真空中的靜電場改

真空中的靜電場改第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一第八章真空中的靜電場第九章靜電場中的導體和電介質(zhì)第十章電流與電場第十一章真空中穩(wěn)恒電流的磁場第十二章磁介質(zhì)中的磁場第十三章電磁感應第十四章電磁場理論的基本概念第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一電磁學理論發(fā)展簡史：1、積累事實總結基本定律時期1785年庫侖（法國）總結出庫侖定律；1819年奧斯特(丹麥）發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應；1826年安培（法國）發(fā)現(xiàn)了磁鐵對電流的作用；1831年法拉第（英國）發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象；1834年法拉第發(fā)現(xiàn)了電解現(xiàn)象。（法拉第雖然提出了電場和磁場的概念，但缺乏一套完整的理論來指導實踐）第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2、總結系統(tǒng)理論時期1865年麥克斯韋（英國）在前人和自己發(fā)現(xiàn)的基礎上，建立了一套系統(tǒng)且嚴密的電磁場理論：“麥克斯韋方程組”，它揭示了電磁場的內(nèi)在聯(lián)系，并指出光是一種電磁波。3、電子論和近代物理的建立1895年洛侖茲（荷蘭）建立了經(jīng)典的電子論；解釋了導體、電介質(zhì)、磁介質(zhì)中的現(xiàn)象。二十世紀初建立了相對論和量子力學，構成了近代物理學。第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一§8－1電荷庫侖定律§8－2電場電場強度§8－4高斯定理§8－5靜電場力的功電勢§8－6等勢面電場強度與電勢梯度的關系§8－7帶電粒子在外電場中受到的力及其運動§8－3電場線電通量第八章真空中的靜電場第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一1.掌握場強和電勢概念及疊加原理，掌握場強和電勢的積分關系，了解其微分關系，能計算簡單問題的場強和電勢；2.了解靜電場高斯定理和環(huán)路定理，掌握用高斯定理計算場強的條件和方法。教學要求：第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場。本章討論：靜電場的基本概念、靜電場的性質(zhì)描述電場性質(zhì)的物理量：電場強度矢量E和電勢U。電場性質(zhì)的基本定理：高斯定理、場強環(huán)流定理。第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、對電荷的基本認識1.兩種電荷：正電荷、負電荷。同性相斥、異性相吸。2.物質(zhì)的電結構3.電荷量子化：一切物體所帶電量q

都是某一基本電量的整數(shù)倍。在宏觀領域，電荷量子性不明顯，可看作電荷連續(xù)分布。4.電荷守恒定律：與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中保持不變?！?－1電荷庫侖定律第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一二、真空中的庫侖定律：點電荷的相互作用規(guī)律電荷守恒定律說明：物質(zhì)帶電現(xiàn)象的本質(zhì)是電荷的轉移。1、點電荷（理想化模型）點電荷：沒有形狀和大小的帶電體。實際帶電體其線度比電荷間距小很多時，可視為點電荷。rq1q2d1d2當線度d1和d2<<rrq1q2點電荷點電荷第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一扭秤實驗1785年庫侖

2、庫侖定律第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學表述：真空中，兩個靜止的點電荷之間相互作用力的大小，與它們的電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。作用力的方向沿著它們的聯(lián)線。同號電荷相斥，異號電荷相吸。庫侖定律：第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一注意：1.適用于真空中的靜止點電荷；2.在國際單位制中k=9109m2N/C2=1/(40)0

=8.8510-12

C2/m2N稱為真空中的介電常數(shù)3.是基本實驗規(guī)律。宏觀、微觀均適用；4.庫侖力可以疊加，實驗證明：兩個電荷間的作用力不因第三個電荷存在而改變，不管系統(tǒng)中有多少電荷，每對電荷之間的作用力都能用庫侖定律計算，而某個電荷所受電場力就等于各力的疊加。第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、電場電場：帶電體周圍存在的一種特殊物質(zhì)。(1)“超距作用”觀點電荷之間的相互作用是直接傳遞的，不需要傳遞時間。歷史上兩種觀點電荷電場電荷電荷電荷直接作用靜電場：相對于觀察者是靜止的電荷周圍存在的電場，是電磁場的一種特殊形式。(2)“法拉第場論”觀點電荷之間的相互作用是通過電荷在其周圍產(chǎn)生的場來實現(xiàn)的，而且傳遞速度是有限的，以光速C=3108m/s傳遞。

§8－2靜電場電場強度第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一電場的基本性質(zhì)1)對放在電場內(nèi)的任何電荷都有作用力；（力的表現(xiàn)）2)電場力對移動電荷作功。（功的表現(xiàn)）二、電場強度：定量描述電場性質(zhì)的物理量（1）試驗電荷：

a、它所帶的電量足夠??；（放入電場中對電場無影響）

b、它的線度足夠小。（放入電場中有確定的位置）（2）電場強度實驗表明：場中不同點，同一電荷受力不同；場中同一點，不同電荷受力不同。在P點放置q02q03q0-------

受電場力F2F3F-----而P第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一定義：1.電場強度是描述電場中各點電場強弱的物理量其中：q0為試驗電荷。電量要充分地小，線度足夠小。q0放在電場中P點，受力，而比值。與q0無關。2.注意是矢量場，位置的函數(shù)1)量綱：在國際單位制中單位：N/C或V/m2)點電荷q在外電場E中受電場力F=qE

3)第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一三、電場強度的計算1.點電荷Q所產(chǎn)生電場的電場強度試探電荷q在點電荷Q的電場中受力為由電場強度定義：是由源電荷Q指向場點。場強方向是正電荷受力方向。QqP+QqP_第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2.點電荷系所產(chǎn)生的電場的電場強度所以，電場強度滿足矢量疊加原理q0第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3.電荷連續(xù)分布的帶電體所產(chǎn)生的電場強度若電荷連續(xù)分布，可在帶電體上取微元電荷dq，由點電荷的場強公式寫出場強，根據(jù)場強疊加原理求矢量和（即求積分）其中體電荷，ρ：體電荷密度面電荷，σ：面電荷密度線電荷，λ：線電荷密度P第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一由于矢量積分比較困難，所以，一般情況下，計算電場強度時，先將電場在幾個方向上分解，用標量分別計算（積分），在合成：第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例1、求電偶極子產(chǎn)生的電場強度。電偶極子：一對靠得很近的等量異號的點電荷組成的系統(tǒng)。電偶極矩：由q

指向+q。解：1.電偶極子軸線延長線上任一點P

的場強沿如圖的方向投影有：+Er+q—qP正向第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3.空間任一點P的場強2.電偶極子軸線的中垂線上任一點的場強P-q+qr第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例2、求均勻帶電（電荷線密度為）直線外任一點的場強。解：建立坐標系。過P

點做帶電直線的垂線為x軸，交點為坐標原點，沿帶電直線為y

軸。

選積分元dy，有電荷（1）其分量式為（2）(1)式代入(2)式，并積分第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一最后得同理第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一討論：2）3）1)在導線的中垂線上L1=L2=L

（在距棒很遠處，等效于點電荷）（棒無限長時）第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一4）當L1>>a、L2=0；或L1=0、L2>>a時（半無限長帶電細棒端點處的場強）L1>>a、L2=0L2>>a、L1=0第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例3、求均勻帶電圓環(huán)（電荷線密度為）軸線上任一點的場強。解：圓環(huán)上微元帶的電荷由點電荷場強公式：由于對稱性可知電場沿x方向1）討論:2）（環(huán)心處）（可視為點電荷）a0xPdlx第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例4、求半徑為R，面電荷密度為的均勻帶電圓盤軸線上任一點的場強。解：取微元電荷由對稱性可知電場只沿x軸方向討論:1)成為無限大帶電平板成為點電荷的電場2）Pxrdroxd第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例5、半徑為R的一段圓弧，圓心角為60°，一半均勻帶正電，另一半均勻帶負電，線電荷密度分別為±λ，求圓心處的電場強度。解：先討論對稱性++++----xydq-dq方向向左第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例6、一段長為L的帶電細桿，線電荷密度為λ，求細桿延長線上距桿a處電場的強度。解：個點電荷的電場方向均相同方向向右xydqLa第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、電場線：形象地描述電場分布的一組假想曲線1.規(guī)定：2.電場線性質(zhì)(1)電場線始于正電荷（或無窮遠）終止于負電荷，不會在沒有電荷處中斷；(2)兩條電場線不會相交；(3)電場線不會形成閉合曲線。用一簇空間曲線形象地描述場強的分布。曲線上每一點的切線方向為該點電場強度方向，垂直于場強方向單位面積通過的電場線數(shù)等于該點電場強度的大小。電場線密度：§8－3電場線電通量第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一二、電通量通過電場中某一面積元的電場線的數(shù)目通過任意面積元的電通量，將dN寫成de通過整個曲面通量規(guī)定：面元方向由閉合面內(nèi)指向面外為正方向電場線穿出，如處電場線穿入，如處通過封閉曲面的通量SS第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一表述：在真空中的靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電量的代數(shù)和除以0：證明：1)通過包圍一個點電荷的任意球面的電通量q§8－4高斯定理第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2)通過包圍一個點電荷的任意閉合曲面的電通量具有相同立體角的不同曲面dS

和dS的電通量相同。4)通過包圍幾個點電荷的任意閉合曲面的電通量3)通過不包圍點電荷的任意閉合曲面的電通量穿入和穿出電場線相同，凈通量為零。q1q2q3q4q5S

Sqq第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一討論：1.通過整個高斯面的電通量只與高斯面包圍的電荷總量（代數(shù)合）有關，與外部電荷及內(nèi)部電荷分布無關；2.通過整個高斯面的通量為零不等于高斯面內(nèi)無電荷，也不說明高斯面上場強處處為零；3.高斯面上場強由內(nèi)、外電荷決定?？偼坑擅鎯?nèi)電荷決定。三、高斯定理的應用電荷分布具有某種對稱性的情況下，利用高斯定理求E

比較方便，即在高斯面上場強處處相等，方向與曲面正交或平行。或在某些面上場強相等，另一些面上場強為零。分析靜電場問題，求靜電場的分布。特點：q1q2q3q4q5第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一1)球?qū)ΨQ（球體，球面）；特征：距球心相同r

處，E

值相等，方向沿徑向。2)柱對稱（無限長柱體，柱面）；特征：在任意同軸柱面上各點，E

值相等，方向沿徑向。3)面對稱（無限大平板，平面）。特征：在與平面等距離處各點，E

值相等，方向與平面垂直。常見的具有對稱性的電荷分布：求電場分布的步驟：1)對稱性分析；2)選合適的高斯面；3)用高斯定理計算。第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例1、求均勻帶電球體內(nèi)外的電場（半徑為R，電荷體密度，帶電量為Q）。解：對稱性分析：球內(nèi)一點P1，以oP1為半徑的球內(nèi)電荷在P1點的電場沿oP1向外，op1球外在P1點電場互相抵消。場強沿半徑向外。高斯面：過P1以

op1為半徑的球。高斯定理等式左側：右側:dq1dq2dE2dE1P1Rorr第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一在球內(nèi)在球外推廣：半徑為R，帶電量為Q的均勻帶電球殼的場強分布1)球殼內(nèi)E=0，可由對稱性分析得來2)球殼外rRRE0E∝1/r2r第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例2、無限大均勻帶電平面產(chǎn)生的場強。解：由對稱性分析知：E的方向垂直板面向外；距板同遠處E

大小相同。取如圖圓柱體為高斯面，有ErS側S右底Er

S底S左底第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例3、求無限長均勻帶電圓柱（半徑為R）內(nèi)、外的電場分布解：先求柱面內(nèi)電場，在柱面內(nèi)找一點p1.對稱性分析：圓柱內(nèi)任一點的場強沿徑向。距中心同遠處場強大小相同，方向垂直于帶電圓柱2.高斯面：選過P

點半徑為r（R＜r），高為h

的同軸圓柱面3.

計算，設電荷體密度為所包圍的電荷：hr2根據(jù)高斯定理：0prRh第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一再求柱面外的電場：在柱面外取一點D，分析電場的對稱性同樣可知，任一點的場強沿徑向，距中心同遠處場強相同，所以過D

作半徑為r

的圓柱面為高斯面（R＜r），由高斯定理：可得：所包圍的電荷：hR2根據(jù)高斯定理：0DrRhRrE第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一思考：均勻帶電圓柱面，柱內(nèi)一點E=？柱外一點E=？利用場強疊加原理，求如下帶電體的電場分布：1.兩無限大平行帶電平板內(nèi)外的電場；2.帶小缺口的細圓環(huán)軸線上的電場；3.帶有空腔的圓柱體空腔軸線上的電場；4.帶有空腔的球體空腔中心處的電場；5.帶圓孔的無限大平板圓孔軸線上的電場。第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一討論：1、兩平行的無限大帶電平板內(nèi)、外的電場。兩板間：EA與EB同向，均為正兩板外：在A板左側，EA與EB反向：+-EAEBABEAEAEBEB+規(guī)定正方向如圖：在B板右側，EA與EB同樣反向：第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2、帶小缺口的細圓環(huán)（缺口長l）軸線上：環(huán)心處：E環(huán)=0所以E=E缺口任意P點的場強為：rpxR第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3、帶圓孔的無限大平板帶電無限大平板（無圓孔，電荷面密度為+σ），在P點的場強為圓孔（圓盤，電荷面密度為－σ）在軸線上P點的場強為所以P點的場強為：（二者方向相反）RP

xE板E孔+第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一4、帶有空腔的圓柱體O處實心圓柱體在O

點產(chǎn)生的場強為電荷體密度空腔圓柱體在O

點產(chǎn)生的場強為E2

=0所以O

點的場強為：（由高斯定理求得）rO

第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一5、帶有空腔的球體O處實心球體在O

處產(chǎn)生的場強為：空腔球體在O

處產(chǎn)生的場強為：E2=0（由高斯定理求得）所以O

處的場強為：rOO

第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、靜電場力作功的特點在點電荷q

的電場中移動點電荷q0

，由a

點b點過程中電場力作功：結論：在點電荷激發(fā)的電場中,靜電場力作功只與始末位置有關，而與路徑無關?！?－5靜電場力的功電勢brarbaqdrq0第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一由于每一項都與路徑無關,故點電荷系的電場中移動q0，電場力作功與路徑無關。容易證明，對連續(xù)帶電體也有同樣結論。所以，靜電場是保守力場。在點電荷系q1

,q2,…

的電場中移動q0，電場力作功：二、環(huán)路定理在靜電場中，沿閉合路徑移動q0，電場力作功：L1L2ab0第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一靜電場中的環(huán)路定理：靜電場中電場強度沿任意閉合路徑線積分（環(huán)流）為零。環(huán)路定理要求電場線不能閉合。靜電場是有源、無旋場。三、電勢能1.靜電力是保守力，可引入電勢能的概念。2.靜電力（保守力）作功和電勢能（勢能）增量的關系為或q0在電場E

中a,b兩點的電勢能之差Epa–Epb，等于把q0從a點移至b

點過程中電場力所作的功。L1L2ab第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3.討論：1)電勢能是屬于q0

和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)所共有；2)電勢能的大小是相對的，電勢能差才是有意義的。一般要選取勢能零點Epc=0，才能確定某點的電勢能。如，確定q0在電場中a點電勢能，由電勢能與電場力做功的關系有：即把q0

自a勢能零點的過程中電場力作的功,定義為q0在電場E

中a點的電勢能：caq第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一當電場源電荷分布在有限范圍內(nèi)時，勢能零點一般選在無窮遠處。當電場源電荷分布在無限范圍內(nèi)時,只能在場中任選一點，令其電勢能為零。在許多實際問題中,常選地球電勢能為零(方便比較,地球電勢比較穩(wěn)定)。四、電勢電勢能除與電場有關外，還與試探電荷q0

有關，為方便研究電場，引入電勢（U）的概念：電場中某點的電勢等于把單位正電荷自該點移至“勢能零點”過程中電場力作的功第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一在電勢的基礎上，還可以引入“電勢差”的概念：常用的公式：a,b

兩點的電勢差Uab，定義為電場中

a,b

兩點的電勢之差，即為把單位正電荷從a

移到b

時中電場力作的功五、電勢差ab注意：1。Ua、Ub及Uab不僅與a、b

兩點的電場有關，而且與整個空間的電場分布有關；2。Ua、Ub與零勢點的選擇有關，而Uab則不然；3。沿著電場方向，電勢減小。第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例：點電荷場的電勢（取無窮遠點為零勢點）1)某點的電勢等于把單位正電荷從該點移到電勢零點電場力作的功；2)電勢是描述電場能量性質(zhì)的物理量，與試驗電荷無關；3)電勢零點的選取是任意的。有限帶電體一般選無窮遠為電勢零點。討論：prQ第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一1)場強積分法：六、電勢的計算2)電勢疊加原理：直接用電勢的定義式來計算。但由于空間各點電場的表達式一般難以給出，積分也困難，除電場分布對稱的問題外，往往不能使用。若電場是由多個點電荷激發(fā)的（如圖），由電場的迭加原理，空間中任意一點的電場應是各個點電荷單獨存在時激發(fā)的電場的迭加：ar1r2riq1q2qi第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一即：點電荷系電場中某點的電勢，等于各個點電荷單獨存在時在該點處的電勢的迭加（代數(shù)和）——電勢迭加原理。利用前面例子的結果有：若電場是由連續(xù)分布的電荷激發(fā)的（如圖），我們可以將帶電體分割為許多點電荷，同樣使用電勢的迭加原理：a注意：用電勢迭加原理解題時，已默認參考點選擇在無窮遠點??！第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例1、內(nèi)、外半徑分別為R1、R2的球殼，帶有電荷Q，求空間各點的電勢（設球殼內(nèi)電荷分布均勻，并取無窮遠點為零勢點）。R1R2r1r2r3解：用場強積分法計算。由于電荷球?qū)ΨQ分布，分析知：半徑相同處，電場的大小相同，方向沿徑向。在球殼內(nèi)，作半徑為r1的同心球面為高斯面，設場強為E1，則有：在球殼間，作半徑為r2的同心球面為高斯面，設場強為E2，則有：第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一在球殼外，作半徑為r3的同心球面為高斯面，設場強為E3，則有：R1R2r1r2r3第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一下面我們來計算電勢：在球殼內(nèi)，半徑為r1處的電勢為：得：在球殼內(nèi)，半徑為r1處的電勢與r1無關，各點電勢相同，為等勢體。第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一在球殼間，半徑為r2處的電勢為：而在球殼外，半徑為r3處的電勢為：第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一R1R2r1r2r3R1

R2rrEU從這個例題可以看出：電場的分布往往是不連續(xù)的，而電勢由于是電場的空間積分，分布一定是連續(xù)的。第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例2、求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢（電量Q，半徑R）

解：用疊加原理：另解：用場強積分法：（沿軸線積分到無窮遠點）R0xPdqx第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一推廣：求均勻帶電圓盤軸線上一點的電勢解：疊加法取電荷元：rdrRx第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例3、球體均勻帶電Q，求：1)球體外兩點的電勢差；2)球體內(nèi)兩點的電勢差；3)球體外任意點的電勢；4)球體內(nèi)任意點的電勢解:1)2）3）第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一4)球表面，令球心處電勢：第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一另法：用場強的線積分求帶電球體內(nèi)、外及球面電勢。（1）球內(nèi)電勢球內(nèi)、外場強為：第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一（2）球外電勢球心處r=0代入上式得球面上r=R

代入上式得對帶電球面，場強分布為：第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例4、求均勻帶等量異號電荷的兩同心球面的電場分布。解：用電勢疊加原理求解（1）在外球外側（r>R2）（2）在兩球中間（R1<r<R2)（3）在內(nèi)球內(nèi)側（r<R1)-Q+QR1R2第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例5、求無限長均勻帶電直線外一點的電勢。（電荷線密度為+λ，選b點電勢為0）解：無限長均勻帶電直線外一點的場強為場中任一點a的電勢為：問題：可否仍選擇無窮遠處為電勢零點？r

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a++++++++第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例6、直線MN長為2l，弧OCD是以N

為中心、l

為半徑的半圓弧，N

點有正電荷+q，M點有負電荷-q。今將一試驗電荷從O點出發(fā)，沿路徑OCDP

移到無窮遠處，設無窮遠處電勢為零，求電場力所作的功。解：設試探電荷為q0，由于電場作的功等于電勢差乘以試探電荷的電量：，而與所經(jīng)過的路徑無關，所以，重要的是求始、末兩點間的電勢差。CDNM+q-qPOq0第69頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例7、如圖有兩個點電荷q1、q2相距s，現(xiàn)將點電荷連線上距q2為R

的點O定為電勢零點，求距q2為r

的點P

的電勢。q1POq2srR解：先計算以無窮遠點為勢能零點時，O點和P點的電勢UO∞、UP∞：O點和P點間的電勢差與電勢零點的選擇無關：所以，以O點為勢能零點時，P點的電勢UPO為

：參考點第70頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、等勢面由電勢相等的點組成的面叫等