橢圓的標準方程及其幾何性質

橢圓的標準方程及其幾何性質(1)第一定義：平面內與兩個定點F、F的距離之和為常數2a(2a>|FF|)的動點P的1222軌跡叫橢圓,其中兩個定點F、F叫橢圓的焦點.FFP121212(2)橢圓的第二定義:平面內到定點F與定直線l(定點F不在定直線l上)的距離之比是常(利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化).2.橢圓的方程與幾何性質:(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)a標準方程參數關系焦點焦距范圍頂點對稱性離心率(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)性質22P(x0,y0)與橢圓x2+y2=1(a>b>0)的位置關系:a2b2aba2b2a2b2橢圓上;標分別是(-4,0)、(4，0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離35⑵兩個焦點坐標分別是(0，－2)和(0,2)且過(-)x它的標準方程為所以所求橢圓標準方程為+=1⑵因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為2222y2x2所以所求標準方程為+=1yx235∴可設所求方程+=1，后將點()的坐標代入可求出a，從而求aa242,2∴所求橢圓的方程為：.x∴所求橢圓方程為：+=1(5)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為：ABABOCx∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.∴－c－(－10)＝2，故c=8.y2x2∴所求橢圓的標準方程是+=1.程yy (y≠0)(特別強調檢驗)yyA2A所示的平面直角坐標系，M為重心，則|MB|+|MC|=×3EMMBOCxBOCx圓，故所求橢圓方程為+=1(y≠0)x2x題4。已知x軸上的一定點A(1,0)，Q為橢圓+y2=1上的動點，求AQ中點M的軌跡方程4yx2xQ因為點Q為橢圓+y2=1上的點，QM4M-2OA2x-242223解：設動點M的坐標為(解：設動點M的坐標為(x,y)，則A的坐標為(x,0)B的坐標為(0,y)2y552525B4xyx552525B42525OAx所以點M的軌跡方程是x2+y2=494r＝8r＝8分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值根據圖形，MxMQMPPOQx9練根據條件對一些點進行取舍.依題意得.=，依題意得.=，xx9PF2A2yOF1xPF2A2yOF1x說明：方程x2+y2=1對應的橢圓與y軸有兩個交點，而此兩交點為(0，－6)與題8．P為橢圓+=1上的點，且P與F,F的連線互相垂直，求P25912xxy500161644444444題9．橢圓x2+y2=1上不同三點A(x,y),B(4,9),C(x,y)與焦點F(4,0)的距離成25911522等差數列，求證x+x=844證明：由題意，得(5+x)+(5+x)＝2(5+4)x+x=844515251222與此橢圓長軸為直徑的圓內切b焦半徑FP是圓O的直徑，1PF2aPFPF則由a2=2=1=OO知，兩圓半徑之差等于圓心距，2221所以，以線段FP為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內切2PF2121PF|的等差中項.212選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題.解：(1)由題設|PF|＋|PF|＝2|FF|＝4121233y43(2)設∠FPF=9，則∠PFF＝60°－θ21FFPFPFPF1OF2xFFPF+PF和點Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.2mn①mnmn422解①②得2222243則1+1則1+1=1，①4343①－②，得+=0.x_x4y+y1212343∴直線l的方程為y－1=－(x－1)，4(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍．[解析](1)由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設C:y2+x2=1(a>b>0)a2b22a212〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)|lx1x2＝－3x－2kmm2－1112－2m2m2＝4時，上式不成立；m2≠4時，k2＝4m2－1，容易驗證k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范圍為(－1，－2)∪(2，1)(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8.(1)求點M(x，y)的軌跡C的方程.(2)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設OP=OA+OB，是否存在這lOAPBl存在，試說明理(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8，∴點M(x，y)到兩個定點F1(0，－2)，F(xiàn)2(0，2)的距離之和為8.兩邊平方，得y(2)∵l過y軸上的點(0，3)，332118k552118k55kk45∴存在直線l：y=±x+3，使得四邊形OAPB是矩形.4橢圓作業(yè)則△MNF2的周長為ABC解析：利用橢圓的定義易知B正確.x2A.B.22x411173yPCAOBxQ3yPCAOBxQ3C.D.2aaaaaa16D長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發(fā)，經橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經過的路程是[解析]按小球的運行路徑分三種情況:x2y21.已知F、F為橢圓+=1的兩個焦點，過F的直線交橢圓于A、B兩點若1225912ABF4a=20，：AB=82解析：橢圓方程化為x2+y2=1.22 k2焦點在y軸上，則>2，即k<1.k25945225解析：由橢圓方程可得a=5，b=3，c=4，e=，準線方程為x=±=±.5442554解析：利用橢圓的兩個定義結合勾股定理來求．259解析：利用第二定義.案：ac或a、c用同一個量表示.本題沒有a解：設橢圓方程為x2+y2=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1(－c，0)，c2=a2－b2，aa即－=.∴aaca2b225167則PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________1234567[解析]由橢圓的對稱性知：PF+PF=PF+PF=PF+PF=2a=35．1726351.設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為42－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數a,b,c的式子“描述”出來(b=c4442圓上的點的最短距離是3，求這個橢圓方程.la=2c|lc=3129912圓上的點的最短距離是3，求這個橢圓方程.y424222169【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數題21。已知橢圓x2+y2=1(a>b>0)與過點A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個公共點T共點T，且橢圓的離心率e=．求橢圓方程22由已知a2-b2=3亭a2=4b2①a2212ab2(1)求橢圓的標準方程；(2)點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值。[解析](1)∵點M是線段PB的中點CAB2(2)∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點xoyxBAOxB122若以MN為直徑的圓恰好過原點,則OM」ON若以MN為直徑的圓恰好過原點,則OM」ON,所以xx+yy=0,1212121212122題24。如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點C，動點P2(1)建立適當的坐標系，求曲線E的方程；(2)設直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。(1，0)x2(2)直線MN的方程為y=k(x+1),設M(x,y),設M(x,y,),N(x,y)111122(y=k(x+1)由〈得(1+2k2)x2+4k2x+2(k21)=0x2+2y22=0∴方程有兩個不等的實數根MBN7k2777777綜上所述，k的取值范圍是(7,0)(0,7)771橢圓+=1上一點P到一個焦點的距離為5，則PA.5B.6