學(xué)生熟悉反證法的步驟，并且知道反證法的關(guān)鍵是如何由結(jié)論的反面得出矛盾。例2、已知直線為空間里的兩條異面直線，點，點求證：直線異面。證明：假設(shè)直線不異面。即共面.不妨設(shè)在一個平面內(nèi)，則點都在平面內(nèi)，所以有即，這與兩直線異面矛盾.綜上可知假設(shè)不成立原結(jié)論成立.[設(shè)計意圖]讓學(xué)生進一步熟悉反證法的步驟，教學(xué)過程中教師可以指出這個矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等。還應(yīng)該明確有時候結(jié)論的反面不一定唯一，注意不要漏掉.提醒學(xué)生對于常見的否定的形式進行明確，完成相關(guān)表格。5、實戰(zhàn)訓(xùn)練，鞏固概念

探究：求證：是無理數(shù)．分析：本例的難點是學(xué)生對無理數(shù)的了解很少，有理數(shù)的性質(zhì)也接觸得很少，許多學(xué)生甚至對有理數(shù)的表示也不太熟悉，因此，用反證法得出矛盾的方向很不明確.那么，關(guān)于有理數(shù)，我們研究過哪些問題呢？——有理數(shù)的定義、表示、性質(zhì)、運算、運算律；

如果是有理數(shù)，如何利用已有知識引出矛盾呢？——因為只有一個數(shù)，所以數(shù)的運算、運算律等知識無法使用，只有在有理數(shù)的定義、表示、性質(zhì)上找突破口；

假設(shè)

是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的正整數(shù)m、n，使

，如何從這個等式中得出矛盾？——可以從“m、n為互質(zhì)的正整數(shù)”得到啟發(fā)，通過“奇偶數(shù)”分析得出矛盾.[設(shè)計意圖]通過本探究，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，加深印象.6、總結(jié)歸納，升華概念

（1）、反證法的一般步驟；

（2）、反證法的關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等.（3）、反證法適合證明哪些命題？否定性問題、存在性、唯一性命題，至多至少問題，結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更易于研究和掌握的問題.[設(shè)計意圖]讓學(xué)生自己總結(jié)回顧，教師點評補充，進一步強化對反證法的認(rèn)識.7、課后練習(xí)，自我提升作業(yè)：必做題：課本P91習(xí)題2.2A組2題，4題選做題：課本P91習(xí)題2.2B組3題[設(shè)計意圖]讓學(xué)生進一步熟悉反證法的定義和證明步驟，并通過作業(yè)對學(xué)生的掌握情況進行檢測.學(xué)情分析一、教學(xué)內(nèi)容：人教版高二選修2-2第二章2.2.2反證法二、教學(xué)背景:1、面向高二學(xué)生2、1課時：3、學(xué)生課前準(zhǔn)備：a、掌握直接證明的基本方法b、復(fù)習(xí)回顧四種命題及其關(guān)系三、學(xué)情分析授課對象為普通高中普通班學(xué)生，經(jīng)過前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生對直接證明有了一定的認(rèn)識，但對于直接證明較為困難的題目，辦法依然不多.反證法的邏輯結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，本節(jié)內(nèi)容在初中就有接觸，但用反證法證明數(shù)學(xué)問題卻是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，主要是反證法的應(yīng)用需要逆向思維，但在中小學(xué)階段，逆向思維的訓(xùn)練和發(fā)展都是不充分的，學(xué)生對正難則反的逆向思維掌握的并不充分.此外學(xué)生雖對于命題的相關(guān)知識有所掌握，只是還沒有將其與反證法聯(lián)系起來，對反證法的步驟、本質(zhì)缺乏根本了解.本課借助多媒體教學(xué)，設(shè)置感興趣的話題來激發(fā)學(xué)生交流和學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生始終處于積極、主動的思考、探究的狀態(tài)中，創(chuàng)造充滿活力的課堂氣氛，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的意識.明確任務(wù)目標(biāo)，站在學(xué)生角度，精心設(shè)計教學(xué)任務(wù)，使數(shù)學(xué)與學(xué)生的實際生活緊密相連，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性.精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)內(nèi)容，加強課堂上師生、生生互動，在自主、互動、探究的方式中展開課堂教學(xué),充分發(fā)揮學(xué)生主體地位.引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用中理解反證法的實質(zhì)，掌握反證法的步驟，能利用反證證明簡單問題，進一步培養(yǎng)觀察能力、分析能力、邏輯思維能力及解決問題的能力.效果分析本節(jié)課意在改變傳統(tǒng)教學(xué)過程中過于注重傳授知識的傾向，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題.先巧用故事《道旁苦李》引入，并以視頻的形式呈現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并從王戎判斷“李為苦李”的過程中體會反證法的內(nèi)涵.學(xué)生共同探討總結(jié)出反證法的含義.從生活實際問題出發(fā),讓學(xué)生感受到了反證法處處可在，也從這些具體的例子中更加熟悉反證法的步驟.更好的引導(dǎo)學(xué)生對反證法進行整體把握和理解概念的形成奠定基礎(chǔ)，從實際操作看課堂效果良好，學(xué)生發(fā)言積極主動并基本能打到教師的預(yù)期目標(biāo).接著給出問題：通過以上幾個練習(xí)，大家已經(jīng)初步體會到反證法的作用，你能不能總結(jié)一下應(yīng)用反證法的步驟？經(jīng)過小組討論學(xué)生不難總結(jié)其步驟，教師對其不完整的地方給以補充學(xué)生們是通過小組合作的形式對其進行把握和分析的，課堂效果很好，產(chǎn)生了沖突和分歧，在解決問題的過程中，讓學(xué)生深切的理解和掌握反證法的步驟，達到了很理想的效果.在此基礎(chǔ)上又開始應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)問題.層層深入提出問題的目的是，引導(dǎo)學(xué)生意識到可以用反證法解決問題，并從中強化反證法的證明步驟及如何根據(jù)具體問題尋找矛盾.最后通過兩個練習(xí)題，使學(xué)生在運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中鞏固方法.課堂實際操作中，能夠引導(dǎo)學(xué)生鍛煉自己的能力，展示學(xué)生的做題過程并進行有針對性的點評，確實收到了很理想的效果.在整堂課的教學(xué)過程中，讓學(xué)生置身于知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、符號表示等思維過程，展示“數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性”是對事物的感性認(rèn)識的升華和提高，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.通過這節(jié)課更加認(rèn)識到誘思探究教學(xué)對大面積提高教學(xué)質(zhì)量的巨大作用，更加堅信學(xué)生的潛力無窮，要給予學(xué)生充分的信任，相信他們解決問題的能力.教學(xué)通過豐富的實例展開，這一方面可以使學(xué)生體會反證法思想與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，另一方面，活生生的例子也會增強學(xué)生學(xué)習(xí)反證法的興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，使他們感受到反證法思想離自己很近，反證法很有用.在寬松愉快的環(huán)境中學(xué)生完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生的主體地位得到了體現(xiàn)，主動性得到了充分發(fā)揮，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情空前高漲，就連平時不愛說話的學(xué)生也敢于站起來回答問題了.這節(jié)課最大的成功就是所有的學(xué)生都動起來了，每個人都學(xué)有所得.教材分析本課是人教A版數(shù)學(xué)選修2—2第二章“推理與證明”第二節(jié)“直接證明與間接證明”第二課時的內(nèi)容，是反證法部分.間接證明不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或改證它的等假命題為真，以間接地達到目的.反證法是間接證明的一種基本方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解題教學(xué)”是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力的重要途徑.本節(jié)課主要目標(biāo)是了解反證法的基本原理，掌握反證法的一般步驟，會用反證法證明數(shù)學(xué)中的一些簡單命題.反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，即從原題的反論題“既p且￢q”入手，由p與￢q合乎邏輯地推出一個矛盾結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個互相矛盾得判斷不能同時為真，必有一假，斷定反論題“既p且￢q”為假；從而根據(jù)排中律，兩個互相矛盾的判斷不能同時為假，必有一真.由此肯定命題“若p則q”為真.“既p“既p且￢q”為假排中律矛盾律推理“若p則q”為真排中律矛盾律推理“若p則q”為真導(dǎo)致邏輯矛盾肯定條件p否定結(jié)論q應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟：第一步分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步作出與命題q相矛盾的假定￢q；第三步由p和￢q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定￢q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接證明了命題“p→q”為真.第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知的公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.本節(jié)課的教學(xué)重點有兩點：1.理解反證法的概念2．掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟.本節(jié)課的教學(xué)難點是：掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟.本節(jié)課從實際問題引入通過日常生活中遇到的實際問題，理解和掌握用反證法證明問題的基本方法和步驟.通過師生互動，生生互動已達到教學(xué)突破的目的.本節(jié)課為新授課，預(yù)計的授課時間為1課時.教學(xué)設(shè)計的數(shù)學(xué)的證明內(nèi)容是對學(xué)生已學(xué)習(xí)過的基本證明方法的總結(jié).在教學(xué)中，應(yīng)通過實例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各種證明方法的特點，體會證明的必要性.對證明的技巧性不宜作過高的要求.課堂評測練習(xí)一、選擇題1．實數(shù)a，b，c不全為0等價于()．A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為02．下列命題錯誤的是()．A．三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°B．四面體的三組對棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個零點D．設(shè)a、b∈Z，若a、b中至少有一個為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)3．設(shè)x，y，z都是正實數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數(shù)()．A．至少有一個不大于2 B．都小于2C．至少有一個不小于2 D．都大于24．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則()．A．a(chǎn)，b都與l相交B．a(chǎn)，b中至少有一條與l相交C．a(chǎn)，b中至多有一條與l相交D．a(chǎn)，b都不與l相交5．以下各數(shù)不能構(gòu)成等差數(shù)列的是()．A．3,4,5 B.eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)C．3,6,9 D.eq\r(2)，eq\r(2)，eq\r(2)二、填空題6．命題“△ABC中，若A>B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是________．7．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是________．8．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是________．9．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a、b為實數(shù))”，其反設(shè)為________．三、解答題10．設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直．11．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無整數(shù)根．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2x－2)，如果數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝f(an)，求證：當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．課堂評測練習(xí)答案一、選擇題1．D2．D3．C4．B5．B二、填空題6．a(chǎn)≤b7．至少有兩個內(nèi)角是直角8．存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角9．a(chǎn)，b不全為0三、解答題10．證明假設(shè)AC⊥平面SOB，如圖，∵直線SO在平面SOB內(nèi)，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圓O.這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直.11．證明設(shè)f(x)＝0有一個整數(shù)根k，則ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)，∴a＋b為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與①式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)＝0無整數(shù)根．12.證明假設(shè)an≥3(n≥2)，則由已知得an＋1＝f(an)＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，∴當(dāng)n≥2時，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,2an－2)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,an－1)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,4)<1，(∵an－1≥3－1)，又易證an>0，∴當(dāng)n≥2時，an＋1<an，∴當(dāng)n>2時，an<an－1<…<a2；而當(dāng)n＝2時，a2＝eq\f(a\o\al(2,1),2a1－2)＝eq\f(16,8－2)＝eq\f(8,3)<3，∴當(dāng)n≥2時，an<3；這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，∴當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．課后反思本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些探索.以問題解決為中心，通過提出問題，完善問題，解決問題，拓展問題，采用實驗探究、自主學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點放在反證法的思想上，努力挖掘教學(xué)中蘊涵的思維價值，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.改變了傳統(tǒng)的解決問題模式.并通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)拓寬學(xué)生的文化知識面，培養(yǎng)提高學(xué)生分析問題解決問題的能力.“用教材教，而不是教教材”，針對學(xué)生特點，將教材的例題和習(xí)題重組，并通過追問，引導(dǎo)學(xué)生層層深