第一節(jié)多元函數(shù)的概念

第一節(jié)多元函數(shù)的概念第1頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念第2頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）區(qū)域例如，即為開(kāi)集．內(nèi)點(diǎn)：設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某一鄰域則稱(chēng)Ｐ為Ｅ的內(nèi)點(diǎn)．Ｅ的內(nèi)點(diǎn)屬于Ｅ．如果點(diǎn)集Ｅ的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)Ｅ為開(kāi)集．第3頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一邊界點(diǎn)：外點(diǎn)：如果存在U(P),使得則稱(chēng)點(diǎn)P為E的外點(diǎn)連通集：連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域．第4頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如，例如，第5頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．例如，第6頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）聚點(diǎn)I：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：如果對(duì)于任意的>0,點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)II：在內(nèi)，總有E的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；III：點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于E．第7頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

E中任何一點(diǎn)都是E的邊界點(diǎn)，又如,E中的任何一點(diǎn)都是E的聚點(diǎn)。思考題：邊界點(diǎn)是否一定是聚點(diǎn)？反之，聚點(diǎn)是否一定是邊界點(diǎn)？第8頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）n維空間當(dāng)n=3時(shí)，(x,y,z)表示空間中的一個(gè)點(diǎn)或向量表示空間中的全體點(diǎn)或全體向量。因此，我們也稱(chēng)為中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量。第9頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此，我們也稱(chēng)為中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量。定義線性運(yùn)算如下：這樣定義了線性運(yùn)算的向量集合稱(chēng)為n維空間第10頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一稱(chēng)(x,y)為空間兩點(diǎn)x和y之間的距離．設(shè)中兩點(diǎn)間的距離公式中變?cè)獂的極限如果則稱(chēng)變?cè)獂趨于固定元a,記作第11頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類(lèi)似地，內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．中變?cè)獂的極限如果則稱(chēng)變?cè)獂趨于固定元a,記作結(jié)論：中鄰域、區(qū)域等概念則稱(chēng)中的點(diǎn)集為中點(diǎn)a的鄰域。第12頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、多元函數(shù)的概念

f稱(chēng)為對(duì)應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，f(x,y)稱(chēng)為f在點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為函數(shù)f的值域，記作函數(shù)與選用的記號(hào)無(wú)關(guān)，如第13頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．

n元函數(shù)通常記為或簡(jiǎn)記為第14頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈?5頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)的圖形（如下頁(yè)圖）當(dāng)P(x,y)取遍D上一切點(diǎn)時(shí),得到空間點(diǎn)集第16頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第17頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第18頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、多元函數(shù)的極限一元函數(shù)極限回顧：如果在的過(guò)程中，

f(x)無(wú)限接近一個(gè)確定常數(shù)A，就稱(chēng)A是f(x)當(dāng)時(shí)的極限，記為二元函數(shù)的極限：如果在的過(guò)程中

f(x,y)無(wú)限接近一個(gè)確定常數(shù)A，就稱(chēng)A是f(x,y)當(dāng)時(shí)的極限，記為第19頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一都有第20頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一說(shuō)明：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似．（1）定義中的方式比的方式復(fù)雜的多第21頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2求證

證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．第22頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求極限

解其中第23頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證例4證明不存在．

（2）取此時(shí)，仍不能確定極限是否存在．（1）P(x,y)沿x軸趨于(0,0)，此時(shí)y=0,x0第24頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4證明不存在．

證（3）取極限值隨k的不同而變化，故極限不存在．第25頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一確定極限不存在的常用方法：第26頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求二元函數(shù)的極限常用的方法：（1）用定義驗(yàn)證其存在或不存在；（2）利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為0的因子；（4）利用極限運(yùn)算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；第27頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：例5：求極限第28頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：例6：求極限第29頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：例7：求極限第30頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第31頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、多元函數(shù)的連續(xù)性一元函數(shù)連續(xù)性回顧：二元函數(shù)的連續(xù)性第32頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，注意：二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多因?yàn)楫?dāng)f(x,y)無(wú)定義，所以在整個(gè)圓周f(x,y)間斷。則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，或者稱(chēng)f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù)。第33頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).第34頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例9討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第35頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義3如果函數(shù)f(P)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)f(P)在D上連續(xù)，或者稱(chēng)f(P)是D上的連續(xù)函數(shù)。第36頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個(gè)二元或二元以上的多元函數(shù)時(shí)，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)第37頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算在其連續(xù)點(diǎn)處的極限。例７解第38頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在兩點(diǎn)（1）存在正數(shù)M，使得對(duì)于任意的點(diǎn)PD，均有第39頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（二）介值定理在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的多元函數(shù)f(P)，必取得介于最小值m和最大值M之間的任何值。即對(duì)任意的c,m<c<M,至少存在一點(diǎn)PD,使得：（三）一致連續(xù)性定理在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的多元函數(shù)f(P)，必定在D上一致連續(xù)。第40頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義第41頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題第42頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一思考題解答不能.例取但是不存在.因?yàn)槿羧〉?3頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)題第44頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第45頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第46頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一練習(xí)題答案第47頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一不存在.觀察第48頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第49頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第50頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第51頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一觀察不存在.第52頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一