空氣動力學(xué)翼型低速氣動特性

空氣動力學(xué)翼型低速氣動特性第1頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展一、翼型的定義

在飛機的各種飛行狀態(tài)下，機翼是飛機承受升力的主要部件，而立尾和平尾是飛機保持安定性和操縱性的氣動部件。

一般飛機都有對稱面，如果平行于對稱面在機翼展向任意位置切一刀，切下來的機翼剖面稱作為翼剖面或翼型。

翼型是機翼和尾翼成形重要組成部分，其直接影響到飛機的氣動性能和飛行品質(zhì)。第2頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展翼型按速度分類有低速翼型亞聲速翼型超聲速翼型第3頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展翼型按形狀分類有圓頭尖尾形尖頭尖尾形圓頭鈍尾形第4頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展二、翼型的幾何參數(shù)NACA4415前緣厚度中弧線后緣彎度弦線弦長b

后緣角第5頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展1、弦長

前后緣點的連線稱為翼型的幾何弦。但對某些下表面大部分為直線的翼型，也將此直線定義為幾何弦。翼型前、后緣點之間的距離，稱為翼型的弦長，用b表示，或者前、后緣在弦線上投影之間的距離。

第6頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展2、翼型表面的無量綱坐標翼型上、下表面曲線用弦線長度的相對坐標的函數(shù)表示：第7頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展通常翼型的坐標由離散的數(shù)據(jù)表格給出：第8頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展3、彎度

彎度的大小用中弧線上最高點的y向坐標來表示。此值通常也是相對弦長表示的。翼型上下表面y向高度中點的連線稱為翼型中弧線。

如果中弧線是一條直線（與弦線合一），這個翼型是對稱翼型。如果中弧線是曲線，就說此翼型有彎度。第9頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展中弧線y向坐標（彎度函數(shù)）為：相對彎度最大彎度位置第10頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展厚度分布函數(shù)為：相對厚度最大厚度位置4、厚度第11頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展5、前緣半徑，后緣角

翼型的前緣是圓的，要很精確地畫出前緣附近的翼型曲線，通常得給出前緣半徑。這個與前緣相切的圓，其圓心在處中弧線的切線上。翼型上下表面在后緣處切線間的夾角稱為后緣角。第12頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展三、翼型的發(fā)展

對于不同的飛行速度，機翼的翼型形狀是不同的。如對于低亞聲速飛機，為了提高升力系數(shù)，翼型形狀為圓頭尖尾形；而對于高亞聲速飛機，為了提高阻力發(fā)散Ma數(shù)，采用超臨界翼型，其特點是前緣豐滿、上翼面平坦、后緣向下凹；對于超聲速飛機，為了減小激波阻力，采用尖頭、尖尾形翼型。

通常飛機設(shè)計要求，機翼和尾翼的盡可能升力大、阻力小。第13頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

對翼型的研究最早可追溯到19世紀后期，那時的人們已經(jīng)知道帶有一定安裝角的平板能夠產(chǎn)生升力，有人研究了鳥類的飛行之后提出，彎曲的更接近于鳥翼的形狀能夠產(chǎn)生更大的升力和效率。鳥翼具有彎度和大展弦比的特征平板翼型效率較低，失速迎角很小將頭部弄彎以后的平板翼型，失速迎角有所增加第14頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

1884年，H.F.菲利普使用早期的風(fēng)洞測試了一系列翼型，后來他為這些翼型申請了專利。早期的風(fēng)洞第15頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

與此同時，德國人奧托·利林塔爾設(shè)計并測試了許多曲線翼的滑翔機，他仔細測量了鳥翼的外形，認為試飛成功的關(guān)鍵是機翼的曲率或者說是彎度，他還試驗了不同的翼尖半徑和厚度分布。第16頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

美國的賴特兄弟所使用的翼型與利林塔爾的非常相似，薄而且彎度很大。這可能是因為早期的翼型試驗都在極低的雷諾數(shù)下進行，薄翼型的表現(xiàn)要比厚翼型好。第17頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

隨后的十多年里，在反復(fù)試驗的基礎(chǔ)上研制出了大量翼型，有的很有名，如RAF-6，Gottingen387，ClarkY。這些翼型成為NACA翼型家族的鼻祖。第18頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展

在上世紀三十年代初期，美國國家航空咨詢委員會（NationalAdvisoryCommitteeforAeronautics，縮寫為NACA，后來為NASA，NationalAeronauticsandSpaceAdministration）對低速翼型進行了系統(tǒng)的實驗研究。他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時的幾種優(yōu)秀翼型的折算成相同厚度時，厚度分布規(guī)律幾乎完全一樣。于是他們把厚度分布就用這個經(jīng)過實踐證明，在當(dāng)時認為是最佳的翼型厚度分布作為NACA翼型族的厚度分布。厚度分布函數(shù)為：

最大厚度為。第19頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展1932年，確定了NACA四位數(shù)翼型族。式中，為相對彎度，為最大彎度位置。例:NACA

②④①②中弧線取兩段拋物線，在中弧線最高點二者相切。第20頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展1935年，NACA又確定了五位數(shù)翼型族。

五位數(shù)翼族的厚度分布與四位數(shù)翼型相同。不同的是中弧線。它的中弧線前段是三次代數(shù)式，后段是一次代數(shù)式。例:

NACA：來流與前緣中弧線平行時的理論升力系數(shù)中弧線0：簡單型1：有拐點第21頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展1939年，發(fā)展了NACA1系列層流翼型族。其后又相繼發(fā)展了NACA2系列，3系列直到6系列，7系列的層流翼型族。

層流翼型是為了減小湍流摩擦阻力而設(shè)計的，盡量使上翼面的順壓梯度區(qū)增大，減小逆壓梯度區(qū)，減小湍流范圍。第22頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展第23頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的幾何參數(shù)及其發(fā)展1967年美國NASA蘭利研究中心的Whitcomb主要為了提高亞聲速運輸機阻力發(fā)散Ma數(shù)而提出來超臨界翼型的概念。第24頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空氣動力系數(shù)1、翼型的迎角與空氣動力

在翼型平面上，把來流V∞與翼弦線之間的夾角定義為翼型的幾何迎角，簡稱迎角。對弦線而言，來流上偏為正，下偏為負。

翼型繞流視平面流動，翼型上的氣動力視為無限翼展機翼在展向取單位展長所受的氣動力。第25頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空氣動力系數(shù)

當(dāng)氣流繞過翼型時，在翼型表面上每點都作用有壓強p（垂直于翼面）和摩擦切應(yīng)力（與翼面相切），它們將產(chǎn)生一個合力R，合力的作用點稱為壓力中心，合力在來流方向的分量為阻力X，在垂直于來流方向的分量為升力Y。第26頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空氣動力系數(shù)翼型升力和阻力分別為

空氣動力矩取決于力矩點的位置。如果取矩點位于壓力中心，力矩為零。如果取矩點位于翼型前緣，前緣力矩；如果位于力矩不隨迎角變化的點，叫做翼型的氣動中心，為氣動中心力矩。規(guī)定使翼型抬頭為正、低頭為負。薄翼型的氣動中心為0.25b，大多數(shù)翼型在0.23b-0.24b之間，層流翼型在0.26b-0.27b之間。第27頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一2、空氣動力系數(shù)1.2翼型的空氣動力系數(shù)翼型無量綱空氣動力系數(shù)定義為升力系數(shù)阻力系數(shù)俯仰力矩系數(shù)第28頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空氣動力系數(shù)

由空氣動力實驗表明，對于給定的翼型，升力是下列變量的函數(shù)：根據(jù)量綱分析，可得

對于低速翼型繞流，空氣的壓縮性可忽略不計，但必須考慮空氣的粘性。因此，氣動系數(shù)實際上是來流迎角和Re數(shù)的函數(shù)。至于函數(shù)的具體形式可通過實驗或理論分析給出。

對于高速流動，壓縮性的影響必須計入，因此Ma也是其中的主要影響變量。第29頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述1、低速翼型繞流圖畫低速圓頭翼型在小迎角時，其繞流圖畫如下圖示?？傮w流動特點是（1）整個繞翼型的流動是無分離的附著流動，在物面上的邊界層和翼型后緣的尾跡區(qū)很??；第30頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（2）前駐點位于下翼面距前緣點不遠處，流經(jīng)駐點的流線分成兩部分，一部分從駐點起繞過前緣點經(jīng)上翼面順壁面流去，另一部分從駐點起經(jīng)下翼面順壁面流去，在后緣處流動平滑地匯合后下向流去。（3）在上翼面近區(qū)的流體質(zhì)點速度從前駐點的零值很快加速到最大值，然后逐漸減速。根據(jù)Bernoulli方程，壓力分布是在駐點處壓力最大，在最大速度點處壓力最小，然后壓力逐漸增大（過了最小壓力點為逆壓梯度區(qū)）。第31頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（5）氣流到后緣處，從上下翼面平順流出，因此后緣點不一定是后駐點。（4）隨著迎角的增大，駐點逐漸后移，最大速度點越靠近前緣，最大速度值越大，上下翼面的壓差越大，因而升力越大。第32頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述2、翼型繞流氣動力系數(shù)隨迎角的變化曲線

一個翼型的氣動特性，通常用曲線表示。有升力系數(shù)曲線，阻力系數(shù)曲線，力矩系數(shù)曲線。NACA23012的氣動特性曲線第33頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（1）在升力系數(shù)隨迎角的變化曲線中，在迎角較小時是一條直線，這條直線的斜率稱為升力線斜率，記為這個斜率，薄翼的理論值等于2/弧度，即0.10965/度，實驗值略小。NACA23012的是0.105/度，NACA631-212的是0.106/度。實驗值所以略小的原因在于實際氣流的粘性作用。有正迎角時，上下翼面的邊界層位移厚度不一樣厚，其效果等于改變了翼型的中弧線及后緣位置，從而改小了有效的迎角。第34頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（2）對于有彎度的翼型升力系數(shù)曲線是不通過原點的，通常把升力系數(shù)為零的迎角定義為零升迎角0

，而過后緣點與幾何弦線成0

的直線稱為零升力線。一般彎度越大，0越大。第35頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（3）當(dāng)迎角大過一定的值之后，就開始彎曲，再大一些，就達到了它的最大值，此值記為最大升力系數(shù)，這是翼型用增大迎角的辦法所能獲得的最大升力系數(shù)，相對應(yīng)的迎角稱為臨界迎角。過此再增大迎角，升力系數(shù)反而開始下降，這一現(xiàn)象稱為翼型的失速。這個臨界迎角也稱為失速迎角。第36頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述以及失速后的曲線受粘性影響較大，當(dāng)時，。第37頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述時，。（4）阻力系數(shù)曲線，存在一個最小阻力系數(shù)。在小迎角時，翼型的阻力主要是摩擦阻力，阻力系數(shù)隨迎角變化不大；在迎角較大時，出現(xiàn)了粘性壓差阻力的增量，阻力系數(shù)與迎角的二次方成正比。后，分離區(qū)擴及整個上翼面，阻力系數(shù)大增。但應(yīng)指出的是無論摩擦阻力，還是壓差阻力，都與粘性有關(guān)。因此，阻力系數(shù)與Re數(shù)存在密切關(guān)系。第38頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一（5）mz1/4(對1/4弦點取矩的力矩系數(shù))力矩系數(shù)曲線，在失速迎角以下，基本是直線。如改成對實際的氣動中心取矩，那末就是一條平直線了。但當(dāng)迎角超過失速迎角，翼型上有很顯著的分離之后，低頭力矩大增，力矩曲線也變彎曲。1.3低速翼型的低速氣動特性概述第39頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一3、翼型失速1.3低速翼型的低速氣動特性概述

隨著迎角增大，翼型升力系數(shù)將出現(xiàn)最大，然后減小。這是氣流繞過翼型時發(fā)生分離的結(jié)果。翼型的失速特性是指在最大升力系數(shù)附近的氣動性能。

翼型分離現(xiàn)象與翼型背風(fēng)面上的流動情況和壓力分布密切相關(guān)。

在一定迎角下，當(dāng)?shù)退贇饬骼@過翼型時，過前駐點開始快速加速減壓到最大速度點（順壓梯度區(qū)），然后開始減速增壓到翼型后緣點處（逆壓梯度區(qū)），隨著迎角的增加，前駐點向后移動，氣流繞前緣近區(qū)的吸力峰在增大，造成峰值點后的氣流頂著逆壓梯度向后流動越困難，氣流的減速越嚴重。第40頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一這不僅促使邊界層增厚，變成湍流，而且迎角大到一定程度以后，逆壓梯度達到一定數(shù)值后，氣流就無力頂著逆壓減速了，而發(fā)生分離。這時氣流分成分離區(qū)內(nèi)部的流動和分離區(qū)外部的主流兩部分。1.3低速翼型的低速氣動特性概述

在分離邊界（稱為自由邊界）上，二者的靜壓必處處相等。分離后的主流就不再減速不再增壓了。分離區(qū)內(nèi)的氣流，由于主流在自由邊界上通過粘性的作用不斷地帶走質(zhì)量，中心部分便不斷有氣流從后面來填補，而形成中心部分的倒流。第41頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述小迎角翼型附著繞流大迎角翼型分離繞流第42頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述大迎角翼型分離繞流翼型分離繞流第43頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述

根據(jù)大量實驗，在大Re數(shù)下，翼型分離可根據(jù)其厚度不同分為：（1）后緣分離（湍流分離）這種分離對應(yīng)的翼型厚度大于12%-15%。

這種翼型頭部的負壓不是特別大，分離是從翼型上翼面后緣近區(qū)開始的。

隨著迎角的增加，分離點逐漸向前緣發(fā)展。第44頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述起初升力線斜率偏離直線，當(dāng)迎角達到一定數(shù)值時，分離點發(fā)展到上翼面某一位置時（大約翼面的一半），升力系數(shù)達到最大，以后升力系數(shù)下降。

后緣分離的發(fā)展是比較緩慢的，流譜的變化是連續(xù)的，失速區(qū)的升力曲線也變化緩慢，失速特性好。第45頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（2）前緣分離（前緣短泡分離）

氣流繞前緣時負壓很大，從而產(chǎn)生很大的逆壓梯度，即使在不大迎角下，前緣附近發(fā)生流動分離，分離后的邊界層轉(zhuǎn)捩成湍流，從外流中獲取能量，然后再附到翼面上，形成分離氣泡。中等厚度的翼型（厚度6%-9%），前緣半徑較小。第46頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述

起初這種短氣泡很短，只有弦長的1%，當(dāng)迎角達到失速角時，短氣泡突然打開，氣流不能再附，導(dǎo)致上翼面突然完全分離，使升力和力矩突然變化。第47頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述（3）薄翼分離（前緣長氣泡分離）薄的翼型（厚度4%-6%），前緣半徑更小。

氣流繞前緣時負壓更大，從而產(chǎn)生很大的逆壓梯度，即使在不大迎角下，前緣附近引起流動分離，分離后的邊界層轉(zhuǎn)捩成湍流，從外流中獲取能量，流動一段較長距離后再附到翼面上，形成長分離氣泡。第48頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述

起初這種氣泡不長，只有弦長的2%-3%，隨著迎角增加，再附點不斷向下游移動，當(dāng)?shù)绞儆鞘牵瑲馀菅由斓接揖?，翼型完全失速，氣泡突然消失，氣流不能再附，?dǎo)致上翼面突然完全分離，使升力和力矩突然變化。第49頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速氣動特性概述

另外，除上述三種分離外，還可能存在混合分離形式，氣流繞翼型是同時在前緣和后緣發(fā)生分離。第50頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一庫塔(MW.Kutta,1867-1944)，德國數(shù)學(xué)家

儒可夫斯基（Joukowski，1847~1921），俄國數(shù)學(xué)家和空氣動力學(xué)家。

1906年儒可夫斯基引入了環(huán)量的概念，發(fā)表了著名的升力定理，奠定了二維機翼理論的基礎(chǔ)。1、庫塔-儒可夫斯基后緣條件1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定第51頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定

根據(jù)庫塔—儒可夫斯基升力環(huán)量定律，對于定常、理想、不可壓流動，在有勢力作用下，直勻流繞過任意截面形狀的有環(huán)量繞流，翼型所受的升力為

需要說明的是，不管物體形狀如何，只要環(huán)量值為零，繞流物體的升力為零；對于不同的環(huán)量值，除升力大小不同外，繞流在翼型上前后駐點的位置不同。

這就是說對于給定的翼型，在一定的迎角下，按照這一理論繞翼型的環(huán)量值是不定的，任意條件都可以滿足翼面是流線的要求。第52頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定

當(dāng)不同的環(huán)量值繞過翼型時，其后駐點可能位于上翼面、下翼面和后緣點三個位置的流動圖畫。

但實際情況是，對于給定的翼型，在一定的迎角下，升力是唯一確定的。

這說明對于實際的翼型繞流，僅存在一個確定的繞翼型環(huán)量值，其它均是不正確的。

要確定這個環(huán)量值，可以從繞流圖畫入手分析。第53頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定

后駐點位于上、下翼面的情況，氣流要繞過尖后緣，勢流理論得出，在該處將出現(xiàn)無窮大的速度和負壓，這在物理上是不可能的。

因此，物理上可能的流動圖畫是氣流從上下翼面平順地流過翼型后緣，后緣速度值保持有限，流動實驗也證實了這一分析，Kutta、儒可夫斯基就用這一條件給出確定環(huán)量的補充條件。第54頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定庫塔-儒可夫斯基后緣條件表達如下：（1）對于給定的翼型和迎角，繞翼型的環(huán)量值應(yīng)正好使流動平滑地流過后緣去。（2）若翼型后緣角>0，后緣點是后駐點。即V1=V2=0。（3）若翼型后緣角=0，后緣點的速度為有限值。即V1=V2=V≠0。第55頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定（4）真實翼型的后緣并不是尖角，往往是一個小圓弧。實際流動氣流在上下翼面靠后很近的兩點發(fā)生分離，分離區(qū)很小。所提的條件是：p1=p2V1=V22、環(huán)量的產(chǎn)生與后緣條件的關(guān)系

根據(jù)海姆霍茲旋渦守衡定律，對于理想不可壓縮流體，在有勢力作用下，繞相同流體質(zhì)點組成的封閉周線上的速度環(huán)量不隨時間變化。d/dt=0。第56頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定

翼型都是從靜止狀態(tài)開始加速運動到定常狀態(tài)，根據(jù)旋渦守衡定律，翼型引起氣流運動的速度環(huán)量應(yīng)與靜止狀態(tài)一樣處處為零，但庫塔條件得出一個不為零的環(huán)量值，這是乎出現(xiàn)了矛盾。環(huán)量產(chǎn)生的物理原因如何？

為了解決這一問題，在翼型靜止時，圍繞翼型取一個很大的封閉曲線。（1）處于靜止狀態(tài)，繞流體線的速度環(huán)量為零。第57頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定（2）當(dāng)翼型在剛開始啟動時，因粘性邊界層尚未在翼面上形成，繞翼型的速度環(huán)量為零，后駐點不在后緣處，而在上翼面某點，氣流將繞過后緣流向上翼面。

隨時間的發(fā)展，翼面上邊界層形成，下翼面氣流繞過后緣時將形成很大的速度，壓力很低，從有后緣點到后駐點存在大的逆壓梯度，造成邊界層分離，從產(chǎn)生一個逆時針的環(huán)量，稱為起動渦。第58頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定（3）起動渦隨著氣流流向下游，封閉流體線也隨氣流運動，但始終包圍翼型和起動渦，根據(jù)渦量保持定律，必然繞翼型存在一個反時針的速度環(huán)量，使得繞封閉流體線的總環(huán)量為零。這樣，翼型后駐點的位置向后移動。只要后駐點尚未移動到后緣點，翼型后緣不斷有逆時針旋渦脫落，因而繞翼型的環(huán)量不斷增大，直到氣流從后緣點平滑流出（后駐點移到后緣為止）為止。第59頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定第60頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.4

庫塔-儒可夫斯基后緣條件及環(huán)量的確定由上述討論可得出：（1）流體粘性和翼型的尖后緣是產(chǎn)生起動渦的物理原因。繞翼型的速度環(huán)量始終與起動渦環(huán)量大小相等、方向相反。（2）對于一定形狀的翼型，只要給定繞流速度和迎角，就有一個固定的速度環(huán)量與之對應(yīng)，確定的條件是庫塔條件。（3）如果速度和迎角發(fā)生變化，將重新調(diào)整速度環(huán)量，以保證氣流繞過翼型時從后緣平滑匯合流出。（4）代表繞翼型環(huán)量的旋渦，始終附著在翼型上，稱為附著渦。根據(jù)升力環(huán)量定律，直勻流加上一定強度的附著渦所產(chǎn)生的升力，與直勻流中一個有環(huán)量的翼型繞流完全一樣。第61頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一

對于迎角不大的翼型附著繞流，粘性對升力、力矩特性曲線影響不大，因此可用勢流理論求解。

粘性對阻力和最大升力系數(shù)、翼型分離繞流的氣動特性曲線影響較大，不能忽略。1.5

任意翼型的位流解法1、保角變換法

繞翼型的二維不可壓縮勢流，存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)，兩者均滿足Laplace方程，因此可用復(fù)變函數(shù)理論求解。保角變換法的主要思想是，通過復(fù)變函數(shù)變換，將物理平面中的翼型變換成計算平面中的圓形，然后求出繞圓形的復(fù)勢函數(shù)，再通過變換式倒回到物理平面中的復(fù)勢函數(shù)即可。第62頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法2、繞翼型的數(shù)值計算法——面元法

在平面理想勢流中，根據(jù)勢流疊加原理和孤立奇點流動，可得到某些規(guī)則物體的繞流問題。

對于任意形狀的物體繞流，當(dāng)然不可能這樣簡單。但是，這樣的求解思路是可取的。

例如，通過直勻流與點源和點匯的疊加，可獲得無環(huán)量的圓柱繞流；通過直勻流、點源和點匯、點渦的疊加，可獲得有環(huán)量的圓柱繞流，繼而求出繞流的升力大小。第63頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

對于一定迎角下，任意形狀、任意厚度的翼型繞流，利用勢流疊加法求解的基本思路是：（a）在翼型弦線上布置連續(xù)分布的點源q（s)，與直勻流疊加求解。（b）在翼型上下表面布置連續(xù)分布的點渦（s)，與直勻流疊加求解。

滿足翼面是一條流線的條件，從而模擬無升力的翼型厚度作用。

滿足翼面是一條流線的條件和尾緣的kutta條件，從而模擬由于迎角和翼型彎度引起的升力效應(yīng)，確定翼型的升力大小。第64頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

對于任意形狀的翼型精確給出分布源函數(shù)或分布渦是不容易的。通常用數(shù)值計算方法進行。將翼面分成若干微分段（面元），在每個面元上布置待定的奇點分布函數(shù)（點源或或點渦），在選定控制點上滿足物面不穿透條件和后緣條件，從而確定出分布函數(shù)，最后由分布函數(shù)計算物面壓強分布、升力和力矩特性。（2）面源函數(shù)的基本特性

設(shè)單位長度的面源強度為q，則ds微段上面源強度為qds，其在流場P點處誘導(dǎo)的速度為（與P點的距離r）第65頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法繞面源封閉周線的流量為方向沿r的方向ds微短面源在P點產(chǎn)生的擾動速度勢為整個面源在P點產(chǎn)生的速度勢函數(shù)為第66頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

任意一個面源元素在空間流場中任一點所誘導(dǎo)的速度是連續(xù)分布的，所以整個面源誘導(dǎo)的速度場在所有的空間點是連續(xù)分布的。

面源上除外，面源上切向速度連續(xù)，法向速度面源是個間斷面。

如右圖所示，對于布在x軸上的二維平面面源，有當(dāng)時，有第67頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

由此得出：面源上下流體切向速度是連續(xù)的，面源法向速度是間斷的。對曲面的面源布置也是如此。下面求法向速度的突躍值。通過矩形周線的體積流量為

由于面源上的切向速度是連續(xù)的，設(shè)ds中點處的切向速度為Vs,則第68頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法所以當(dāng)ds和dn均趨于零時得

這說明，面源是法向速度間斷面，穿過面源當(dāng)?shù)胤ㄏ蛩俣鹊耐卉S值等于當(dāng)?shù)氐拿嬖磸姸取τ谄矫婷嬖从械?9頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法（3）面渦的基本特性

設(shè)單位長度的面渦強度為，則ds微段上面渦強度為

ds，其在流場P點處誘導(dǎo)的速度為（與P點的距離r）ds微短面源在P點產(chǎn)生的擾動速度勢為整個面源在P點產(chǎn)生的速度勢函數(shù)為第70頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法繞面渦封閉周線的環(huán)量為

任意一個面渦元素在空間流場中任一點所誘導(dǎo)的速度是連續(xù)分布的，所以整個面渦誘導(dǎo)的速度場在所有的空間點是連續(xù)分布的。

面渦上除外，面渦上法向速度連續(xù)，切向速度面渦上是個間斷面。

如右圖所示，對于布在x軸上的二維平面面渦，有當(dāng)時，有第71頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

由此得出：面渦上下流體切向速度是間斷的，但法向速度是連續(xù)的。對曲面的面渦布置也是如此。下面求切向速度的突躍值。繞矩形周線的速度環(huán)量為

由于面渦上的法向速度是連續(xù)的，設(shè)ds中點處的法向速度為Vn,則第72頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法所以當(dāng)ds和dn均趨于零時得

這說明，面渦是切向速度間斷面，穿過面渦當(dāng)?shù)厍邢蛩俣鹊耐卉S值等于當(dāng)?shù)氐拿鏈u強度。對于平面面渦有第73頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一（b）如果求解升力翼型（模擬彎度和迎角的影響），可用面渦法，除滿足翼面是流線外，要求翼型尾緣滿足Kutta條件=0。1.5

任意翼型的位流解法（4）面源法和面渦法（a）當(dāng)求解無升力的物體繞流問題時，包括考慮厚度影響的無升力的翼型繞流問題，可用面源法。第74頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

對于理想不可壓縮流體的翼型繞流，如果氣流繞翼型的迎角、翼型厚度、翼型彎度都很小，則繞流場是一個小擾動的勢流場。這時，翼面上的邊界條件和壓強系數(shù)可以線化，厚度、彎度、迎角三者的影響可以分開考慮，這種方法叫做薄翼理論。（Thinairfoiltheory）1、翼型繞流的分解（1）擾動速度勢的線性疊加（a）擾動速度勢及其方程第75頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論擾動速度勢滿足疊加原理。（b）翼面邊界條件的近似線化表達式

設(shè)翼面上的擾動速度分別為，則在小迎角下速度分量為第76頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論由翼面流線的邊界條件為對于薄翼型，翼型的厚度和彎度很小，保留一階小量，得到其中，yf為翼型彎度函數(shù)，yc為翼型的厚度函數(shù)。由于翼型的上下物面方程為第77頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

上式說明，在小擾動下，翼面上的y方向速度可近似表示為彎度、厚度、迎角三部分貢獻的線性和。（c）擾動速度勢函數(shù)的線性疊加

根據(jù)擾動速度勢的方程和翼面y方向速度的近似線化，可將擾動速度勢表示為彎度、厚度、迎角三部分的速度勢之和。對y方向求偏導(dǎo)，得到第78頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

可見，擾動速度勢、邊界條件可以分解成彎度、厚度、迎角三部分單獨存在時擾動速度勢之和。（2）壓強系數(shù)Cp的線化表達式對于理想不可壓縮勢流，根據(jù)Bernoulli方程，壓強系數(shù)第79頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論把擾動速度場代入，得到在彎度、厚度、迎角均為小量的假設(shè)下，如只保留一階小量，得到第80頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

可見，在小擾動下，擾動速度勢方程、物面邊界條件、翼面壓強系數(shù)均可進行線化處理。（3）薄翼型小迎角下的勢流分解

在小迎角下，對于薄翼型不可壓縮繞流，擾動速度勢、物面邊界條件、壓強系數(shù)均可進行線性疊加，作用在薄翼型上的升力、力矩可以視為彎度、厚度、迎角作用之和，因此繞薄翼型的流動可用三個簡單流動疊加。即薄翼型繞流=彎度問題（中弧線彎板零迎角繞流）

+厚度問題（厚度分布yc對稱翼型零迎角繞流）

+迎角問題（迎角不為零的平板繞流）第81頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論第82頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

厚度問題，因翼型對稱，翼面壓強分布上下對稱，不產(chǎn)生升力和力矩。彎度和迎角問題產(chǎn)生的流動上下不對稱，壓差作用得到升力和力矩。把彎度和迎角作用合起來處理，稱為迎角彎度問題，因此對于小迎角的薄翼型繞流，升力和力矩可用小迎角中弧線彎板的繞流確定。2、迎角-彎度繞流問題

迎角彎度問題的關(guān)鍵是確定渦強的分布。要求在中弧面上滿足和kutta條件。第83頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論（1）面渦強度的積分方程

因為翼型彎度一般很小，中弧線和弦線差別不大，因而在中弧線上布渦可近似用在弦線上布渦來代替，翼面上y方向的擾動速度可近似用弦線上的值取代。這是因為，按照泰勒級數(shù)展開，有略去小量，得到第84頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

在一級近似條件下，求解薄翼型的升力和力矩的問題，可歸納為在滿足下列條件下，面渦強度沿弦線的分布。（a）無窮遠邊界條件（b）物面邊界條件（c）Kutta條件第85頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

在弦線上，某點的面渦強度為，在d段上的渦強為，其在弦線上x點產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度為整個渦面的誘導(dǎo)速度為即關(guān)于渦強的積分方程。第86頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論（2）渦強的三角級數(shù)求解然后，令第87頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

這個級數(shù)有兩點要說明：

(1)第一項是為了表達前緣處無限大的負壓（即無限大的流速）所必需的（如果有負無限大壓強的話）；

(2)在后緣處，這個級數(shù)等于零。后緣處載荷應(yīng)該降為零，這是庫塔條件所要求的。第88頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論（3）求迎角彎度的氣動特性第89頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論升力線的斜率為上式說明，對于薄翼而言，升力線的斜率與翼型的形狀無關(guān)。寫成通常的表達形式其中，0為翼型的零升力迎角，由翼型的中弧線形狀決定，對于對稱翼型0=0，非對稱翼型0<>0。第90頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論對前緣取矩，得俯仰力矩為第91頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論其中，mz0為零升力矩系數(shù)對b/4點取距，得到第92頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論

這個式子里沒有迎角，說明這個力矩是常數(shù)（不隨迎角變），即使升力為零仍有此力矩，可以稱為剩余力矩。只要對1/4弦點取矩，力矩都等于這個零升力矩。這說明1/4弦點就是氣動中心的位置。另外，還有個特殊的點，稱為壓力中心，表示氣動合力作用的位置，通過該點的力矩為零。第93頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論翼型前緣吸力系數(shù)為其中

平板翼型上的壓強總是垂直于板面的，壓強合力必定也是垂直板面的，它在來流方向有一個分力，似應(yīng)有阻力存在，但根據(jù)理想流理論，翼型阻力應(yīng)為零。問題在于上面分析沒有考慮前緣的繞流效應(yīng)，或者說漏算了一個名為前緣吸力的力。第94頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論3、厚度問題的解

在零迎角下厚度分布函數(shù)yc的對稱薄翼型的繞流問題稱為厚度問題。

對于厚度問題，可使用布置面源法求解。即在翼型表面上連續(xù)布置面源求解。但對薄翼型而言，可用弦線上布源近似代替翼面上布源，設(shè)在x軸上連續(xù)布置面源強度為q(負值為匯)，根據(jù)物面是流線條件確定q。物面是流線的邊界條件為第95頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理論又由于則有翼型表面上的壓強第96頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論

薄翼型理論只適用于繞薄翼型小迎角的流動。如翼型的相對厚度>12%，或迎角較大，薄翼型理論和實驗值相差較大，需要用厚翼理論計算。1、對稱厚翼型無升力繞流的數(shù)值計算方法

對于二維不可壓縮對稱無升力的繞流，用面源法進行數(shù)值模擬。也可以在對稱軸上布置平面偶極子與來流疊加的方法求解。現(xiàn)考慮直勻流和在x軸上一段AB（一般應(yīng)小于物體長度）上布置偶極子源疊加的流動，假定偶極子強度為（x)。在P(x,y)點處的流函數(shù)為第97頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論整個直勻流與偶極子的疊加結(jié)果為如果給定=0為物面條件，則由上式可確定偶極子分布。然而這是一個積分方程，解析求解通常是很困難的?？赏ㄟ^數(shù)值解法求解，把偶極子分布區(qū)域分成n段，把上式應(yīng)用到物面外形上的n個已知點，建立n元一次的線性方程組，求得j。第98頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論速度分量為物面上的壓強系數(shù)為在物面外任意一點的流函數(shù)為第99頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論2、任意厚翼型有升力時的數(shù)值計算方法

一般而言，計算任意形狀、厚度、迎角下，翼型繞流的壓強分布、升力和力矩特性，可以使用面渦法。

該方法的思路是：將翼面分成n段，在每個子段上布置常值未知渦，渦強度分別是1，2，…，n，在每個渦片上取適當(dāng)?shù)目刂泣c，在這些控制點上準確滿足物面邊界條件。第100頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論

對于第j個渦片在第i個控制點上引起的擾動速度勢，有渦的速度勢公式為翼面上所有渦片對i個控制點引起的總擾動速度勢為引起的法向速度為第101頁，共111頁，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理論則在第i控制點上滿足物面