構(gòu)造性的證明

構(gòu)造性的證明第1頁/共59頁2

你可能喜歡音樂，因?yàn)樗袃?yōu)美和諧的旋律；你可能喜歡圖畫，因?yàn)樗鼜囊曈X上反映人和自然的美；那么，你應(yīng)該更喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樗褚魳芬粯雍椭C，像圖畫一樣美麗，而且它在更深的層次上，揭示自然界和人類社會(huì)內(nèi)在的規(guī)律，用簡(jiǎn)潔的、漂亮的定理和公式描述世界的本質(zhì)。數(shù)學(xué)，有無窮的魅力！

第2頁/共59頁3一、漁網(wǎng)的幾何規(guī)律

用數(shù)學(xué)方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：

V+F–E=1第3頁/共59頁4多面體的歐拉公式

V+F–E=2第4頁/共59頁5

數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來復(fù)雜的事物變得簡(jiǎn)明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律。第5頁/共59頁6二、濟(jì)南市

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多“存在性命題”：濟(jì)南市一定存在兩個(gè)頭發(fā)根數(shù)一樣多的人。對(duì)于存在性命題，通常有兩類證明方法：一類是構(gòu)造性的證明方法，即把需要證明存在的事物構(gòu)造出來，便完成了證明；一類是純存在性證明，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。

第6頁/共59頁7例如“任意兩個(gè)正整數(shù)都存在最大公約數(shù)”這個(gè)存在性命題，我們可以用“輾轉(zhuǎn)相除法”給出構(gòu)造性的證明，在證明最大公約數(shù)存在的同時(shí)，也給出了求最大公約數(shù)的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“連續(xù)函數(shù)如果在兩個(gè)端點(diǎn)反號(hào)，則中間一定存在零點(diǎn)”這個(gè)存在性命題，我們?cè)诮滩闹锌吹降暮驮谡n堂上聽到的，往往是純存在性證明，證明了零點(diǎn)的存在，但并不給出找到零點(diǎn)的方法。第7頁/共59頁8濟(jì)南市

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多構(gòu)造性證明：

一個(gè)一個(gè)地去數(shù)濟(jì)南市中所有人的頭發(fā)根數(shù)，一定可以找到兩個(gè)具體的人，不妨稱之為張三和李四，他們的頭發(fā)根數(shù)一樣多，便完成了證明。第8頁/共59頁9濟(jì)南市

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多純存在性證明

：“抽屜原理”

證明“367個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日是相同的”

證明“濟(jì)南市一定存在兩個(gè)頭發(fā)根數(shù)一樣多的人”

第9頁/共59頁10

對(duì)于這個(gè)命題，純存在性證明的方法，比用構(gòu)造性證明的方法更可靠。第10頁/共59頁11三、圓的魅力

車輪，是歷史上最偉大的發(fā)明之一圓，是平面圖形中對(duì)稱性最強(qiáng)的圖形周長(zhǎng)與直徑之比是一個(gè)常數(shù)這個(gè)常數(shù)是無理數(shù)、超越數(shù)面積相等的圖形中圓的周長(zhǎng)最短規(guī)尺作圖化圓為方不可做第11頁/共59頁12四、“三角形三內(nèi)角之和等于180度，

這個(gè)命題不好”

這句話是1978年數(shù)學(xué)大師陳省身先生在北京大學(xué)的一次演講中說的，后來又多次說過。所以，這不是隨便說的一句話。陳先生并沒有說“三角形三內(nèi)角之和等于180度，這個(gè)命題不對(duì)”，而是說“這個(gè)命題不好”。

第12頁/共59頁13三角形三內(nèi)角之和=180度

n邊形n內(nèi)角之和=？

n邊形n內(nèi)角之和=180度×(n–2)

第13頁/共59頁14n邊形n外角之和=360度不變量曲邊形（向量組的秩；矩陣的秩）

第14頁/共59頁15高斯－博內(nèi)公式當(dāng)積分區(qū)域是整個(gè)閉曲面M時(shí)，有

=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的歐拉示性數(shù)。這一高斯－博內(nèi)公式的左面是一個(gè)由局部性質(zhì)（曲率）表示的量，但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓?fù)洳蛔兞?。高斯－博?nèi)公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫了整體性質(zhì)。第15頁/共59頁16

五、圖論與哥尼斯堡七橋問題

(“抽象”的典型，圖論的起源)

第16頁/共59頁17第17頁/共59頁18四色問題

四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個(gè)具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請(qǐng)教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。第18頁/共59頁19

德?摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的,至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。

第19頁/共59頁20但德·摩根未能解決這個(gè)問題,就又把這個(gè)問題轉(zhuǎn)給了其他數(shù)學(xué)家,其中包括著名數(shù)學(xué)家哈密頓。但這個(gè)問題當(dāng)時(shí)沒有引起數(shù)學(xué)家的重視。直到1878年,英國數(shù)學(xué)家凱萊對(duì)該問題進(jìn)行了一番思考后，認(rèn)為這不是一個(gè)可以輕易解決的問題，并于當(dāng)年在《倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)文集》上發(fā)表了一篇《論地圖著色》的文章,才引起了更大的注意。第20頁/共59頁211879年，一位英國律師肯泊在《美國數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，宣布證明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的證明中有嚴(yán)重錯(cuò)誤。

第21頁/共59頁22一個(gè)看來簡(jiǎn)單，且似乎容易說清楚的問題，居然如此困難，這引起了許多數(shù)學(xué)家的興趣，體現(xiàn)了該問題的魅力。實(shí)際上，對(duì)于地圖著色來說,各個(gè)地區(qū)的形狀和大小并不重要,重要的是它們的相互位置。下圖中的三個(gè)地圖對(duì)地圖著色來說都是等價(jià)的。從數(shù)學(xué)上看,問題的實(shí)質(zhì)在于地圖的“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”。

第22頁/共59頁23一百多年來許多數(shù)學(xué)家對(duì)四色問題進(jìn)行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對(duì)于不超過25個(gè)國家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數(shù)目提高到27個(gè)。1936年弗蘭克林將國家的數(shù)目提高到31個(gè)。1968年挪威數(shù)學(xué)家奧雷證明了,不超過40個(gè)國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四色猜想”。

第23頁/共59頁24四色問題的解決直到1972年，美國依利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，開始用計(jì)算機(jī)進(jìn)行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺(tái)IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī),耗時(shí)1200小時(shí),終于證明了四色猜想。第24頁/共59頁25這是一個(gè)驚人之舉。當(dāng)這項(xiàng)成果在1977年發(fā)表時(shí),當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOURCOLORSSUFFICE)，加蓋在當(dāng)時(shí)的信件上。

第25頁/共59頁26拓展了人們對(duì)“證明”的理解由于這是第一次用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個(gè)難題，而且從根本上拓展了人們對(duì)“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對(duì)“證明”的思考。第26頁/共59頁27六、素?cái)?shù)的奧秘自然數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)最重要的元素。自然數(shù)中有一種特別基本又特別重要的數(shù)，稱為“素?cái)?shù)”。素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù)中，只能被自己和1整除的數(shù)；大于1的自然數(shù)中不是素?cái)?shù)的都稱為“合數(shù)”；1則既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。第27頁/共59頁28由于在大于1的自然數(shù)中，素?cái)?shù)的因子最少，所以素?cái)?shù)是特別簡(jiǎn)單的數(shù)。又由于一切大于1的自然數(shù)都能夠從素?cái)?shù)通過乘法得到，所以素?cái)?shù)又是特別基本的數(shù)。素?cái)?shù)很早就被古希臘的數(shù)學(xué)家所研究。2300多年前歐幾里得的幾何《原本》第9卷的定理20，就給出了“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”的漂亮證明。第28頁/共59頁29但是，素?cái)?shù)的有些規(guī)律，表述出來很容易聽懂，研究起來卻出人意料地困難。（當(dāng)然，素?cái)?shù)的有些規(guī)律表述出來也是相當(dāng)復(fù)雜的。）關(guān)于素?cái)?shù)的規(guī)律，人類有許多的“猜想”。至今還有不少關(guān)于素?cái)?shù)的重要猜想，既沒有被證明，也沒有被否定。有的猜想的解決，現(xiàn)在看來可能會(huì)十分遙遠(yuǎn)。有人甚至預(yù)言，“人類探尋素?cái)?shù)規(guī)律的歷史，將等同于人類的整個(gè)文明史”。第29頁/共59頁30三個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)規(guī)律的問題

從加法的角度研究素?cái)?shù)從乘法的角度研究素?cái)?shù)找一個(gè)公式來表示素?cái)?shù)

第30頁/共59頁31從加法的角度研究素?cái)?shù)兩個(gè)猜想：每個(gè)足夠大的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和；每個(gè)足夠大的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。后一個(gè)猜想現(xiàn)在已被證明；前一個(gè)猜想至今卻既沒有人舉出反例，也沒有人給出證明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。第31頁/共59頁32從乘法的角度研究素?cái)?shù)算術(shù)基本定理：任一個(gè)大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個(gè)素?cái)?shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且如果不計(jì)次序的話，表法是唯一的。算術(shù)基本定理早已被證明，但不是采用“構(gòu)造性”的證明。未解之謎：這個(gè)問題是：對(duì)任一個(gè)大于1的自然數(shù)，試給出一個(gè)一般的方法，以便較快地找到有限個(gè)素?cái)?shù)（可以重復(fù)），使它們的乘積等于那個(gè)預(yù)先寫出的大于1的自然數(shù)。第32頁/共59頁33

下面用“構(gòu)造性”證明的思路，來試圖找到解決的辦法，同時(shí)也體會(huì)它的困難所在。第33頁/共59頁34解決問題的困難不嚴(yán)格的地方，或者說“跳步”的地方，就在最前面的兩步。即，如何較快地判斷“a是否素?cái)?shù)”；及當(dāng)判斷出a不是素?cái)?shù)后如何較快地找到b，得到a=b×c。解決問題的本質(zhì)困難，也在這兩個(gè)步驟。雖然現(xiàn)在有了高速計(jì)算機(jī)，但是對(duì)于很大的數(shù)a，例如200位的數(shù)a，這兩步的計(jì)算仍然很費(fèi)時(shí)日，以至于實(shí)際上是不可能解決問題的第34頁/共59頁35這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路

a=b×c（b、c是兩個(gè)很大的素?cái)?shù)，比如都是100位的大素?cái)?shù)

）在造密碼時(shí)，你可以把a(bǔ)公開，但b、c對(duì)外保密，只有“我方”了解。必須知道b、c才能破譯密碼?！皵撤健敝恢繿和密文，就無法了解密文的意思。要想破譯密文，首先需要把a(bǔ)分解為b×c。但是因?yàn)閍這個(gè)數(shù)很大，以及上面提到的本質(zhì)困難，把a(bǔ)分解為b×c是很費(fèi)時(shí)日的。

第35頁/共59頁36找一個(gè)公式來表示素?cái)?shù)費(fèi)馬素?cái)?shù)(1640年)

(n=0,1,2,3,4)梅森素?cái)?shù)(1644年)

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257

）“梅森數(shù)中是否有無窮個(gè)素?cái)?shù)”的問題，也是未解之謎。梅森數(shù)與完全數(shù)的問題.第36頁/共59頁37關(guān)于費(fèi)馬素?cái)?shù)，n=5時(shí)，

Fn=4294967297=641×6700417梅森的判斷中有五個(gè)錯(cuò)誤：

n=67、257時(shí)Mn不是素?cái)?shù)；而n=61、89、107時(shí)Mn是素?cái)?shù)。

第37頁/共59頁38科爾：《大數(shù)的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科爾一言未發(fā)；會(huì)場(chǎng)上爆發(fā)了熱烈的掌聲。第38頁/共59頁39七、“蒲豐投針”的故事

針長(zhǎng)是行距的一半,投了2212次,其中與平行線相交的為704次.2212/704=3.142

不同的問題可能存在聯(lián)系第39頁/共59頁40八、“化歸”的方法

“化歸”，是把未知的問題，轉(zhuǎn)化為已知的問題；把待解決的問題，歸結(jié)為已解決的問題，從而解決問題的過程。

波利亞：關(guān)于“燒水”的例子

第40頁/共59頁41九、體會(huì)公式中的數(shù)學(xué)美

可以從公式中，令=推出來。公式，用“等號(hào)”連接了數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的常數(shù)，反映了數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”。第41頁/共59頁42

M．克萊因（FelixKlein,1849－1925）：

音樂能激發(fā)或撫慰人的感情，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人聰慧，科學(xué)可以改善生活，而數(shù)學(xué)能做到所有這一切。第42頁/共59頁43

二、數(shù)學(xué)的“用處”

1．不應(yīng)實(shí)用主義地理解“用處”

數(shù)學(xué)有廣泛的用途，但那不同于一般工具的“用處”；不像一把斧頭，拿來便可砍柴。

第43頁/共59頁44數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（一）萬有引力定律。基于開普勒行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識(shí)和非常復(fù)雜的幾何知識(shí)與技巧。有興趣的同學(xué)可以閱讀這本書。第44頁/共59頁45數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（二）相對(duì)論。愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對(duì)論，廣義相對(duì)論，這是對(duì)物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時(shí)空觀的改變。愛因斯坦的時(shí)空觀認(rèn)為時(shí)間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式。第45頁/共59頁46數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（三）電磁波的發(fā)現(xiàn)。英國物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動(dòng)了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪?。?6頁/共59頁47數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（四）最近，兩位美國數(shù)學(xué)家解開了一個(gè)困擾科學(xué)界長(zhǎng)達(dá)50年的“簡(jiǎn)單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)律。該研究成果將對(duì)工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計(jì)、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測(cè)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。（氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動(dòng)力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率

）

第47頁/共59頁48數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（五）神州六號(hào)的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機(jī)的能力。在神舟六號(hào)的研制過程中，數(shù)學(xué)起了不可替代了作用，尤其是在軌道測(cè)算，時(shí)間測(cè)算等方面。第48頁/共59頁49數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)（六）1973年，美國芝加哥大學(xué)學(xué)者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權(quán)定價(jià)模型（black-scholesoptionpricingmodel），對(duì)股票期權(quán)的定價(jià)作了詳細(xì)的討論。此后，不少學(xué)者（Merton）又對(duì)該模型進(jìn)行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動(dòng)了期權(quán)定價(jià)理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學(xué)知識(shí)。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。（上圖為Merton，哈佛大學(xué)；下圖為Scholes，芝加哥大學(xué)。）第49頁/共59頁50

2．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用常常是難以預(yù)料的

1）素?cái)?shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用

2）圓錐曲線論在行星運(yùn)動(dòng)開普勒三定律中的應(yīng)用

3）黎曼幾何在廣義相對(duì)論中的應(yīng)用

4）陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場(chǎng)理論中的應(yīng)用

5）正電子、黑洞與電磁場(chǎng)的發(fā)現(xiàn)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無可奈何地感嘆：“當(dāng)一個(gè)物理學(xué)家得到一個(gè)思想時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了?！钡?0頁/共59頁51

三、數(shù)學(xué)的語言

1．自然語言與數(shù)學(xué)語言

1）自然語言——具體的語言；數(shù)學(xué)語言——形式化的語言

2)科學(xué)工作者用數(shù)學(xué)語言使自己的工作精確化

如：牛頓——運(yùn)動(dòng)第二定律；愛因斯坦——廣義相對(duì)論

“數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科的程度，反映了這門學(xué)科成熟的程度?！?/p>

第51頁/共59頁52

2.數(shù)學(xué)語言是人類文明、宇宙文明的共同語言

1）當(dāng)你寫下c2=a2+b2，S=v0t+0.5gt2，不同的民族雖然有不同的自然語言，但對(duì)此數(shù)學(xué)語言描述的內(nèi)容，不同的人種都能明白。