矩陣分塊和初等變換

矩陣分塊和初等變換第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一定理3矩陣的轉置運算滿足如下性質(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.（穿脫原則）轉置的性質：第1章矩陣

例3.假設A是方陣，證明：存在唯一的對稱陣B和反對稱陣C，使得A=B+C.第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一第一章矩陣一.分塊矩陣的運算1.

分塊加法

A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,其中Aij與Bij是同型的“小”矩陣.§1.3分塊矩陣則A+B可看成是分塊矩陣的和設矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下:第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=設矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,為常數.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.則A=2.分塊數乘第一章矩陣第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一3.分塊乘法

設A為ml矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列數分別與B1j,B2j,…,Btj的行數相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,則AB=k=1t第一章矩陣第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一

10

1012011041112

0B=,求AB.

10

00010012101101例1.設A=,第一章矩陣第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一4.分塊矩陣的轉置

設A為ml矩陣,將它們分塊如下:A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,第一章矩陣則A的轉置為：AT=A11T

A21T

…As1T

A12T

A22T…As2T

……A1tT

A2tT…AstT

第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一二.特殊的分塊法設A為m×n矩陣,記j為A的第j列,i為A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),則有如下兩種重要的分塊方法1.A=[1,2,…,n],12…m2.A=第一章矩陣第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一設A為n階矩陣,若A的分塊矩陣只有主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方陣,則稱A為分塊對角矩陣(或準對角矩陣).3.分塊對角矩陣：第一章矩陣第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsAx=b記A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asn=(1,2,…,n)，則或x11+x22+…+xnn=b.第一章矩陣第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一第一章矩陣思考題.設A=(aij)4×5,B=a21

a23

a24a41

a43

a44.求矩陣C,D,使得B=CAD.第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一一.矩陣的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2

x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262輕裝上陣

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001矩陣的初等變換第一章矩陣第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一1.下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.把上述定義中的“行”換成“列”,即得到初等列變換的定義(相應的記號是把“r”換成“c”).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(1)對調兩行(對調i,j兩行記為ri

rj),(2)以非零的數k乘某一行中的所有元素

(第i行乘以k記為kri),(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去(第j行的k倍加到第i行記為ri+krj).第一章矩陣第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一2.階梯形矩陣與行最簡形矩陣則稱A為行階梯形矩陣.這時稱A中非零行的行數為A的階梯數.例如如果矩陣A滿足如下條件若A有零行(元素全為零的行),則零行位于最下方,非零行的非零首元(自左至右第一個不為零的元)的列標隨行標的遞增而遞增,1100401022000230000411204013220002300000,第一章矩陣第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一則稱A為行最簡形矩陣.例如如果階梯陣A還滿足如下條件：各非零首元全為1,非零行的非零首元所在列的其余元素全為0,1

0

201013020001000000第一章矩陣矩陣的等價，等價標準形第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列

第一章矩陣第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一E(i(k))=第i行1k

11第i列1

第一章矩陣第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一E(i,j(k))=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1

第一章矩陣第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一x二.初等矩陣

0101000013yzabc12abcxyz

123=100010001010100001

第一章矩陣第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一a10001000k

3k

bcx

y

z

k

2k

abcxyz

123=10001000110001000k

k

第一章矩陣第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期一a+kx1k00100013b+kyc+kz

x

y

z

12abcxyz

1