2022-2023學年高二數(shù)學 人教A版2019選擇性必修第三冊 同步講義 第4講 排列組合常見11種題型總結(jié)分析 （解析版）

第4講排列組合常見11種題型總結(jié)分析【題型目錄】題型一：特殊元素與特殊位置優(yōu)待法題型二：分類討論思想題型三：插空法（不相鄰問題）題型四：捆綁法（相鄰問題）題型五：平均分組問題除法策略題型六：分配問題先分組再分配題型七：正難則反題型八：定序問題（消序法）題型九：相同元素隔板法題型十：涂色問題題型十一：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題【典型例題】題型一：特殊元素與特殊位置優(yōu)待法對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。【例1】從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（）（A）280種（B）240種（C）180種（D）96種【答案】B【詳解】解：先從除了甲乙剩余的4名志愿者中選1人從事翻譯工作，有種，然后再從剩余的名志愿者中選3個人從事另外三項工作，有種，所以一共有種.故選：B．【例2】某城市的汽車牌照號碼由個英文字母后接個數(shù)字組成，其中個數(shù)字互不相同的牌照號碼共有（

）個A． B． C． D．【答案】D【分析】先求從26個英文字母中選出2個英文字母的方法數(shù)，再求出后接4個數(shù)字組成的方法數(shù)，由分步計數(shù)原理即可得結(jié)論．【詳解】解：先從26個英文字母中選出2個英文字母的方法數(shù)為，后接4個數(shù)字組成的方法數(shù)為，所以由分步計數(shù)原理可得不相同的牌照號碼共有個.故選：D．【例3】將甲、乙、丙等六位同學排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法有______種.【答案】240【分析】依據(jù)特殊元素優(yōu)先法去排列即可解決.【詳解】甲、乙、丙等六位同學排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同學在一排6個座位上就座.先安排甲、乙、丙三位同學：在6個座位中任選3個座位有種方法，讓甲、乙坐在丙的兩側(cè)，有種方法；接下來安排余下的三位同學：余下的三位同學在剩下的3個座位上任意坐有種方法.則不同的排法共有（種）故答案為：240【例4】用0、1、2、3、4五個數(shù)字:(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復數(shù)字的五位奇數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】四個問題是同一類型題根據(jù)已知討論各個位置上的數(shù)字情況，然后利用分步乘法計數(shù)原理進行計算即可求解.（1）用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成五位數(shù),相當于從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在千位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在十位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，所以可組成個五位數(shù).（2）用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù),相當于先從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，再把剩下的三個數(shù)字和0全排列，有種情況，所以可組成個無重復數(shù)字的五位數(shù).（3）無重復數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，所以三個數(shù)字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三個數(shù)字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；若三個數(shù)字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；若三個數(shù)字是1、2、3，則相當于對這三個數(shù)字全排列，有種情況;若三個數(shù)字是2、3、4，則相當于對這三個數(shù)字全排列，有種情況.所以根據(jù)分類計數(shù)原理，共可組成個無重復數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).（4）由數(shù)字0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以放在個位數(shù)字只能是1或3，所以相當于先從1、3兩個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，再從剩下的四個數(shù)字中除去0抽取一個放在萬位，有種情況，再對剩下的三個數(shù)字全排列，有種情況，所以可組成個無重復數(shù)字的五位奇數(shù).【題型專練】1．某校從8名教師中選派4名教師到4個邊遠地區(qū)支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，則不同的選派方案有______種．【答案】600【分析】先從8名教師中選出4名，因為甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按選甲和不選甲分成兩類，兩類方法數(shù)相加，再把4名老師分配去4個邊遠地區(qū)，4名老師進行全排列即可，最后兩步方法數(shù)相乘【詳解】解：分兩步，第一步，先選四名老師，又分兩類，第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有種不同的選法，第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有種不同的選法，所以不同的選法有25種，第二步，四名老師去4個邊遠地區(qū)支教，有種，所以共有種，故答案為:600【點睛】此題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．某化工廠生產(chǎn)中需依次投放2種化工原料，現(xiàn)已知有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放，則不同的投放方案有（）.A．10種 B．12種 C．15種 D．16種【答案】C【分析】根據(jù)選甲或乙或都不選分類討論即可.【詳解】分為以下三類分別計算：選甲，則有種；選乙，則有種；甲乙都不選，則有種；共有3+6+6=15種方案；故選：C.3．4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．288 B．336 C．368 D．412【答案】B【分析】由已知，可根據(jù)題意，分成當四位數(shù)不出現(xiàn)1時、當四位數(shù)出現(xiàn)一個1時、當四位數(shù)出現(xiàn)兩個1時三種情況，分別列式求解即可.【詳解】當四位數(shù)不出現(xiàn)1時，排法有：種；當四位數(shù)出現(xiàn)一個1時，排法有：種；當四位數(shù)出現(xiàn)兩個1時，排法有：種；所以不同的四位數(shù)的個數(shù)共有：．故選：B．4．用0，2，4，5，6，8組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)共有（

）A．120個 B．192個 C．252個 D．300個【答案】C【分析】根據(jù)個位數(shù)是否為零分類討論即可.【詳解】若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0，則有個；若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0，則有個.故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個數(shù)為；故選：C.題型二：分類討論思想【例1】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎，將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況數(shù)（）A．60 B．40 C．30 D．80【答案】A【分析】分類討論：一，二，三等獎，三個人獲得；一，二，三等獎，有1

人獲得2張，1人獲得1張【詳解】一，二，三等獎，三個人獲得，共有種；一，二，三等獎，有1

人獲得2張，1人獲得1張，共有種，共有24+36=60種.故選：A.【例2】中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1~9的一種方法.例如：3可以表示為“”，26可以表示為“”.現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)的個數(shù)為_________.【答案】16【分析】根據(jù)已知條件分析可得6根算籌可以表示的數(shù)字組合，進而分析每個組合表示的兩位數(shù)個數(shù)，由加法原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌可以表示的數(shù)字組合為15，19，24，28，64，68，33，37，77；數(shù)字組合15，19，24，28，64，68，37中，每組可以表示2個兩位數(shù)，則可以表示個兩位數(shù)；數(shù)字組合33，77，每組可以表示1個兩位數(shù)，則共可以表示個兩位數(shù)；則總共可以表示個兩位數(shù).故答案為：16.【例3】將1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（

）123312231A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】B【分析】由題意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一確定了，由此求出答案．【詳解】由題意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一確定了，則不同的填寫方法共有．故選：B．【題型專練】1．6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.2．某公司安排甲乙丙等人完成天的值班任務(wù)，每人負責一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有___種．【答案】【分析】根據(jù)題意，按甲乙丙的安排分5種情況討論：①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天和第三天，乙沒有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙沒有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有4種安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，分5種情況討論：①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天和第三天，有2種情況，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有＝120種安排方式，此時有2×120＝240種安排方式，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有＝120種安排方式，此時有1×120＝120種安排方式，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有＝24種安排方式，此時有4×24＝96種安排方式，④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有＝24種安排方式，此時有3×2×4×24＝576種安排方式，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有＝24種安排方式，此時有4×24＝96種安排方式；故有240+120+96+576+96＝1128種安排方式；故答案為：1128題型三：插空法（不相鄰問題）對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可?！纠?】6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120 C．72 D．24【答案】D【解析】先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種【例2】公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就．小明是個數(shù)學迷，他在設(shè)置手機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個1不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（

）個．A．240 B．360 C．600 D．720【答案】A【分析】直接利用插空法計算得到答案.【詳解】利用插空法：共有種.故選：A【例3】有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是（

）A．12 B．48 C．72 D．96【答案】B【分析】此題分為物理在第一或第五個位置、物理在第二或第四個位置和物理在第三個位置，分別求出它們的總數(shù)即可求出答案.【詳解】物理在第一或第五個位置，共有：種；物理在第二或第四個位置，共有：種；物理在第三個位置，共有：種；所以同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是：.故選：B.【題型專練】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，則共有擺放方法（

）A．120種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】D【分析】紅色在中間，先考慮紅色左邊的情況，再考慮右邊，進而求出答案.【詳解】紅色左邊放一盆白色，一盆黃色，右邊放一盆白色，一盆黃色，先選左邊，白色二選一，黃色二選一，再進行排列，故有種選法，再考慮后邊，剩余的白色和黃色進行排列即可，有種選法，綜上：一共有擺放方法=16種.故選：D2．現(xiàn)有2名學生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（

）種．A．552 B．864 C．912 D．1008【答案】C【分析】插空法求解不相鄰排列問題.【詳解】由題意，設(shè)表示兩名學生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長位置，第一步：先排學生有種方法；第二步：再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，對于①，教師有種排法，然后再將三名家長排入五個空中，共有種方法；對于②，教師有種排法，然后家長先在A與A之間和與之間各選一個家長排入，剩余一個家長插入剩余三個空中的一個空中，有種；對于③，教師有種排法，然后選一個家長排在最中間一個空中，再將剩余兩個家長排在剩余的四個空中，有種排法，綜上，共有．故選：C．3．某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過道工序，如果工序C，D必須不能相鄰，那么有______種加工順序（數(shù)字作答）【答案】72【分析】先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空.【詳解】先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將C，D這2道工序插空，有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序.題型四：捆綁法（相鄰問題）對于某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素捆綁，再將它與其它元素在一起排列，注意捆綁部分的內(nèi)部順序。【例1】某班優(yōu)秀學習小組有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他們排成一排照相，則甲?乙二人相鄰的排法種數(shù)為()A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲?乙相鄰，有種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，故有排法種數(shù)為.故選：C【例2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B【例3】（多選題）3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是（

）A．共有60種不同的坐法B．空位不相鄰的坐法有72種C．空位相鄰的坐法有24種D．兩端不是空位的坐法有27種【答案】AC【分析】對于A，采用組合先選出座位，再根據(jù)排列方法安排座位；對于B，利用插空法；對于C，利用捆綁法；對于D，利用特殊元素優(yōu)先法.【詳解】對于A，，故正確；對于B，，故錯誤；對于C，，故正確；對于D，，故錯誤，故選：AC.【例4】中國古代儒家提出的“六藝”指：禮?樂?射?御?書?數(shù).某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動，周六這天準備排課六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”與“樂”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】D【分析】利用捆綁法和插空法計算可得.【詳解】解：由題意“樂”與“書”不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”?“數(shù)”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進行，所以共有種.故選：D.【例5】某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．【答案】120【分析】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中.【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有種方法；另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，有種，因此共有種.故答案為：120【題型專練】1．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有____________種.【答案】36【詳解】試題分析：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有種方法，而A、B可交換位置，所以有種擺法，又當A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有種擺法，故滿足條件的擺法有種.【考點】排列組合，容易題.2．甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.3．2名老師和3名學生站成一排照相，則3名學生中有且僅有2人相鄰的站法有________種.【答案】72【分析】先將學生分成兩組，兩人的先捆綁，再兩位老師全排列，剩下三個空將兩組學生全排列即可.【詳解】第一步：先取兩個學生捆綁，則有種；第二步：兩名老師全排列，則有種；第三步：兩名老師有3個空，將兩組學生安排在3個空中的兩個，則有種，則一共有種.故答案為：724．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學生從中選2門課程學習，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有480種排法【答案】ABC【分析】利用直接法、插空法、捆綁法以及分步乘法計數(shù)原理依次判斷選項即可.【詳解】A：6門中選2門共有種選法，故A正確；B：課程“樂”“射”排在相鄰的兩周時，把這兩個看成一個整體，有種排法，然后全排列有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，“樂”“射”相鄰的排法共有種，故B正確；C：課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，先排剩下的三門課程有種排法，然后利用插空法排課程“御”“書”“數(shù)”有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得共有種排法，故C正確；D：分2種情況討論：若先把“禮”排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，若先把“禮”不排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，所以，共有種排法，故D錯誤.故選：ABC.5．“四書”“五經(jīng)”是我國部經(jīng)典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，每部名著安排次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，將《大學》《論語》捆綁和《周易》看作兩個元素，采用插空法排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得答案.【詳解】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.6．中國書法一般分為篆書?隸書?行書?楷書和草書這5種字體，其中篆書分大篆和小篆，隸書分古隸和漢隸，草書分章草?今草和狂草，行書分行草和行楷，楷書分魏碑和唐楷.為了弘揚傳統(tǒng)文化，某書法協(xié)會采用楷書?隸書和草書3種字體書寫6個福字，其中隸書字體的福字分別用古隸和漢隸書寫，草書字體的福字分別用章草?今草和狂草書寫，楷書字體的福字用唐楷書寫.將這6個福字排成一排，要求相同類型字體的福字相鄰，則不同的排法種數(shù)為___________種.【答案】72【分析】利用捆綁法，結(jié)合排列數(shù)的計算，求解即可.【詳解】分別將隸書?草書?楷書當作整體，排法總數(shù)為，隸書內(nèi)部順序，草書內(nèi)部順序，故方法總數(shù)為種.故答案為：.題型五：平均分組問題除法策略【例1】已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有________種不同的分堆方法？【答案】15【分析】根據(jù)題意先對6本書進行分組，因為平均分成的組，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要除以，進而求解.【詳解】6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.故答案為：.【例2】12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為將12個組分成4個組的分法有種，而3個強隊恰好被分在同一組分法有，故個強隊恰好被分在同一組的概率為．【例3】6本不同的書，分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，共有________種不同的分配方式【答案】15【分析】根據(jù)部分平均分組由排列組合即可求解.【詳解】無序均勻分組問題，種，故答案為：15【題型專練】1．奧運會足球預選賽亞洲區(qū)決賽（俗稱九強賽），中國隊和韓國隊是其中的兩支球隊．現(xiàn)要將9支球隊隨機平均分成3組進行比賽，則中國隊與韓國隊分在同一組的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由組合與古典概型公式求解【詳解】由題意得9支球隊平均分成3組共有種，若中國隊與韓國隊分在同一組，則有種，故所求概率為，故選：A2．6本不同的書，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______種分法【答案】60【分析】根據(jù)不平均分組即可求解，【詳解】先從6本書中任取1本，作為一堆，有種取法，再從余下的5本書中任取2本，作為一堆，有種取法，最后從余下的3本書中取3本作為一堆，有種取法，故共有分法種.3．“全員檢測，阻斷清零”的新冠防疫政策，使得我國成為全球最安全的國家.現(xiàn)某處需要三組全民核酸檢測人員，其中有3名醫(yī)生和6名社會志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者組成.根據(jù)需要，志愿者甲與乙要分配在同一組，則這9名檢測人員分組方法種數(shù)為______.【答案】18【分析】先把除甲乙兩人的4名志愿者分成兩組，再搭配3名醫(yī)生，用分步乘法原理計算可得結(jié)果.【詳解】志愿者分組情況有種，搭配3名醫(yī)生有種.故答案為:18.題型六：分配問題先分組再分配【例1】某校在重陽節(jié)當日安排4位學生到三所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（

）A．81 B．72 C．48 D．36【答案】D【分析】先將4位學生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，即可得出答案．【詳解】先將4位學生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，則有種分配方法，故選：D．【例2】某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個社區(qū)進行服務(wù)，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】首先將名志愿者分成組，再分配到個社區(qū).【詳解】首先將名志愿者分成組，再分配到個社區(qū)，可分為種情況，第一類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第二類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第三類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，所以共（種）選派方案，故選：A.【例3】6名志愿者要到，，三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種【答案】D【分析】先安排2名志愿者到A社區(qū)，再考慮剩余的4名志愿者，分為兩組，可以平均分，可以一組1人，一組3人，再對兩組進行分配，從而求出最終答案.【詳解】先選出2名志愿者安排到A社區(qū)，有種方法，再把剩下的4名志愿者分成兩組，有兩種分法，一種是平均分為兩組，有種分法，另一種是1組1人，另一組3人，有種分法，再分配到其他兩個社區(qū)，則不同的安排方法共有種.故選：D【例4】某班9名同學參加植樹活動，若將9名同學分成挖土?植樹?澆水3個小組，每組3人，則甲?乙?丙任何2人在不同小組的安排方法的種數(shù)為（

）A．90 B．180 C．540 D．3240【答案】C【分析】先安排除甲?乙?丙之外的同學進行平均分組，再安排甲乙丙到三個不同小組，結(jié)合排列組合公式即可求解.【詳解】第一步：先安排除甲?乙?丙之外的同學，將除甲?乙?丙3人之外的6名同學分成挖土?植樹?澆水3組，每組2人，有種不同的方法；第二步：安排甲?乙?丙，甲?乙?丙3人分到3個不同的小組，有種不同的方法.則由分步乘法計數(shù)原理知，共有種不同的安排方法.故選：C.【例5】年月日至月日，第屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團體錦標賽在成都舉行，組委會安排甲、乙等名工作人員去個不同的崗位工作，其中每個崗位至少一人，且甲、乙人必須在一起，則不同的安排方法的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對甲、乙兩人所在的崗位的人數(shù)進行分類討論，利用分組分配的原理結(jié)合分類加法計數(shù)原理可求得不同的安排方法種數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：（1）若甲、乙兩人所在的崗位只分配了甲、乙兩人，則另外有一個崗位需要安排兩人，此時，不同的安排方法種數(shù)為種；（2）若甲、乙兩人所在的崗位分配了三人，則還需從其余四人中抽取一人分配在甲、乙這兩人所在的崗位，此時，不同的安排方法種數(shù)為種.綜上所述，不同的安排方法種數(shù)為.故選：A.【例6】在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學校的高一、高二、高三3個年級協(xié)助防控和宣傳工作.若每個年級至少分配1名醫(yī)務(wù)人員，則不同的分配方法有（）A．25種

B．50種

C．300種

D．150種【答案】D【分析】首先分析將5個人分為三小組且每小組至少有一人，則可能分法有：兩種情況，每種情況利用分步計數(shù)原理計算情況數(shù)，最后相加即可.【詳解】當5個人分為2，2，1三小組，分別來自3個年級，共有種；②當5個人分為3，1，1三小組時，分別來自3個年級，共有種.綜上，選法共有.故選:D.【例7】為促進援疆教育事業(yè)的發(fā)展，某省重點高中選派了名男教師和名女教師去支援邊疆工作，分配到所學校，每所學校至少一人，每人只去一所學校，則兩名女教師分到同一所學校的情況種數(shù)為______．【答案】36【分析】將名老師分為組，討論位女老師所在學校有人和人的情況進行計算即可．【詳解】若位女老師和名男老師分到一個學校有種情況；若位女老師分在一個學校，則名男教師分為組，再分到所學校，有種情況，故兩名女教師分到同一所學校的情況種數(shù)為種．故答案為：．【例8】甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．【答案】50【分析】因為E工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個原理及排列組合的知識即可求得【詳解】由題意可分為兩類（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式綜上共有種安排方式故答案為：50【題型專練】1．某地為遏制新冠肺炎病毒傳播，要安排3個核酸采樣隊到2個中風險小區(qū)做核酸采樣，每個核酸采樣隊只能選擇去一個中風險小區(qū)，每個中風險小區(qū)里至少有一個核酸采樣隊，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】由不平均分組，可得答案.【詳解】由題意，分組方案有一種情況，則種，故選：C.2．某社區(qū)服務(wù)站將5名志愿者分到3個不同的社區(qū)參加活動，要求每個社區(qū)至少1人，不同的分配方案有（

）A．360種 B．300種 C．90種 D．150種【答案】D【分析】先分類，分為3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1或2,2,1，再求出兩種情況下的不同分配方案，注意部分平均分組問題.【詳解】若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1，此時不同的分配方案有種，若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2,2,1，此時不同的分配方案有種，綜上：不同的分配方案有60+90=150種.故選：D3．6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.4．有編號分別為1，2，3，4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子，恰有一個空盒，有________種放法.【答案】144【分析】本題為分組分配問題，先分組有種情況，再分配有種情況，兩式相乘即可.【詳解】先分組再分配.第一步：將四個小球分為三組，每組個數(shù)分別為2、1、1，有種情況；第二步，將分好的三組小球放到三個盒子中，有種情況.所以，共有種放法.故答案為：144.5．某市教育局人事部門打算將甲?乙?丙?丁?戊這5名應(yīng)屆大學畢業(yè)生安排到該市4所不同的學校任教，每所學校至少安排一名，每名學生只去一所學校，則不同的安排方法種數(shù)是__________.【答案】240【分析】根據(jù)平均分組原則和分步計數(shù)原理即可解答.【詳解】先將5名學生分成4組共有種，再將4組學生安排到4所不同的學校有種，根據(jù)分步計數(shù)原理可知：不同的安排方法共有種.故答案為：2406．某班將5名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加勞動鍛煉，每個社區(qū)至少分配一名同學，則甲社區(qū)恰好分配2名同學共有____________種不同的方法．【答案】【分析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.【詳解】由題意，分2步分析：①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有種方法，②將剩下3人分成2組，安排到乙、丙社區(qū)，有種方法，則有種安排方式.故答案為：.7．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．【答案】50【分析】因為E工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個原理及排列組合的知識即可求得【詳解】由題意可分為兩類（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項工作，則一共有種安排方式綜上共有種安排方式故答案為：508．某班將5名同學分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加勞動鍛煉，每個社區(qū)至少分配一名同學，則甲社區(qū)恰好分配2名同學共有____________種不同的方法．【答案】【分析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.【詳解】由題意，分2步分析：①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有種方法，②將剩下3人分成2組，安排到乙、丙社區(qū)，有種方法，則有種安排方式.故答案為：.9．某校舉行科技文化藝術(shù)節(jié)活動，學生會準備安排6名同學到兩個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排兩人，其中，兩人不能分在同一個社團，則不同的安排方案數(shù)是（

）A．56 B．28 C．24 D．12【答案】B【分析】設(shè)兩個社團分別為甲乙，按A在甲社團B在乙社團和A在乙社團B在甲社團兩種類型討論，每種類型又分甲社團有2人、3人、4人三種情況，運用排列組合公式計算方案數(shù).【詳解】設(shè)兩個社團為甲社團和乙社團，當A在甲社團B在乙社團時，甲社團有2人有種方案，甲社團有3人有種方案，甲社團有4人有種方案，共種方案；當B在甲社團A在乙社團時，同理也有14種方案；所以不同的安排方案數(shù)是14+14=28.故選：B10．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實驗艙?問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理結(jié)合部分平均分組以及結(jié)合間接法運算求解.【詳解】5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有種安排方法，若甲乙在同一實驗艙的種數(shù)有種，故甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有種.故選：C.題型七：正難則反【例1】用1，2，3，4，5組成一個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰的五位數(shù)有________.【答案】72【解析】用1，2，3，4，5組成一個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，共有個；三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰；其對立面是三個奇數(shù)都相鄰或者都不相鄰；當三個奇數(shù)都相鄰時，把這三個奇數(shù)看成一個整體與2和4全排列共有個；三個奇數(shù)都不相鄰時，把這三個奇數(shù)分別插入2和4形成的三個空內(nèi)共有個；故符合條件的有；故答案為：．【例2】如圖，某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【答案】D【分析】先假設(shè)是實線，計算出所有的最短路徑的條數(shù)，然后減去經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】先假設(shè)是實線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當不通時，最短路徑有條.故選：D【例3】某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，且老師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位老師一天的課表的所有排法有______種．【答案】474.【分析】采用間接法，首先求解出任意安排節(jié)課的排法種數(shù)；分別求出前節(jié)課連排節(jié)和后節(jié)課連排3節(jié)的排法種數(shù)；作差即可得到結(jié)果.【詳解】從節(jié)課中任意安排節(jié)共有：種其中前節(jié)課連排節(jié)共有：種；后節(jié)課連排3節(jié)共有：種老師一天課表的所有排法共有：種本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查有限制條件的排列問題的求解，對于限制條件較多的問題，通常采用間接法來進行求解.、【例4】從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個數(shù)是（

）A．20 B．18 C．10 D．9【答案】B【分析】因為，所以從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為，，共可得到的不同值的個數(shù)可看作共可得到多少個不同的數(shù)，從2，4，6，8，10這五個數(shù)中任取2個數(shù)排列后（兩數(shù)在分子和分母不同），減去相同的數(shù)字即可得到答案．【詳解】首先從2，4，6，8，10這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列，共有種排法，又，，從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為，，共可得到的不同值的個數(shù)是：．故選：．【點睛】本題考查了排列、組合及簡單的計數(shù)問題，解答的關(guān)鍵是想到把相等的數(shù)字去掉，屬于中檔題．【題型專練】1．從6位女學生和5位男學生中選出3位學生，分別擔任數(shù)學、信息技術(shù)、通用技術(shù)科代表，要求這3位科代表中男、女學生都要有，則不同的選法共有．A．810種 B．840種 C．1620種 D．1680種【答案】A【解析】先由排列數(shù)分別求出不考慮性別，與全部是男生和全部是女生的選法總數(shù)，然后用總數(shù)減掉全部是男生和全部是女生的即為男女生都有的選法.【詳解】解：不考慮男女生共有種全部是男生的有種全部是女生的有種所以男、女學生都有的共有種故選A.2．設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4，5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同直線的條數(shù)是_______．【答案】18【分析】任取2個數(shù)作為，共有種，去掉重復的直線條數(shù)即可得解.【詳解】∵從1，2，3，4，5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值有種結(jié)果，在這些直線中有重復的直線，當A=1，B=2時和當A=2，B=4時，結(jié)果相同，把A，B交換位置又有一組相同的結(jié)果，∴所得不同直線的條數(shù)是，故答案為：183．從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到______個不同的對數(shù)值．【答案】53【分析】分取的兩個數(shù)中有一個是1、取的兩個數(shù)不含有1兩種情況討論，注意排除對數(shù)值相等的情況.【詳解】①當取的兩個數(shù)中有一個是1時，則1只能作真數(shù)，此時，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的兩個數(shù)不含有1時，即從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個，分別作為底數(shù)與真數(shù)，有個對數(shù)，但是其中，，，．綜上可知：共可以得到（個）不同的對數(shù)值．故答案為：534．用1，2，3，4，5，0組成數(shù)字不重復的六位數(shù)，滿足1和2不相鄰，5和0不相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為_________.【答案】【解析】1，2，3，4，5，0組成數(shù)字不重復的六位數(shù)的個數(shù)共有個其中1，2相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個5，0相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個1和2相鄰且5和0相鄰的六位數(shù)的個數(shù)共有個即滿足1和2不相鄰，5和0不相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為故答案為：題型八：定序問題（消序法）【例1】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的順序依次抽獎，要求甲排在乙前面，丙與丁不相鄰且均不排在最后，則抽獎的順序有()A．72種 B．144種 C．360種 D．720種【答案】B【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，則有種，第二步再將丙與丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙與丁均不排在最后，故有4個空可選，所以有中插空方法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有種.故選：B.【例2】按照編碼特點來分，條形碼可分為寬度調(diào)節(jié)法編碼和模塊組合法編碼．最常見的寬度調(diào)節(jié)法編碼的條形碼是“標準25碼”，“標準25碼”中的每個數(shù)字編碼由五個條組成，其中兩個為相同的寬條，三個為相同的窄條，如圖就是一個數(shù)字的編碼，則共有多少（

）種不同的編碼．A．120 B．60 C．40 D．10【答案】D【分析】本題轉(zhuǎn)化為排列問題，即3個分別相同的元素與2個分別相同的元素排成一列的總數(shù)問題.【詳解】由題意可得，該題等價于將5個元素（3個分別相同、2個分別相同）排成一列的所有排列數(shù)．故選：D【例3】DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120【答案】C【分析】利用排列數(shù)計算公式計算出正確答案.【詳解】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為.故選：C【例4】有的方格中停放三輛完全相同的紅色車和三輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有一輛車，每輛車占一格，則停放的方法數(shù)為（

）A．720 B．2160 C．8400 D．14400【答案】D【分析】先假設(shè)6輛車完全不同，然后按照分步計算停放的方法，再考查紅色車相同，黑色車相同，再按照倍縮法求解.【詳解】首先假設(shè)6輛車是不同的車，第一輛車有36種方法，第二輛車不能與第一輛車同行，同列，則有25種方法，同理，第三輛車有16種方法，第四輛車有9種方法，第5輛車有4種方法，第6輛車有1種方法，因為3輛紅色車相同，3輛黑色車相同，所以不同的停放方法為.故選：D【例5】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080【答案】A【分析】結(jié)合全排列的概念即可.【詳解】由題意，對8盞不同的花燈進行取下，先對8盞不同的花燈進行全排列，共有種方法，因為取花燈每次只能取一盞，而且只能從下往上取，所以須除去重復的排列順序，即先取上方的順序，故一共有種，故選：A【例6】如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)有六個集裝箱，需要全部裝運，得到種取法，再根據(jù)每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，由排列中的定序問題求解.【詳解】因為有六個集裝箱，需要全部裝運，共有種取法，又因為每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，由排列中的定序問題，可知不同的取法有種.故答案為：90.【點睛】本題主要考查排列的應(yīng)用，還考查了分析問題求解問題的能力，屬于中檔題.【題型專練】1．某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜，所以本題是定序問題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.【詳解】一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種故答案為：.2．某次燈謎大會共設(shè)置6個不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個謎題.并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個謎題，則一名參與者一共有___________種不同的答題順序.【答案】60【分析】首先將6只燈籠全排，因為每次只能取其中一串最下面的一只燈籠內(nèi)的謎題，每次取燈的順序確定，即除以內(nèi)部排序即可.【詳解】將6只燈籠全排，即，因為每次只能取其中一串最下面的一只燈籠內(nèi)的謎題，每次取燈的順序確定，取謎題的方法有.故答案為：603．五個人并排站在一排，如果甲必須站在乙的右邊(甲乙可不相鄰)，則不同的排法有_______種.【答案】【分析】用5個元素的全排列個數(shù)除以2各元素的全排列個數(shù)可得答案.【詳解】五個人并排站在一排，共有種，其中甲、乙兩人共有種順序，各占一半，所以甲必須站在乙的右邊(甲乙可不相鄰)的不同的排法有種，故答案為：60【點睛】本題考查了排列中的定序問題，一般地，個元素排成一排，其中個元素的定序排列的種數(shù)為，屬于基礎(chǔ)題.4．由數(shù)字組成的一串數(shù)字代碼，其中恰好有個，個，則這樣的不同數(shù)字代碼共有____________個.【答案】【分析】根據(jù)排列的知識確定求得正確答案.【詳解】一共個數(shù)字，其中個，個，所以一共.故答案為：5．年07月01日是中國共產(chǎn)黨成立100周年，習近平總書記代表黨和人民莊嚴宣告，經(jīng)過全黨全國各族人民持續(xù)奮斗，我們實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標，在中華大地上全面建成了小康社會，歷史性地解決了絕對貧困問題.某數(shù)學興趣小組把三個0?兩個2?兩個1與一個7組成一個八位數(shù)（如20001217），若其中三個0均不相鄰，則這個八位數(shù)的個數(shù)為（

）A．200 B．240 C．300 D．600【答案】C【分析】由于三個0均不相鄰，所以采用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，第二步再把0插入其中五個空，即可得答案.【詳解】利用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，共有種排法，第二步再把0插入其中五個空，所以有種排法，所以共有個八位數(shù).故選：C.6．英文單詞"sentence”由8個字母構(gòu)成，將這8個字母組合排列，且兩個n不相鄰一共可以得到英文單詞的個數(shù)為（

）（可以認為每個組合都是一個有意義的單詞）A．2520 B．3360 C．25200 D．4530【答案】A【分析】排列定序問題與不相鄰問題綜合，先去掉排列其他個字母，再插入字母．【詳解】英文單詞“sentence”中字母e有3個，字母n有2個，字母s、t、c各有一個，優(yōu)先考慮無限制的字母，注意重復字母需除去順序，共有種，再插入個字母，共有種，所以一共有種，故選：A．題型九：隔板法【例1】把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法（

）A．10種 B．種 C．種 D．60種【答案】A【分析】采用隔板法，在個空中插入塊板，根據(jù)組合數(shù)公式計算可得；【詳解】解：依題意，采用隔板法，在個空中插入塊板，則不同的放法共有種；故選：A【例2】某學校為增進學生體質(zhì)，擬舉辦長跑比賽，該學校高一年級共有個班，現(xiàn)將個參賽名額分配給這個班，每班至少個參賽名額，則不同的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】采用隔板法直接求解即可.【詳解】將個參賽名額分配給這個班，名額之間并無區(qū)別，將個參賽名額采用“隔板法”分成份即可，每份至少一個名額，共有種.故選：B.【例3】馬路上亮著一排編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盞路燈．為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的兩盞燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】10盞路燈中要關(guān)掉不連續(xù)的兩盞，所以利用插空法，又兩端的燈不能關(guān)掉，則有7個符合條件的空位，進而在這7個空位中，任取2個空位插入關(guān)掉的2盞燈，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，10盞路燈中要關(guān)掉不連續(xù)的兩盞，所以利用插空法．先將剩下的8盞燈排成一排，因兩端的燈不能關(guān)掉，則有7個符合條件的空位，進而在這7個空位中，任取2個空位插入關(guān)掉的2盞燈，所以共有種關(guān)燈方法．故選：C．【題型專練】1．把9個完全相同的口罩分給6名同學，每人至少一個，不同的分法有（

）種A．41 B．56 C．156 D．252【答案】B【解析】本題要使用擋板法，在9個完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個“空檔”中選出5個“空檔”插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．【詳解】解：問題可轉(zhuǎn)化為將9個完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一個，求其方法數(shù)．事實上，只需在上述9個完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個“空檔”中選出5個“空檔”插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．故有種．故選：B【點睛】本題考查“插板”法解決組合問題，屬于基礎(chǔ)題.2．將12支完全相同的圓珠筆分給4位小朋友.（

）A．若每位小朋友至少分得1支，則有種分法 B．若每位小朋友至少分得1支，則有種分法C．若每位小朋友至少分得2支，則有種分法 D．若每位小朋友至少分得2支，則有種分法【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得1支的分法總數(shù)判斷選項AB；求得每位小朋友至少分得2支的分法總數(shù)判斷選項CD.【詳解】若每位小朋友至少分得1支，則由隔板法可得，不同的分法種數(shù)為.則選項A判斷錯誤；選項B判斷正確；若每位小朋友至少分得2支，則每位小朋友可先各發(fā)1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法種數(shù)為.則選項C判斷正確；選項D判斷錯誤.故選：BC3．從某校4個班級的學生中選出7名學生作為代表參加志愿者服務(wù)活動，若每個班級至少有一名代表，則有______種不同的選法．【答案】20【分析】利用隔板法解決，七個個體間有六個空，選出三個空插隔板，即可分成四份，即得.【詳解】由題意，七個名額分成四份，名額之間沒有差別，四個班級之間也沒有差別，故把七個名額分成四份即得選法種數(shù)，相當于7個球排成一排，然后插3塊木板把它們分成4份，即中間6個空位，選3個空插隔板，分成四份，所以總的分法有種.故答案為：20．題型十：涂色問題【例1】用紅、黃、藍3種顏色給如圖所示的6個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（

）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】先分類（先涂前3個圈，再涂后3個圓）：第1類，前3個圓用3種顏色，后3個圓也用3種顏色；第2類，前3個圓用2種顏色，后3個圓也用2種顏色，分別計算后再由加法原理相加即得．【詳解】分2類（先涂前3個圓，再涂后3個圓．）：第1類，前3個圓用3種顏色，后3個圓也用3種顏色，有種涂法；第2類，前3個圓用2種顏色，后3個圓也用2種顏色，有種涂法．綜上，不同的涂法和數(shù)為．故選：B．【例2】如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，根據(jù)題意，分2步進行涂色：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；故選：C【例3】用紅、黃、藍三種顏色填涂如圖所示的六個方格，要求有公共邊的兩個方格不同色，則不同的填涂方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】將涂色方法分為兩類，即用三種顏色涂和用兩種顏色涂，分別計算出兩種情況下涂色方案的種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求得結(jié)果.【詳解】將六個方格標注為，如下圖所示，①若用三種顏色涂，則同色或同色或同色，當同色時，六個方格的涂色方法有種；當同色時，六個方格的涂色方法有種；當同色時，六個方格的涂色方法有種；②若用兩種顏色涂，則同色，此時六個方格的涂色方法有種；綜上所述：不同的填涂方法有種.故選：D.【例4】用6種不同的顏色給圖中的“笑臉”涂色，要求“眼睛”（即圖中A、B所示區(qū)域）用相同顏色，則不同的涂法共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】216【詳解】試題分析：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，可以分為三種情況討論，一共用了3種顏色，共有A63=120種結(jié)果，一共用了2種顏色．共有C62A32=90種結(jié)果，一共用了1種顏色，共有6種結(jié)果，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知，共有120+90+6=216，故答案為216【考點】本題考查了分類計數(shù)問題．點評：本題是一個帶有限制條件的元素的計數(shù)問題，但是題目中所給的條件給的非常寬松，即只要兩只眼睛的顏色相同就可以，所以把兩個元素看成一個元素就可以【例5】學習涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.【答案】66【分析】運用分類計數(shù)原理、分步計算原理，結(jié)合組合定義進行求解即可.【詳解】當選擇兩種顏色時，因為欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有種選法，因此不同的涂色方法有種，當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有種方法選法，因此不同的涂色方法有種，當選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有種方法選法，因此不同的涂色方法有種，當選擇四種顏色時，不同的涂色方法有種，所以共有種不不同的涂色方法，故答案為：66【題型專練】1．如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有_____________種.【答案】72【分析】根據(jù)題意，按選出花的顏色的數(shù)目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種植方案數(shù)目，由加法原理計算可得答案【詳解】如圖，假設(shè)5個區(qū)域分別為1，2，3，4，5，分2種情況討論：①當選用3種顏色的花卉時，2，4同色且3，5同色，共有種植方案（種），②當4種不同顏色的花卉全選時，即2，4或3，5用同一種顏色，共有種植方案（種），則不同的種植方案共有（種）.故答案為：722．如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用A．288種 B．264種 C．240種 D．168種【答案】B【詳解】先分步再排列先涂點E，有4種涂法，再涂點B，有兩種可能：(1)B與E相同時，依次涂點F，C，D，A，涂法分別有3，2，2，2種；(2)B與E不相同時有3種涂法，再依次涂F、C、D、A點，涂F有2種涂法，涂C點時又有兩種可能：（2.1）C與E相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法．（2.2）C與E不相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．3．如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準備用來涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有A．360種 B．320種 C．108種 D．96種【答案】B【詳解】分類：兩色：，三色：，四色：，，故選B．4．如圖，用5種不同的顏色給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有__________種【答案】180【分析】根據(jù)題意可知，不相鄰區(qū)域可以同色，則可以分類討論區(qū)域A和區(qū)域D同色與不同色，結(jié)合排列公式進行求解即可.【詳解】能夠涂相同顏色的只有A，D.若A，D同色，則只需要選擇3種顏色即可，此時有種；若A，D不同色，則只需要選擇4種顏色即可，此時有種.共有種.故答案為：180.【點睛】本題主要考查涂色問題，分類加法計數(shù)原理，排列數(shù)的計算，考查了計算能力，屬于中檔題.5．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種___________．（以數(shù)字作答）【答案】72【分析】本題考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，按照顏色的種數(shù)進行分為3種顏色和四種顏色依次討論即可.【詳解】按照使用顏色的種類分類，第一類：使用了4種顏色，2,4同色，或3,5同色，則共有(種)，第二類：使用了三種顏色，2,4同色且3,5同色，則共有(種)所以共有48+24=72(種)故答案為：726．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有______種.（用數(shù)字作答）【答案】120【分析】由題意，6個部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，從同顏色的花入手分類來求，最后利用分類加法計數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】由題意，6個部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；若2、4同色，則3、6同色，所以共有種栽種方法；若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；所以共有種栽種方法.故答案為：120【點睛】本題主要考查分類加法計數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，考查學生的分析能力和分類討論的思想，屬于中檔題.7．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有__________種（用數(shù)字作答）．【答案】630.【分析】分別計算第三個格子與第一個格子同色，以及第三個格子與第一個格子不同色，所對應(yīng)的不同涂色方法，即可求出結(jié)果.【詳解】用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，若第三個格子與第一個格子同色，則有種涂色方法；若第三個格子與第一個格子不同色，則有種涂色方法；綜上，共有種涂色方法.故答案為630【點睛】本題主要考查排列中的涂色問題，根據(jù)分類討論的思想，即可求解，屬于?？碱}型.8．如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，要把4種不同顏色的花分別種植到這5個區(qū)域中，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，共有多少種種植方案？【答案】共有種種植方案【分析】根據(jù)題意，區(qū)域2與區(qū)域4用同一種顏色，或者區(qū)域3與區(qū)域5用同一種顏色，進而根據(jù)排列組合求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，四種顏色的花都需種植，且相同顏色的不相鄰，所以區(qū)域2與區(qū)域4用同一種顏色，或者區(qū)域3與區(qū)域5用同一種顏色，所以一共有種不同的方案.所以一共有種不同的方案.題型十一：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題【例1】以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體共有（

）A．6個 B．12個 C．18個 D．30個【答案】B【分析】從正三棱柱的六個頂點中任取四個組成四面體，減去在同一個面上的情況，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，先從六個頂點中任選四個，共種選法，而其中包含了所取4點在同一個側(cè)面上的情況，這種情況有3種，即符合條件的有；故選∶B．【例2】個點將半圓分成段弧，以個點（包括個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（）個A． B． C． D．【答案】