2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練專題05 圓錐曲線大題基礎(chǔ)練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點P，若，求l的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．3．（2022秋·海南?？凇じ呷？计谥校E圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.4．（2022·江蘇蘇州·蘇州市第六中學(xué)校?？既＃┮阎p曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．6．（2022秋·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）已知曲線過點和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個交點為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標(biāo)原點）．7．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于兩點，且，如圖．(1)求圓的方程；(2)如圖，過點的直線與橢圓相交于兩點，求證：射線平分．8．（2022春·河北唐山·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線的頂點在原點，圓的圓心恰是拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于、、、四點，求的值.9．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C；，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線和拋物線交于不同兩點A，B，直線和x軸交于點N，直線AF和直線BN交于點．(1)若，求三角形AMN的面積（用p表示）；(2)求證：點M在拋物線C上10．（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：經(jīng)過點，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）不過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，若AB的中點M在拋物線E：上，求直線的斜率的取值范圍．11．（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線：的焦點為F，直線過F且與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M，當(dāng)時，點M的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，點D關(guān)于x軸的對稱點為E，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程.12．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓兩個焦點分別為，離心率為，且過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P是橢圓C上的點，且，求三角形的面積.14．（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，橢圓的左?右焦點分別為?，一條直線經(jīng)過與橢圓交于?兩點.（1）求的周長；（2）若直線的傾斜角為，求的面積.15．（2022·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓，左焦點為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若直線和橢圓交于兩點，設(shè)點為線段的中點，為坐標(biāo)原點，求線段長度的取值范圍．16．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標(biāo)．17．（2022·海南?？凇そy(tǒng)考二模）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求C的方程；(2)動直線l與圓相切，與C交于M，N兩點，求O到線段MN的中垂線的最大距離．18．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右頂點分別為A，，右焦點為點，點是橢圓上一動點，面積的最大值為2，當(dāng)軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線，交直線于點.求證：為定值.19．（2022·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．(1)求點M的軌跡方程；(2)求面積的最大值．20．（2022秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點坐標(biāo)為，且其離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若在軸上的截距為2的直線與橢圓分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，且直線，的斜率之和等于12，求的面積．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點?，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.23．（2022·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．24．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知拋物線，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．25．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為，若為橢圓上一點，的最大值為，點在直線上，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，其中不與左右頂點重合.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)從點向直線作垂線，垂足為，證明：存在點，使得為定值.26．（2022秋·福建龍巖·高三上杭縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，過的直線l交橢圓C于M?N兩點，且直線l傾斜角為，求的面積.27．（2022秋·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率為,(1)求雙曲線C的漸近線方程.(Ⅱ)當(dāng)a=1時,直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓上,求m的值.28．（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在拋物線上，圓(1)若，為圓上的動點，求線段長度的最小值；(2)若點的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點），求證：直線過定點．29．（2022秋·湖北襄陽·高三期末）若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，A1，A2分別為橢圓C1的左，右頂點．橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C1于點H．求證：30．（2022·湖北十堰·高三十堰東風(fēng)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準(zhǔn)線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題基礎(chǔ)練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點P，若，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立方程利用運算求解；（2）分析可得，設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理運算求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，消去x得，∵拋物線C與直線相切，則，解得或（舍去）故拋物線的方程C：.（2）設(shè)l的方程為，則線段AB的中點，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則，即，∵，則，即，∴，聯(lián)立方程，消去x得，，則，AB的中垂線的方程為，∴，則，即，解得，故l的方程為或.2．（2023春·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)求得，根據(jù)長軸和短軸的對應(yīng)關(guān)系，以及列方程組，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并化簡，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)中點的橫坐標(biāo)求得的值，進(jìn)而求解.【詳解】（1）由橢圓的長軸長是短軸長的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由，得．則，．因為線段中點的橫坐標(biāo)為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗符合題意．所以直線l的方程為．3．（2022秋·海南?？凇じ呷？计谥校E圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)出橢圓方程，然后由題意可得，從而可得橢圓方程，（2）由題意可得直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過點且長軸長為，所以，所以橢圓方程為，（2）因為直線過點且斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，將代入，得，整理得，所以，所以4．（2022·江蘇蘇州·蘇州市第六中學(xué)校?？既＃┮阎p曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由漸近線可得，再把點代入方程即可解得；（2）點M到y(tǒng)軸的距離的即為點M的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可求，分析求解即可，但要注意討論直線的斜率是否存在．【詳解】（1）由題設(shè)可知，解得則：．（2）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時，則直線：易知點到軸的距離為﹔當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時點到軸的距離大于2；綜上所述，點到軸的最小距離為2．5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析；定點.【分析】（1）根據(jù)直線，均與橢圓相交，聯(lián)立方程利用求解；（2）利用韋達(dá)定理分別求M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程判斷定點．【詳解】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個定點．6．（2022秋·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）已知曲線過點和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個交點為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標(biāo)原點）．【答案】(1)曲線的方程為，表示橢圓(2)【分析】（1）點代入解方程組即可得出結(jié)果.（2）利用弦長公式計算即可.(1)曲線C過點和，則解得∴曲線C的方程為，表示橢圓．(2)由得，．設(shè)，，則．又O到直線2x－y－2＝0的距離為，∴△OAB的面積為．7．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于兩點，且，如圖．(1)求圓的方程；(2)如圖，過點的直線與橢圓相交于兩點，求證：射線平分．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長公式求出圓心和半徑即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明,利用韋達(dá)定理可證明.【詳解】（1）依題意，設(shè)圓心，，，解得，所以所求圓方程為：.（2）代入圓方程，得或，所以,若過點的直線斜率不存在，此時在軸上，,射線平分;若過的直線斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立整理得設(shè)，所以射線平分．綜上，射線平分.8．（2022春·河北唐山·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線的頂點在原點，圓的圓心恰是拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于、、、四點，求的值.【答案】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點為,……3分∴∴拋物線方程為……6分1.由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè)，則，……11分∴【分析】（1）設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意得出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點，∴．拋物線的方程為：；（2）依題意直線的方程為設(shè)，，則，得，，．．【點睛】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系；由拋物線的焦點坐標(biāo)可直接求出拋物線的方程；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義可求出弦長，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于常考題型.9．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C；，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線和拋物線交于不同兩點A，B，直線和x軸交于點N，直線AF和直線BN交于點．(1)若，求三角形AMN的面積（用p表示）；(2)求證：點M在拋物線C上【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別求出直線AF和直線BN及其交點M,進(jìn)而求出；（2）分別求出直線AF和直線BN交點M，進(jìn)而可得點M坐標(biāo)符合拋物線方程，即證.(1)∵∴，，(2)，，：

①：

②聯(lián)立①②：點M滿足：∴M在拋物線C上．10．（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：經(jīng)過點，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）不過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，若AB的中點M在拋物線E：上，求直線的斜率的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由已知，又橢圓過點，因此有，再結(jié)合，聯(lián)立可解得；（2）這類題解題方法是設(shè)直線方程為，，把代入橢圓方程整理得，因此有，即，這是很重要的不等式，求的范圍就要用它，另外有，這樣可得點的坐標(biāo)為，而點在拋物線上，因此把此坐標(biāo)代入拋物線方程可得的關(guān)系，，代入剛才的不等式，就可求出的范圍．試題解析：（1）由已知，又橢圓過點，因此有，又，聯(lián)立可解得（2）設(shè)直線，．由得-----6分Δ=(8即﹥0（1）又故將代入得m將（2）代入（1）得：解得-68?k?68,考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．11．（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線：的焦點為F，直線過F且與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M，當(dāng)時，點M的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，點D關(guān)于x軸的對稱點為E，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)焦點弦的性質(zhì)得到，從而求出，即可得解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線，消元、利用韋達(dá)定理得到，從而得到，則最后利用基本不等式求出最小值，即可得解；（1）解：設(shè)，由題知時，，故拋物線方程為；（2）解：設(shè)，聯(lián)立拋物線方程得，∴，，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故直線的方程為．12．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到其中一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點作直線交雙曲線于兩點，過點作直線的垂線，垂足為，求證直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式可得，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點坐標(biāo)求解直線的方程，即可求解過定點.【詳解】（1）由題意，設(shè)右焦點的坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為：，右焦點到其中一條漸近線的距離為，可得，又因為，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，則聯(lián)立方程組，得整理得：.，且，,，令得，，直線過定點.當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線:，此時均在軸上，故直線過定點.綜上：直線過定點.13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓兩個焦點分別為，離心率為，且過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P是橢圓C上的點，且，求三角形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率為，可得，再將點代入求得，即可得出答案；（2）根據(jù)橢圓定義求得，再利用余弦定理求得，從而可得出答案.【詳解】（1）解：因為橢圓的離心率為，則，所以，即，又，即，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：因為，，由，即，所以，所以.14．（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓的左?右焦點分別為?，一條直線經(jīng)過與橢圓交于?兩點.（1）求的周長；（2）若直線的傾斜角為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓方程求得?，結(jié)合橢圓的定義，即可求得的周長；（2）根據(jù)題意，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，再結(jié)合和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓方程，可得?，則，所以的周長為.（2）由（1）知，可得?，又由，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組聯(lián)立消去并整理，可得，因為恒成立，設(shè)?，所以，，所以，所以.15．（2022·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓，左焦點為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若直線和橢圓交于兩點，設(shè)點為線段的中點，為坐標(biāo)原點，求線段長度的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，利用“點差法”可以求的的軌跡方程，再結(jié)合，消去，求解出的取值范圍即可【詳解】（1）左焦點為，①又點在橢圓上，②橢圓中③由①②③可得：故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，則有①，②，，由①-②可得：，即，將條件及，帶入上式可得點的軌跡方程為，所以，所以所以線段長度的取值范圍為16．（2023春·廣東惠州·高三校考階段練習(xí)）已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）利用已知和的關(guān)系，列方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡，可得直線所過定點．【詳解】（1）由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線與橢圓交于不同的兩點分布在軸兩側(cè)，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由得，所以，.

因為，所以，即，整理得化簡得，所以直線的方程為，所以直線過定點.17．（2022·海南海口·統(tǒng)考二模）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求C的方程；(2)動直線l與圓相切，與C交于M，N兩點，求O到線段MN的中垂線的最大距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意列出方程組，再解方程組即可.（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，到中垂線的距離為0．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，，．根據(jù)直線與圓相切得到，求出中垂線得到到中垂線的距離為，再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】（1）由題知：，解得.所以的方程為．（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，線段MN的中垂線為軸，此時到中垂線的距離為0．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，，．因為與圓相切，則到的距離為，所以．聯(lián)立方程，得，則，可得的中點為．則MN的中垂線方程為，即．因此到中垂線的距離為（當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立）．綜上所述，到線段MN的中垂線的最大距離為．18．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右頂點分別為A，，右焦點為點，點是橢圓上一動點，面積的最大值為2，當(dāng)軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線，交直線于點.求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，，解出；（2）設(shè)直線：，根據(jù)直線與橢圓相切可得，分別求出、坐標(biāo)，計算整理．（1）設(shè)橢圓的半焦距為，，將代入得，所以，因為點是橢圓上一動點，所以，所以面積，由，求得，所以橢圓的方程為：.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因為直線與橢圓相切，所以，得，因為橢圓的右焦點為，將代入直線得，所以，所以，將代入直線可得，所以，所以，，將代入上式，得，所以為定值.19．（2022·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）點是曲線上任一點，已知曲線在點處的切線方程為．如圖，點P是橢圓上的動點，過點P作橢圓C的切線l交圓于點A、B，過A、B作圓O的切線交于點M．(1)求點M的軌跡方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用題設(shè)中給出的切線的計算方法結(jié)合設(shè)而不求的方法可求點M的軌跡方程；（2）結(jié)合（1）的及點到直線的距離公式可求面積的表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（1）設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)，則，故即，所以即所以即的軌跡方程為：.（2）由（1）可得，故直線.到的距離為，故面積，因為，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為.20．（2022秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點坐標(biāo)為，且其離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若在軸上的截距為2的直線與橢圓分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，且直線，的斜率之和等于12，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可列出關(guān)于的方程，再結(jié)合即可求解；（2）由題意可設(shè)：，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，可得出直線的方程，然后利用弦長公式，點到直線的距離公式及三角形面積公式即得.【詳解】（1）因為橢圓的左焦點坐標(biāo)為，且其離心率為，所以，解得，所以，故所求橢圓方程為；（2）若直線垂直于軸，則、的斜率都不存在，不合題意，所以直線斜率存在，設(shè)：，、，聯(lián)立，化簡可得，由，解得或，所以，，所以，解得，所以直線的方程為，此時，，所以，點到直線的距離為，所以的面積為.21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點?，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線的方程，然后代入點計算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，然后表示出的中點坐標(biāo)，代入圓的方程計算.【詳解】（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為，又因為雙曲線過點，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設(shè)，則，，所以則中點坐標(biāo)為，代入圓得，所以.22．（2022秋·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通過短軸的一個端點到右焦點的距離可知，進(jìn)而利用離心率的值計算即得結(jié)論；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，，，解得.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)?韋達(dá)定理?弦長公式，屬于中檔題.23．（2022·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．【答案】(1)y2＝4x(2)證明見解析【分析】(1)把已知點坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點坐標(biāo)．【詳解】（1）P點坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過定點(﹣1，0)．24．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知拋物線，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及共線時距離最小即可求解.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，進(jìn)而根據(jù)兩點斜率公式表達(dá)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，則拋物線的方程為（2）設(shè)，將代入拋物線的方程，整理得所以，同理，則,所以，25．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為，若為橢圓上一點，的最大值為，點在直線上，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，其中不與左右頂點重合.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)從點向直線作垂線，垂足為，證明：存在點，使得為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用已知條件建立方程求出的值即可；（2）分析直線斜率是否存在，存在時設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消元，寫出韋達(dá)定理，然后設(shè)直線，直線的方程，由兩直線聯(lián)立可知交點為，且點在直線上，建立等式，代入韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，設(shè)，，那么，可知，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，所以，即的最小值為.又的最大值為，所以，所以，又，所以解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知，直線斜率為0時，顯然不成立；設(shè)直線，點，，聯(lián)立直線與橢圓，整理可得：，，，設(shè)直線，直線，兩直線聯(lián)立可知交點為，且點在直線上解之：，所以：，即：.而，代入上式，，即：，然后韋達(dá)定理代入可得：，解之可得：或（舍）.可知直線MN過定點，又由條件：，所以Q在以AE為直徑的圓上，圓心即為，為定值.26．（2022秋·福建龍巖·高三上杭縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，過的直線l交橢圓C于M?N兩點，且直線l傾斜角為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓的離心率及所過的點列方程組求參數(shù)、，寫出橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓相交，應(yīng)用相交弦的弦長公式求，由點線距離公式求到的距離，進(jìn)而求的面積.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，故，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)易知：直線l為，聯(lián)立橢圓并整理得：，∴，，則，到的距離為，∴27．（2022秋·山東聊城·高三山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率為,(1)求雙曲線C的漸近線方程.(Ⅱ)當(dāng)a=1時,直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓上,求m的值.【答案】（1）（2）【分析】⑴由，，由此可以求出雙曲線的