勾股定理的七種證明方法

勾股定理的七種證明方法【證法1】做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即a"2+b"2+4*(ab/2)=c"2+4*(ab/2)整理得到：a辺+b辺二"2?！咀C法2】以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.?/ RtAHAE 竺RtAEBF,??? ZAHE = ZBEF.??? ZAEH + ZAHE= 90°,??? ZAEH + ZBEF= 90°????ZHEF=180°—90°=90°.???四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的正方形.它的面積等于"2.?/RtAGDH竺RtAHAE,???ZHGD=ZEHA.???ZHGD+ZGHD=90°,???ZEHA+ZGHD=90°.又???ZGHE=90°,???ZDHA=90°+90°=180°.???ABCD是一個(gè)邊長為a+b的正方形，它的面積等于(a+b)'2???(a+b廠2二"2+4*(ab/2)， a"2+b"2二"2?！咀C法3】以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2?把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.?/RtADAH竺RtAABE,???ZHDA=ZEAB????ZHAD+ZHAD=90°,???ZEAB+ZHAD=90°,???ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c'2.?/EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°.???EFGH是一個(gè)邊長為b—a的正方形，它的面積等于(b-a廠2.(b—a廠2+4*(ab/2)=c"2, ??a^2+b^2=c^2?！咀C法4】以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.?/RtAEAD竺RtACBE,???ZADE=ZBEC??/ZAED+ZADE=90°,???ZAED+ZBEC=90°.???ZDEC=180°—90°=90°.???ADEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于"2/2?丈:ZDAE=90°,ZEBC=90°,???AD〃BC????ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于(a+b)人2/2(a+b廠2/2=2*ab/2+"2/2,???aA2+bA2=cA2o【證法5】做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.?:D、E、F在一條直線上，且RtAGEF竺RtAEBD,???ZEGF=ZBED，?:ZEGF+ZGEF=90°，???ZBED+ZGEF=90°，???ZBEG=180°—90°=90°.又?：AB=BE=EG=GA=c，???ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.???ZABC+ZCBE=90°??:RtAABC竺RtAEBD,???ZABC=ZEBD.???ZEBD+ZCBE=90°.即ZCBD=90°.又?：ZBDE=90°，ZBCP=90°，BC=BD=a.???BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則a"2+b辺二S+2*ab/2"2=S+2*ab/2a"2+b"2二"2。FDFD【證法6】如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CD丄AB，垂足是D?在厶ADC和AACB中，???ZADC=ZACB=90°，ZCAD=ZBAC，???AADCsAACB.AD：AC=AC:AB，即AL2二AD*AB.同理可證，ACDBsAACB，從而有BL2二BD*AB.???AL2+BL2=(AD+BD)*AB二AB"2，即a"2+b"2二"2?！咀C法7】做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CL丄DE，交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L.???AF=AC，AB=AD，

ZFAB=ZGAD,???AFAB竺AGAD,???AFAB的面積等