空間直角坐標系與距離

空間直角坐標系與距離第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

怎樣確切的表示室內燈泡的位置？問題2第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一對問題1,2的分析

對于直線上的點，我們可以通過建立數(shù)軸來確定點的位置；

對于平面上的點，我們可以通過建立平面直角坐標系來確定點的位置；

對于空間中的點，我們也希望建立適當?shù)淖鴺讼祦泶_定點的位置.

因此，如何在空間中建立坐標系，就成為我們需要研究的課題.第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一空間直角坐標系§4.3.1第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）：空間直角坐標系

歸納:數(shù)軸上的點M的坐標用一個實數(shù)x表示，它是一維坐標；平面上的點M的坐標用一對有序實數(shù)（x，y）表示，它是二維坐標.設想：對于空間中的點M的坐標，需要幾個實數(shù)表示？OxxOx(x,y)y第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一聯(lián)想并思考1:平面直角坐標系是由兩條互相垂直的數(shù)軸組成，請大家想一想：怎樣建立一個空間直角坐標系？空間直角坐標系由幾條數(shù)軸組成呢？其相對位置關系如何？三條交于一點且兩兩互相垂直的數(shù)軸

第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一空間直角坐標系的建立：在空間中，過任意的一點O作三條兩兩互相垂直的具有相同長度單位的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，組成空間直角坐標系O-xyz，(如下圖所示）其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，并分別稱為xOy平面、yOz平面、xOz平面.xyzOxzyO第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一zxyABCOA`D`C`B`第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一空間直角坐標系—Oxyz橫軸縱軸豎軸右手直角坐標系第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一伸出右手，讓四指與大拇指垂直并使四指先指向x軸正方向，然后讓四指沿握拳方向旋轉90度指向y軸正方向，此時大拇指的指向即為z軸正方向。稱為右手（直角坐標）系。第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（二）空間直角坐標系中點的坐標

思考1:在平面直角坐標系中，點M的橫坐標、縱坐標的含義如何？Ox(x,y)y|x||y|思考:在空間直角坐標系中，怎樣描述一點M位置呢？第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

在空間直角坐標系中，設點M為空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，垂足為P、Q、R.設點P、Q、R在x軸、y軸、z軸上的坐標分別為x、y、z，那么點M就對應唯一確定的有序實數(shù)組（x，y，z）。POxMyzxxROMyzzQOxMyzy第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P、Q和R．空間直角坐標系中點的坐標的確定方法yxzMO

設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應唯一確定的有序實數(shù)組（x，y，z）．MRQP第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

反過來，對于一個有序實數(shù)組（x，y，z），它也唯一的對應著空間直角坐標系中的點。在x軸、y軸和z軸上依次取坐標為x，y和z的點P、Q,RyxzM’OMRQP

分別過P、Q、

R各作一個平面，分別垂直于x軸、y軸和z軸，

這三個平面的唯一交點就是有序實數(shù)組（x，y，z）確定的點M．第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一我們把有序實數(shù)組（x，y，z）稱為點M的空間坐標，記為M（x，y，z）其中x、y、z分別叫做點M的橫坐標、縱坐標、豎坐標。ABCOxMyzxyz點M（X，Y，Z）第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一yxzABCO例:OABC—A’B’C’D’是單位正方體．以O為原點分別以射線OA,OC,OD’的方向為正方向，以線段OA,OC,OD’的長為單位長，建立空間直角坐標系O—xyz．試說出正方體的各個頂點的坐標．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例1、在空間直角坐標系中描出下列各點，并說明這些點的位置。yxOz111???ABC?DEF??2223解：A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例如在空間直角坐標系中怎樣求點M(1，2，3)的位置呢？

方法一：分析：在x軸上取點P(1,0,0),在y軸上取點Q(0,2,0)，在z軸上取點R(0,0,3)然后過A,B,C分別作x軸，y軸,

z軸的垂面，則這三個垂面的交點就是點P如圖所示：方法二：先畫一個長方體使共頂點的三條棱長分別為1,2,3MOCBxyMAz第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一例題例1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=2，寫出D`，C，A`，B`四點的坐標.A`B`xzyOCAD`BC`(0,0,2)(0,4,0)(3,0,2)(3,4,2)第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一yxzABCO例:OABC—A’B’C’D’是單位正方體．以O為原點分別以射線OA,OC,OD’的方向為正方向，以線段OA,OC,OD’的長為單位長，建立空間直角坐標系O—xyz．試說出正方體的各個頂點的坐標．并指出哪些點在坐標軸上，哪些點在坐標平面上．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一xoy平面上的點豎坐標為0

例如：D點坐標記為D(a,b,0)yoz平面上的點橫坐標為0

例如：E點坐標記為E(0,b,c)xoz平面上的點縱坐標為0

例如：F點坐標記為F(a,0,c)x軸上的點縱坐標豎坐為0.例如：A點坐標記為A(a,0,0)z軸上的點橫坐標縱坐標為0.例如：C點坐標記為C(0,0,c)y軸上的點橫坐標豎坐標為0.例如：B點坐標記為B(0,b,0)二、坐標平面內的點一、坐標軸上的點規(guī)律總結：ABCOxMyzDEF第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）1258第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOy的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOz的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為AB=12，AD=8，AA′=5.以這個長方體的頂點A為坐標原點，射線AB，AD，AA′分別為，x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體各個頂點的坐標。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面yOz的點有哪些?這些點的坐標有什么共性?第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一點M(x,y,z)是空間直角坐標系中的一點，則有（1）與M點關于X軸對稱的點為(x,-y,-z)（2）與M點關于Y軸對稱的點為(-x,y,-z)（3）與M點關于Z軸對稱的點為(-x,-y,z)（4）與M點關于原點對稱的點為(-x,-y,-z)（5）與M點關于xoy平面對稱的點為(x,y,-z)（6）與M點關于yoz平面對稱的點為(-x,y,z)（7）與M點關于xoz平面對稱的點為(x,-y,z)第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

在空間直角坐標系中，x軸上的點、y軸上的點、z軸上的點，xOy坐標平面內的點、xOz坐標平面內的點、yOz坐標平面內的點的坐標各具有什么特點？總結:x軸上的點的坐標的特點：xOy坐標平面內的點的特點：xOz坐標平面內的點的特點：yOz坐標平面內的點的特點：y軸上的點的坐標的特點：z軸上的點的坐標的特點：Ｐ（m，0，０）Ｐ（０，m，０）Ｐ（０，0，m）Ｐ（m，n，０）Ｐ（０，m，n）Ｐ（m，0，n）第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞示意圖（可看成是八個棱長為1/2的小正方體堆積成的正方體），其中紅色點代表鈉原子，黑點代表氯原子，如圖：建立空間直角坐標系后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標。例5yzx第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

解：把圖中的鈉原子分成上、中、下三層來寫它們所在位置的坐標．

例5，

結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體），其中色點代表鈉原子，黑點代表氯原子．如圖建立空間直角坐標系O-xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標．xyzO第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一

上層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點的豎坐標為1，所以，這五個鈉原子所在位置的坐標分別是:（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）．

中層的原子所在的平面平行于平面，與軸交點的豎坐標為，所以，這四個鈉原子所在位置的坐標分別是（，0，），（1，，），（，1，），（0，，）；

下層的原子全部在平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的坐標分別是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,（，，0）.xyzO第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一zxyO練習3、在空間直角坐標系中標出下列各點：A(0,2,4)B(1,0,5)C(0,2,0)D(1,3,4)134D`D第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一練習1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于點P.分別寫出點D`

，B`，P的坐標.xzyOACD`BA`B`C`PP`(0,0,3)(3,4,3)(3/2,2,3)已知點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),且線段P1P2的中點為M(x,y,z),則中點坐標公式第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一練習zxyABCOA`D`C`B`Q2、如圖，棱長為a的正方體OABC-D`A`B`C`中，對角線OB`于BD`相交于點Q.頂點O為坐標原點，OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上.試寫出點Q的坐標.(0,0,0)(a,a,a)第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一對稱點xyOx0y0(x0,y0)P(x0,-y0)P1橫坐標不變，縱坐標相反。(-x0,y0)P2橫坐標相反，縱坐標不變。P3橫坐標相反，縱坐標相反。-y0-x0(-x0,-y0)第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一對稱點一般的P(x,y,z)關于：（1）x軸對稱的點P1為__________;

（2）y軸對稱的點P2為__________;（3）z軸對稱的點P3為__________;關于誰對稱誰不變第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一練習1：點M(x,y,z)是空間直角坐標系Oxyz中的一點，寫出滿足下列條件的點的坐標(1)與點M關于x軸對稱的點(2)與點M關于y軸對稱的點(3)與點M關于z軸對稱的點(4)與點M關于原點對稱的點(5)與點M關于xOy平面對稱的點(6)與點M關于xOz平面對稱的點(7)與點M關于yOz平面對稱的點(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一兩點間距離公式類比猜想第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一zxyOP(x,y,z)(1)在空間直角坐標系中,任意一點P(x,y,z)到原點的距離：P`(x,y,0)空間兩點間的距離公式第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一zxyOP2(x2,y2,z2)(1)在空間直角坐標系中，任意兩點P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)間的距離：NP1(x1,y1,z1)MH第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期一1、在空間直角坐標系中標出求A、B兩點，并求出它們之間的距離：

(1)A(2,3,5)