第二章微分學(xué)23導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的微分—導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)2.函數(shù)極值與最值1.洛必達(dá)法則1.洛必達(dá)法則函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)研究思路:洛必達(dá)法則未定式(未定型或不定型):(1)型存在(或為)定理1.(洛必達(dá)法則)則設(shè)f(x),g(x)滿足：注1.定理1中換為下列過程之一:注3.若條件,則洛必達(dá)法則注2.使用洛必達(dá)法則時，驗證3個條件；例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!洛洛例2.求解:原式洛(2)型存在(或為∞)定理2.(洛必達(dá)法則)則設(shè)f(x),g(x)滿足：例3.求解:原式=洛洛例4.求解：洛例5.求解:原式？(極限不存在)正確解法為原式故原極限也不存在?！?3)其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例6.求解:

原式解:原式例7.求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化洛例8.

求解:

通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化洛2.函數(shù)極值與最值若在(a,b)內(nèi)定理1.

設(shè)函數(shù)[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在[a,b]內(nèi)連續(xù),(1)單調(diào)性在(a,b)可導(dǎo),則函數(shù)f(x)在例9.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例10.當(dāng)x>0時，試證證:設(shè)故[0,+∞)上f(x)是單調(diào)增加，則稱為的駐點.在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.(2)極值若定義：注意:為極大值點為極小值點不是極值點2)1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點,是極大值是極小值為極小值點,函數(shù)(必要條件)定理(極值第一判別法)且在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),(1)“左正右負(fù)”(2)“左負(fù)右正”時,當(dāng)而當(dāng)時,時,當(dāng)而當(dāng)時,(3)若在點x0的某去心鄰域內(nèi),求極值的步驟:與不可導(dǎo)點；求函數(shù)的極值.例11.解:駐點附近的符號變化的情況:因此無極值極大值極小值定理(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.例12.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.(3)最大值與最小值則f(x)在最值出現(xiàn)在：駐點、不可導(dǎo)點、區(qū)間端點.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(2)

最大值最小值閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值.定理：例13.解：①求導(dǎo)②求駐點、不可導(dǎo)點：駐點為不可導(dǎo)點為③計算這些點的函數(shù)值，求最大值和最小值：例13(續(xù)).解：

作業(yè)

練習(xí)題2.3(P56):2,3,4

復(fù)習(xí)題2(P58):7，8思考與練習(xí)1.

設(shè)是未定式極限,如果是否的極限也不存在?舉例說明.極限不存在,原式分析:說明3)分析:3.原式～～洛則4.求解:令原式洛