第七講矩陣的秩線(xiàn)性方程組的解

第七講矩陣的秩線(xiàn)性方程組的解第1頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.初等矩陣的結(jié)論:推論第2頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.初等變換的應(yīng)用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B第3頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)矩陣的秩一.矩陣秩的概念二.矩陣秩的求解第4頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、矩陣秩的概念矩陣的秩第5頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個(gè)3階子式.易見(jiàn)第6頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一最低階為階，最高階為階.第7頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注:顯然,中不等于零的子式的最矩陣的秩是高階數(shù).矩陣的秩具有下列性質(zhì):(1)若矩陣中有某個(gè)階子式不為0,則(2)若中所有階子式全為0,則(3)若為矩陣,則(4)第8頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求矩陣解在中,又的3階子式只有一個(gè)且的秩.第9頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2解第10頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法第11頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解第12頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第14頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第15頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知第16頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.故A中必有3階非零子式，計(jì)算A的前三行構(gòu)成的子式第18頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第19頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例設(shè)為階非奇異矩陣,為矩陣.試證:與之積的秩等于的秩,即證因?yàn)榉瞧娈?故可表示成若干初等矩陣之積,皆為初等矩陣.即是經(jīng)次初等行變換后得出的.因而證畢.注:由矩陣的秩及滿(mǎn)秩矩陣的定義,顯然,若一個(gè)階矩陣是滿(mǎn)秩的,則因而非奇異;反之亦然.第20頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));定理等價(jià)矩陣的秩相等第21頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一結(jié)論矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)第22頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容線(xiàn)性方程組解的存在性線(xiàn)性方程組的解法第三節(jié)線(xiàn)性方程組的解第23頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解向量線(xiàn)性方程組A稱(chēng)為系數(shù)矩陣，B=（A,b）稱(chēng)為增廣矩陣第24頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同解方程組為同解方程組為第25頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一線(xiàn)性方程組的解有下列三種情況：無(wú)解有無(wú)窮解有惟一解第26頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

第27頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同解方程組為同解方程組為第28頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解線(xiàn)性方程組的步驟：寫(xiě)出增廣矩陣，對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組寫(xiě)出系數(shù)矩陣用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系判斷是否有解如果有解，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣首非零元素1對(duì)應(yīng)的未知量為非自由未知量，其余未知量為自由未知量令自由未知量為c,從而得到方程組的通解（一般解）第29頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1求解齊次線(xiàn)性方程組解第30頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即得與原方程組同解的方程組第31頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由此即得第32頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例２求解非齊次線(xiàn)性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．第33頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換第34頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一故方程組有解，且有第35頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一得方程組的通解為第36頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例５設(shè)有線(xiàn)性方程組解第37頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第38頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其通解為第39頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這時(shí)又分兩種情形：第40頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第41頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6設(shè)有線(xiàn)性方程組問(wèn)取何值時(shí)，此方程組（1）有唯一解;（2）無(wú)解;（3）有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多個(gè)解時(shí)求其通解.第42頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第43頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、小結(jié)

第44頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求解線(xiàn)性方程組的步驟：寫(xiě)出增廣矩陣，對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組寫(xiě)出系數(shù)矩陣用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系判斷是否有解如果有解，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣首非零元素1對(duì)應(yīng)的未知量為非自由未知量，其余未知量為自由未知量令自由未知量為c,從而得到方程組的通解（一般解）第45頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期一作業(yè)