高中數(shù)學(xué)-楊輝三角教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)目標(biāo)：1．掌握二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)及其推導(dǎo)方法。2．通過對(duì)楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律的初步探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、經(jīng)過分析——猜想——證明以后解決問題的能力，激勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)新。通過從不同的角度觀察楊輝三角，培養(yǎng)學(xué)生要從多角度看問題的意識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

3．鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)交流、合作，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。同時(shí)，通過了解我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情感。

教學(xué)重、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：掌握二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，探討“楊輝三角”中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問題的能力。教學(xué)難點(diǎn)：如何發(fā)現(xiàn)、證明規(guī)律。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以深刻地感知知識(shí)的形成過程，對(duì)于規(guī)律性的結(jié)論可以做出判斷，并上升到理性的思考。通過小組合作學(xué)習(xí)的方式，學(xué)生更加感受到在互助中學(xué)習(xí)，在競(jìng)爭(zhēng)中學(xué)習(xí)的重要性，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神的目的。教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）溫故知新1、

二項(xiàng)式定理2、

二項(xiàng)式系數(shù)3、

組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

學(xué)生回憶前面學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，集體完成問題。

通過對(duì)學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)的調(diào)動(dòng)，對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。（二）探索新知【問題一】計(jì)算展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)1

2

3

4

5

6

通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？經(jīng)過對(duì)表格中的數(shù)據(jù)整理后，我們得到一張形如三角形的非常優(yōu)美的表。這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，我們把它叫做“楊輝三角”。

學(xué)生獨(dú)立完成問題一，主動(dòng)發(fā)表自己的見解。從學(xué)生已有二項(xiàng)式定理的知識(shí)及二項(xiàng)式系數(shù)的運(yùn)算出發(fā)讓學(xué)生通過填表發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)具有一定的規(guī)律。同時(shí)也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這樣的表格不利于發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的其它性質(zhì)，由此引發(fā)思考：如何對(duì)表格進(jìn)一步整理，得到更方便觀察二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)字規(guī)律的表格，由此自然引出“楊輝三角”?！締栴}二】觀察“楊輝三角”，你能得到哪些數(shù)字規(guī)律？（填到課前發(fā)的習(xí)題紙上，見附件1）（教師應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，如整體看、局部看；橫看、斜看。還可以計(jì)算每一橫行或斜行中各數(shù)字的和，看結(jié)果是否有規(guī)律。）

學(xué)生觀察表中數(shù)字，獨(dú)立思考，初步形成自己的看法，并在習(xí)題紙中做好記錄。通過引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察“楊輝三角”，讓學(xué)生感受對(duì)待同一事物“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的妙處。通過獨(dú)立思考，為下一環(huán)節(jié)的小組合作交流提供素材。【問題三】

請(qǐng)與同組的其它同學(xué)交流你的想法，并試著證明你們的猜想。

學(xué)生分小組合作交流，集思廣益。通過小組合作交流的形式，讓學(xué)生的不同想法產(chǎn)生碰撞，產(chǎn)生智慧的火花。【問題四】

請(qǐng)各小組派代表發(fā)表你們的看法。各小組派代表發(fā)言，并投影他們的討論成果。經(jīng)過獨(dú)立思考與合作交流，各小組得到的規(guī)律已初具規(guī)模。通過派代表發(fā)言，使各組一起分享討論成果。同時(shí)對(duì)一些教材上沒有又較難證明的規(guī)律，可以在這一環(huán)節(jié)共同解決。（對(duì)學(xué)生看法的預(yù)設(shè)：）見附件2

教師在這個(gè)環(huán)節(jié)中做好充分準(zhǔn)備，對(duì)學(xué)生可能找到的規(guī)律做出預(yù)設(shè)。

（三）例題分析及變式訓(xùn)練例：寫出的展開式中：1二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)3項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)4項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)5二項(xiàng)式系數(shù)的和6各項(xiàng)的系數(shù)的和變式：在的展開式中，求：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);二項(xiàng)式系數(shù)之和;各項(xiàng)系數(shù)之和；學(xué)生在練習(xí)本上規(guī)范答題，寫出完整解題過程。通過設(shè)計(jì)有針對(duì)性和有效性的練習(xí)，使學(xué)生能鞏固知識(shí)、訓(xùn)練技能，又幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。（四）課堂練習(xí)（五）評(píng)價(jià)反思從本節(jié)課的探索過程中你收獲了什么？學(xué)生舉手發(fā)言，談?wù)勛约旱氖斋@。讓學(xué)生回味這節(jié)課，總結(jié)自己的收獲，表達(dá)自己在課堂上收獲的知識(shí)與培養(yǎng)的情感，同時(shí)教師可以在這一環(huán)節(jié)檢查自己的預(yù)設(shè)目標(biāo)是否達(dá)到，以便做好課后反思。

（六）課后延伸楊輝三角奧秘?zé)o窮，只要大家從不同角度運(yùn)用合情推理，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。

激勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)探索楊輝三角，使學(xué)生意識(shí)到應(yīng)該把探究愿望貫穿在課堂內(nèi)外。（七）板書設(shè)計(jì)楊輝三角性質(zhì)：應(yīng)用1、

1、2、3、

2、4、

附件一探索楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律【活動(dòng)一】：計(jì)算展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入表格

n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)1

2

3

4

5

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通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律【活動(dòng)二】上表經(jīng)過整理得到如下形式：觀察上表，你能得到表中蘊(yùn)含的哪些數(shù)字規(guī)律？請(qǐng)把最后一行空缺的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整?！净顒?dòng)三】從不同的方向觀察楊輝三角，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)字規(guī)律？觀察的方向猜想規(guī)律試試證明你的猜想

同一行橫向看

相鄰兩行一起看

斜向看

附件二探索楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律【活動(dòng)一】：計(jì)算展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入表格

n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)11

1

21

21

31

331

41

4641

51

5101051

61

615201561

通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【活動(dòng)二】上表經(jīng)過整理得到如下形式：觀察上表，你能得到表中蘊(yùn)含的哪些數(shù)字規(guī)律？請(qǐng)把最后一行空缺的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整?！净顒?dòng)三】從不同的方向觀察楊輝三角，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)字規(guī)律？觀察的方向猜想規(guī)律試試證明你的猜想

同一行橫向看①對(duì)稱性：與首末兩端等距離的兩項(xiàng)相等。②增減性：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有最大項(xiàng)為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值。

作商比較：時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，由對(duì)稱性知后半部分逐漸減小，且在中間取得最大值。③各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，即：在二項(xiàng)式定理中令即可④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即：在二項(xiàng)式定理中令即可

相鄰兩行一起看⑤除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。

斜向看⑥把換成，再用組合數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可。⑦斐多那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13，…遞推公式：

整體看⑧把楊輝三角中每一行的數(shù)字寫在一起組成一個(gè)整數(shù)，這些整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)是1，公比是11的等比數(shù)列。⑨第p行除兩端的1以外，p整除其余的數(shù)。（p為一個(gè)質(zhì)數(shù)）觀察得到。（數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生待學(xué)）⑩第行的數(shù)都是奇數(shù)，第行除了兩端的1外都是偶數(shù)。觀察得到。（數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生待學(xué)）學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、組合及組合數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又具體學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。從知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的角度上看，學(xué)生可以從直觀上很好地觀察發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律，但對(duì)于高二的學(xué)生，他們思考問題的思維已經(jīng)不僅僅滿足于“知其然”，他們更渴望的是“知其所以然”，在老師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥下，學(xué)生能很自然地聯(lián)系到上位知識(shí)，即組合數(shù)的性質(zhì)與二項(xiàng)式系數(shù)的聯(lián)系，通過師生合作完成知識(shí)發(fā)展過程的探究。效果分析：

本節(jié)課的教材所具有的特點(diǎn)是所涉及的內(nèi)容都是以結(jié)論的形式直接呈現(xiàn)，對(duì)于這些結(jié)論學(xué)生也不難理解。但是如果以講授課的形式來學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，那么學(xué)生將陷入一種被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生不僅難于發(fā)現(xiàn)課本以外的其他規(guī)律，更甚者使學(xué)生能力缺失，對(duì)學(xué)習(xí)缺乏興趣，不能有效開展課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。因此，這就要求我們必須從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，去暴露知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程。

1．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo)，本節(jié)課結(jié)合歷史材料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育。2．依據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，本節(jié)課設(shè)計(jì)了“問題串”的形式，讓不同程度的學(xué)生都有所收獲，有所成功，充分體現(xiàn)新課程“面向全體，讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)上都能得到發(fā)展”的思想。通過填表的方式初步找規(guī)律，再獨(dú)立思考找規(guī)律，最后進(jìn)行合作交流，共同找規(guī)律并嘗試證明，在知識(shí)的形成過程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、深刻性，這體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)由具體感知到理性思考的過程，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供合理的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。

3．為突出重點(diǎn)，本節(jié)課采取觀察啟發(fā)和問題解決的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生主動(dòng)參與提出問題和探索問題的過程。同時(shí)采用學(xué)生以分組討論的方式，通過觀察分析——?dú)w納猜測(cè)——推理論證——鞏固反饋來理解和掌握內(nèi)容。（1）為突破難點(diǎn)，對(duì)結(jié)論的推理證明將由師生共同完成。在結(jié)論的推證過程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和演繹推理的能力以及化歸的思想方法。

（2）

為了給學(xué)生提供學(xué)習(xí)反饋的機(jī)會(huì)，以更好地揭示學(xué)生對(duì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程的認(rèn)知，本節(jié)課借助教育技術(shù)在內(nèi)的教學(xué)媒體，讓學(xué)生進(jìn)一步交流，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，同時(shí)顯示計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。教材分析楊輝三角是人教B版選修2-3第一章的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)過二項(xiàng)式定理后,進(jìn)一步學(xué)習(xí)其性質(zhì)的一個(gè)課例。楊輝三角所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想、方法給學(xué)生提供了一個(gè)很好的數(shù)學(xué)探究的課題。根據(jù)楊輝三角在整個(gè)教材內(nèi)容中的地位與作用,本節(jié)課教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)如下教學(xué)目標(biāo):

知識(shí)與技能了解楊輝三角的簡(jiǎn)單歷史,掌握楊輝三角的基本性質(zhì);

過程與方法:

通過探究過程培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、概括與歸納問題、解決問題能力;

情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過了解有關(guān)楊輝三角的簡(jiǎn)史,體會(huì)我國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就,進(jìn)行愛國主義教育,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究楊輝三角的熱情;通過小組討論,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、建構(gòu)知識(shí)的研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣以及合作化學(xué)習(xí)的團(tuán)隊(duì)精神。

根據(jù)上述教學(xué)目標(biāo),確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是:楊輝三角中數(shù)字的規(guī)律的探究;本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)是:楊輝三角中數(shù)字規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)。測(cè)評(píng)練習(xí)課后反思：對(duì)于本節(jié)課，一些教師可能會(huì)采取講授課的形式進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)檎n本上已經(jīng)直接給出了一些二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律，教師也就因?yàn)檎n時(shí)所限、高考不重點(diǎn)考查等原因而直接講結(jié)論，緊接著練習(xí)以完成教學(xué)任務(wù)。以這樣的方式培養(yǎng)出來的學(xué)生會(huì)習(xí)慣被動(dòng)接受，會(huì)喪失自主創(chuàng)新的能力。因此，在本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)中，我的設(shè)計(jì)力求學(xué)生能在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)──在體驗(yàn)中探究──在探究中創(chuàng)新。在介紹數(shù)學(xué)家楊輝時(shí)，我特意提到勾股定理以及圓周率的發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的愛國情感，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的情感目標(biāo)。

我在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，考慮到學(xué)生的參與程度和能力的不同，決定采取開放式設(shè)計(jì)，即讓他們發(fā)揮有效聯(lián)想和猜想，獨(dú)立思考，得到一些初步猜想。經(jīng)過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生心中會(huì)因自己的發(fā)現(xiàn)而有了一定的成就感，同時(shí)又渴望能發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。而此時(shí)的學(xué)習(xí)小組討論正是一場(chǎng)“及時(shí)雨”，能讓不同層次的學(xué)生的思想互相碰撞，產(chǎn)生火花。本節(jié)課的升華階段是學(xué)生成果的展示，因此我大膽采用“兵教兵”的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生主動(dòng)充當(dāng)“小老師”的角色，既展示了成果，又鍛煉了膽量和語言組織能力。那么在這個(gè)過程中，教師最具挑戰(zhàn)性的地方就在于如何將學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律與已有的知識(shí)結(jié)合起來，并進(jìn)行理性的證明。為了更好地解決這個(gè)問題，我在課前復(fù)習(xí)了二項(xiàng)式定理的有關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生能自然地聯(lián)系到組合數(shù)的性質(zhì)，并可以自己嘗試證明。當(dāng)然，受得所學(xué)知識(shí)的限制，有些規(guī)律暫時(shí)還不能證明，但這更激發(fā)了學(xué)